《固体物理学》概念和习题 固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
固体物理作业 2.1 光子的波长为20 nm ，求其相应的动量与能量。 答： 由λ h P = ，υh E =得： 动量1 26 9 3410 313.310 2010626.6----???=???= = m s J m s J h P λ 能量J m s m s J c h h E 18 9 1 8 34 10 932.910 2010998.210626.6----?=???? ??===λ υ 2.2 作一维运动的某粒子的波函数可表达为： , 求归一化常数A? 粒子在何处的几率最大？ 答： 再由2 )()(x x ψω=得： 2 22)()(x a x A x -=ω 其中 a x ≤≤0； 3 2 2 2 2 2 462) (x A x aA x A a dx x d +-=ω 令 0)(=dx x d ω得：2 ,21a x a x = = 而a x =1时，0)(=x ω，显然不是最大； 故当2 2a x = 时，粒子的几率最大。 3.1 晶体中原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？在什么情况下排斥力和吸引力分别起主导作用？ 答：
在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离0r r 时, 吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离0r r 时, 排斥力起主导作用。 3.2 已知某晶体中相邻两原子间的相互作用势能可表达为： (1) 求出平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的结合能；(3) 若取m=2, n=10，两原子间的平衡距离为3 ?，晶体的结合能为4 eV/atom 。请计算出A 和B 的值。 答： 设平衡时原子间的距离为0r 。达到平衡时，相互作用势能应具有最小值，即)(r u 满 足： 0)(0 =??r r r u ，求得m n Am Bn r -=1 0) ( (1) 将0r 代入，得平衡时的结合能m n m n m Am Bn Am Bn A r u --+- =n 0)(B )( )( (2) 当m=2，n=10时，由（1）式得 5B=A 0r 8， 再由0r =3?，)(0r u -=4eV 代人（2）式可得： 10 96 10 01090.54 )(m eV r r u B ??=- =- 2 1920001002 10 50.4)(45)(m eV r r u r u r r A ??=-=??? ?????-=-B 4.1 一定温度下，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？ 答： 频率为的格波的(平均) 声子数为： .
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，
它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵)
固体物理作业 1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。 2.简单阐述下列概念： I.晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。 II.固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S 原胞）。 III.正格子、倒格子、布喇菲格子和复式格子。 3.晶体的重要结合类型有哪些，他们的基本特征为何？ 4.为什么晶体的稳定结合需要引力外还需要排斥力？排斥力的来源是什么？ 5.何谓声子？试将声子的性质与光子作一个比较。 6.何谓夫伦克耳缺陷和肖脱基缺陷？ 7.自由电子气体的模型的基本假设是什么？ 8.绝缘体中的镜带或能隙的起因是什么？ 9.试简述重要的半导体材料的晶格结构、特征。 10.超导体的基本电磁性质是什么？ 作业解答： 1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。 解答： I. 取一个阵点做顶点，以不同方向上的平移周期a、b、c为棱长，做一个平 行六面体，这样的平行六面体叫做晶胞。由很多个晶胞结合在一起构成晶 体。 II. 在空间点阵各个点上配置一些粒子，就构成了晶格。晶格是晶体矩阵所形成的空间网状结构。在网状结构的点上配置一些结构就构成了晶体。 III. 在空间无限排列最小的结构称为原胞，原胞是构成了晶体的最小结构。2.简单阐述下列概念： 解答： I . 晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。 晶格：又称晶架，是指的晶体矩阵所形成的空间网状结构——说白了就是晶胞的 排列方式。把每一个晶胞抽象成一个点，连接这些点就构成了晶格。 晶胞：顾名思义，则是衡量晶体结构的最小单元。众所周知，晶体具有平移对称 性。在一个无限延伸的晶体网络中取出一个最小的结构，使其能够在空间内密铺 构成整个晶体，那么这个立体就叫做晶胞。简而言之，晶胞就是晶体平移对称的 最小单位。 晶列：沿晶格的不同方向晶体性质不同。布喇菲格子的格点可以看成分裂在一系列相 互平行的直线系上,这些直线系称为晶列。 晶向：布喇菲格子可以形成方向不同的晶列,每一个晶列定义了一个反向，称为晶向。 晶面：在晶体学中，通过晶体中原子中心的平面叫作晶面。 晶系：晶体根据其在晶体理想外形或综合宏观物理性质中呈现的特征对称元素可 划分为立方、六方、三方、四方、正交、单斜、三斜等7类，是为7个晶系。 II 固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S 原胞。
第三章 晶格振动与晶体热学性质习题课 1. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答] (1) 方便于求解原子运动方程. 由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. (2) 与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N . 3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 4. 讨论晶体中声子数目与温度的关系 [解答] 频率为i ω的格波的(平均) 声子数为 11 )(/-= T k i B i e n ωω , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为 ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0 3 22 /0 ? ????? ????? ??-==D B i D p c T k V e D n N . 作变量代换 T k x B ω = ，
固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。 4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1， 单斜2， 正交 4， 四角 2， 立方3， 三角1， 六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区
第三章习题参考解答
3.1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引 起的位移μnj 为： δj 为任意位相因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。 ) sin(j j j j nj naq t δωαμ++=2 1 )(sin 1 2 = ++? dt q n t T j j j T δαω根据 =2nj μ 2 2 22 1)(sin j j j j j q n t αδαωα=++解：其中T =2π/ωj 为振动周期，所以：
格波的平均动能： ∑?=n nj m E 2 2 1 μN m j j 224 1ωα=一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有： )(cos 212 22j j j j n j q n t m δαωωα++=∑平均动能=平均势能= 格波平均能量=kT 2 1 21其中：M =ρL
其中振幅 2 22j j Nm kT ωα=得： kT N m E j j 2 14122= =ωα所以有：2 2221j j nj Nm kT ωαμ ==所以，每个原子的平方平均位移： ∑∑∑===2 22 1 21j j nj n Nm kT ωαμμ其中：M =ρL
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应。 解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。 质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。
牛顿运动方程 体系有N个原胞，有2N个独立的方程方程的解： A,B有 非零解
固体物理习题 一、 固体电子论基础 1．已知金属铯的E F =1.55eV ，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。 2．证明：在T=0K 时，费米能级0F E 处的能态密度为：0 023)(F F E N E N =， 式中N 为金属中的自由电子数。 3．已知绝对零度时银的费米能为5.5eV ，试问在什么温度下，银的电子摩尔比热和晶格摩尔比热相等？（银的德拜温度是210K ）。 4．如果具有bcc 结构的Li 晶体的晶格常数为：5.3=a ?，计算其费 米能(0F E )、费米温度及每个价电子的平均动能。 5．已知某种具有面心立方结构的金属中自由电子气的费米球半径为：a K F 3 1 20)12(π= ，其中a 为晶格参数，每个原子的原子量为63.5，晶体的质量密度为33/1094.8m kg D ?=，试求：（1）该金属的原 子价?=η（2）eV E F ?0= 6．写出三维波矢空间自由电子的量子态密度表达式。 7．费米能随着温度的变化趋势是什么？ 8．电子的比热系数、费米能附近电子的能态密度以及电子的有效质量之间的关系是什么？ 9．不同的导体之间接触电势差产生的根本原因是什么？ 二、 金属的电导理论 1．已知金属铜的费米能,12.7eV E F =在273K 温度下电阻率 cm ?Ω?=-81058.1ρ，求（1）铜中电子的费米速度，（2）平均自由 时间τ和平均自由程Λ。 2．证明对于具有球形费米面的金属，其电导率可以表示为： ()F F F E g v e τσ2231 = 式中e 为电子电量；F v 、F τ为费米面上电子的速度和驰豫时间（或平 均自由时间）；)(F E g 为费米面附近单位晶体体积的能态密度，因此
3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位 移 nj μ为： s i n (n j j j j a t n a q μωδ =++ j δ为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。 具体计算每个原子的平方平均位移。 解：（１）根据2011 sin ()2 T j j j t naq dt T ωδ?++= 其中2j T π ω= 为振动周期， 所以222 21 sin ()2 nj j j j j j a t naq a μωδ=++= （２） 第j 个格波的平均动能 （３） 经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝1 2格波平均能量＝12 B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=， 所以 2 22 12B nj j j k T a Nm μω==。 而 每 个原子 的平方平均位移为： 222221()2 B n nj nj j j j j j j k T a Nm μμμω====∑∑∑∑ 。 ３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。当m M =时与一维单原子链一一对应。 解：（１）一维双原子链： 22q a a π π - ≤< 声学波：1 222 2 411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-????+??=--????+???? ?? 当m M =时，有 2 224(1cos )sin 2 aq aq m m ββω-= -= 。
光学波：1 222 2 411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+?? ??+??=+-????+???? ?? 当m M =时，有 2 2 24(1cos )cos 2 aq aq m m ββω+= += 。 （２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq a a m βωπ π βω-+?=??- ≤< ? ?=?? 与一维单原子链的解 224sin 2 aq q m a a βπ π ω=- ≤< 是一一对应的。 3．5已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为： 其中马德隆常数 1.75,9a n ==,平衡离子间距0 2.82r =?。 （１） 试求离子在平衡位置附近的振动频率。 （２） 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl 红外吸收频 率的测量只值61μ进行比较。 解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差0r r δ=-的二次方项。 22400002 00 ()() 1()()()2U r U r U r U r O δδδδδδδδδδ==?+?++=+?+?+?? （1） 其中 00 () 0U r δδδ=?+=? 为平衡条件。 由0r 已知可确定β： 2 1 0n q r n αβ-= 。 （2） 根据（1）式，离子偏离平衡位置δ所受的恢复力为：
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将错误！未找到引用源。两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将错误！未找到引用源。组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
固体物理作业
固体物理作业 1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。 2.简单阐述下列概念： I.晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。 II.固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S原胞）。 III.正格子、倒格子、布喇菲格子和复式格子。 3.晶体的重要结合类型有哪些，他们的基本特征为何？ 4.为什么晶体的稳定结合需要引力外还需要排斥力？排斥力的来源是什么？ 5.何谓声子？试将声子的性质与光子作一个比较。 6.何谓夫伦克耳缺陷和肖脱基缺陷？ 7.自由电子气体的模型的基本假设是什么？ 8.绝缘体中的镜带或能隙的起因是什么？ 9.试简述重要的半导体材料的晶格结构、特征。 10.超导体的基本电磁性质是什么？ 作业解答： 1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。 解答： I. 取一个阵点做顶点，以不同方向上的平移周期a、b、c为棱长， 做一个平行六面体，这样的平行六面体叫做晶胞。由很多个晶胞 结合在一起构成晶体。
II. 在空间点阵各个点上配置一些粒子，就构成了晶格。晶格是晶体矩阵所形成的空间网状结构。在网状结构的点上配置一些结构就 构成了晶体。 III. 在空间无限排列最小的结构称为原胞，原胞是构成了晶体的最小结构。 2.简单阐述下列概念： 解答： I . 晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。 晶格：又称晶架，是指的晶体矩阵所形成的空间网状结构——说白了就是晶胞的排列方式。把每一个晶胞抽象成一个点，连接这些点就构成了晶格。 晶胞：顾名思义，则是衡量晶体结构的最小单元。众所周知，晶体具有平移对称性。 在一个无限延伸的晶体网络中取出一个最小的结构，使其能够在空间内密铺构成 整个晶体，那么这个立体就叫做晶胞。简而言之，晶胞就是晶体平移对称的最小 单位。 晶列：沿晶格的不同方向晶体性质不同。布喇菲格子的格点可以看成分裂在一系列相互平行的直线系上,这些直线系称为晶列。 晶向：布喇菲格子可以形成方向不同的晶列,每一个晶列定义了一个反向，称为晶向。 晶面：在晶体学中，通过晶体中原子中心的平面叫作晶面。 晶系：晶体根据其在晶体理想外形或综合宏观物理性质中呈现的特征对称元素可划分为立方、六方、三方、四方、正交、单斜、三斜等7类，是为7个晶系。 II 固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S 原胞。 固体物理学原胞（初级原胞）：如果只要求反映晶格周期性的特征（即只须概括空间三个方向上的周期大小），可取固体物理学原胞。它是晶格的最小重复单 元，结点只在顶点上，内部和面上皆不含其他结点。固体物理学原胞只含一 种原子。 结晶学原胞（惯用原胞）：在结晶学中选择重复单元时，除了要考虑晶体结构的周期性外，还要反映晶体的对称性。而能够不断重复得到整个 晶格又能完整地反映晶体对称的原胞称为结晶学原胞。结晶学原胞的 结点既可以在顶角上也可以在体心或者面心处。
固体物理学-期中考试试题及答案
2005级 2007-2008学年第二学期固体物理学期中考试答案 一、简要回答下列问题：（30分） （1）简要说明热传导系数的温度依赖关系。 [答]晶格热导率的温度依赖关系如下：高温情况下，T>>德拜温度ΘD ，对于所有晶格振动模，平均声子数∝T ，温度升高时，声子间相互“碰撞”的几率增大，自由程减小，自由程与温度成反比；且在高温下，热容与温度无关。因此高温情况下热导率与温度成反比。 低温时，尽管晶格热容遵从德拜T 3 定律，但热导率κ随温度的变化主要决定于平均自由程λ的指数因子，即κ 随温度降低而指数增大。 极低温度的情况下，声子的平均自由程可以增大到与声子被晶格缺陷散射所决定的平均自由程相比拟，甚至可以与晶体样品的有限尺寸相比拟。这时的平均自由程不再是非谐效应引起的本征自由程，而应是以缺陷的空间分布或样品的尺寸所决定的与温度无关的平均自由程。因此，热导率的温度依赖关系将与晶格热容的温度依赖关系（T 3）相同。 （2）声子数的物理意义是什么？晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体 中的声子数与温度T 之间有什么样的关系？ ［答］声子是指格波的量子，它的能量等于i ω 。一个格波，也就是一种振动模， 称为一种声子。所以，声子数代表晶格振动的格波数。 频率为ωi 的格波的平均声子数为 ： 1 1)(/-= T k i B e n ωω 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。
以德拜模型为例。晶体中的声子数目为 ωωωωd g n N D )()('0 ? = 其中 令 T k x B ω = 则 1 23'2/0 3 3233 -= ? x T B e dx x C T k V N D θπ 在极低温度下，θD ／T→∞，于是 33323 233233310332'()212B B x n V k T Vk x dx N T C e C n ππ∞ ∞===-∑? （3）共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ [答]对电子束缚能力相同或相近的两个原子,彼此靠近时,各自贡献一个电子,为两个原子共有,从而使其结合在一起,这种结合,称为共价结合,或原子结合。 能把两个原子结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键。它有两个特点：饱和性和方向性。饱和性指一个原子只能形成一定数目的共价键。按照泡利不相容原理，当原子中的电子一旦配对后，便不能再与第三个电子配对。因此当一个原子与其它原子结合时，能够结合成共价键的数目有一个最大值，这个最大值取决于它所含的未配对的电子数。设N 为一个原子的价电子数目，对于ⅣA ，ⅤA ，ⅥA ，ⅦA 族元素，价电子壳层共包含8个量子态，最多能容纳（8－N ）个电子，形成（8－N ）个共价键。这就是共价结合的“饱和性”。 当两原子未配对的自旋相反的电子结合成共价键后，电子云就会发生交叠，而且共价键结合得越紧密，相应的电子云交叠的也越厉害。因此，两原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最大的方位，也就是电子的波函数为最大的方向。这就是共价键具有“方向性”的物理本质。
宝鸡文理学院试题 课程名称 固体物理 适 用 时 间 2010年1月12日 试卷类别 B 适用专业、年级、班06级物理教育1-3班 一、简要回答以下问题：(每小题6分，共30分) 2、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 5、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 1、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大， q 的取值将会怎样？ 二、（20分） 利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为 （1）简单立方π / 6；（2 / 6； （3 / 6（4 / 6；（5 / 16。 三、（10分） 已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为 2122)(2)(--= ωωπωρm N 式中m ω是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N 。 四、（20分） 试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 五、计算题 （每小题10分，2×10＝20分） 用钯靶K α X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm 3。 求： (1)、X 射线的波长； (2)、阿伏加德罗常数。
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准 课程名称 固体物理学 适 用 时 间 2010年1月 12日 试卷类别 B 适用专业、年级、班 06物理教育1、2、3班 注意事项 一、简要回答以下问题（每小题6分，5×6＝30分） 1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。 2. 金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 3. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为 的声子平均数为11 )()/()(-=T k q w j B j e q n η 对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。 4.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 5. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大， 的取值将会怎样？ 解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第 个原子和第 个原子的运动情况一样，其中 ＝1，2，3…。
班级 成绩 学号 Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质 姓名 (lattice vibration and its heat characteristics) 一、简要回答下列问题(answer the following questions): 1、在晶格常数为a 的一维单原子晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原子 振动状态有无不同? 试画图加以说明。 ［答］对于一维单原子链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π ／4a ，二者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原子振动状态不同。 如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原子的振动状态相同。 2、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ ［答］在简谐振动下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的 振动，每一个谐振子的振动模式称为简正振动模式。格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是是一回事，其数目等于晶体中所有原子的自由度之和，即等于3N 。 3、晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体中的声子数与温度T 之间有什么样的关 系？ ［答］频率为ωi 的格波的平均声子数为 ： 1 1)(/-= T k i B e n ωω 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。 以德拜模型为例。晶体中的声子数目为
ωωωωd g n N D )()('0 ? = 其中 令 T k x B ω = 则 123'2/0 3 3233 -= ? x T B e dx x C T k V N D θπ 在极低温度下，θD ／T →∞，于是 3 3 133233 20 3 3233 )2(23123'T n C T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑ ? ∞=∞ =-= ππ 即在温度极低时，晶体中的声子数目与T 3 成正比。 4、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？而在极低温度下，德拜模型为 什么与实验相符？ ［答］爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013 Hz ，属于光学支频率。而光学格波在低温时对 热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学波。所以爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是没有考虑声学波对热容的贡献。 在极低温度下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波因为未能被激发，得到的激发只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，温度越低，德拜模型与实验结果符合得越好。 5、格波与弹性波有何不同？ ［答］格波与弹性波相比都具有波的形式,但两者又有不同之处: (1) 对于一维单原子链格波解为: ) (naq t i n Ae u -=ω 弹性波的解为: ) (qx t i n Ae u -=ω 在弹性波的解中, x 表示空间任意一点,而在格波解中只能取na 格点的位置. (2) 弹性波的色散关系是线性的，ω＝cq, c 是弹性波的波速; 而格波的色散关系:|2 1 sin |2 aq m β ω= 所表示的是周期函数:)()2(q a q ωπ ω=+ , 且ω 有极大值m m βω2= 。 但当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系趋于一致: cq q m a =≈β ω 而且c 就是把原子链看成弹性链时,弹性波的波速. ωωπωωd C V d g 2 3 223 )(=
固体物理复习要点 第一章，第二章的前三节，第三章的1,2,4节，第五章（第四节除外），第六章的前四节 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点 这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 (2)结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6．在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答： 7.密堆积结构包含哪两种？各有什么特点？ 答：(1)六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。