一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）
【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】
作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】
解：作BF CE ⊥于F ，
在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝，
3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝，
在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE =
==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝
由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．
【答案】32．4米．
【解析】
试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE
，
∴BE=CE?cot30°=12×3=123，
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=123．
∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
3．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以
的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为
【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；
②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.
试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.
与交于点O,且关于对称
四边形是菱形.
（2）①连接,直线分别交于点,交于点
关于的对称图形为
在矩形中，为的中点，且O为AC的中点
为的中位线
同理可得：为的中点，
②过点P作交于点
由运动到所需的时间为3s
由①可得，
点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A
即：
由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.
在中，设
解得：
和走完全程所需时间为
考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置4．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，
AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=
2
2
．动点P
在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线
A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．
（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如图1，
过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ?cos∠CBF=5t?3
5
=3t．
∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，
S=1
2
PM?PE=
1
2
×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．
②当1＜t≤2时，如图2，
过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．
S=1 2
PM?PE=
1
2
×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=
16
7
．
当2＜t＜
16
7
时，如图3，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S=
1
2
PM?MQ=
1
2
×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．
综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为
()
()
2
2
5t14t0 S{7t16t1 16 14t322 7 -+≤ =-+≤ ?? -+ ? ?? ．（3）①当0＜t≤1时， 2 2 749 S5t14t5t 55 ?? =-+=--+ ? ?? ， ∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=7 5 ， ∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大． ∴当t=1时，S有最大值，最大值为9． ②当1＜t≤2时， 2 2 864 S7t16t7t 77 ?? =-+=--+ ? ?? ， ∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=8 7 ， ∴当t=8 7 时，S有最大值，最大值为 64 7 ． ③当2＜t＜ 16 7 时，S=﹣14t+32 ∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小． 又∵当t=2时，S=4；当t= 16 7 时，S=0，∴0＜S＜4． 综上所述，当t=8 7 时，S有最大值，最大值为 64 7 ． （4）t=20 9 或t= 12 5 时，△QMN为等腰三角形． 【解析】 （1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB= 2 2 ，利用特殊三角函数值，得到 △AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式： ∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）． ∵sin∠DAB=2 2 ，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）． 设直线l的解析式为：y=kx+b，则有 4k b0 { b4 -+= = ，解得： k1 { b4 = = ．∴y=x+4． ∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4． （2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2； ③当2＜t＜16 7 时，如图3． （3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论： ①如图4，点M在线段CD上， MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4， 由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=20 9 ． ②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D， 此时△QMN为等腰三角形，t=12 5 ． ∴当t=20 9或t= 12 5 时，△QMN为等腰三角形． 考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用． 5．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以 为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求： （1）点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的 值． 【答案】解：（1）过作轴于， ，， ，， 点的坐标为． （2）①当与相切时（如图1），切点为，此时， ，， ． ②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，， 过作于，则， ，． ③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于， 则，， ． 过作轴于，则， ， 化简，得， 解得， ， ． 所求的值是，和． 【解析】 （1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标 ⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op，表示出OC， 等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值． 6．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝ －x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长； （2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值； （3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2 （2）； （3）a=4 【解析】 【分析】 （1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长； （2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值； （3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知， ∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论． 【详解】 （1）OE=5，r=2，CH=2 （2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC， 易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4， ； （3）如图2，连接AK ，AM ，延长AM ， 与圆交于点G ，连接TG ，则 ， 由于，故， ； 而，故 在 和 中， ； 故△AMK ∽△NMA ; 即： 故存在常数，始终满足 常数a="4" 解法二：连结BM ，证明∽ 得 7．如图，已知二次函数2 12 y x bx c = ++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ． （1）求这个二次函数解析式； （2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）点P（7，0）；（3）点N（- 7 5， 14 5 ）． 【解析】【分析】 （1）将点A、 B坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）利用S△ABC= 1 2 ×AC×BH= 1 2 ×BC×y A，求出sinα= 22 2105 BH AB ==，则tanα= 1 2 ，在 △PMD中，tanα= MD PM = 1 2 22 x = + ，即可求解； （3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解． 【详解】 （1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得： 9 633 2 1 2 b b c ? =-+ ?? ? ?=--+ ?? ，解得： 1 3 2 b c =- ? ? ? =- ?? ， 故：抛物线的表达式为：y=1 2 x2-x- 3 2 ， 令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-3 2 ， 故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）； （2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC=∠BAC=α， 由题意得：AB=210，AC=62，BC=4，PC=22， S△ABC=1 2 ×AC×BH= 1 2 ×BC×y A， 解得：BH=22， sinα=BH AB = 22 210 = 5 ，则tanα= 1 2 ， 由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°， 延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x， 在△PMD中，tanα=MD PM = 22 x+ = 1 2 ， 解得：x=22，则CD=2x=4， 故点P（7，0）； （3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6）， 过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小， 直线AP表达式中的k值为：8 4- =-2，则直线A′N表达式中的k值为 1 2 ， 设直线A′N的表达式为：y=1 2 x+b， 将点A′坐标代入上式并求解得：b=7 2 ， 故直线A′N的表达式为：y=1 2 x+ 7 2 …①， 当x=1时，y=4， 故点M（1，4）， 同理直线AP的表达式为：y=-2x…②， 联立①②两个方程并求解得：x=-7 5 ， 故点N（-7 5 ， 14 5 ）． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法． 8．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A 、B 分别为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所夹的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E ，DE =15cm ，AD =14cm ． （1）求半径OA 的长（结果精确到0.1cm ，参考数据：s in67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36） （2）求扇形BOC 的面积（π取3.14，结果精确到1cm ） 【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ；(2)扇形BOC 的面积约为2822cm ． 【解析】 【分析】 (1)在Rt △ODE 中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE 的余弦值，即可求得OD 长，减去AD 即为OA ． (2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】 (1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=?． ∵cos DE ODE DO ∠=， ∴15 0.39 OD ≈ ， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈． ．， 答：半径OA 的长约为24.5cm ． (2)∵67ODE ∠=?， ∴157BOC ∠=?， ∴2 360 BOC n r S π= 扇形 2 157 3.1424.52360 ??≈ ()2822cm ≈． 答：扇形BOC 的面积约为2822cm ． 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键． 9．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点 A 的坐标为（4，0），点D 在边A B 上，且tan ∠AOD ＝ 1 2 ，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ． （1）求B ，D 两点的坐标； （2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小； （3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标． 【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣ 2，8﹣2）或（2，2）或42164216,77?? ? ???或16421642,77?-- ?? ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 1 2 得AD= 1 2 OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=1 2 OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF= 1 2 EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案； （3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得． 【详解】 解：（1）∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∵四边形OABC为正方形， ∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，∴B（4，4）， 在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，∵tan∠AOD＝1 2 ， ∴AD＝1 2OA＝ 1 2 ×4＝2， ∴D（4，2）； （2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90° ∴tan∠GOF＝GF OF ＝ 1 2 ，即GF＝ 1 2 OF， ∵四边形OABC为正方形， ∴∠AOB＝∠ABO＝45°， ∴OF＝EF， ∴GF＝1 2 EF， ∴G为EF的中点， ∵GH∥x轴交AE于H， ∴H为AE的中点， ∵B（4，4），D（4，2）， ∴D为AB的中点， ∴DH是△ABE的中位线， ∴HD∥BE， ∴∠HDA＝∠ABO＝45°． （3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时， 过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝2x，OF＝EF＝22x， ∵OA＝4， ∴AF＝4﹣22x， ∵G为EF的中点，H为AE的中点， ∴GH为△AFE的中位线， ∴GH＝1 2AF＝ 1 2 ×（4﹣22x）＝2﹣2x， 则x＝2﹣2x， 解得：x＝22﹣2， ∴E（8﹣42，8﹣42）， 如图3，当点E在线段OB的延长线上时， x2x﹣2， 解得：x＝2 ∴E（2，2 ②若⊙G与对角线AC相切， 如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M， 过点G 作GP ⊥OB 于点P ，设PG ＝x ，可得PE ＝x ， EG ＝FG ＝2x ， OF ＝EF ＝22x ， ∵OA ＝4， ∴AF ＝4﹣22x ， ∵G 为EF 的中点，H 为AE 的中点， ∴GH 为△AFE 的中位线， ∴GH ＝ 12AF ＝1 2 ×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22， ∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴422 7 x += ， ∴42164216,E ??++ ? ??? ； 如图5，当点E 在线段OM 上时， GQ ＝PM ＝23x ，则23x ＝22， 解得422 7 x = ， ∴16421642,E ?? -- ? ??? ； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时， 3x ﹣22x ﹣2， 解得：422 7 x = （舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或 42164216,77?? ? ???或16421642,77?-- ?? ． 【点睛】 本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝ 3 5 ，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ． （1）求点D 坐标； （2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值； （3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝3 20 ABCD S 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
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