连续传递函数离散化的方法与原理

目录

第一章模拟化设计基础 1 第一节步骤 1 第二节在MATLAB中离散化 3 第三节延时e-Ts环节的处理 5 第四节控制函数分类 6 第二章离散化算法10 摘要10 比较11 第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11 第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11 第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11 第四节后向差分近似法12 第五节前向差分近似法14 第六节双线性近似法(tustin) 15 第七节预畸双线性法(prevarp) 17 第八节零极点匹配法(matched) 18 第三章时域化算法19 第一节直接算法1—双中间变量向后递推19 第二节直接算法2—双中间变量向前递推20 第三节直接算法3—单中间变量向后递推21 第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21 第五节串联算法22 第六节并联算法23 第四章数字PID控制算法24 第一节微分方程和差分方程25 第二节不完全微分25 第三节参数选择26 第四节c51框架27 第五章保持器33 第一节零阶保持器33 第二节一阶保持器30 附录两种一阶离散化方法的结果的比较31

第一章 模拟化设计基础

数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。

将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。

第一节 步骤

步骤1 模拟控制器的处理

在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下

图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟

控制器D(s)。事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。 然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢？还没有这方面的实际经验。

D(s)x

u

e

-模拟控制器

1-e -Ts

s

G(s)对象

以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。

x

u

e

-D(s)=8s+2

s+15

.G(s)=20

s(s+2)

步骤2 离散化模拟控制器

离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<0.1Tp ，Tp 为被控对象时间常数，或T=(0.125～0.25)τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取0.05秒。 假设模拟控制器为s 2

D s 8s 15

+=⋅+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为：

转换结果为：

x

u

e

-D(z)=

6.1091(z-0.9048)

z-0.4545

D(s)=8s+2

s+15.

G(s)=

20s(s+2)

步骤3 检验数字控制器的性能

数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。 直流增益 dcgain(dz)

返回直流增益1.0667

ds=zpk(-2,-15,8) %建立模拟控制器的s 传递函数

dz=c2d(ds,0.05,'tustin') %将模拟控制器按tustin 方法转换为z 传递函数的数字控制

频率特性 bode(ds,'r',dz,'g') 伯德图，见下页左图 零极点分布 pzmap(dz) 零极点分布图，见下页右图

步骤4 离散化控制对象

为了进行模拟仿真，需要对控制对象进行离散化，由于步骤1所说的原因，应把被控对象视为零阶保持器与原对象的串

连，即应对Ts

1e G s s ()--进行离散化，这时可在c2d 函数中使用零阶保持器(zoh)方法，如果认为不需要添加零阶保持器，即

直接对G(s)离散化，则应在c2d 函数中使用冲击响应不变法（imp ）。 借用零阶保持器(zoh)方法，将对象20

G s s s 2()()

=+带一阶保持器离散化的过程如下：

转换结果为：

D(z)x

u

e -D(z)=

6.1091(z-0.9048)

z-0.4545

G1(z)=Z(1-e

-Ts

s

G(s))G1(z)=

0.024187(z-0.9672)(z-1)(z-0.9048)

步骤5 模拟仿真

求离散系统的闭环传递函数和连续系统的闭环传递函数。 离散系统的闭环传递函数为：CZ D z G 1z TR 1D z G 1z ()()

()()=+

连续系统的闭环传递函数为：CS D s G s TR 1D s G s =+()()

()()

用MATLAB 算TR CZ 与TR CS ：

结果为： C Z 2 0.14776(z-0.9048)(z-0.9048)(z-1)(z-0.4545)(z+0.9672)T R (z-0.4545)(z-0.9047)(z-0.9048)(z-1)(z -1.307z+0.5975)

=

trcz=dz*g1z/(1+dz*g1z) trcs=ds*gs/(1+ds*gs)

...... %模拟控制器D(s)转换为D(z)的过程见前 gs=zpk([ ],[0,-2],20) %建立对象的s 传递函数

g1z=c2d(gs,0.05,'zoh') %借用c2d 函数进行带零阶保持器的对象的离散化

2CS 22160s(s +2)(s +15)TR s(s +15)(s +2)(s +15s +160)

=

用MATLAB 函数STEP 画阶跃响应图形：

响应图形为：

步骤6 求数字控制器的时域表达式 上面已经求出， 连续传递函数s 2

D s 8s 15

+=+⋅

()的tustin 离散式为

1

1

U z 61091z 09048 6.1091-5.527z D z E z z 0454*******z ---===

--().(.)()()..，或 11U z 61091E z 5527E z z 04545U z z ().().().()--=-+。 对上式取z 反变换，得时域表达式u k 61091e k 5527e k 104545u k 1=--+-().().().()，根据此式就可以写出计算u k ()的程序代码来了。

除上述步骤之外，在编写程序代码时，还需要考虑几个问题： ① ADC 位数

ADC 位数是一个硬件问题，在系统设计时，就应该结合控制算法，仔细分析ADC 位数对控制精度的影响。 ② 数据类型

在控制算法中有3种数据类型可以采用：无符号整数，定点数，浮点数。我们知道，无符号整数运算既是最简单和速度最快的运算，又是定点数运算和浮点数运算的基础。在数据动态范围比较小的情况下，应尽可能用无符号整数运算代替定点数运算和浮点数运算。

浮点数运算是一整套运算，包括加，减，乘，除，对阶，规格化，溢出处理等一系列子程序，使用浮点数的程序，将占用比较多的代码空间和比较长的运行时间。不论使用汇编语言还是c 语言，对于是否使用浮点数运算，都应进行比较仔细的酌斟。 ③ 数值计算误差

数值计算引入的误差有3个方面，一是定点数字长不够或者浮点数有效数字过少，一是两个相近的数相减，一是加减乘除次数过多。在程序设计中，应优化算法以避免计算误差的引入。

hold on %图形保持

step(trcs,'r',2) %画连续系统的阶跃响应图,红色,终止时间为2秒 step(trcz,'b',2) %画离散系统的阶跃响应图,兰色,终止时间为2秒

第二节 在MATLAB 中离散化

1. 建立s 降幂传递函数 ① 建立多项式型s 降幂传递函数 方法1. sys = tf(num,den) 方法

2. s = tf('s')，再令sys = f(s) 例： 已知03215s 3G 025s 125s s

...+=

++，用tf 函数建立多项式型s 降幂传递函数，0G tf 153********([.],[..])=，

若G 0以零极点形式给出，即已知0305s 1G s s 1025s 1(.)

()(.)

+=

++，仍可用tf 函数建立多项式型s 降幂传递函数，但需用多项式乘

法函数conv 配合，G0=tf(conv([3],[0.5 1]),conv(conv([1 0],[1 1]),[0.25 1])) ② 建立零极点型s 传递函数 方法1. sys = zpk(z,p,k)

方法2. s = zpk('s')，再令sys = f(s)。 2. 传递函数的转换

① 将任意形式的s 传递函数转换为s 降幂传递函数 sys = tf(sys) ② 将任意形式的s 传递函数转换为s 零极点传递函数 sys = zpk(sys)

3. 建立z 传递函数

① 将连续传递函数转换为离散传递函数 sysd = c2d(sysc,t,method) ② 建立多项式形式的z 传递函数 方法1. sys = tf(num,den,∆t) 方法2. z = tf('z',∆t)，再令sys = f(z) ③ 建立零极点z 传递函数 方法1. sys = zpk(z,p,k,∆t)

方法2. z = zpk('z',∆t)，再令sys = f(z) 4. 建立z -1格式的传递函数

直接根据分子和分母建立z -1格式的传递函数

sys_z = filt(num,den,∆t)

当已有多项式形式的z 降幂传递函数时，按以下步骤：

① 取z 降幂传递函数a 的分子多项式系数 [num,den] = tfdata(sys_s,'v') ② 建立z -1格式的传递函数

sys_z = filt(num,den,∆t)

5. 将多项式形式的高阶z -1降幂传递函数转换为并联传递函数，按以下步骤： ① “手工”将z -1降幂传递函数a 改写成多项式形式的z 降幂传递函数b 。 ② 取z 降幂传递函数b 的分子多项式系数num 和分母多项式系数den 。

③ 利用residue 函数取z 降幂传递函数b 的分项分式，[an ad ak]=residue(num,den)。

分项结果可能出现共轭复数，在这种情况下应将含有共轭复数的分式合并成二次有理质分式。 ④ 根据分项结果手工写出z 降幂多项式形式的并联表达式。

⑤ “手工”将z 降幂多项式形式的并联表达式改写成z -1降幂多项式形式的并联表达式。

⑥ “手工”对z -1降幂多项式形式的并联表达式中的每一个分式项降阶，即将每一个分式项变形，使得分式项的分子的阶次比分母的阶次低1阶，变形完毕再将全部常数项合并。 举例

设有z -1降幂传递函数 1

2

12

010186z 00864z tz 01127z 027z ----++=

-+..._..

改写成z 降幂传递函数 2201z 0186z 00864

tz 01z 127z 027

..._..++=

-+，

取分项矢量 [an ad ak]=residue(nz,dz) 得 an=[0.5101 -0.1971] ad=[1.0000 0.2700] ak=0.1

手工写分项分式 1110510105101z 0510105101z 11z 1z ....---==-+---， 令 105101t z p 11z ._-=

-

1110197101971z 073

073z 0271027z 1027z .......------==+

---， 令 1

073tz p21027z ._.--=- 又令 t z p 3010510107303199_....=-+=

故 1

1

05101073t z 0t z p3t z p

1t z p2031991z 1z ..____.--=++=+-

-- 验证 12

1

1

12

05101073010186z 008637z 031991z 1z 1127z 027z ........------+++

-=

---+

实际上，大多数数字控制器的传递函数都是一阶或者二阶的，所以需要分解的并不是很多。 6. 将高阶z -1降幂传递函数生成串联传递函数 使用zpk 函数 sys_zpk= zpk(sys_pl)

零极点的概念是相对于z 而不是相对于z -1说的，但对于以z -1为变量的降幂传递函数sys_pl 来说，仍然可以用zpk(sys_pl)

生成以z -1为变量的因式积形式传递函数，权且也称为零极点形式。zpk 函数对于z 降幂传递函和z -1降幂传都能得到合理的结果，原因是zpk 函数的作用就是把分子多项式和分母多项式分别进行因式分解。

第三节 延时环节e -Ts 的处理

在建立s 传递函数的LTI 模型时，对于延时环节e -T s ，可按如下方法处理： 1. 在tf 函数中使用属性’inputdely’或者’iodely’ ，例如： >> tf([1 -1],[1 3 5],'inputdelay',0.35) 将返回以下形式的传递函数 s – 1

exp(-0.35*s) * --------------

s^2 + 3 s + 5

使用这个方法不能建立形如Ts

1e s --的传递函数，因为带延时的传递函数不能与不带延时的传递函数相加，但可以使

用c2d 进行离散化，但要求延时时间t 必须是采样时间∆t 的整数倍，若不是整数倍，则在转换时不理会延时环节，例如：

用tf 函数建立2个传递函数，主体部分相同，但一个无输入延时，一个有输入延时0.35s ，

>> a=tf([1 -1],[1 4 5]) s - 1 ---------------- s^2 + 4 s + 5 >> a1=tf([1 -1],[1 4 5],'iodelay',0.35) s - 1

exp(-0.35*s) * --------------- s^2 + 4 s + 5

若采样时间为0.05，因为延时时间是采样时间的整数倍，转换结果的主体部分完全一样： >> c2d(a,0.05,'imp') z^2 - 1.039 z + 9.146e-018

------------------------------ sampling time ： 0.05

z^2 - 1.807 z + 0.8187 >> c2d(a1,0.05,'imp') z^2 - 1.039 z + 9.146e-018

z^(-7) * ----------------------------- sampling time ： 0.05 z^2 - 1.807 z + 0.8187

若采样时间为0.1，因为延时时间不是采样时间的整数倍，结果的主体部分不一样： >> c2d(a,0.1,'imp') z^2 - 1.06 z + 4.349e-018

----------------------------- sampling time ： 0.1 z^2 - 1.629 z + 0.6703 >> c2d(a1,0.1,'imp') 0.768 z - 0.851

z^(-3) * -------------------- sampling time ： 0.1 z^2 - 1.629 z + 0.6703 2. 将e -Ts 有理化

设()Ts

ts G s e

-=⋅，因e -Ts 的一阶有理表达式是 Ts

121Ts s 2T e

121Ts s 2T ---+≈=++，故

Ts 2s n s T ts G s e G s 2d s s T ()()()()--+

=≈=+

。 为了对ts 进行离散化，首先使用tf 函数建立lti 模型的ts 。若t s t f n d (,)=，则t z c2d t s t i m p (,,'')=∆。 3. 在离散化时使用恒等式T s n

t

z

e

-

-∆=

设Ts

ts G s e ()

-=，因T

s n

t

z

e -

-∆=，采样时间为Δt ，若T=m Δt ，则m

ts G s z ()-=，因为离散化时总是认为T 1t =⋅∆，

故取1

ts G s z ()-=。

根据以上假设，用MATLAB 的c2d 函数对g(s)进行离散化，则_02(,,'')G z c d G s t i m p =∆，进而1

Gz Gz 0z _

-=。

则__n

sys z sys za z

-=⋅。

第四节 控制函数分类

以下函数在control toolbox 中，这里所述仅限于siso 模型 1 创建多项式形式的传递函数

sys = tf(num,den) 创建一个s 降幂多项式连续传递函数sys ，分子多项式系数和分母多项式系数分别为num 和den 。 sys = tf(num,den,∆t) 创建一个z 降幂离散传递函数sys ，t 是采样时间，行矢量num 和den 同上。

sys = tf(sys) 把一个任意的lti 模型sys 转换成多项式传递函数，例如把零极点模型转换成多项式传递函数。

sys = tf 创建一个空的tf 对象。 sys = tf(m) 指定静态增益m 。 2 创建零极点形式的传递函数

sys = zpk(z,p,k) 创建一个零极点模型的连续传递函数sys ，零极点矢量分别是z 和p ，增益是k 。

sys = zpk(z,p,k,∆t) 创建一个零极点模型的离散传递函数sys ，零极点矢量分别是z 和p ，增益是k ，采样时间是∆t 。在零极点对象中，如果没有零点，则z=[]。 sys = zpk 创建一个空的零极点对象。 sys = zpk(d) 指定静态增益d 。 3 创建任意形式的传递函数

s = tf('s') 指定多项式传递函数变量为s 变量

z = tf('z',∆t) 指定多项式传递函数变量为z 变量，∆t 为采样时间 形如

10

s 025s 1005s 1(.)(.)

++的传递函数，既不能直接用tf 函数建立，也不能直接用zpk 函数建立。

定义了s=tf('s')后，写出赋值式f=10/(s*(0.25*s+1)*(0.05*s+1))，回车后即可得到多项式型传递函数

10f 00125s 303s 2s .^.^=

++，再令f1=zpk(f)，可得1800

f s s 20s 4()()

=++。 s = zpk('s') 指定零极点传递函数变量为s 变量

z = zpk('z', ∆t) 指定零极点传递函数变量为z 变量，∆t 为采样时间

定义了s = zpk('s')，写出赋值式f=10/(s*(0.25*s+1)*(0.05*s+1))，回车后即可得到零极点型传递函数1800

f s s 20s 4()()

=++。

4 建立z -1降幂离散传递函数

sys = filt(num,den,∆t) 返回z -1降幂离散传递函数，num 和den 分别是分子和分母多项式系数，∆t 是采样时间。 sys = filt(m) 返回增益离散传递函数。 5 连续函数离散化

sysd = c2d(sysc,t,method)把连续传递函数sysc 转换成采样时间为

t 的离散传递函数，字符串method 为离散化方法：

'zoh'(零阶保持，即阶跃响应不变)，'foh'(一阶保持)，'imp'(冲击响应不变,v6以上版本)，'tustin' (双线性近似)，'prewarp'(带预畸变的双线性近似)，'matched'(零极点匹配)。

注： ① 缺省的方法是'zoh'

② 'foh'的算法是1221D s 1z D z Z s Tz ()()()[]---=而不是12

2

Ts 11z D z Z D s T s ()

()[()]

-+-=，这一点可以通过验证证实，验证方法是，令22D s z 2z 1

D z c2d T i m p Tz s

()()(,,'')

-+=，但此结果中，D z ()的分子和分母将含有公因式，所以应进一步用zpk 函数把D z ()表示成零极点形式，然后用“手工”的方法写出不含公因式的()D z 来，可以看到，最后的结果与用foh 方法得到的结果完全一致。

③ 当使用'prewarp'方法时，临界频率wc(in rad/sec)作为第四个输入来指定，如sysd = c2d(sysc,t,'prewarp',wc) 。另有1种形式是，opt = c2dOptions('Method','tustin','PrewarpFrequency',.5), c2d(ds,.05,opt)。 6 取多项式模型传递函数的分子和分母的系数矢量

[num,den] = tfdata(sys,'v') 对于siso 模型sys 返回作为分子和分母系数的单行矩阵num 和den 。 [num,den,t] = tfdata(sys,'v') 同上，同时返回采样时间t 。

7 取零极点模型传递函数的零点和极点的单行矩阵

[z,p,k] = zpkdata(sys,'v') 返回lti 模型sys 的零极点矢量z 和p ，增益k 。 8 取e -T s 近似式

[num,den] = pade(t,n) 返回e -T ·

s 的n 阶pade 近似式，行矢量num 和den 是s 的降幂多项式系数。 e -Ts 的一阶有理表达式是 Ts

12

1Ts s 2T e

121Ts s 2T

---+

≈=++

。 e -T ·

s 的高阶有理表达式是 23Ts

231Ts Ts 1Ts 2848e 1Ts Ts 1Ts 2848

()()...

()()...

--+-+≈++-+ 9 画阶跃响应图

step(sys) 画出由tf ，zpk ，or ss 等函数创建的lti 模型sys 的阶跃响应图。

step(sys,tfinal) 画出lti 模型sys 从t=0到t=tfinal 的阶跃响应图。对于未指定采样时间的离散模型，tfinal 被解释为采样

的数目。

step(sys,t) 使用用户提供的矢量t画阶跃响应图。对于离散时间模型，t的形式应该是ti: ∆t:tf，在这里，∆t是采样时间。对于连续时间模型，t的形式应该是ti:dt:tf，在这里，dt变成对于连续系统的近似离散化的采样时间。Ti是开始时间，tf是终止时间。因为阶跃输入总是假定在t=0开始，所以通常不考虑ti和tf，即只使用一个终止时间t。

step(sys1,sys2,...,t) 在一个单个的图上画出多个lti模型sys1，sys2，... 的阶跃响应图，时间矢量t是可选择，还可以以step(sys1,'r',sys2,'y',sys3,'gx')的方式对每一个系统指定颜色，线型和标记。

[y,t] = step(sys) 返回用于仿真的时间t的输出响应y，但并没有图形画在屏幕上，如果sys有ny输出和nu输入和lt = length(t)，y就是一个尺寸为[lt ny nu]的阵列，而y(:,:,j)给出第j个输入通道的阶跃响应。

10 画脉冲响应图

impulse 脉冲响应函数，用法与step相同

11 画频率响应图--伯德图(连续或离散)

bode(sys) 画伯德图

bode(sys,{wmin,wmax}) 在频率wmin，wmax(in radians/second)之间画伯德图

bode(sys,w) 按指定的频率矢量w(in radians/second)画伯德图

bode(sys1,sys2,...) 画多个lti模型sys1，sys2，...的伯德图

bode(sys1,sys2,...,w) 按指定的频率矢量w(in radians/second)画多个lti模型sys1，sys2，...的伯德图

以下函数在符号工具箱symbolick中，需注意，在使用这些函数前，要对所使用的变量进行符号说明，例如：

syms a t %是用空格分隔而不是用逗号分隔

a=sin(t)

L=laplace(a)

12 福里哀变换fourier

反福里哀变换ifourier

13 拉普拉斯变换laplace

反拉普拉斯变换ilaplace

14 z变换ztrans

反z变换iztrans

注：以上3 种变换必须是符号表达式，例如：

syms t

laplace(sin(t))

15 改善公式的可读性pretty

16 多项式转换为符号表达式poly2sym

17 化简符号表达式simplify

18 取符号表达式的分子和分母numden

以下函数在符号工具箱polyfun中，在公式变换中可能会用到

19 部分分式展开[an ad ak] = residue(n,d)

n和d分别为原分式的分子和分母矢量，an和ad分别为分项式的分子和分母矢量，ak为整式部分。这是一个数学公式，在数字控制器程序设计中，利用部分分式展开的方法，把高于2阶的分式变换为不高于2阶的分式之和，从而把高阶传递函数算法变为低阶传递函数并联的算法。在使用这个方法时，不论在分子矢量中还是在分母矢量中，如果有共轭复数出现，则应将其整合为2阶质因式。

20 多项式乘法 c = conv(a,b) a×b=c

21 多项式除法[q,r] = deconv(b,a) b÷a=q...r，即b = conv(a,q) + r

第二章 离散化算法

连续传递函数离散化的核心环节，就是将控制器的s 传递函数转换为z 传递函数。离散化后，系统应该仍有好的稳定性，好的控制精度，而不是要求转换前后，两个数学公式等值。因此，离散化方法有多种。本章对这些方法的转换原理和由来进行了演绎。

离散化后得到的离散传递函数的稳定性，没有进行讨论，仅列了一张表进行比较。离散的结果，虽然可能会控制精度降低，应该认为，这不是主要问题。真正影响控制精度的因素，主要还是采样周期的长短。

一般情况下，由连续到离散的设计最好多实验几种方法（通过仿真，得出满意的结果）。因为匹配零、极点映射法、双线性变换法都能得出比较满意的结果，初步设计时，可以试用这些方法。

而其实，后向差分近似法也是合理的选择。但MATLAB 的c2d 函数中没有这一方法，在该方法的介绍之后，给出了一个可由MATLAB 引用的m 文件函数。

摘要

3种保持器法 保持器法即将s 函数串联上一个保持器后取z 变换，也可以从“对输入信号的响应不变”的角度导出。 无保持器法

D z Z D s ()[()]= （阶跃响应不变）

imp

零阶保持器法 z 11

D z Z D s z s

()[()]-= （阶跃响应不变）

zoh

一阶保持器法 22z 11

D z Z D s Tz s

()()[()]-=

（斜坡输入不变）

foh

2

2

2z 1Ts 1

D z Z D s Tz s

()

()[()]-+=

（一阶保持器）

MATLAB 中无此方法

4种近似法 近似法将s 与z 的无理关系z

s T

ln =近似地化为有理关系，主要应用于传递函数从连续到离散的变换。 后向差分近似法 z 1s Tz

D z D s ()()|

-=

= MATLAB 的C2D 函数中没有这个方法

前向差分近似法 z 1s T

D z D s ()()|-=

= MATLAB 的C2D 函数中没有这个方法

双线性近似法

2z 1s T z 1

D z D s ()()|

-=

+= tustin 预畸双线性近似法 1

1

z 1s T z 1tan 2D z D s ()()|

ω-=

+= ，ω1为进行预畸变的频率 prevarp

增益匹配： s 0z 1D s D z |()||()|===或j 1

1D j D e |()||(

)|ω

ω=

1种匹配法 匹配法完全从控制学的角度看问题，也是应用于传递函数从连续到离散的变换。 零极点匹配法 若 s 12m 12n K s z s z s z D s s p s p s p ()()...()()()(

)...()---=---， matched

则

12m 12n z t z t z t n m z p t p t p t K z e z e z e z 1D z z e z e z e ()()...()()

()()()...()∆∆∆-∆∆∆---+=

---， 或者 12m 12n z t z t z t n m 1

z p t p t p t K z e z e z e z 1D z z e z e z e ()()...()()

()()()...()

∆∆∆--∆∆∆---+=

---，

确定增益k z ： a 令s 0z 1D s D z |()||()|===，

b 若D(s)分子有s 因子，例如s

D s s 1

()=

+， 可以令 s z 1D s D z |()||()|=∞=-=，也可以令 1

j 1D j D e |()||(

)|

ωω=

比较

离散化方法

变换公式

映射关系

特点

冲击响应不变法 Z 变换法 imp

D z Z D s ()[()]=

Ws

2

Ws 2

1

脉冲响应采样值相同；

容易产生频率混迭现象，

s 2W T

π

=

，为采样角频率。 阶跃响应不变法

零阶保持器法 zoh

z 1D s D z Z z s

()

()[]-=

阶跃响应采样值相同； 稳定增益不变。 斜坡响应不变法

一阶保持器法 foh

2

2

2z 1Ts 1

D z Z D s Tz s ()

()[()]

-+=

2

2z 11

D z Z D s Tz s

()()[()]-=

向前差分法

z 1

s T

D z D s ()()|

-=

=

1

1T

D(s)稳定，D(z)可能不稳定；等效精度差。 向后差分法

z 1s Tz

D z D s ()()|

-=

=

1

变换计算简单；

②如果D(s)稳定，D(z)稳定；

③离散滤波器的过程特性及频率特性有一定的失真，需要较小的采样周期T 。

双线性变换法 tustin

2z 1s T z 1

D z D s ()()|

-=

+= 1

D(s)稳定，D(z)也稳定；

低频特失真，但无频率混迭现象。

稳定增益不变； 具有串联特性。

预修正双线性变换法

prevarp

1

z 1

s T z 11tan 2

D z D s ()

()()|

ω-=

+= 有前一种变换的特点; 还能保证在关键频率ω1处，幅频特性不变。

零极点匹配法 matched

1

Z 域与s 域零极点位置一一对

应；

当没有零点时，补充z=1的零点可避免频率混迭现象。

第一节 冲击响应不变法(imp ，无保持器直接z 变换法)

D z Z D s ()[()]=

公式推导1— 无保持器，直接转换：

D z Z D s ()[()]=

公式推导2— 按冲击响应不变的原则：

Z 1D s D z Z D s 1

[()]

()[()]⋅=

= （冲击响应不变，Z 1D s ⋅[()]中的1表示L 0δ(())） 第二节 阶跃响应不变法(zoh ，零阶保持器z 变换法)

Ts 1e z 1D s D z Z D s Z s z s ()()[()][]---==，式中T 为采样周期，所以Ts 1

e z --=

公式推导1— 按串联零阶保持器的原则：

因为零阶保持器的s 传递函数为Ts 1e s --，故Ts 1e z 11

D z Z D s Z D s s z s ()[()][()]---=⋅=

公式推导2— 按阶跃响应不变的原则： 设阶跃信号e t 1()=，则1E s s

()=

，z E z z 1()=-，按照下一节对斜坡响应不变法的推导，立即可以写出

1

Z D s Z E s D s z 11

s D z Z D s z E z z s z 1

[()]

[()()]()[()]()-===-

第三节 斜坡响应不变法(foh ，一阶保持器z 变换法)

2

2z 11

D z Z D s Tz s ()()[()]-=，按斜坡响应不变原则导出，也可按一阶保持器原则配合e -T s 的台劳近似式得出，foh 方法使用此式

Ts 1222222

1Ts 1e 1z Ts 1z 1Ts 1

D z Z D s Z

D s Z D s T s T s Tz s ()()()[()()][()][()]--+--+-+===，从一阶保持器的思路推出

以上2个公式中T 为采样周期，两式差异请参看“

附录 两种一阶离散化方法的结果的比较”。 公式推导1— 按斜坡响应不变的原则：

设连续滤波器为D(s)，输入为斜坡函数e(t)=t ，则2

1E s s ()=

，采样输出为u s (kT)。按z 变换的定义，u s (kT)的z 变换就是

()u t 的z 变换，故S 2

1

U z Z D s s ()[

()]=。

又设离散滤波器的传递函数为D(z)，它的输出为u z (KT)，按斜坡响应不变的要求，应有u z (kT)=u s (kT)，故

Z S 21

U z U z Z D s s ()()[()]==，但离散滤波器的输出为U(z)=E(z)D(z)，而斜坡函数e(t)=t 的z 变换为2

Tz E z z 1()()=-，求U z (z) 与E(z)的比值，得斜坡响应不变法离散公式 2

2Z 22

1

Z D s U z z 11s D z Z D s Tz E z Tz s

z 1[()]()()()[()]()()

-=

==-。

公式推导2— 按串联一阶保持器的原则：

一阶保持器的传递函数为Ts 2

1Ts 1e h s T s ()()-+-=，则一阶保持器法离散公式为()[()()]D z Z h s D s =，故

122222211(1)1(1)1

()[()()][()][()]Ts Ts e z Ts z Ts D z Z D s Z D s Z D s T s T s Tz s --+--+-+===。 根据台劳近似式Ts

1e

1Ts -≈+，用Ts 1e -取代222(1)1()[()]z Ts D z Z D s Tz s -+=中的Ts+1，则得到22z 11

D z Z D s Tz s

()()[()]-≈。 显然，反过来也可以将2

2z 11D z Z D s Tz s

-≈()()[()]近似为222(1)1

()[()]z Ts D z Z D s Tz s -+=

。 由此可以认为，“斜坡响应不变公式”和“串联一阶保持器公式”互为近似式。经验证，MATLAB 的C2D 函数中’foh’方法使用的就是“斜坡响应不变法公式”。

使用台劳近似式的条件是，T 很小，时间单位也很小。

第四节 后向差分代换法(backward difference)

1

z s Tz

D z D s ()()|

-=

=

公式推导1— 近似微分： 设连续传递函数U s 1D s E s s ()()()==，则U s s E s ()()=，取反变换得du t e t dt

()

()=， 将

du t e t dt ()

()=中的微分用后向差分代替，得

u kT u k 1T e kT T

()(())()--=， 对上式取z 变换，得 1

U z U z z E z T ()()()--=，

整理后得离散传递函数 1

U z T

D z

E z 1z ()()()-=

=

-， 比较D s ()和D z ()，知 111

z z s T Tz

---==

。 公式推导2— 近似积分：

设连续传递函数U s 1

D s

E s s ()()()==，则E s U s s ()()=，反变换得 t u t e t dt 0

()()=⎰，进行近似积分，而且把输出看作由两部分组成，一部分是前一个时刻面积的累加值，一部分是本次的面积值。如果认为本次的面积是本次采样值与采样周期的乘积，则

u k T u k 1T T e k T ()(())()=-+⋅ 式(B) 取z 变换，得 1

U z U z z T E z ()()()-=+⋅ 合并同类项，得离散传递函数

1

U z T

D z

E z 1z ()()()-=

=- 比较D s ()和D z ()，知 11z z 1

s T Tz

---==。 所以，后向差分法就是积分法，并且以当前采样值为计算依据，所以可以称为本次采样积分，式(B)的图形见下页。 公式推导3—有理化z 与s 的关系： Ts

1z e

1Ts 1Ts |=≈+≈

-劳级数由台，由此式求得z 1s Tz

-=。

T*e(kT)

1T

2T

(k-1)T

u((k-1)T)

u(kT)=u((k-1)T)+Te(kT)

后向差分

kT

% 差分近似法 function y=c2d1(ds,t0,str)

% 函数 c2d1 补充MATLAB 控制类函数 c2d 之不足,可以将连续传递函数以向前差分法和向后差分法变换为离散传递函数 % 因为双线性变换法与向前差分法和向后差分法同属近似法,所以 c2d1 函数也包括了双线性变换法 % 输出参数 y ： LTI 模型,离散传递函数 % 输入参数 ds ： LTI 模型,连续传递函数 % t0 ： 数值,采样时间

% str ： 字符串,变换方法 backdiff=向后差分 fordiff=向前差分 tustin=双线性 syms z;

% ---------检查采样时间Ts 是否大于0 if t0<=0

error('Ts<0 or Ts=0 unallowed'); end

% ---------根据输入的"方法",确定代入公式 if strcmp(str,'backdiff') s=(z-1)/(t0*z);

string='coefficient of result of backward difference:'; string1='zero-pole of result of backward difference:'; elseif strcmp(str,'fordiff') s=(z-1)/t0;

string='coefficient of result of forward difference:'; string1='zero-pole of result of forward difference:'; elseif strcmp(str,'tustin') s=(2/t0)*((z-1)/(z+1));

string='coefficient of result of double linear:'; string1='zero-pole of result of double linear:'; else disp(' ');

error('please chek method parameter'); end

% ---------%以下将模型的传递函数转换为符号表达式,以便s=f(z)代入到ds 中 [num,den]=tfdata(ds,'v'); %取模型连续传递函数的分子和分母(多项式) nums=poly2sym(num,'s'); %将多项式转换为符号

dens=poly2sym(den,'s'); tran=nums/dens;

%生成一个符号分式

m=compose(tran,s); %代入 m=simplify(m); %化简

[n d]=numden(m);

%取符号表达式的分子和分母

n=sym2poly(n); %取符号表达式的分子多项式系数，按降幂排列 d=sym2poly(d); %取符号表达式的分母多项式系数，按降幂排列 % ---------%以下显示分子和分母的系数,是辅助性的 disp(string)

n=n/d(1); %使分母的最高项的系数为1 d=d/d(1); n_str=num2str(n); d_str=num2str(d);

n_disp=strcat('fn = ',n_str); d_disp=strcat('fd = ',d_str); disp(n_disp); disp(d_disp);

% ---------%以下生成离散传递函数 y=tf(n,d,t0);

% ---------%以下求出离散传递函数的零点和极点 disp(string1); [z p k]=zpkdata(y,'v')

% ---------%以下画出连续传递函数和离散传递函数的伯德图 bode(ds,'r',y,'g'); zpk(z,p,k,t0) % 程序结束

第五节 前向差分代换法(forward difference)

z 1

s T

D z D s ()()|

-=

=

公式推导1— 近似微分： 设连续传递函数U s 1

D s

E s s ()()()==，则U s s E s ()()⋅=，反变换得

du t e t dt

()()=， 将

du t e t dt ()()=中的微分用前向差分代替，得 u k 1T u kT e kT T

(())()

()+-=。 将所有的采样值提前一个周期，得

u kT u k 1T e k 1T T

()(())

(())--=-，

u k T u k 1T Te k 1T =-+-()(())(())。 取z 变换，得 1

1

U z U z z T E z z --=+⋅()()()，

故 11

U z 1z T E z z ---=⋅()(

)()。

整理后得离散传递函数 11U z Tz T

D z

E z z 1

1z -===---()()()。

比较D s ()和D z ()，知 z 1

s T

-=

。 也可以不进行时间位移，直接从 u k 1T u k T T e k T +=+(())()() 进行z 变换，同样可得 U z z U z T E z ()()()-=⋅， U(z)T

D (z)E(z)z 1

==-。 z 1

s T

-=。 公式推导2— 近似积分：

设连续传递函数U s 1

D s

E s s ()()()==，则E s U s s ()()=，它的积分表达式是t 0

u t e t dt ()()=⎰，进行近似积分，而且把输出看作由两部分组成，一部分是前一个时刻面积的累加值，一部分是本次的面积值。如果认为本次的面积是前次采样值与与采样周期的乘积，则 u k T u k 1T Te k 1T =-+-()(())(()) (式B)， 取z 变换，得 1

1

U z U z z T E z z

--=+()()()，

合并同类项，得离散传递函数 11U z Tz D z E z 1z --==

-()()()。 比较D s ()和D z ()，得 11

1z z 1

s T

Tz

----=

=

所以，前向差分法就是积分法，并且以前一次采样值为计算依据，所以可以称为前次采样积分，式(B)的图形是

T*e((k-1)T)

1T

2T

(k-1)T

u((k-1)T)

u(kT)=u((k-1)T)+Te((k-1)T)

前向差分

kT

公式推导3— 有理化z 与s 的关系：

Ts

z e 1Ts |=≈+劳级数由台，由此式求得

z 1

s T

-=。 第六节 双线性近似法(tustin)

2z 1s T z 1

D z D s ()()|

-=⋅

+=

公式推导1— 近似微分： 设连续传递函数U s 1D s E s s ()()()==，则U s s E s ()()⋅=，它的微分表达式是du t e t dt

()

()=。 将

du t dt ()用后向差分代替，e t ()用前采样值与本次采样值的平均值代替，得u kT u k 1T e k 1T e kT T 2

()(())(())()

---+=，

对上式取z 变换 11U z U z z E z z E z T 2

()()()()

---+=

， 即 1

1

T U z 1z E z z 12

()(

)()()---=+，

故 1

1

U z T 1z D z E z 21z ()()()--+=

=

-， 比较D s ()和D z ()，得 112121

1

1z z s T T z z ----==

++。 公式推导2— 近似积分： 设连续传递函数U s 1

D s

E s s ()()()=

=，它的积分表达式是，t 0

u t e t d t ()()=⎰，进行近似积分，而且把输出看作由两部分组成，一部分是前一个时刻面积的累加值，一部分是本次的面积值。如果认为本次面积是前次采样值与本次采样值，两次采样值的平均值平均值与采样周期的乘积，则e k 1T e kT u kT u k 1T T

2

(())()

()(())-+=-+ (式B),

取z 变换，得 11

E z z E z U z U z z T 2

--+=+()()

()(),

合并同类项，得

1

1

U z T 1z D z E z 21z --+==

-()()()。 比较D s ()和D z ()，得 1121z 2z 1

s T T z 1

1z ----==

++。 所以，双线性近似法也是积分法，与差分法不同的是它是梯形积分，式(B)的图形是：

e((k-1)T)1T

2T

(k-1)T

u((k-1)T)

u(kT)=u((k-1)T)+kT

+e(kT)

T*

2

e((k-1)T)+e(kT)

T*

2

双线性近似

0T

公式推导3— 有理化z 与s 的关系： |Ts 2Ts

Ts 2Ts

1e 2z e

Ts 1e 2-

+

=≈

≈

-

由台劳级数

，由此式求得2z 1s T z 1-=+。 公式推导4— 使用ln z 的台劳级数： 由Ts

z e =，得z 1Ts z 2

z 1ln -=≈+ 故2z 1

s T z 1

-=+。 公式推导5— 使用th s 压缩s 平面：

脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S 平面到Z 平面的标准变换sT

z e =的多值对应关系导致的。

为了克服这一缺点，设想通过两个步骤建立S 平面与Z 平面一一对应的单值关系。

z平面

s平面σ

-

s1平面π

T

J ω1

σ1

J ω

T

π

jy

x

ω1T

双线性变换的映射关系

第一步 将整个S 平面压缩到S 1平面的一条横带里

考察双曲正切变换12j T j th T 2ωω=（），当1ω由0T T ππ-→→时，ω由0-∞→→∞，也就是说将s 平面的ω轴压缩到1s 平面1ω轴上的T

T

π

π

-

→

一段上。将这一关系推广到整个s 平面，则得到s 平面到1s 平面的映射关系

11s T 1s T

s T 221e s th T 2T 1e ---==

+（），系数2T 的来源是，当1T 02ω<<时，1112j T 2j T j th j T 2T 2ωωωω=⋅≈⋅=，可得1ωω≈。 第二步 通过标准变换关系将此横带变换到整个Z 平面上去

令1s T

z e =，得S 平面与Z 平面的单值映射关系，1

1

21z s T 1z ---=+， 或者 T

1s 2z T 1s

2

+

=-

验证：

⑴ 变换的单值性：当j T 1

1z e

T ()ωπωπ=-<<式中时，代入j T 111j T 121z 21e 2j T

1s th j T T T 2

1z 1e ()ωωωω------=

===++，即S 的

虚轴映射到Z 平面正好是单位圆。 S 平面 Z 平面 S 1平面

⑵ 变换的稳定性：s j σω=+ 代入z 表达式，得 T T

1j

22z T T 1j 22()()σωσω+

+=-- 和2222T T 122z T T 122

()()||()()σωσω++=-+。当0σ<时，

|z|<1即s 左半平面映射在单位圆内，s 右半平面映射在单位圆外，因此，稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。

第七节 预畸双线性法(prevarp)

第一步：求预修正频率 *

112t tan T 2

ωω∆=

（） ，ω1为预防畸变的频率， *

1ω为修正后的频率。 第二步：预畸变 1

s

D s D ω⇒*

()()。

第三步：变换 1T 2z 12s 11

T z 1

T

2

s

D z D ωωω-==+=**,tan()

()()|。

综合以上3步： 11z 1s T

z 1

tan 2

D z D s (

)

()()|

ω-=

+= ，ω1为预防畸变的频率 。

变换后，稳态增益将变化，需以s 0z 1D s D z |()||()|===或j 11

D j D e |()||()|ωω=的原则进行增益匹配。 举例： 若 1ts 1s 1

=+， 则03533z 03533

c2d ts 11prewarp 1z 02934..(,,'',).+=-

若 21t s2s 02s 1

.=

++， 则220212z 0424z 0212c2d ts21prewarp 1z 09967z 08448

...(,,'',)..++=

-+

第八节 零极点匹配法(matched)

D(S) D(Z) 若 s 12m 12n K s z s z s z D s s p s p s p ()()...()()()()...()

---=

---，

则 12m 12n z t z t z t n m p t p t p t K z e z e z e z 1z D z z e z e z e ()()...()()

()()()...()

∆∆∆-∆∆∆---+=---。

分子上因子(Z+1)n-m 的作用是：把s =∞处的零点投射到来单位园上，使D(Z)的分母和分子的阶数就相同。（如果不加这个因子，D(Z)脉冲响应会产生n-m 个采样时间的延迟，对系统造成不利影响?）。

或者 12m 12n z t z t z t n m 1

p t p t p t K z e z e z e z 1z D z z e z e z e ()()...()()

()()()...()

∆∆∆--∆∆∆---+=---。

后一个公式比前一个公式少一个零点，MATLAB 函数c2d 的matched 方法是按后一个公式进行变换的（但脉冲响应具有一个采样时间的延迟?）。 确定D(z)的增益k z 的方法：

a 令()D s 与()D z 的稳态增益相等求得，即令s 0z 1D s D z |()||()|===，

b 若D(s)分子有s 因子，例如s

D s s 1

()=

+，可依高频段增益相等原则确定增益,即s z 1D s D z |()||()|=∞=-=，也可选择某关键频率1ω处的幅频相等，即j 1

1D j D e |()||()|ωω=。

对零极点匹配法做的描述，可以使用符号数学编写m 文件程序，“手工式”地进行验证。下面的程序以连续传递函数

321

s 18s 18s 1

+++..为例，运行此程序后，可以看到，文中描述的方法与c2d 函数的mtched 方法是一致的，也说明文本中

没有排版错误，这样应该更有于助理解和使用零极点匹配法。 %程序开始

syms s z kz t %预置采样周期 tt=0.7 %预置采样周期

s1=1 %建立ds 的分子 s2=vpa(s^3+1.8*s^2+1.8*s+1) %建立ds 的分母 s2r=solve(s2) %求ds 的极点

z1=(z+1)^2 %建立dz 分子的零点表达式,不包含增益

z1=vpa(expand(z1),5) %展开dz 分子的零点表达式为多项式表达式,不包含增益 z2=(z-exp(t*s2r(1)))*(z-exp(t*s2r(2)))*(z-exp(t*s2r(3))) %建立dz 分母的极点表达式

z2=vpa(subs(z2,'t',tt),5) %将dz 分母中周期t 用预置的值tt 代替，不改变极点表达式形式 z2=vpa(expand(z2),5) %展开dz 分母的极点表达式为多项式表达式

kz=limit(s1/s2,s,0)/limit(z1/z2,z,1) %计算dz 的静态增益 dz=vpa(eval(kz*z1/z2),4) %获得dz 的表达式

%display(strcat('Sample time: ',num2str(tt),' seconds')) %对dz 的说明

display(['Sample time: ',num2str(tt),' seconds']) %对dz 的说明,用方括号代替strcat,以保留空格 display('Discrete-time transfer function.') %续对dz 的说明

ds0=tf(1,[1,1.8,1.8,1]) %比较用c2d 展开的结果 dz0=c2d(ds0,tt,'matched') %程序结束

第三章 时域化算法

控制系统中控制算法一般是指控制器的传递函数，但要用计算机实现，还应该将z 域的离散传递函数，转换为时域的差分方程。由于差分方程已经清晰地显示出输入输出的时序关系，甚至可以在一定程度上把它等同于计算机程序流程图。 传递函数由z 域向t 域转换，也有几算法。如果把控制器的传递函数看作一体，叫做直接算法；如果把控制器的传递函数分解为几个传递函数的积，叫做串联算法；如果把控制器的传递函数分解为几个传递函数的和，则叫做并联算法；但串联算法和并联算法的z 域分解式的转换，仍然要归结为直接算法。

通过不同形式的从z 域到t 域的数学转换，可以得到，同一个z 传递函数的不同形式的输出差分表达式。对于直接算法，共可获得4种形式的输出差分表达式，而串联算法和并联算法形成的一阶分式和二阶分式的转换，同样归结为直接算法。 信流图对时域的输入输出关系的描述，比差方程形象，因此，对每一种算法都根据数学公式画出了它的信流图。参照信流图所表达的信号之间的关系，将给程序设计带来很大的方便。在信流图之后，给出了c 语言的参考语句。

离散传递函数有z 格式和z -1格式两种，在将离散传递函数变换为差分方程前，要将z 格式的传递函数改写为z -1格式的传递函数。

第一节 直接算法1 — 双中间变量向后递推

设离散传递函数为

n

i

i 0

n

i

i 1

b Z

i U Z E Z 1a Z

i -=-=∑=+∑()

()

，则输出的Z 变换表达式为，

n n

i i i i i 0

i 1

U Z b E Z Z a U Z Z --==∑∑=+-()()()

012n 12n b E Z b E Z 1b E Z 2b E Z n a U Z 1a U Z 2a U Z n ()()()...()()()...()=+-+-++--------。 反变换得输出u 的时间表达式：

012n 12n u k b e k b e k 1b e k 2b e k n a u k 1a u k 2a u k n ()()()()...()()()...()=+-+-++--------。 根据U(k)表达式，画出直接算法1的信流图：

e(k-1)

e(k-2)e(k-n+1)e(k-n)

e(k)

u(k-1)u(k-2)

u(k-n+1)u(k-n)b b b b 12n-1n

-a -a -a -a 12n-1n

1b 0u(k)z

-1

-1z -1z -1z z -1-1

z -1

z

-1

z

e(k)

特点：2n 个中间变量，取得输入量e(k)后，要进行2n+1次乘法，n 次加法，n 次减法才能得出输出量u(k)。 for(i=1;i

远离当前时刻的过去时刻叫“后”： ...... ← m(-2) ←m(-1) ←m(0) 当前时刻和靠近当前时刻的过去时刻叫“前”： ...... → m(-2) →m(-1) →m(0)

公式和信流图中，E(Z)，U(Z)，e(k)，u(k)表示输入量和输出量，M i (Z)，N i (Z)，m i (k)，n i (k)表示中间变量，a i ，b i 表示系数。

程序中，输入量和输出量仍用e(k)，u(k)表示，输入输出的延时形式e(k-i)，u(k-i)和中间变量m i (k)，n i (k)，分别改为用数组形式e(i)，u(i)，m(i)，n(i)表示，系数a i ，b i 也改用数组形式a(i)，b(i)表示。

信流图路径上的z -1表示，流经该路径的信息，在当前时刻（k 时刻）到达指向的节点，将被延迟一个周期，在下一个时刻（k-1时刻）被引用。z -1本身没有数值意义。

给出的c 语言程序参考语句，仅为说明算法，很不严谨，如：初始化语句未与主体语句隔离，主体语句未作无限循

环，系数没有列出数据表，当写成函数的形式时，可能需要设置静态变量，等等。

连续传递函数离散化的方法与原理

连续传递函数离散化的方法与原理 连续传递函数离散化是将连续时间域中的传递函数转换为离散时间域中的传递函数的过程。在控制系统设计中，离散化是非常重要的一步，因为大多数数字控制器本质上只能处理离散的输入和输出信号。离散化方法的选择对系统的稳定性、性能和可实现性都有很大的影响。 离散化方法分为两大类：时域方法和频域方法。时域方法根据传递函数的时间响应，或者根据传递函数的微分方程进行转换。频域方法通过拉普拉斯变换和z变换之间的等价关系进行转换。 时域离散化方法： 1. 脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）：这是最常用的离散化方法之一、它通过将连续时间系统的脉冲响应对应到离散时间系统的单位冲激响应上来实现离散化。该方法的原理是保持连续系统和离散系统的单位冲激响应相同，从而尽可能保持系统的动态特性。 2. 零阶保持法（Zero Order Hold Method）：这个方法假设连续时间系统在每个采样周期内是恒定的，即将采样周期内的连续时间系统输出等效为一个恒定值。这个方法的原理是根据离散系统的输出间隔和连续时间系统的采样间隔，使用插值方法得到离散系统的输出值。 3. 一阶保持法（First Order Hold Method）：这个方法在零阶保持法的基础上改进，考虑了连续时间系统在每个采样周期内的变化趋势。它假设连续时间系统在每个采样周期内是线性变化的。通过插值方法得到离散系统的输出值。

4. 向后微分法（Backward Difference Method）：这个方法根据连续时间系统微分方程中的向后差分近似来实现离散化。它假设离散时间系统输出的变化率等于连续时间系统输出的变化率。 频域离散化方法： 1. 频率响应匹配法（Frequency Response Matching Method）：这个方法将连续时间系统和离散时间系统的频率响应函数进行匹配，使它们在一定频率范围内的增益和相位相近。通过频率响应函数的等价性，可以使用拉普拉斯变换和z变换之间的关系得到离散时间系统的传递函数。 2. 频域采样定理法（Frequency Domain Sampling Theorem Method）：这个方法基于采样定理，将连续时间系统的频域传递函数进行离散化。它使用z变换代替连续时间系统的拉普拉斯变换，根据采样定理将连续时间系统的传递函数离散化为离散时间系统的传递函数。 无论是时域方法还是频域方法，离散化时需要考虑各种因素，如采样周期的选取、系统的稳定性、抗混叠性能等。离散化方法的选择应该根据具体的应用需求和系统特性来进行，以保证离散时间系统的性能和实现可行性。

利用双线性变换求其离散传递函数

1 设计背景 (1) 1.1 设计目的 (1) 1.2 设计内容和要求 (1) 1.3 设计工作任务及工作量的要求 (1) 2 双线性变换及其原理 (2) 2.1 双线性变换的定义 (2) 2.2 双线性变换的原理 (2) 2.2.1 公式的推导 (2) 2.2.2 公式的验证 (2) 2.2.2 设计步骤 (4) 2.3 双线性变换的主要特性 (6) 3 计算机实现程序框图 (7) 4 理论计算 (8) 5 程序验证 (10) 6 结果分析 (11) 参考文献 (13) 附表程序清单 (14)

1 设计背景 1.1 设计目的 本课程设计以自动控制理论、现代控制理论、MATLAB 及应用等知识为基础，利用双线性变换求连续系统对应的离散化的系统，目的是使学生在现有的控制理论的基础上，学会用MATLAB 语言编写控制系统的离散化的程序，通过上机实习加深对课堂所学知识的理解，掌握一种能方便地对系统进行离散化的设计工具。 1.2 设计内容和要求 1 在理论上对连续系统采用双线性变换求离散化推导出算法和计算公式。 2 画出计算机实现算法的框图。 3 编写程序并调试和运行。 4 以下面的系统为例，进行计算。 已知系统闭环传递函数) 2)(1(4 )(++=s s s s G ，利用双线性变换求其离 散传递函数。 5 分析运算结果（离散化步长对系统性能的影响）。 6 程序应具有一定的通用性，对不同参数能有兼容性。 1.3 设计工作任务及工作量的要求 1 本次课程设计要求每周学生至少见指导教师4次，其中集中辅导答疑部不于3次。 2 设计说明书的格式按设计说明书格式要求，采用word 软件排版，计算机打印。（具体包括：封皮、目录、正文、参考文献等） 3 程序清单用A4纸打印后，作为附录订装在说明书后面。 4 框图和其他图表放在正文中。

离散控制的基本概念和原理

离散控制的基本概念和原理 离散控制是自动控制中常见的一种控制方式，它利用了离散信号来 实现对系统的控制和调节。在离散控制中，信号和变量的取值是有限 离散的，而不是连续变化的。本文将介绍离散控制的基本概念和原理。 一、离散控制的基本概念 离散系统：离散控制的对象一般为离散系统。离散系统是对离散信 号进行处理的系统，它的输入、输出和状态变量的取值都是离散的。 采样：采样是将连续信号在时间上进行离散化的过程，通过周期性 地在一定的时间间隔内对信号进行采样，得到离散信号。 量化：量化是将连续信号在幅度上进行离散化的过程，将连续信号 的幅度划分为有限个离散值，得到离散信号。 离散化：离散化是将连续系统在时间和幅度两个维度上进行离散化 的过程，通过采样和量化，将连续系统转化为离散系统。 二、离散控制的原理 1. 采样控制原理 离散控制系统的基本思想是通过采样信号来获得系统当前的状态， 然后根据采样信号计算出控制量，并输出到执行机构，对系统进行调节。在采样控制中，有两个重要的参数：采样周期和采样速率。

采样周期：采样周期是每次对连续信号进行采样的时间间隔，它决 定了系统对变化的灵敏性。较小的采样周期可以提高系统的响应速度，但也会增加计算量和噪声干扰。 采样速率：采样速率是指每秒钟采样信号的次数，它决定了采样系 统对信号变化的能力。较高的采样速率可以更准确地还原连续信号， 但也会增加系统的复杂度和成本。 2. 量化控制原理 离散信号的幅度是通过量化来表示的，量化控制原理就是通过将连 续信号的幅度划分为有限个离散值，将控制量转化为离散信号。 量化精度：量化精度是指离散信号幅值划分的细度，也称为量化位数。量化精度越高，离散信号越接近连续信号。但高精度的量化也会 增加计算和存储的复杂度。 量化误差：量化过程中会引入量化误差，即实际值与量化值之间的 差距。量化误差会对系统的控制精度产生影响，因此需要根据控制要 求选择适当的量化精度。 三、离散控制的应用 离散控制广泛应用于工业自动化、机器人控制、生物医学工程等领域。它具有以下特点： 1. 系统稳定性：由于离散控制系统对变化的响应有一定的延迟，因 此可以通过合理的参数选择和控制策略来提高系统的稳定性。

离散连续详解

matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散! 1.连续系统vs离散系统 连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。其实在simpowersystem 的库中基本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。 离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。但是在选取模型，以及仿真算法的选择时，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。 下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。为什么要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法（simulationsolver）用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。 在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如： 离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。在simpowersystem中常用

连续传递函数离散化的方法与原理

目录

第一章 模拟化设计基础 数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。 将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。 第一节 步骤 步骤1 模拟控制器的处理 在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下 图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟 控制器D(s)。事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。 然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢还没有这方面的实际经验。 以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。 步骤2 离散化模拟控制器 离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<，Tp 为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。 假设模拟控制器为s 2D s 8s 15 +=?+()，在MATLAB 中，用c2d 函数进行离散化，过程为： 转换结果为： 步骤3 检验数字控制器的性能 数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。 直流增益 dcgain(dz) 返回直流增益 频率特性 bode(ds,'r',dz,'g') 伯德图，见下页左图 零极点分布 pzmap(dz) 零极点分布图，见下页右图 步骤4 离散化控制对象 为了进行模拟仿真，需要对控制对象进行离散化，由于步骤1所说的原因，应把被控对象视为零阶保持器与原对象的串 连，即应对Ts 1e G s s ()--进行离散化，这时可在c2d 函数中使用零阶保持器(zoh)方法，如果认为不需要添加零阶保持器，即 直接对G(s)离散化，则应在c2d 函数中使用冲击响应不变法（imp ）。 借用零阶保持器(zoh)方法，将对象20 G s s s 2()() =+带一阶保持器离散化的过程如下： 转换结果为： 步骤5 模拟仿真 求离散系统的闭环传递函数和连续系统的闭环传递函数。 ds=zpk(-2,-15,8) %建立模拟控制器的s 传递函数 dz=c2d(ds,,'tustin') %将模拟控制器按tustin 方法转换为z 传递函数的数字控制 ...... %模拟控制器D(s)转换为D(z)的过程见前 gs=zpk([ ],[0,-2],20) %建立对象的s 传递函数 g1z=c2d(gs,,'zoh') %借用c2d 函数进行带零阶保持器的对象的离散化

仿真技术知识整理 -p (2)

1.******第一章************ 2.系统的基本属性：整体性、相关性。 3.系统的三个研究方面、实体（存在于系统中的每一项确定的 物体）、属性（实体所具有的每一项有效的特征）、活动（导致系统状态发生变化的一个过程）。 4.系统模型：是对实际系统的一种抽象，是系统本质的表述， 是人们对客观世界反复认识、分析，经过多级转化，整合等相似过程而形成的最终结果，它具有与系统相似的数学描述或物理属性，以各种可用的形式，给出研究系统的信息；5.模型的作用：一、提高人们对现实系统的认识（模型具有通 信，思考，理解三个层次）；二、提高人们对现实系统决策的能力（管理，控制，设计三个层次）； 6.系统仿真可分为实体模型和数学模型，数学模型包括原始系 统数学模型（概念模型，正规模型）和仿真系统数学模型（连续系统模型和离散事件系统模型） 7.离散事件系统、集中参数系统、分布参数系统研究方法：控 制论。 8.离散事件系统研究方法：排队论。 9.数学建模的任务：确定系统模型的类型、建立系统模型结 构、给定相应参数。 10.建模所遵循的原则：模型的详细程度和精确度必须与研 究目的相匹配，要根据所研究的问题的性质和所要解决问题来确定对模型的具体要求。 11.建模三要素：目的，方法，验证。建模的途径：演绎 法、归纳法； 12.仿真研究的三要素：对仿真问题的描述，行为产生器，模 型行为及其处理。 13.数学建模信息源：建模目的，先验知识，实验数据。 14.系统仿真概念：以相似原理、系统技术、信息技术及其 应用领域有关专业技术为基础，以计算机、仿真器和各种专用物理效应设备为工具，利用系统模型对真实的或者设想的系统进行动态研究的一门多学科的综合性技术。 15.仿真的作用：1优化系统设计。2对系统或系统的某一部 分进行性能评价。3节省经费。4重现系统故障，以便判断故障产生的原因。5可以避免试验的危险性。6进行系统抗干扰

仿真技术知识整理

******第一章************ ◆系统是指具有某些特定功能，按照某种规律结合起来，相互作用，相互依存的所有物体 的集合或总和。 ◆系统的基本属性：整体性、相关性。 ◆系统的三个研究方面、实体、属性、活动。 ◆离散事件系统、集中参数系统、分布参数系统研究方法：控制论。 离散事件系统研究方法：排队论。 ◆系统模型：是对实际系统的一种抽象,是系统本质的表述,具有与系统相似的数学描述或 物理属性,以各种可用的形式,给出研究系统的信息。 ◆数学建模的任务：确定系统模型的类型、建立系统模型结构、给定相应参数。 ◆建模所遵循的原则：模型的详细程度和精确度必须与研究目的相匹配，要根据所研究的 问题的性质和所要解决问题来确定对模型的具体要求。 ◆数学建模信息源：建模目的、先验知识、实验数据。 ◆建模三要素：目的，方法，验证。 ◆系统仿真技术：以相似原理、系统技术、信息技术及其应用领域有关专业技术为基础， 以计算机、仿真器和各种专用物理效应设备为工具，利用系统模型对真实的或者设想的系统进行动态研究的一门多学科的综合性技术。 ◆仿真的作用：1优化系统设计。2对系统或系统的某一部分进行性能评价。3节省经费。 4重现系统故障，以便判断故障产生的原因。5可以避免试验的危险性。6进行系统抗干扰性能的分析研究。7训练系统操作人员。8为管理决策和技术决策提供依据。 ◆仿真三要素：系统、模型、计算机。三个基本活动：系统建模、仿真建模、仿真试验。 ◆仿真的主要工作流程内容：1系统定义。2数学建模。3仿真建模。4装载。5试验。6 结果分析。 ◆仿真技术发展方向：分布式交互仿真。可视化、多媒体、虚拟现实仿真。武器制导回路 半实物仿真。面向对象仿真技术。建模和仿真的VV&A技术。智能仿真技术。 ********第二章************ ◆建立系统的数学模型应遵循以下基本原则：清晰性、切题性、精确性、集合性。 ◆连续时间系统常用模型：微分方程。传递函数。状态空间表达式。结构图表示。 ◆外部模型（微分方程、传递函数）——内部模型（状态方程）。 ◆离散时间系统常用数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式、结构图 表示。 ◆连续系统传递函数离散化方法：1加入采样器和信号保持器。2替换法。3根匹配法。 ◆欧拉替换公式：s=(z-1)/T。图斯汀替换公式：s=2(z-1)/(T(z+1))。 ◆根匹配法的基本思想：利用z与s的转换关系z=exp(sT)求出z平面上对用的零极点位置。******第三章********* ◆常用数值积分法：欧拉法、梯形法、龙格库塔法、亚当姆斯法。 ◆单步法、显示公式能自启动，多步法、隐式公式不能自启动。 ◆欧拉法：单步法、显式公式、能自启动，只计算一次f(t,y)函数值，计算量小，精度低， 不实用，一阶精度。 ◆梯形法：隐式公式、不能自启动、预估校正法，计算两次f(t,y)函数值，计算量增加， 但精度有所提高。 ◆龙格库塔法：基本思想：在积分区间[tn,tn+1]内多预估几个点的函数值，然后用其线性 组合来代替函数的各阶导数，在与泰勒级数展开式中的各项对比确定其中的系数。 ◆理论上可以构造任意阶数的龙格—库塔法。阶数越高，精度越高，计算量越大。精度的

二阶传递函数离散化

二阶传递函数离散化 二阶传递函数是指具有两个极点和两个零点的传递函数。离散化是指将连续时间系统转换为离散时间系统的过程。本文将讨论如何将二阶传递函数进行离散化。 在进行离散化之前，首先需要了解离散化的原理和方法。常用的离散化方法有零阶保持法（ZOH），一阶保持法（FOH）和双线性变换法。这些方法可以将连续时间系统的传递函数转换为离散时间系统的传递函数。 零阶保持法是最简单的离散化方法之一。它假设在两个采样点之间的时间内，输入信号保持不变。因此，在进行离散化时，采样点上的输出值等于连续时间系统在该点上的输出值。这种方法简单易行，但会引入噪声和失真。 一阶保持法考虑了在采样周期内输入信号的变化。它使用线性插值法来估计采样周期内的输出值。一阶保持法比零阶保持法更准确，但仍然存在一定的误差。 双线性变换法是一种更精确的离散化方法。它通过将连续时间系统的传递函数进行拉普拉斯变换和z变换，然后进行近似和替换，得到离散时间系统的传递函数。双线性变换法可以准确地将连续时间系统转换为离散时间系统，但计算复杂度较高。 在离散化二阶传递函数时，可以使用上述方法之一。具体步骤如下：

将二阶传递函数表示为拉普拉斯变换的形式，即将s替换为Laplace变量。 然后，根据选择的离散化方法，将拉普拉斯变换的形式转换为z变换的形式。这一步需要根据离散化方法的特点进行近似和替换。 将z变换的形式转换为离散时间传递函数的形式，即将Laplace变量替换为z变量。 需要注意的是，在离散化过程中，需要选择合适的采样周期。采样周期的选择应该满足系统稳定性和动态响应的要求。 离散化后的二阶传递函数可以用于设计离散时间系统的控制器或滤波器。离散时间系统具有离散的输入和输出信号，适用于实际应用中的数字信号处理和控制系统。 离散化是将连续时间系统转换为离散时间系统的过程。对于二阶传递函数，可以使用零阶保持法、一阶保持法或双线性变换法进行离散化。离散化后的传递函数可以用于设计离散时间系统的控制器或滤波器。离散时间系统在数字信号处理和控制系统中具有重要应用。

离散化方法总结

离散化方法 1引言 2离散化方法 模拟调节器的离散化方法有许多种，下面介绍几种常用的离散化方法。 2.1差分变换法 当模拟调节器采用微分方程来表示时，其导数可以用差分方程近似。假设通过模拟化的设计方法得到了一个控制器的传递函数，首先将传递函数转化成相应的微分方程，然后通过常用的差分近似方法对导数进行离散化，常用的差分近似有前向差分和后向差分两种。为了便于编程，通常采用后向差分法。 (1) 一阶后向差分 一阶导数采用的近似算式如下 ()(1)du u k u k dt T --≈(1) (2) 二阶后向差分 二阶导数采用的近似算式如下 22 ()()2(1)(2)d u t u k u k u k dt T --+-≈(2) 其中 T 为采样周期。 2.2 零阶保持器法 零阶保持器法又称为阶跃响应不变法，其基本思想是：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列必须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等。其中采用的零阶保持器的传递函数为 1()Ts e H s s --=(3) 其中，T 为采样周期。 假设一个模拟控制器的传递函数为D (s)，采用零阶保持器法对其进行离散化时，应将H(s)包含在内，即： ()[()()]D z Z H s D s = 2.3 双线性变换法(Tustin 变换法) 双线性变换法又称为Tustin 变换法，它是直接将s 域函数转化成z 域的一种近似方法。已知一个连续传递函数D (s)，则D (z)为 211 ()()z s T z D z D s -=+= 其中，T 为采样周期。 3 计算机辅助设计 已知一个连续控制器的传递函数为2 0.5()(1)s D s s +=+，分别采用零阶保持器法和双线性变换

s域到z域离散化方法

s域到z域离散化方法 s域到z域离散化方法是一种在数字控制系统中常见的转换方法。由于数字控制系统中的信号都是以数字形式存在的，而现实中又存在着很多模拟信号，所以s域到z域离散化方法成为了数字控制系统中必不可少的技术之一。 一、概述 s域到z域离散化方法是指将连续信号转化为离散信号的过程。在数字控制系统中，通常使用的是离散控制器，需要将输入的连续信号转化为离散信号，然后再进行离散控制。 二、具体方法 s域到z域离散化方法有很多种，常见的方法有以下几种： 1. 零阶保持器方法：这种离散化方法的思想是将信号在采样时刻的值作为当前时刻的值，相当于模拟系统在采样时刻瞬间保持。 2. 一阶保持器方法：这种方法是将信号在采样时刻和前一时刻之间进行线性插值，得到当前时刻的值。一阶保持器方法比零阶保持器方法更为精确，但计算量也更大一些。 3. Tustin方法：这种方法是最为常用的一种离散化方法，通过对s域中的传递函数进行映射，将其转化为z域中的传递函数。这种方法既能保证时间响应的一致性，又能保证频率响应的一致性。 4. 双线性变换方法：这种离散化方法是将连续信号在s域中的采样，转化为z域中的采样，并在z域中进行线性插值。这种方法较Tustin方法更为精确，但计算量也比较大。 三、应用场景 s域到z域离散化方法适用于数字控制系统中的各种控制器。例如，PID控制器、状态反馈控制器、输出反馈控制器等，都需要将输入的连续信号转化为离散信号，然后再进行控制。 四、总结 s域到z域离散化方法是数字控制系统中不可缺少的一部分，其

主要目的是将连续信号转化为离散信号。对于不同的控制器，采用不同的离散化方法有助于提高控制精度和系统稳定性。

03_控制方程的离散化方法

03_控制方程的离散化方法 控制方程的离散化方法是将连续的控制方程转化为离散形式，以便进 行数值求解。离散化方法的选择对于求解的精度和计算成本都有重要影响。下面将介绍几种常见的离散化方法。 1. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是最为 常用的一种离散化方法。它将连续的导数转化为差分形式，使用有限差分 逼近连续控制方程中的导数项。有限差分法的核心思想是将求解区域划分 为一系列离散的点，然后使用函数在这些点上的值来近似函数的导数。通 过将导数项从连续形式转化为离散形式，可以将控制方程转化为一个代数 方程组，从而进行数值求解。有限差分法简单易懂，计算效率高，但精度 一般较低。 2. 有限体积法（Finite Volume Method）：有限体积法是一种广泛 应用的离散化方法。它将求解区域划分为一系列离散的控制体（control volume），然后通过对控制体应用质量守恒和动量守恒等原理，将控制方 程表达为离散形式。有限体积法以控制体为基本单元进行离散，因此它更 适合处理复杂几何结构的问题，如不规则网格等。 3. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法是一种基于变分 原理的离散化方法。它将求解区域划分为一系列离散的网格单元（element），然后在每个网格单元内使用试函数（trial function）来 近似原方程。通过将方程在整个求解区域内积分，然后使用试函数的线性 组合来逼近积分方程，将控制方程转化为离散形式。有限元法适用于求解 具有复杂边界条件和几何结构的问题，如弹性力学、热传导等。

4. 边界元法（Boundary Element Method）：边界元法是一种将控制方程转化为边界上的积分方程进行求解的离散化方法。它把求解区域划分为内域和边界两部分，控制方程在区域内域精确成立，但在边界上仅在积分形式成立。边界元法通过将控制方程在边界上积分，然后使用试函数来逼近积分方程，将控制方程转化为离散形式。边界元法适用于求解具有无穷远边界条件的问题，如电磁学、弹性力学等。 总之，离散化方法是将连续的控制方程转化为离散形式的方法，常用的方法有有限差分法、有限体积法、有限元法和边界元法等。不同的离散化方法适用于不同类型的控制方程和求解问题，选择适合的离散化方法可以提高求解的精度和效率。

pr比例谐振控制器的离散化

pr比例谐振控制器的离散化 在连续时间系统中，PR比例谐振控制器的传递函数通常表示为Gc(s)=Kp(1+1/(Tis)),其中Kp表示比例增益，Ti表示积分时间常数。在离散时间系统中，我们需要将这个传递函数转换为差分方程的形式。 离散化有多种方法，其中一种常用的方法是采用Z变换。通过将s 替换为Z-1，我们可以将连续时间系统的传递函数转换为离散时间系统的传递函数。对于PR比例谐振控制器，离散化后的传递函数可以表示为Gd(z)=Kp(1+T/(2Ti))/(1-(1-T/(2Ti))z-1)。 需要注意的是，离散化过程中的采样周期T也是一个重要的参数。采样周期的选择应根据系统的特性和性能要求来确定。较小的采样周期可以提高系统的响应速度，但可能会增加计算负荷；较大的采样周期可以减少计算负荷，但可能会降低系统的响应速度。 在实际应用中，我们可以通过调整比例增益和积分时间常数来优化离散化后的控制器性能。比例增益的选择应根据系统的稳定性和跟踪性能来确定，而积分时间常数的选择应根据系统的稳定性和抗干扰能力来确定。 离散化后的PR比例谐振控制器可以通过数字控制器实现。数字控制器可以使用微处理器或数字信号处理器来实现。通过将离散化后

的传递函数转换为差分方程的形式，我们可以通过编程实现相应的控制算法。 离散化后的PR比例谐振控制器在工业控制系统中具有广泛的应用。它可以用于机械控制系统、电力系统、化工系统等各种领域。通过离散化，我们可以利用数字控制技术来实现系统的精确控制和优化性能。 离散化是将连续时间系统转换为离散时间系统的重要过程。对于PR 比例谐振控制器，离散化的方法可以采用Z变换。通过将连续时间系统的传递函数转换为离散时间系统的传递函数，我们可以实现离散化后的控制器。离散化后的PR比例谐振控制器在工业控制系统中具有广泛的应用，可以实现系统的精确控制和优化性能。

传递函数零阶保持离散化

传递函数零阶保持离散化 1.引言 1.1 概述 在控制系统中，传递函数是描述系统动态特性的重要数学模型。传递函数可以用于描述连续系统的输入与输出之间的关系，通过它我们可以预测系统的响应和行为。然而，在实际应用中，我们常常需要将连续系统进行离散化处理，以适应数字控制系统的要求。 离散化是将连续系统转化为离散系统的过程，它的目的是将连续信号转换为离散信号，并用离散数学方法对其进行处理和分析。对于传递函数的离散化来说，就是将连续传递函数转换为离散传递函数的过程。在离散控制算法中，离散传递函数扮演着重要的角色，它可以描述离散系统的输入和输出之间的关系。 本文将探讨传递函数零阶保持离散化的问题。零阶保持器是一种常用的离散化方法，它的基本原理是将连续信号在某个特定时间间隔内进行采样，然后在每个采样点上保持采样值不变，以离散的形式表示连续信号。 通过对零阶保持器的定义和原理的介绍，我们将了解它在传递函数中的作用，并探讨离散化对传递函数的影响和应用。同时，我们还将展望传

递函数零阶保持离散化的意义和应用，并总结本文的内容。 在接下来的章节中，我们将深入探讨零阶保持器和离散化方法，并分析它们对传递函数的影响。通过这些内容的学习，读者将能够更加全面地了解传递函数零阶保持离散化的原理和应用。随着数字控制技术的发展，离散化方法在工程领域的应用将会越来越广泛，因此对于传递函数零阶保持离散化的研究具有重要的现实意义和应用价值。 1.2文章结构 1.2 文章结构 本文主要围绕传递函数的零阶保持离散化展开讨论。文章分为引言、正文和结论三个主要部分，具体结构如下： 引言部分首先概述了本文的研究内容和目的，对传递函数的零阶保持离散化进行了简要介绍。接着介绍了本文的结构安排，明确了每个小节的主要内容和意义。最后，明确了本文的目的，即探讨传递函数的零阶保持离散化在工程应用中的意义和潜在影响。 正文部分主要分为两个小节，分别是零阶保持器和离散化方法。在2.1小节中，将详细讨论零阶保持器的定义和原理，包括其在控制系统中的作用和优势。同时，还将探讨零阶保持器在传递函数中的具体应用和影响。

pi控制器数字实现方法 拉式逆变换和离散化

pi控制器数字实现方法拉式逆变换和离散化 标题：深入探究PI控制器的数字实现方法：拉式逆变换和离散化 导言： 在自动控制系统中，控制器是实现期望响应和稳定性的重要组成部分。其中，PI控制器广泛应用于许多工业过程中。本文将深入探讨PI控制器的数字实现方法，着重介绍拉式逆变换和离散化技术。我将从简单 到复杂，由浅入深地介绍这些方法，以帮助读者全面理解和应用PI控制器的数字实现。 一、PI控制器简介 1.1 PI控制器的作用与优点 PI控制器是一种经典的比例-积分控制器，它结合了比例控制和积分控制的特性，旨在消除系统的稳态误差和提高系统的稳定性和响应速度。相较于仅使用比例控制器，PI控制器具有以下优点： 1.1.1 消除稳态误差：通过积分项的引入，PI控制器能够消除系统在稳态下的偏差，使得系统的输出能够更加接近期望的参考输入。 1.1.2 提高系统稳定性：积分作用可以降低系统的对参数变化和干扰的敏感性，从而提高系统的稳定性。 1.1.3 可调节灵活性：PI控制器通过调节比例和积分参数，可以灵活地适应不同的系统和工况要求。

二、拉式逆变换 2.1 拉式逆变换的基本原理 拉式逆变换是一种用于将连续时间域的信号转换为离散时间域的信号 的数学方法。在PI控制器的数字实现中，拉式逆变换被广泛应用于将连续时间域中的传递函数转换为差分方程。其基本原理如下： 2.1.1 时域变换：根据传递函数的分子和分母多项式，可以得到相应的拉普拉斯变换表达式。 2.1.2 构造差分方程：利用拉式逆变换的性质，将拉普拉斯变换表达式转换为差分方程的形式，从而得到PI控制器的离散时间域表示。 2.1.3 离散化参数：经过拉式逆变换后，得到的差分方程中的参数需要进行离散化处理，以便在数字控制系统中实现。 三、离散化 3.1 离散化的基本原理 在数字控制系统中，连续时间域的信号需要转换为离散时间域的信号，并且连续时间域中的控制器参数也需要进行离散化处理。离散化的基 本原理如下： 3.1.1 采样时间选择：采样时间是离散化过程中一个关键的参数，它决定了离散系统的采样率和响应特性。 3.1.2 差分方程的转换：通过将连续时间域中的差分方程转换为差分方程的离散形式，实现连续时间域到离散时间域的转换。 3.1.3 参数离散化：根据离散时间域的特性，对差分方程中的参数进行

计算机控制实验报告-离散化方法研究解析

东南大学自动化学院 实验报告 课程名称：计算机控制技术 第 2 次实验 实验名称：实验三离散化方法研究 院（系）：自动化学院专业：自动化 姓名：学号： 实验室：416 实验组别： 同组人员：实验时间：2014年4月10日评定成绩：审阅教师：

一、实验目的 1．学习并掌握数字控制器的设计方法（按模拟系统设计方法与按离散设计方法）； 2．熟悉将模拟控制器D(S)离散为数字控制器的原理与方法（按模拟系统设计方法）； 3．通过数模混合实验，对D(S)的多种离散化方法作比较研究，并对D(S)离散化前后闭环系统的性能进行比较，以加深对计算机控制系统的理解。 二、实验设备 1．THBDC-1型控制理论·计算机控制技术实验平台 2．PCI-1711数据采集卡一块 3．PC机1台(安装软件“VC++”及“THJK_Server”) 三、实验原理 由于计算机的发展，计算机及其相应的信号变换装置（A/D和D/A）取代了常规的模拟控制。在对原有的连续控制系统进行改造时，最方便的办法是将原来的模拟控制器离散化。在介绍设计方法之前，首先应该分析计算机控制系统的特点。图3-1为计算机控制系统的原理框图。 图3-1 计算机控制系统原理框图 由图3-1可见，从虚线I向左看，数字计算机的作用是一个数字控制器，其输入量和输出量都是离散的数字量，所以，这一系统具有离散系统的特性，分析的工具是z变换。由虚线II向右看，被控对象的输入和输出都是模拟量，所以该系统是连续变化的模拟系统，可以用拉氏变换进行分析。通过上面的分析可知，计算机控制系统实际上是一个混合系统，既可以在一定条件下近似地把它看成模拟系统，用连续变化的模拟系统的分析工具进行动态分析和设计，再将设计结果转变成数字计算机的控制算法。也可以把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹的离散系统，用z变化等工具进行分析设计，直接设计出控制算法。 按模拟系统设计方法进行设计的基本思想是，当采样系统的采样频率足够高时，采样系统的特性接近于连续变化的模拟系统，此时忽略采样开关和保持器，将整个系统看成是连续变化的模拟系统，用s域的方法设计校正装置D(s)，再用s域到z域的离散化方法求得离散传递函数D(z)。为了校验计算结果是否满足系统要求，求得D(z)后可把整个系统闭合而成离散的闭环系统。用z域分析法对系统的动态特性进行最终的检验，离散后的D(z)对D(s)的逼真度既取决于采样频率，也取决于所用的离散化方法。离散化方法虽然有许多，但各种离散化方法有一共同的特点：采样速率低，D(z)的精度和逼真度越低，系统的动态特性与预

控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果

一、凹口网络传递函数： 上式中参数： ：凹口网络中心频率，； ：二阶微分环节阻尼系数； ：二阶振荡环节阻尼系数； 采用双线性变换公式对上式离散化： 代入H(S)表达式得到：

迭代公式：； ； ************************************************************************************* 二、PI调节器 采用双线性变换公式对上式离散化： 代入H(S)表达式得到：

迭代公式： ************************************************************************************* 三、滞后－超前调节器 采用双线性变换公式对上式离散化： 代入H(S)表达式得到：

迭代公式： ************************************************************************************* 四、PID 调节器（形式1） 参数：：一阶微分环节时间常数（第二转折频率）； ：一阶微分环节时间常数；

：一阶惯性环节时间常数； K：PID调节器放大系数。 采用双线性变换公式对上式离散化：代入H(S)表达式得到：

迭代公式：； ； ************************************************************************************* 五、PID 调节器（形式2） 采用双线性变换公式对上式离散化： 代入H(S)表达式得到：