《提公因式法》教学设计
一、教材分析：
“因式分解”是“华东师大版八年级数学（上）”第13章第5节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的承上启下的作用。本节主要讲“提公因式法”，为一个课时。提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
二、目标分析：
知识与技能：
1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
过程与方法：
在教学过程中，体会类比的数学思想，逐步形成独立思考、主动探索的习惯。
情感态度、价值观：
通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。三、教学重难点：
教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。
四、学习者分析：
1、初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。
2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。
3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。
五、教法学法：
教法：类比、探究式教学方法
1、教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；
2、设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。 学法：自主、合作、探索的学习方式
在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，以促进学生发展为目的。
六、过程设计：
七、板书设计：
八、课堂小结：
教学过程不仅是知识传授的过程，更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力，培养创新能力，感受数学思想的过程。本节课的教学过程中采用类比、探究式教学，辅以讲练结合，师生互动。引导学生习得自主、合作、探索的学习方式，符合新课标确立新的学习方式的要求。并以现实问题引入，让学生认识到数学来源于生活，应用于生活，生活中处处有数学。
1、什么是因式分解
和差
积
整式的乘法
因式分解
2、什么是公因式
4、提公因式法的步骤 3、确定公因式的方法
定系数 定字母(因式) 定指数
5、提公因式法应注意的问题
(2)不遗漏1项 (3)多项式的首项取正号
(1)公因式要提尽
课题 4.2 提公因式法 【教材分析】 本节课内容选自北京师范大学出版社出版的八年级数学下册第四章因式分解第二课时的提公因式法。内容包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的最基本方法——提公因式法。本节学习的因式分解知识是多项式因式分解中一部分最基本的知识和最基础的方法，受认知水平和思维水平的限制，仍会有较多的学生不适应，掌握不好，教材充分考虑了这一点，内容梯度小，知识点少且浅，利于学生的学习。 【学情分析】 八年级（1）班是重点班，基础知识扎实对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知，并且八年级的学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。 【所属章节】 北京师范大学出版社八年级数学下册第四章因式分解第二课时提公因式法。 【教学三维目标】 A：知识目标： 1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。 2、了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解。 B：能力目标： 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。 C：情感目标： 培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。 【教学重点、难点分析】 1、教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律的逆运算把把多项式进行因式分解。
2、教学难点：让学生识别多项式的公因式。【课时安排】 2节第1课时 【教学过程】
章节测试题 1.【答题】下列因式分解变形中，正确的是（） A. ab（a-b）-a（b-a）=-a（b-a）（b+1） B. 6（m+n）2-2（m+n）=（2m+n）（3m+n+1） C. 3（y-x）2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x+2） D. 3x（x+y）2-（x+y）=（x+y）2（2x+y） 【答案】A 【分析】 【解答】 2.【答题】因式分解b2（x-2）+b（2-x），下列正确的结果是（） A. （x-2）（b2+b） B. b（x-2）（b+1） C. （x-2）（b2-b） D. b（x-2）（b-1） 【答案】D 【分析】 【解答】 3.【答题】把多项式（m+1）（m-2）+（m-2）提取公因式（m-2）后，余下的部分是______． 【答案】m+2
【分析】 【解答】 4.【答题】-xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是______． 【答案】 【分析】 【解答】 5.【答题】分解因式：a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）=______． 【答案】 【分析】 【解答】 6.【答题】多项式-ab（a-b）2+a（b-a）2-ac（a-b）2分解因式时，所提取的公因式应是______． 【答案】 【分析】 【解答】 7.【题文】因式分解： （1）-5a2b2+20ab2-5ab； （2）（x+y）（x-y）-（x+y）2；
（3）8a（x-y）2-4b（y-x）． 【答案】解：（1）； （2）； （3） ． 【分析】 【解答】 8.【题文】在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式3（x-y）3-（y-x）2分解因式．并请甲、乙两名同学在黑板上演算． 甲演算的过程： 3（x-y）3-（y-x）2=3（x-y）3+（x-y）3=（x-y）2[3（x-y）+1]=（x-y）2（3x- 3y+1）． 乙演算的过程： 3（x-y）3-（y-x）2=3（x-y）3-（x-y）2=（x-y）2（3x-3y）． 他们的计算正确吗?若错误，请你写出正确答案． 【答案】解：不正确
第四章 因式分解 2．提公因式法（一）教学设计 指导教师：于智军 授课教师：闫聪 课时安排：1课时 教学目标： 1.经历探索、认识多项式各项公因式的过程，并在具体的问题中，能确定多项式各项的公因式。 2.会用提公因式法对多项式进行因式分解。 3.通过与因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想。 教学重点：怎样用提公因式法因式分解 教学难点：如何正确找出多项式中各项的公因式并提取公因式 教学方法：探究 讨论 讲练结合 教学工具：多媒体 教学过程： 一、复习回顾 1.因式分解的概念 2.整式的乘法和因式分解的关系 3.因式分解的注意事项 二、新课讲授 1、计算：28 59851585?+??- （问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？ ） 目的是在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。 2、想一想： (1)多项式 ab+bc 中，各项有相同的因式吗？多项式 3x 2+x 呢？多项式mb2+nb-b 呢？ 公因式与多项式的各项有什么关系？
总结：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 (2)你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？ 总结：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 3、议一议 多项式2x 2 + 6 x3中各项的公因式是什么？多项式3x2y+9x3z呢？ 如何确定公因式：定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 公因式的系数与公因式字母部分的积就是这个多项式各项的公因式． 考考你：确定下列多项式中各项的公因式： （1）a c+ b c（2）3 x2 +x（3）30 m b2 + 5n b（4）3x+6 （5）a2 b –2a b2 + ab （6）7 ( a–3 ) –b ( a–3) 4、例题：（例题中公因式都是单项式，被分解的多项式由两项逐步增加到三项） （1）3a2-9ab（2）9x2–6xy+3xz（学生尝试完成，教师指导）（3）–24x3 +12x2–28x 解：3a2-9ab =3a?a-3a?3b =3a(a-3b) 解：–24x3 +12x2–28x = –（24x3–12x2+28x） = –（4x·6x2–4x·3x+4x·7) = –4x（6x2–3x+7) 讨论：小颖解的有误吗？（要求学生讨论完成，强化本节课的知识学习） 把8 a 3 b2–12ab 3 c + ab因式分解. 解：8 a3b2–12ab3c + ab = ab(8a2b - 12b2c) 总结：提取公因式的注意事项 1、提公因式时用多项式的每一项与公因式作除法，所得的商为这项余下的因式。 2、余下的因式中不能再有公因式，余下因式的项数与原多项式的项数相同。 3、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
2019版九年级数学暑期作业 因式分解 测试1 提公因式 法 鲁教版五四制 一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______． 二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．－3xy B ．－3x 2y C ．－3x 2y 2 D ．－3x 3y 3 6．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（ ） A ．a n （1－a 3＋a 2） B ．a n （－a 2n ＋a 2） C ．a n （1－a 2n ＋a 2） D ．a n （－a 3＋a n ） 三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ） 3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题
提公因式法 【教学目标】 1．在具体情境中认识公因式。 2．通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式。 【教学重难点】 1．掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 2．正确地找出公因式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是 3.8m，6.2m，宽都是 3.7m，如何计算这块菜园的面积呢？ 列式：3.7×3.8+3.7×6.2（学生思考后列式） 有简便算法吗？ =3.7×(3.8+6.2) =3.7×10=37(m2) 6.2 在这一过程中，把3.7换成m，3.8换成a，6.2换成b，于是有：ma＋mb =m(a＋b) 利用整式乘法验证：m(a＋b)=ma＋mb 二、观察分析，探究新知 让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有m，含有两种运算，乘法和加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。） 各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 如：b是多项式ab-b2各项的公因式。 2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式。
让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。 三、独立练习，巩固新知 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）。 （1）ax+ay-a （a） （2）5x2y3-10x2y （5x2y） （3）24abc-9a2b2 （3ab） （4）m2n+mn2 （mn） （5）x(x-y)2-y(x-y) （x-y） 说明：本活动也可以改为寻找公因式游戏，如：根据提供的多项式和整式，寻找出这个多项式的公因式。 （1）ax+ay-a （2）5x2y3-10x2y （3）24abc-9a2b2 （4）m2n+mn2 （5）x(x-y)2-y(x-y) a，x，y 5xy，5x2y3，5x2y 3abc，9ab，3ab mn，m2n，mn2 x(x-y)，y(x-y)，(x-y) 游戏规则：准备好写有整式和多项式的纸牌，学生分为四组，每组选四个同学游戏，其中3个同学举一组题中的整式牌，第四个根据组员建议寻找出题中的公因式，并说明理由。 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）： （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）。 （2）字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂。 根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）。这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 四、例题教学，运用新知 例：把3pq3+15p3q分解因式 通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式。 解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)
《提公因式法》教学设计 一、教材分析： “因式分解”是“华东师大版八年级数学（上）”第13章第5节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的承上启下的作用。本节主要讲“提公因式法”，为一个课时。提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。 二、目标分析： 知识与技能： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法： 在教学过程中，体会类比的数学思想，逐步形成独立思考、主动探索的习惯。 情感态度、价值观： 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。三、教学重难点： 教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。 四、学习者分析： 1、初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。 2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。 3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。 五、教法学法： 教法：类比、探究式教学方法 1、教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系； 2、设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。 学法：自主、合作、探索的学习方式 在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，以促进学生发展为目的。
8.4.1《提公因式法》教学设计 教学目标： 1、使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。 2、让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。 3、通过与因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想。 教学重点、难点： 1、教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。 2、教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和因式分解。 教学过程。 一．提出问题，创设情境 （1）20×（-3）2+60×（-3） （2）1012-992 （3）572+2×57×43+432 解：（1）20×（-3）2+60×（-3） =20×9+60×-3 =180-180=0 或20×（-3）2+60×（-3） =20×（-3）2+20×3×（-3） =20×（-3）（-3+3）=-60×0=0． （2）1012-992=（101+99）（101-99） =200×2=400 （3）572+2×57×43+432 =（57+43）2=1002 =10000． 在上述运算中，或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解。 二．导入新课 1．分析讨论，探究新知。 把下列多项式写成整式的乘积的形式。
（1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ （3）am+bm+cm=__________ 根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算： （1）x2+x=x（x+1） （2）x2-1=（x+1）（x-1） （3）am+bm+cm=m（a+b+c） 像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。 再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点． 发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？ 因为ma+mb+mc=m（a+b+c）． 于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 2．例题教学，运用新知． 把8a3b2-12ab3c分解因式． 把2a（b+c）-3（b+c）分解因式． 把3x3-6xy+x分解因式． 把-4a3+16a2-18a分解因式． 把6（x-2）+x（2-x）分解因式． 总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）． 解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）． 注意：x（3x-6y+1）=3x2-6xy+x，而x（3x-6y）=3x2-6xy，所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1。 解：-4a3+16a2-18a =-（4a3-16a2+18a） =-2a（2a2-8a+9） 注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，
《15．4．1因式分解——提公因式法》教案 广西桂平市社步一中黄郁贞 一、教学目标 ㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 ㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观 察能力，进一步发展学生的类比思想。 （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 ㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。 难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
-1)= 个整式的
五、学生学习活动评价设计 在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如： 1.个人回答问题次数：正确次数：改正人： 2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误； （在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。 活动…… 3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 六、教学反思 ㈠、教材分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。
最新精选鲁教版初中数学八年级上册2 提公因式法习题精选四十一第1题【单选题】 多项式- 6a b+18a b x+24ab y的公因式是( ) A、3ab B、-6ab C、-2ab D、2ab 【答案】： 【解析】： 第2题【单选题】 下列因式分解错误的是( ) A、2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B、x^2+2x+1=（x+1）^2 C、x^2y﹣xy^2=xy（x﹣y） D、x^2﹣y^2=（x+y）（x﹣y） 【答案】： 【解析】： 第3题【单选题】
下列多项式中能用提公因式法分解的是( ) A、x^2+y^2 B、x^2﹣y^2 C、x^2+2x+1 D、x^2+2x 【答案】： 【解析】： 第4题【单选题】 已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？( ) A、8是a的因子，8是b的因子 B、8是a的因子，8不是b的因子 C、8不是a的因子，8是c的因子 D、8不是a的因子，8不是c的因子 【答案】： 【解析】：
第5题【单选题】 方程（x﹣1）（x+2）=x﹣1的解是( ) A、﹣2 B、1，﹣2 C、﹣1，1 D、﹣1，3 【答案】： 【解析】： 第6题【单选题】 把多项式﹣8a^2b^3c+16a^2b^2c^2﹣24a^3bc^3分解因式，应提的公因式是( ) A、﹣8a^2bc B、2a^2b^2c^3 C、﹣4abc D、24a^3b^3c^3 【答案】： 【解析】： 第7题【填空题】 分解因式：a^2﹣7a=______ 【答案】：
《提公因式法》教案 教学目标 1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系． 2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力. 教学重点及难点 教学重点： 因式分解的概念及提公因式法． 教学难点： 正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系． 教学过程设计： 一、复习提问 乘法对加法的分配律． 二、新课 1．新课引入：用类比的方法引入课题． 在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7． 在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法． 2．因式分解的概念： 请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．) 如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy (a+b)(a-b)＝a2-b2 (a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn (x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等． 再请学生观察它们有什么共同的特点？ 特点：左边，整式×整式；右边，是多项式． 可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
12.2提公因式法 ●教学目标 （一）教学知识点 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. （二）能力训练要求 通过找公因式，培养学生的观察能力. （三）情感与价值观要求 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用. ●教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. ●教学难点 让学生识别多项式的公因式. ●教学方法 独立思考——合作交流法. ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§12.2A ） 第二张（记作§12.2 B ） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 投影片（§12.2A ） 一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为 43，23，47，宽都是2 1,求这块场地的面积. 解法一：S= 21×43 + 21×23 + 21×47 =83+43+8 7=2 解法二：S=21×43 + 21×23 + 21×47 = 21（43 +23+47）=21×4=2 ［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是
先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法. Ⅱ.新课讲解 1.公因式与提公因式法分解因式的概念. ［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接 ma+mb+mc=m（a+b+c） 从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？ ［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式. ［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式. 由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m 从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.例题讲解 ［例1］将下列各式分解因式： （1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x. 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来. ［师］请大家互相交流. ［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）; （2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）; （3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c =ab（8a2b－12b2c+c）
提公因式法教案 知识总结归纳 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有9871368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式)521456268123(1368 987+++?= =?=98713681368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为
《因式分解提公因式法》教案 教学目标： 1．知识与技能：把一个多项式化成几个整式的积的形式，?这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2．过程与方法：分解因式的结果只能是几个整式的乘积形式，而且要分解到不能再分解为止，相同因式要写成幂的形式． 3．情感态度与价值观:运用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，?公因式是指各项系数的最大公约数、各项共有字母的最低次幂的乘积．?公因式可以是单项式也可以是多项式． 重、难点：重点：用提公因式法分解因式。难点：确定多项 式中的公因式。 教学过程 一创设情境，导入新课 1 如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？ 这个问题实际上就是求(am+bm+cm)÷(a+b+c)=______ 为了解决这个问题请你先思考： 2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？ 提问：把ma+mb+mc写成m(a+b+c)叫什么运算？怎样分解因式？ 这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法 二合作交流，探究新知 1 公因式的概念 （1）式子：am,bm,cm,是由哪些因式组成的？ 指出：其中m是他们的公共的因式，叫公因式 （2）你能指出下面多项式中各项的公因式吗？ (5) 2 提公因式法
把ma+mb+mc分解成：ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据？这种因式分解有什么特点？ 用到了乘法分配律，特点：把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。 3 应用举例 例1 把因式分解 强调：（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？ （2）某一项全部提出后，还有因数“1” 例2 把因式分解。 强调：（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。 （2）首项为负时，最好提出负号。 例3 把因式分解强调：公因式确定的方法： （1）系数：取各系数的最大公约数。如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；求48、36的最大功因数48= ，36= ，那么就是他们的最大公约数（2）对于字母，取各项都有的，指数最低的。如：与，取做为公因式的字母因式 （3）公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。 考考你： 1. a2x+ay-a3xy在分解因式时,应提取的公因式( ) A. a2 B. a C. ax D. ay 2.下列分解因式正确的个数为( ) (1)5y3+20y2=5y(y2+4y) (2) a2b-2ab2+ab=ab(a-2b) (3)a2+3ab-2ac=-a(a+3b-2c) (4) -2x2-12xy2+8xy3=-2x(x+6y2-4y3) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三应用迁移，巩固提高 1 提公因式法在计算方面的应用 例4 如图，a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积。
提公因式法 【总体说明】 本节是因式分解，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系。 【学生知识状况分析】 学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础。 学生活动经验基础：学生对于本节课采用的观察、对比、讨论等方法非常熟悉，他们有较好的活动经验。 【教学目标】 学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：知识与技能： （1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程。 （2）会用提取公因式法进行因式分解。 数学能力： （1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力。 （2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想。 情感与态度： 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点。 【教学过程】 本节课设计了七个教学环节：练一练——想一想——做一做——试一试——议一议——反馈练习——学生反思。
第一环节练一练 活动内容：把下列各式因式分解： （1）am+an （2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn （4）–2x2y+4xy2–2xy 活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础。 注意事项：切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的。 第二环节想一想 活动内容：因式分解：a（x–3）+2b（x–3） 活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式。 由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x–3），并能顺利地进行因式分解。 第三环节做一做 活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立： （1）2–a= （a–2） （2）y–x= （x–y） （3）b+a= （a+b） （4）（b–a）2= （a–b）2 （5）–m–n= （m+n） （6）–s2+t2= （s2–t2） 活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备。 注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系； （2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”； （3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”。
12.2提公因式法 一、选择题 1．下列各组代数式中，没有公因式的是（） A．5m（a－b）和b－a B．（a+b）2和－a－b C．mx+y和x+y D．－a2+ab和a2b－ab2 2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（） A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2－xy+y2 3．下列用提公因式法分解因式不正确的是（） A．12abc－9a2b2c=3abc（4－3ab） B．3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y） C．－a2+ab－ac=－a（a－b+c） D．x2y+5xy+y=y（x2+5x+1） 4．（－2）2007+（－2）2008等于（） A．2 B．22007 C．－22007 D．－22008 5．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（） A．x（y2－9） B．x（y+3）2 C．x（y+3）（y－3） D．x（y+9）（y－9）二、填空题 6．9x2y－3xy2的公因式是______． 7．分解因式：－4a3+16a2b－26ab2=_______． 8．多项式18x n+1－24x n的公因式是______，提取公因式后，另一个因式是______． 9．a，b互为相反数，则a（x－2y）－b（2y－x）的值为________． 10．分解因式：a3－a=______． 三、解答题 11．某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b）2m2，第二块草坪的面积为a（?a+b）m2，第三块草坪的面积为（a+b）bm2，求这三块草坪的总面积． 12．观察下列等式，你得出了什么结论？并说明你所得的结论是正确的 1×2+2=4=22； 2×3+3=9=32； 3×4+4=16=42； 4×5+5=25=52； …
3.2（1）提公因式法（一） 教学目标 1．知识目标：了解公因式的意义，会用提公因式法分解因式. 2．能力目标：通过找公因式，培养学生的观察和分析能力. 3．情感目标：在用提公因式法分解因式时，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识. 教学重点 找多项式的公因式. 教学难点 找多项式的公因式. 教学方法 独立思考与合作交流相结合. 教学过程 1．创设情境,自然引入 一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为 43，23，47，宽都是2 1,求这块场地的面积. 解法一：S =21×4 3 + 21×23 + 21×47 =83+43+87=2 解法二：S =21×43 + 21×23 + 21×47 = 21（43 +23+47）=2 1×4=2 从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法. 2．设问质疑，探究尝试 （1）公因式与提公因式法分解因式的概念. 若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a 、b 、c ，宽都是m ，则这块场地的面积为ma +mb +mc ,或m （a +b +c ），可以用等号来连接.ma +mb +mc =m （a +b +c ） 从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？ 即：等式左边的每一项都含有因式m ，等式右边是m 与多项式（a +b +c ）的乘积，从左边到右边是分解因式. 由于m 是左边多项式ma +mb +mc 的各项ma 、mb 、mc 的一个公共因式，因此m 叫做这个多项式的各项的公因式. 由上式可知，把多项式ma +mb +mc 写成m 与（a +b +c ）的乘积的形式，相当于把公因式
精品文档初中数学鲁教版五四制课本目录 六年级上册（初一上） 第一章丰富的图形世界 1生活中的立体图形 2展开与折叠 3截一个几何体 4从三个方向看物体的形状 回顾与思考 复习题 第二章有理数及其运算 1有理数 2数轴 3绝对值 4有理数的加法 5有理数的减法 6有理数的加减混合运算 7有理数的乘法 8有理数的除法 9有理数的乘方 10科学记数法…
11有理数的混合运算 12近似数 13用计算器进行运算 回顾与思考 复习题 第三章整式及其加减 1用字母表示数 2代数式 3整式 4合并同类项 5去括号… 6整式的加减 7探索与表达规律 回顾与思考 复习题 综合与实践 制作一个尽可能大的无盖长方体容器第四章一元一次方程 1等式与方程… 2解一元一次方程 3一元一次方程的应用
复习题 综合与实践 探寻神奇的幻方总复习题 六年级下册（初一下）第五章基本平面图形1线段、射线、直线 2比较线段的长短 3角 4角的比较 5多边形和圆的初步认识 回顾与思考 复习题 第六章整式的乘除 1同底数幂的乘法 2幂的乘方与积的乘方 3同底数幂的除法 4零指数幂与负整数指数幂 5整式的乘法 6平方差公式..... 7完全平方公式 8整式的除法
复习题 综合与实践 设计自己的运算程序 第七章相交线与平行线1两条直线的位置关系 2探索直线平行的条件 3平行线的性质 4用尺规作角 回顾与思考 复习题 第八章数据的收集与整理1数据的收集 2普查和抽样调查 3数据的表示 4统计图的选择 回顾与思考 复习题 综合与实践 关注人口老龄化 第九章变量之间的关系
1用表格表示变量之间的关系2用表达式表示变量之间的关系.3用图象表示变量之间的关系.欢迎下载。 1 精品文档 回顾与思考 复习题 七年级上册（初二上） 第一章三角形 1认识三角形 2图形的全等 3探索三角形全等的条件 4三角形的尺规作图 5利用三角形全等测距离 回顾与思考 复习题 第二章轴对称 1轴对称现象 2探索轴对称的性质 3简单的轴对称图形 4利用轴对称进行设计 回顾与思考
章节测试题 1.【答题】（浙江舟山中考）分解因式：ab-b2=______．【答案】 【分析】 【解答】 2.【答题】（大连中考）因式分解：x2-x=______． 【答案】 【分析】 【解答】 3.【题文】把下列各式因式分解： （1）4ab-2a3b； （2）3ab3+6ab2-12ab； （3）x2y-2x2y3-3x3y； （4）-x2+xy-xz； （5）12xyz-9x2y2． 【答案】解：（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）． 【分析】 【解答】 4.【答题】下列多项式：①-4m2+9，②9m2-4n，③4m2+12m+9，④9m2-6mn+n2．其中有一个相同因式的多项式是（） A. ①和② B. ①和④ C. ①和③ D. ②和④【答案】C 【分析】 【解答】 5.【答题】-22019+（-2）2020因式分解后的结果是（） A. 22019 B. -2 C. -22019 D. -1 【答案】A 【分析】 【解答】 6.【答题】若a+b=3，ab=-2，则代数式a2b+ab2的值为（） A. 1 B. -1 C. -6 D. 6
【分析】 【解答】 7.【答题】当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为（） A. 2 B. 0 C. -2 D. -1 【答案】C 【分析】 【解答】 8.【答题】单项式12x m y n-1与-18x m+1y n的公因式是______． 【答案】 【分析】 【解答】 9.【答题】应用简便方法计算：4.3×199.8+4.6×199.8+1.1×199.8=______．【答案】1998 【分析】 【解答】 10.【答题】计算：39×37-13×34=______． 【答案】390
义务教育基础课程初中教学资料 提公因式法 教学目标 1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系． 2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式． 3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力. 教学重点及难点 教学重点：因式分解的概念及提公因式法． 教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．教学过程设计： 一、复习提问 乘法对加法的分配律． 二、新课 1．新课引入：用类比的方法引入课题． 在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7． 在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法． 2．因式分解的概念： 请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．) 如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy (a+b)(a-b)＝a2-b2 (a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn (x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等． 再请学生观察它们有什么共同的特点？ 特点：左边，整式×整式；右边，是多项式． 可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解． 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)． 整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc． 让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别． 联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．