第三章习题参考解答
3.1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引
起的位移μnj 为：
δj 为任意位相因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。
)
sin(j j j j nj naq t δωαμ++=2
1
)(sin 1
2
=
++?
dt q n t T
j j j T
δαω根据
=2nj
μ
2
2
22
1)(sin j
j j j j
q n t αδαωα=++解：其中T =2π/ωj 为振动周期，所以：
格波的平均动能：
∑?=n nj
m E 2
2
1
μN m j j 224
1ωα=一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有：
)(cos 212
22j j j j n
j q n t m δαωωα++=∑平均动能=平均势能= 格波平均能量=kT
2
1
21其中：M =ρL
其中振幅
2
22j
j
Nm kT ωα=得：
kT N m E j j 2
14122=
=ωα所以有：2
2221j
j nj
Nm kT ωαμ
==所以，每个原子的平方平均位移：
∑∑∑===2
22
1
21j
j nj
n Nm kT ωαμμ其中：M =ρL
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应。
解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。
质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。
牛顿运动方程
体系有N个原胞，有2N个独立的方程方程的解：
A,B有
非零解
可以得到：
两种不同的格波的色散关系为：
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波，总的格波数目为2N。
当M=m时,色散关系简化为：
长波极限情况下
与一维单原子晶格格波的色散关系一致
3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a处的ω(k)。并粗略
。
画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H
2
解：绿色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……
红色标记原子位于2n，2n+2，2n+4……
第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程可以写为：
体系N个原胞，有2N个独立的方程
方程的解：
令
A、B有非零的解，系数行列式满足
两种色散关系
色散关系(ω2--k)图如
右，这是一个双原子
（例如H
2
）晶体。
——两种色散关系
解法2：令和分别代表两种原子对平衡位置的位移，M 代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运动方程如下式所示：
n μn ν)
()(101----=n n n n n M νμβμνβμ )1110(1n n n μννβ-+=-)(10)(1n n n n n M μνβνμβν
---=+ )
1110(1n n n νμμβ-+=+设试探解为：
)
(naq t i n e
--=ωμμ)
(naq t i n e
--=ωνν
于是有
)10()11(2
=++--νβμβωiaq
e
M 0
)11()10(2
=-++νβωμβM e iaq
u ，v 具有非零解的条件为：
代入到运动方程，得：
)
1110(2
n iaq
n n n e
M νμμβνω-+=--)
1110(2n iaq
n n n e
M μννβμω-+=--0
11)10()10(112
2
=-++-β
ωβββωM e e M iaq
iaq
当时，a
q π
±=1
cos =θ
可得
2
12?
?
? ??=-M βω2
120?
?
?
??=+M βω当q=0时,则有：
=-ω2
122?
?
? ??=+M βω色散关系如图所示：
M
β22M
β20M
β2解之得：?
?
??
???????
?--±=212)cos 1(2012111aq M βω
3.4题目：
略。
系。
,,()
m m f c μμ+=-11 第l -1,m 原子对它的作用力：
,,()
m m f c μμ-=-21 3.4 解：(1)设μ
l ,m 代表第（l ,m ）个原子，即第l
行m 列的原子垂直于晶格平面的位移，当只考虑最
近邻原子间的相互作用时，由于（l +1,m ）原子对它的作用力：
,,,,()()i m m m m i F f c μμμμ+-=??==---??
∑4
111
,,,,()()m m m m c μμμμ+-??+---??
11 ,,,[()
m m m c μμμ+-=+-112 )]
2(,1,1,m m m μμμ-++-+而f 1于f 2 方向是相反的。同样处理（l ，m+1）原子和（l ，m-1）原子对（l ,m ）原子的作用力f 3，f 4，
于是得到第（l ，m ）个原子所受的力：
设试探解的形式为：
[()]
,()x y i t ak mak m e
ωμμ--+=0 根据运动方程形式：
F dt d M M m l m
=???
?
??=2,2
,μμ ,,,[()
m m m c μμμ+-=+-112 )]
2(,1,1,m m m μμμ-++-+
§ 2.3 金属性结合;§ 2.4 范德瓦耳斯结合; §2.5 元素和化合物晶体结合的规律性 1. 教学目的和要求: 通过讲解使学生理解并掌握金属性结合和范德 瓦耳斯结合；理解元素和化合物晶体结合的规律性 2．教学重点：金属性结合和范德瓦耳斯结合。 3．教学难点：范德瓦耳斯结合。 4．讲授时间：45分钟。 5．讲授方式：PPT文档。 6．作业：学生课后复习。 一．金属性结合 （1）金属性结合的概念 第I族、第II族元素及过渡 元素都是典型的金属晶体，它们 的最外层电子一般为1~2个。组 成晶体时每个原子的最外层电 子为所有原子所共有，因此在结 合成金属晶体时，失去了最外层 （价）电子的原子实“沉浸”在 由价电子组成的“电子云”中。 如图XCH002_004所示。 这种情况下，电子云和原子实之 间存在库仑作用，体积 越小电子云密度越高，库仑相互 作用的能愈低，表现为 原子聚合起来的作用。 （2）金属晶体结合力 金属晶体结合力：主要是原子实和电子云之间的静电库仑力，对晶体结构没有特殊的要求，只要求排列最紧密，这样势能最低，结合最稳定。因此大多数金属具有面心立方结构，即立方密积或六角密积，配位数均为12。 立方密积（Cu、Ag、Au、Al）（面心立方结构）（配位数12） 六角密积(Be、Mg、Zn、Cd)
体心立方结构(Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W)（配位数8） 良好的导电本领，结合能比前面两种晶体要低一些，过渡金属的结合能较大。 晶体的平衡是依靠库仑作用力和一定的排斥力而维持的。 排斥来自两个方面 (a) 但体积减小，电子云的密度增大，电子的动能将增加 (b) 当原子实相互接近到一定的距离时，它们的电子云发生显著的重叠，将产生强烈的排斥 作用。 金属性结合对原子的排列没有特殊的要求，这使得容易造成原子排列的不规范性，使其具有很大的范性。 二．范德瓦耳斯结合 （1）范德瓦耳斯结合的概念 元素周期表中第VIII族（惰性）元素在低温下所结合成的晶体，是典型的非极性分子晶体。为明确起见，我们只介绍这种分子晶体。 惰性元素最外层的电子为8个，具 有球对称的稳定封闭结构。但在某 一瞬时由于正、负电中心不重合 而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就 会使其它原子产生感应极矩。非极 性分子晶体就是依靠这瞬时偶极 矩的互作用而结合的，这种结合力 是很微弱的。1873年范德瓦耳斯 （Van der Waals）提出在实际气体 分子中，两个中性分子间存在着 “分子力”。当时他并没有指出这 力的物理本质，现在知道瞬时偶极 矩引起的力是分子力的一种。如图 XCH002_005所示。 （2）范德瓦耳斯结合的特征 惰性元素因具有球对称，结合时排列最紧密以使势能最低，所以Ne、Ar、Kr、Xe的晶体都是面心立方结构。它们是透明的绝缘体，熔点特低，分别为24K、84K、117K和161K。
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 33 33=π =π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 3 3≈π=π?=π? = （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 126 1 12+?+?=6个 74.062r 224r 34 6x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
第五章 第五章 晶体中电子能带理论 思考题 1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 )()(r r k.r k i k u e =ψ, 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 )(r k u = r K K .)(1 m i m m e a N ∑Ω . 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数 r K k'h K k r ).()'()(h i h e a +∑+=ψ, 其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 得到 n k'.R i e =n k.R i e . 其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、 , 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、 1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321) (Ω=??b b b ,
第二章 固体的结合 晶体结合的类型 晶体结合的物理本质 固体结合的基本形式与固体材料的结构、物理和化学性质有密切联系 § 2.1 离子性结合 元素周期表中第I 族碱金属元素（Li 、Na 、K 、Rb 、Cs ）与第VII 族的卤素元素（F 、Cl 、Br 、I ）化合物（如 NaCl ， CsCl ，晶体结构如图XCH001_009_01和XCH001_010所示）所组成的晶体是典型的离子晶体，半导体材料如CdS 、ZnS 等亦可以看成是离子晶体。 1. 离子晶体结合的特点 以CsCl 为例，在凝聚成固体时，Cs 原子失去价电子，Cl 获得了电子，形成离子键。以离子为结合单元，正负离子的电子分布高度局域在离子实的附近，形成稳定的球对称性的电子壳层结构； , , , Na K Rb Cs Ne Ar Kr Xe F Cl Br I ++++? ? ? ? ? ? ?? 离子晶体的模型：可以把正、负离子作为一个刚球来处理； 离子晶体的结合力：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体； 一种离子的最近邻离子为异性离子； 离子晶体的配位数最多只能是8（例如CsCl 晶体）； 由于离子晶体结合的稳定性导致了它的导电性能差、熔点高、硬度高和膨胀系数小；
大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。 氯化钠型(NaCl 、KCl 、AgBr 、PbS 、MgO)(配位数6) 氯化铯型(CsCl 、 TlBr 、 TlI)（配位数8） 离子结合成分较大的半导体材料ZnS 等（配位数4） 2. 离子晶体结合的性质 1）系统内能的计算 晶体内能为所有离子之间的相互吸引库仑能和重叠排斥能之和。以NaCl 晶体为例，r 为相邻正负离 子的距离，一个正离子的平均库仑能：∑++?++3213 21,,2 /122322222102) (4)1('21n n n n n n r n r n r n q πε ——遍及所有正负离子，因子1/2—库仑作用为两个离子所共有，一个离子的库伦能为相互作用能的一半。 321,,n n n 一个负离子的平均库仑能：∑++??++3213 21,,2 /122322222102) (4)1()('21n n n n n n r n r n r n q πε ——遍及所有正负离子，因子1/2—库仑作用为两个离子所共有，一个离子的库伦能为相互作用能的一半。 321,,n n n 一个原胞有两个离子，其原胞的能量：∑++?++3213 21,,2 /122322222102)(4)1('n n n n n n r n r n r n q πε 即r q n n n r q n n n n n n 02 ,,2 /123 222102 4)()1('4321321πεαπε?=++?∑++ ∑++?=?++321321,,2 /123 2221)()1('n n n n n n n n n α——α:马德隆常数，完全取决于晶体的结构。 几种常见的晶体晶格的马德隆常数 离子晶体 NaCl CsCl ZnS 马德隆常数 1.748 1.763 1.638 相邻两个离子因电子云有显著重叠时的排斥能：或者 /r r be ?n r b
第三章 晶格振动与晶体热学性质习题课 1. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答] (1) 方便于求解原子运动方程. 由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. (2) 与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N . 3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 4. 讨论晶体中声子数目与温度的关系 [解答] 频率为i ω的格波的(平均) 声子数为 11 )(/-= T k i B i e n ωω , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为 ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0 3 22 /0 ? ????? ????? ??-==D B i D p c T k V e D n N . 作变量代换 T k x B ω = ，
第一章 第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为() 3 3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为() 2/3/43 R ,单位体积 晶体中的原子数为() 3 3 /4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为 () 3 2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为() 4/2 /43 R , 单位体积晶体 中的原子数为() 3 2 /4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 2/323 ???? ? ?=0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2 a 的晶体为何种结构? 若 =3a () k j +2 a +i 2 3a , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-, =-=23a a v 2a ()k j i +-, =-+=321a a a w 2 a ()k j i -+ . w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基 矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2a 的晶体为体心立方结构. 若
第三章习题参考解答
3.1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引 起的位移μnj 为： δj 为任意位相因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。 ) sin(j j j j nj naq t δωαμ++=2 1 )(sin 1 2 = ++? dt q n t T j j j T δαω根据 =2nj μ 2 2 22 1)(sin j j j j j q n t αδαωα=++解：其中T =2π/ωj 为振动周期，所以：
格波的平均动能： ∑?=n nj m E 2 2 1 μN m j j 224 1ωα=一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有： )(cos 212 22j j j j n j q n t m δαωωα++=∑平均动能=平均势能= 格波平均能量=kT 2 1 21其中：M =ρL
其中振幅 2 22j j Nm kT ωα=得： kT N m E j j 2 14122= =ωα所以有：2 2221j j nj Nm kT ωαμ ==所以，每个原子的平方平均位移： ∑∑∑===2 22 1 21j j nj n Nm kT ωαμμ其中：M =ρL
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应。 解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。 质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。
牛顿运动方程 体系有N个原胞，有2N个独立的方程方程的解： A,B有 非零解
山东大学试题专用纸 物理系-----年级----班 课程名称: 固体物理 共1页 学号: 姓名: 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( ), 长光学波的( )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的( )晶体, 它有( )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度( )零, 电子波矢的末端处在( )边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带( )电. 对导电有贡献的是 ( )的电子. 二. (25分) 1. 证明立方晶系的晶列[hkl ]与晶面族(hkl )正交. 2. 设晶格常数为a , 求立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距. 三. (25分) 设质量为m 的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为β1, 分子间相邻原子的力系数为β2, 分子的两原子的间距为d , 晶格常数为a , 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱ω(q ). 四. (30分) 对于晶格常数为a 的SC 晶体 1. 以紧束缚近似求非简并s 态电子的能带. 2. 画出第一布里渊区[110]方向的能带曲线, 求出带宽. 3.当电子的波矢k =a πi +a π j 时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数. (试题随答卷上交)
答案： 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族 的面指数为( 122 ), 其面间距为( a 32π ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数 目为( 3 3R V ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子. 二. (25分) 1.设d 为晶面族()hkl 的面间距为, n 为单位法矢量, 根据晶面族的定义, 晶面族()hkl 将c b a 、、分别截为l k h 、、 等份， 即 a =?n a cos (a ,n )==a cos (a ,n )=hd , b =?n b cos (b ,n )= a cos (b ,n ) =kd , c =?n c cos (c ,n )= a cos (c ,n ) =ld . 于是有 n =a d h i +a d k j +a d l k =a d (h i +k j +l k ). (1) 其中, i 、j 、k 分别为平行于c b a 、、三个坐标轴的单位矢量. 而晶列 []hkl 的方向矢量为 =R ha i +ka j +la k =a (h i +k j +l k ). (2) 由(1)、（2）两式得 n =2a d R , 即n 与R 平行. 因此晶列[]hkl 与晶面()hkl 正交. 2. 立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距 22222222l k h a a l a k a h d hkl hkl ++= ++==k j i K πππππ 三. (25分) 1.
3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位 移 nj μ为： s i n (n j j j j a t n a q μωδ =++ j δ为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。 具体计算每个原子的平方平均位移。 解：（１）根据2011 sin ()2 T j j j t naq dt T ωδ?++= 其中2j T π ω= 为振动周期， 所以222 21 sin ()2 nj j j j j j a t naq a μωδ=++= （２） 第j 个格波的平均动能 （３） 经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝1 2格波平均能量＝12 B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=， 所以 2 22 12B nj j j k T a Nm μω==。 而 每 个原子 的平方平均位移为： 222221()2 B n nj nj j j j j j j k T a Nm μμμω====∑∑∑∑ 。 ３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。当m M =时与一维单原子链一一对应。 解：（１）一维双原子链： 22q a a π π - ≤< 声学波：1 222 2 411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-????+??=--????+???? ?? 当m M =时，有 2 224(1cos )sin 2 aq aq m m ββω-= -= 。
光学波：1 222 2 411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+?? ??+??=+-????+???? ?? 当m M =时，有 2 2 24(1cos )cos 2 aq aq m m ββω+= += 。 （２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq a a m βωπ π βω-+?=??- ≤< ? ?=?? 与一维单原子链的解 224sin 2 aq q m a a βπ π ω=- ≤< 是一一对应的。 3．5已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为： 其中马德隆常数 1.75,9a n ==,平衡离子间距0 2.82r =?。 （１） 试求离子在平衡位置附近的振动频率。 （２） 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl 红外吸收频 率的测量只值61μ进行比较。 解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差0r r δ=-的二次方项。 22400002 00 ()() 1()()()2U r U r U r U r O δδδδδδδδδδ==?+?++=+?+?+?? （1） 其中 00 () 0U r δδδ=?+=? 为平衡条件。 由0r 已知可确定β： 2 1 0n q r n αβ-= 。 （2） 根据（1）式，离子偏离平衡位置δ所受的恢复力为：
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
班级 成绩 学号 Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质 姓名 (lattice vibration and its heat characteristics) 一、简要回答下列问题(answer the following questions): 1、在晶格常数为a 的一维单原子晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原子 振动状态有无不同? 试画图加以说明。 ［答］对于一维单原子链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π ／4a ，二者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原子振动状态不同。 如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原子的振动状态相同。 2、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ ［答］在简谐振动下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的 振动，每一个谐振子的振动模式称为简正振动模式。格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是是一回事，其数目等于晶体中所有原子的自由度之和，即等于3N 。 3、晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体中的声子数与温度T 之间有什么样的关 系？ ［答］频率为ωi 的格波的平均声子数为 ： 1 1)(/-= T k i B e n ωω 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。 以德拜模型为例。晶体中的声子数目为
ωωωωd g n N D )()('0 ? = 其中 令 T k x B ω = 则 123'2/0 3 3233 -= ? x T B e dx x C T k V N D θπ 在极低温度下，θD ／T →∞，于是 3 3 133233 20 3 3233 )2(23123'T n C T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑ ? ∞=∞ =-= ππ 即在温度极低时，晶体中的声子数目与T 3 成正比。 4、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？而在极低温度下，德拜模型为 什么与实验相符？ ［答］爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013 Hz ，属于光学支频率。而光学格波在低温时对 热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学波。所以爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是没有考虑声学波对热容的贡献。 在极低温度下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波因为未能被激发，得到的激发只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，温度越低，德拜模型与实验结果符合得越好。 5、格波与弹性波有何不同？ ［答］格波与弹性波相比都具有波的形式,但两者又有不同之处: (1) 对于一维单原子链格波解为: ) (naq t i n Ae u -=ω 弹性波的解为: ) (qx t i n Ae u -=ω 在弹性波的解中, x 表示空间任意一点,而在格波解中只能取na 格点的位置. (2) 弹性波的色散关系是线性的，ω＝cq, c 是弹性波的波速; 而格波的色散关系:|2 1 sin |2 aq m β ω= 所表示的是周期函数:)()2(q a q ωπ ω=+ , 且ω 有极大值m m βω2= 。 但当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系趋于一致: cq q m a =≈β ω 而且c 就是把原子链看成弹性链时,弹性波的波速. ωωπωωd C V d g 2 3 223 )(=
第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动 1. 准经典运动 晶体中电子在外加场中运动的讨论方法 ①解波动方程；②把电子当作经典粒子处理 1.1 波包和电子速度 波包中心0r 为粒子的中心，中心0k 称为粒子的动量，波包由布洛赫波组成， ()[] (,)()E k'i k'r t k' k' r t e u r ??-= ，其中，0 k'k k =+ （k 很小），0 0 () ()()k k E k'E k k E ≈+?? ，,,22 x y z k k k ?? - ≤≤ 电子的概率密度分布函数： 02 2 2 226sin(/2)sin(/2)sin(/2)|(,)||()|/2/2/2 k u v w r t u r u v w ????=???? ， 波包中心u = v = w = 0，001()k k r E t =? ，0226|(,)||()|k r t u r ?=? 取得最大值，波包形状与0 2|()|k u r 无关 粒子速度：0 01()k k k v E =? 当波包远远大于原胞（自由程远远大于原胞线度）才能把电子看作准经典粒子 1.2 在外力作用下状态的改变和准动量 d ()0d k k F v t -?= ，d d k F t = ，k 即为准动量 1.3 加速度和有效质量 对于准经典运动，00 1()k k k v E =? ，d d k F t = ，22d 1()d v a F E k t k k ααβββα ?==??∑ ， 2222 222 22222 2 1x x y x z x x y y y x y y z z z z x z y z E E E k k k k k a F E E E a F k k k k k a F E E E k k k k k ?? ??? ?????? ? ???? ? ? ? ??? ?= ? ? ?????? ? ? ???????? ? ???????? 倒有效质量张量：
固体物理复习要点 第一章，第二章的前三节，第三章的1,2,4节，第五章（第四节除外），第六章的前四节 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点 这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 (2)结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6．在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答： 7.密堆积结构包含哪两种？各有什么特点？ 答：(1)六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3
《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3
所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)
1对一维简单格子晶体，其晶格振动仅存在(声学)波，而一维复式晶体振动既有(声学)波，又有(光学)波 2在一维单原子链的晶格振动中，有（1）支声学波、（0）支光学波。 3声子是（晶格振动的能量量子化），其能量和准动量分别为 （）。 4晶格振动的能量量子称为( 声子)。 5对于三维包含有N个原胞的某晶体，每个晶体中含n 个原子，则其格波数为（3Nn），其中光学波支数为（（3n-3）N），声学支数为（3N）。 6长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波 7温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ 8对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答]设温度TH〉TL，由于（e?ω/kBTH，所以对同一个振动模式，温度?1）大于（e?ω/kBTL?1）高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 9晶体中声子数目是否守恒？ 频率为ω1的格波的(平均) 声子数为即每一个格波的声子数都与温度有关，因此，晶体中声子数目不守恒，它是温度的变量。 10晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？
11考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且最近邻的间距是a/2，试求k=0和k=π/a处的ω(k)，并粗略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2等。