27.1 图形的相似
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比 .
2．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算． 【重点难点】
1．相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别．
2．成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算． 知识概览图
相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等
判断两个多边形相似：对应角相等，对应边的比相等
比例线段：有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段
是比例线段
新课导引
【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状相同的图形的形象．
【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．那么相似的图形具有哪些性质呢? 教材精华
知识点1 相似图形
我们把形状相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．例如：如图27－1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形．
图形的相似
当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等形．例如：如图27－2所示，△ABC 与△A ′
B ′
C ′的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两个三角形全等．
拓展 所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”．
知识点2 比例线段
对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a c
b
d
=
(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． (1)式子a c
b
d
=
也可以写成a ：b =c ：d ，通常这里的a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项． (2)有时在a c b
d =中，b ＝c ，例如：46
69=，这时我们把b 叫做a ，d 的比例中项，此时b 2＝ad ． (3)在式子a c
b d
=
的两边同时乘以bd ，得ad ＝cb ，在与比例有关的计算中，我们常通过上述变形转化字母之间的关系．
拓展 通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的单位应该一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致，c ，d 的单位一致也可以．
知识点3 相似多边形
对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．
拓展 在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能说明两个多边形是相似多边形．
知识点4 相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
例如：若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，则∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，
AB AC BC
A B A C B C
==
''''''. 拓展 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
知识点5 相似比
相似多边形对应边的比称为相似比．
拓展相似多边形面积的比等于相似比的平方．
规律方法小结 (1)相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的形状必须相同．如：两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、尺寸不同的两张照片．有些图形之间很相像，但不相似，如：哈哈镜中人的形象与本人不相似；农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似．
(2)学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．探究交流当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系?
点拨相似比为1的两个图形是全等形．
课堂检测
基本概念题
1、下列多边形中，一定相似的是 ( )
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个平行四边形
2、下列命题中，正确的是 ( )
A．相似多边形是全等多边形 B．不全等的多边形不是相似多边形
C．全等多边形是相似多边形 D．不相似的多边形可能是全等多边形
3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项，b＝3，c＝12，那么线段a的长是多少?
基础知识应用题
4、如果两地的实际距离为750m，图上距离为5 cm,那么这张图的比例尺是多少?
5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA＝20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D，的各边长．
综合应用题
6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′，相似，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′B′＝6 cm，AD＝5 cm，求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数．
7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5 m的竹竿的影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高度为 ( )
A．20 m B．16 m
C．18 m D．15 m
探索与创新题
8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金分割点，求AC:BC的值．
体验中考
在同一时刻，身高为1．6米的小强在阳光下的影长为0．8米，一棵大树的影长为4．8米，则这棵树的高度为 ( )
A．4．8米 B．6．4米
C．9．6米 D．10米
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析根据相似多边形的定义，两个矩形只满足对应角相等，而对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角也不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°，一定相似；两个平行四边形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等．故选C.
【解题策略】判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不可．
2、分析全等多边形是特殊的相似多边形．故选C.
【解题策略】如果两个多边形全等，则一定相似，但是如果两个多边形相似，则不一定全等．
3、分析四条线段a，b，c，d是成比例线段，若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，则把b叫做a和c的比例中项．将a：b＝c：d变形，可得到bc＝ad，当a：b＝b:c时，有b2＝ac．
解：∵a是b，c的比例中项，且b＝3，c＝12，
∴a2＝bc＝3312＝36，∴a＝±6．
∵a 是线段，∴线段a 的长是6．
【解题策略】 如果线段a 是线段b ，c 的比例中项，那么a 2=bc ．(其中a ，b ，c 均为正数) 4、分析 图的比例尺是一种比例关系，是图上距离与实际距离的比，通常写成1：x 的形式，也就是说，图上的1 cm 相当于实际的x cm ，如某图的比例尺为1：40000，就是说图上的1 cm 相当于实际的40000 cm ，即400 m.
解：∵750 m ＝75000 cm ，∴5:75000＝1:15000，
即这张图的比例尺是1:15000．
【解题策略】 不论是将图形放大还是缩小，比例尺都是图上距离与实际距离的比． 5、分析 根据四边形ABCD 各边的比为20：15：9：8可得四边形A ′B ′C ′D ′各边的比也为20：15：9：8，再根据四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，可求出各条边的长． 解：∵四边形ABD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，且AB :BC :CD :DA ＝20:15:9:8，
∴A ′B ′：B ′C ′：C ′D ′：D ′A ′＝20：15：9：8． 又∵四边形A ′B ′C ′D ′的周长为26，
∴A ′B ′=26320201598+++=10，B ′C ′=26315
201598
+++=7．5，
C ′
D ′=263
9201598+++=4．5，D ′A ′=26320
201598
+++=4，
即四边形A ′B ′C ′D ′的各边长分别为A ′B ′＝10，B ′C ′＝7．5，C ′D ′＝4．5，D ′
A ′＝4．
【解题策略】 相似多边形的相似比等于对应边的比．
6、分析 充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题． 解：∵等腰梯形ABCD 与等腰梯形A ′B ′C ′D ′相似，
∴∠A ＝∠A ′=65°，AB AD
A B A D =
''''
， 即8
56
A D =
''
，∴A ′D ′=15
4(cm)，
∴B ′C ′＝
15
4
cm ，∠A ′＝∠B ′＝65°， ∴∠C ′＝∠D ′＝180°－65°＝115°．
【解题策略】 本题是一道综合性题目，在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．
7、分析 本题考查比例线段的基本性质．因为同一时刻物高与影长成比例，所以
2.5301.5=
旗杆的高度
，∴旗杆的高度＝30 1.5
2.5?＝18(m)．故选C ． 【解题策略】 解决此类问题时，也可以根据比例式列出方程，通过解方程求出旗杆的高度． 8、分析 黄金分割点指的是线段上的某一点，它将线段所分成的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比例中项，其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，
黄金比的近似值约为0.618
解：当AC ＞BC 时，AC AB 1)，
∴BC =AB －AC =8－4(－1)=12－=4(3)，
∴AC ：BC =4(－1)：4(3．
当AC ＜BC 时，BC AB 1)，
∴AC =AB －BC =4(3－)，
∴AC :BC =4(3－－． 【解题策略】 对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论． 体验中考
分析 设这棵树的高度为x 米，则1.6：0.8＝x ：4.8，解得x ＝9.6．故选C ． 【解题策略】 相同时刻的物高与影长成比例．
27.2 相似三角形应用举例
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．进一步巩固相似三角形的知识．
2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
【重点难点】
1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
知识概览图
相似三角形的应用：灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题．
新课导引
【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她2 m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?
【问题探究】由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝2 m，P C＝6 m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?由已知可证Rt△APB∽Rt△C PD，由相似三角形的性质可知AB AP
=，
DC PC
即1.82
=，所以DC＝5.4(m)．利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题．DC
6
教材精华
知识点应用相似三角形的知识解决实际问题
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．拓展求线段的长度时，可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，
在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS
垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，
如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ．
2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法，如图27－39所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB且已知O′B′=1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB．
综合应用题
3、如图27－40所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少?
4、如图27—41所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC=4 cm，AB＝8 c m，D，E，F分别为AB，AC，BC边的中点，P为AB边上一点，过P作PQ∥BC交AC于Q，以PQ为一边，在点A的另一侧作正方形PQMN，若AP＝3 c m，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积．
探索与创新题
5、教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0．9 m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图27－42所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7 m，落在墙壁上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．
体验中考
小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图27－45所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA ＝0．2 m ，OB ＝40 m ，AA ′＝0．0015 m ，则小明射击到的点B ′，偏离目标点B 的长度BB ′为 ( )
A ．3 m
B ．0．3 m
C ．0．03 m
D ．0．2 m
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
1、分析 可利用三角形相似的性质来求解． 解：∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ，
∴Rt △PQR ∽Rt △PST ，∴
PQ QR
PS ST
=
， 即PQ QR PQ QS ST =+，∴60
4590
PQ PQ =+，
PQ 390=(PQ +45)360，解得PQ ＝90． 故河宽大约为90 m ．
【解题策略】 利用相似三角形的性质能够测量不方便到达的两点间的距离． 2、分析 要求OB 的长度，可以通过证明△OAB ∽△O ′A ′B ′，从而得到比例式OB AB
O B A B =
''''
，进而求解．
解：∵太阳光是平行光线， ∴∠OAB ＝∠O ′A ′B ′． 又∵∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，
∴△OAB ∽△O ′A ′B ′， ∴OB ：O ′B ′＝AB ：A ′B ′， ∴OB =
2741
2
AB O B A B ''?=
'' =137(米)． 故金字塔的高度为137米．
【解题策略】 本题重点考查阅读理解能力和知识的迁移运用能力，从而计算出不能直接测量的物体的高度．
3、分析 若四边形PQMN 为正方形，则AE ⊥PN ，这样△APN 的高可以写成AD －ED ＝AD －PN ，再由△APN ∽△ABC ，即可找到PN 与已知条件之间的联系．
解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△
ABC 的高AD 与正方形PQMN 的边PN 相交于E ，设正方形的边长为x mm ． ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ， ∴AE PN
AD BC
=
, ∴
160160x -=240
x
,解得x =96(mm)， ∴加工成的正方形零件的边长为96 mm ．
【解题策略】 本题中相似三角形的知识有了一个实际意义，所以在解题时要善于把生活中的问题转化为数学问题来解决．
4、分析 由于PQ ∥BC ，所以
PQ AP
BC AB
=
，从而可求出PQ 的长，而四边形PQMN 是正方形，所以PN 的长及DN 的长都可以求出来．由于正方形FQMN 与矩形EDBF 的公共部分是矩形，故只要求出DN ，MN 的长，就可以求出矩形的面积．
解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB =8 cm ，BC ＝4 cm ，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 边的中点，
则AD ＝4 c m ，DE ∥BC ，DE ⊥AB ． 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴
AP PQ AB BC =
，即384PQ =，∴PQ =3
2
. 由四边形PQMN 是正方形，得PN ＝3
2
， ∴A N ＝92
，DN ＝AN －AD ＝12
，
∴正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积为： DN 2MN =DN 2PQ =12
332
=34
(cm 2)．
【解题策略】 本题考查了直角三角形、正方形与相似三角形知识的综合应用，要熟练掌握每一种几何图形的性质．
5、分析 首先根据题意画出示意图(如图27－43所示)，把实际问题抽象成数学问题，从而利用△PQR ∽△DEC ，△PQR ∽△ABC 求出树高AB ．
解：如图27－43(1)所示，延长AD ，BE 相交于C ，则CE 是树的影长的一部分．
由题意可得△PQR ∽△DEC ，∴PQ QR
DE EC
=
， 即
10.9
1.2CE
=
，∴CE =1.08(m)， ∴BC ＝BE +CE ＝2.7+1.08＝3.78(m)． 又∵△PQR ∽△ABC ，∴
PQ QR
AB BC
=
， 即
10.9
3.78
AB =
，∴AB =4.2(m)， 故树高为4．2 m ． 体验中考
分析 由三角形相似可得
OA AA OB BB '='，∴BB ′=OB AA OA
' =400.0015
0.2?=0.3(m)．故选B. 【解题策略】 解决此题的关键是根据AA ′∥BB ′，从
27.2.3 相似三角形的周长与面积
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2．能用三角形的性质解决简单的问题． 【重点难点】
1．相似三角形的性质与运用．
2．相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 知识概览图
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比(相似多边形周长的比等于相似比)
相似三角形面积的比等于相似比的平方(相似多边形面积的比等于相似比的平方)
新课导引
【生活链接】 如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系?它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?
【问题探究】 前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢? 教材精华
知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比 AB
A B
''＝k ，那么 如图27－57所示，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且
相似三角形 的周长与面 积
△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，过A 作AD ⊥BC ，过A ′作A ′D ′⊥B ′C ′，垂足分别为D ，D ′，在△ABD 与△A ′B ′D ′中，∠B ＝∠B ′，∠ADB ＝∠A ′D ′B ′＝90°，所以Rt △ABD ∽Rt △A ′B ′
D ′，所以
AD AB
A D A
B =
''''
＝k ，即相似三角形对应高的比等于相似比k ． 知识点2 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 如图27－58所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AD ，A ′
D ′分别为△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，B
E ，B ′E ′分别为△ABC 和△A ′B ′C ′的
角平分线，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，则
AD AB
A D A
B =
''''
＝k ． 知识点3 相似三角形周长的比等于相似比
如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，并且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，那么AB BC AC
A B B C A C ==
''''''
＝k ，则
AB ＝k 2A ′B ′，BC =k 2B ′C ′，AC ＝k 2A ′C ′，因此
()
ABC AB BC CA kA B kB C kA C k A B B C C A k A B C A B B C C A A B B C C A A B B C C A ''''''''''''++++++===='''''''''''''''''''''
++++++△的周长△的周长，即相似三角形周长的比
等于相似比．
例如：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，则这两个三角形的相似比为
605726=，且5
6
AB BC A B B C ==''''，因为AB ＝15
cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以A ′B ′＝18 c m ，BC ＝20 c m ，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．
知识点4 相似多边形周长的比等于相似比
如果多边形A 1A 2…A n 与多边形A 1′A 2′…A n ′相似，并且多边形A 1A 2…A n 与多边形A 1′
A 2′…A n ′的相似比为k ，则
23112
12231n n A A A A A A A A A A A A ==''''''
…＝k ，∴A 1A 2＝kA 1′A 2′，A 2A 3＝kA 2′A 3′，…，A n A 1＝kAn ′A 1′，∴A 1A 2+A 2A 3+…+A n A 1＝k (A 1′A 2′+A 2′A 3′+…+A n ′A 1′)，∴1223112231
n n AA AA AA A A A A A A +++''''''+++…
…＝k ，即相似多边形周长的比等于相似比.
知识点5 相似三角形面积的比等于相似比的平方
若△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD ，A ′D ′分别是BC 与B ′C ′边上的高，则
1
22
ABC
A B C BC AD
S BC AD S B C A D B C A D '''
===
'''''''' △△ =k 2k =k 2,即相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点6 相似多边形面积的比等于相似比的平方
对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方．对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方．
规律方法小结 (1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比．
(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．
(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论．
课堂检测
基本概念题
1、(1)若两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为；
(2)若两个相似三角形的周长比为3：2，则它们的相似比为；
(3)若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周长为12，则△ABC的周长为 .
基础知识应用题
2、如图27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
3、如图27－60所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别为18和2，DE＝2，求AC边上的高．
4、如图27－61所示，在△ABC与△CAD中，AD∥BC，CD交AB于点E，且AE：E B＝1:2，EF∥BC交AC于点F，且S
＝1，求S△BCE和S△AEF．
△ADE
5、如图27－62所示，AD是△ABC的角平分线，BH⊥AD于点H，CK⊥AD于点K，求证AB2DK ＝AC2DH．
综合应用题
6、如图27－63所示，在梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△COD的面积为a2，△AOB的面积为b2，其中a＞0，b＞0，求梯形ABCD的面积S．
探索与创新题
7、如图27－64所示，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB延长线上一点，OE交BC 于点F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．
8、如图27－65所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证△ABC∽△FCD；
＝5，BC＝10，求DE的长
(2)若S
体验中考
1、已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为．
2、如图27－67所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，
∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
(1)求证EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
1、分析 (1)∵两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴k 2＝1
2
，且k ＞0，∴k
．(2)∵相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为3:2，∴相似三角形的相似比为3：2．(3)∵相似比5：3，∴53ABC A B C ='''△的周长△的周长.又∵△A ′B ′C ′的周长为12，∴12
ABC △的周长＝5
3，∴△ABC 的周
长为20．
答案：
(1) 2 (2)3：2 (3)20
【解题策略】 解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求解．
2、分析 先说明△ABC ∽△DEF ，再运用相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方进行求解． 解：在△ABC 和△DEF 中，
∵AB =2DE ，AC =2DF ，∴
1
.2
DE DF AB AC == 又∵∠D ＝∠A ，∴△DEF ∽△ABC ，且相似比为12
． ∴
12DEF ABC =△的周长△的周长.即1
242
DEF =△的周长，
∴△DEF 的周长为12．
∴2
12DEF ABC S S ??
= ???△△，即2
1482DEF S ??= ???
△， ∴S △DEF ＝12．
即△DEF 的周长为12，面积为12．
【解题策略】 解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解．
3、分析 若求AC 边上的高，就要把AC 边上的高作出来，由于△ABC 的面积为18，因此只要求出AC 边的长，就可以求出AC 边上的高． 解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F ．
浅谈初三数学“导学案”的编制与应用 浅谈初三数学“导学案”的编制与应用 民乐县第四中学：杨学贵 【关键词】共同参与；原则；要求；基本流程 今年我校制定了以“学案导学”来带动教师的教学方式转变、带动学生的学习方式转变的教改思路。数学组的老师们在学校领导的大力倡导和指导下，他们投入了大量的时间与精力编写导学案。一份好的导学案既能承载学生的学习目标，又能强化知识之间的紧密联系，是一个学科知识的循环系统。它能保证学生通过自主学习掌握知识，并逐步升华为一种学习能力。为此，“导学案”的科学、恰当的编制和应用显得极为重要。 一、导学案与传统的教案的不同之处 导学案是用于指导学生自主学习、主动参与、合作探究、优化发展的学习方案，也是教师指导学生学习的方案。如果用一个比喻来概括，导学案就是学生学会学习、学会创新、自主发展的路线图。好的导学案能将知识问题化，能力过程化，情感、态度价值观的培养潜移化。导学案与传统的教案不同。导学案的制定是基于学生的“学”，而非教师的“教”，所解决的重点问题是“学什么”、“怎样学”、“学到什么程度”，力求把学生放到主体地位上来。学案是师生共同参与、良好互动的载体。而传统的教案和讲学稿是从教师的“教”出发，重在解决“教什么”、“怎样教”的问题，强调的只是传授的结果而非学生“学”的过程。 二、编制导学案过程中需要遵循的原则和具体要求 导学案编写应遵循这样几个基本原则：一是主体性原则。导学案设计不同于教案，必须尊重学生，信任学生，留给学生时间，让学生自主发展，学生作为课堂唯一的主人，其主体地位应凸显出来。二是导学性原则。导学案重在引导学生自学，要做到目标明确，流
人教版九年级英语下册所有3a翻译 4页3a 你怎样学得很棒？ 这个星期我们在新星高中询问了学生关于学习英语最佳的方式。通过讯问有关于学习英语的方法，许多学生说他们学会了。有些学生有更加具体的建议。莉 莲?李，例如，最佳的方式学会新的单词是通过读英国杂志。说那记住流行音乐 歌曲的词她也被帮助有点。当我们询问学习语法，她说，我未曾学习语法, 太乏味。韦明不同有的感觉。他学习英语六年并真正地爱学英语。他认为学习语法是一个巨大方式以用来学会语言。他也认为那观看的英国电影并不是一个坏办法，因为他可以观看演员说词。有时，因为人民太迅速，讲话然而，他发现观看的电影挫败。刘畅说参加学校英语俱乐部是最佳的方式以改进她的英语。学生得到许多实践，并且他们也获得乐趣。她增加了与朋友的交谈可使用中文根本不是有用的。她说。 6页3a 我怎么学习英语的 去年我英语成绩很糟,首先明白老师在说什么对我来说不容易,一开始,她说的很快,我不能明白每一个词,之后我意识到如果你不明白每一个词是没关系的,我还是害怕在班上说英语,因为我想我的同学会嘲笑我,我不能总是造出一个完整的句子.然后我开始看英语-语言的节目.它帮了我许多.我想做听力练习是学好一门语言的方法之一.另外我发现非常难的是英语语法,所以我决定在每节课上做大量语法笔记.然后我用我学的语法开始写我自己最初的句子.这大量的帮助是令人吃惊的.现在我享受学英语,我有了这段时期.我的老师很感动. 14页3a 我最大的问题 我最大的问题就是太忙了。在我小的时候，我常常有很多的时间，但这些天我起得很早，然后整天呆在学校里。然后直接回家吃晚饭。在我上高中前，我常常花很多的时间和我的朋友们玩游戏，但是我现在再也没有这样的时间了。傍晚，我过去常常看电视或是和我的奶奶聊天，但是我现在不得不学习。我热爱音乐，过去我爸爸常带我去听音乐会。这些天，我几乎没有时间去听音乐会了。我做家庭作业然后睡觉。我真的好怀念过去的日子啊。 对于大多数问题，你若回答C，那么你大概很自信。社会的情况基本上不会阻挠你。你知道你想要什么，并且你知道怎样去得到它。有些时候你可能对着别人发火，因为你太自信了。
第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。
说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根
2016年九年级下学期英语工作计划 一、指导思想 认真学习学科教学大纲和全册教材，根据教材和学生的实际，确定重点难点。面向全体学生，关注每个学生的情感，激发他们学习英语的兴趣，帮助他们建立学习的成就感和自信心。突出学生主体，尊重个体差异，实行分层次教学。引导学生在用中学英语，在做中学英语。改变学生的观念，“我要学”而非“要我学”！让学生在学习英语的过程中体会学习英语的乐趣和感受成功。完成《新课标》所规定的教学内容。为社会培养有用人才，为高一级学校输送合格新生。 二、学情分析 从学习情况及知识技能掌握情况看，大部分学生学习积极性高，学习目的明确，上课认真，作业能按时按量完成，且质量较好，能起到较好的模范带头作用。但也有少部分学生，基础知识薄弱，学习态度欠端正，书写较潦草，作业有时不能及时完成，还有三个学习能力有很大欠缺。已经对英语失去了信心，还有一部分学生觉得英语越来越难，渐渐力不从心了，不感兴趣了，学生上课的注意力也不集中了，发言也不是很活跃。针对这种情况，教学的时候需要注意在备课中增加趣味性，以此来提高学生对英语学习的兴趣。 三、教材分析 我们使用的是新目标教材，由人民教育出版社与汤姆森学习出版集团
合作改编而成的。具有如下的特点： 1．教材内容体系的安排由浅入深，循序渐进，由简单到复杂逐步过渡；重视新旧知识的结合和语言语言现象的复现。 2．体例体系新，教材创造了国内最新版课标英语教材编写体例、体系，编写思路清晰，符合学生认知发展规律，方便初学者培养英语学习兴趣，从而很快进入英语学习的状态。单元按语言功能意念项目编排，每一话题四个小节（section）按听说读写的语言技能编排。3．语言地道，对话之中融入情感态度和文化意识，使学生能在交流中用英语介绍祖国文化，加深对中华民族文化的理解。 4．好教易学，教材充分体现新课标的指导思想，把任务型教学与交际教学法灵活地运用于英语课堂。 四、教学措施与教学方法 本期要复习完成好初中三年来所学的全部内容。本期的重点是对初中三年来所学的语法和常用表达法进行归类，如：各种时态，近义词的辨析；难点是名词的拓展用法和动词短语，这些重难点都应通过在语言材料的学习中及时强化和总结。利用多媒体图文并茂、生动活泼地呈现教学内容，把语言学习和实际生活结合起来，增强学生的听说能力。并通过开展各种任务性活动，巩固所学的知识。鼓励学生通过思考、体验、参与、合作等方式来学习，增强学生独立思考的良好习惯以及口语表达和合作学习的能力；通过阅读训练，培养学生根据不同的阅读任务，运用适宜的阅读策略获取信息的本领，达到提高学生的
人教版初中数学知识点总结目录 七年级数学（上）知识点(1) 第一章有理数(1) 第二章整式的加减(3) 第三章一元一次方程(4) 第四章图形的认识初步(5) 七年级数学（下）知识点(6) 第五章相交线与平行线(6) 第六章平面直角坐标系(8) 第七章三角形(9) 第八章二元一次方程组(12) 第九章不等式与不等式组(13) 第十章数据的收集、整理与描述(13) 八年级数学（上）知识点(14) 第十一章全等三角形(14) 第十二章轴对称(15) 第十三章实数(16) 第十四章一次函数(17) 第十五章整式的乘除与分解因式(18) 八年级数学（下）知识点(19) 第十六章分式(19) 第十七章反比例函数(20) 第十八章勾股定理(21) 第十九章四边形(22) 第二十章数据的分析(23) 九年级数学（上）知识点(24) 第二十一章二次根式(24) 第二十二章一元二次根式(25) 第二十三章旋转(26) 第二十四章圆(27)
第二十五章概率(28) 九年级数学（下）知识点(30) 第二十六章二次函数(30) 第二十七章相似(32) 第二十八章锐角三角函数(33) 第二十九章投影与视图(34) 1 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
人教版英语九年级下册语法 1 冠词a/an/the/x的辨析 1. 不定冠词 (1) 不定冠词有两个：a和an。a用于以辅音音素开头的单词之前，an用于以元音音素开头的单词之前。当形容词修饰名词时，冠词要放在形容词的前面，这时用a或an取决于这个形容词的读音。 (2) 不定冠词的用法： ①用于第一次提到的、不确定的人或物(可数名词)之前； ②用于重量或时间等表示单位的名词前面，是“每……”的意思； ③表示职业、身份； ④用于数字hundred, thousand, million、量词之前； ⑤用于一些固定词组中，如：have a rest 休息；make a living 谋生。例： I read a book every month. 我每个月读一本书。 An apple a day keeps the doctor away. 每天一个苹果，医生远离我。 注意：有些单词虽然以元音字母开头，但是前面用不定冠词a，如university （大学）。这是因为u在此发[ ju: ]，以辅音音素开头用a。同样，有些单词虽然以辅音字母开头，但是前面用不定冠词an，如hour。这是因为h在此不发音，ou发[a?]的音，以元音音素开头用an。 2. 定冠词the (1) 一般用法： ①用于第二次谈到的人或物。 ②用于双方共知的人或物。 ③“the + n.单数”可以表示一类人或物。 例： The telephone was invented by Bell. 电话是由Bell发明的。 ④指世界上独一无二的事物。 (2) 特殊用法: 定冠词常用于一些特定词的前面。助记： 沙漠、河流与群山；列岛、海峡与海湾；阶级、党派、国家名；组织、团体和机关；方位、朝代、独一词；会议、文件及报刊；乐器、建筑、海洋群；定冠词帽 戴在前。 ①用于姓氏复数之前表示夫妇或全家人。 ②“the + adj.”表示一类人或物。如：the young 年轻人。 ③用于一些固定词组中：
课题：一元一次方程导学案 实际问题与一元一次方程（三） 编写教师： 学生姓名： 导学目标： 1、 掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 2、 通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型， 并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 3、 鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。 重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。 难点：把实际问题转化为数学问题。 教学过程： 一、引入新课 请同学们看课本P106中“某次篮球联赛积分榜”。 学生观察积分榜，并思考下列问题： （1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 在学生充分思考、合作交流后，教师引导学生分析。 要解决问题（1）必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积 几分吗？你选择其中哪一行最能说明负一场积几分？ 通过观察积分榜，从最下面一行数据可以发现，负一场积1分，那么胜一场积几分呢？ 解：设胜一场积x 分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x 的值。 例如从第三行的方程：23159=?+x ，解得x=2. 用表中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分. （1） 如果一个队胜m 场，则负(14-m)场，胜场积分为2m ，负场积分为14-m ， 总积分为2m+(14-m)=m+14。 （2） 如果设一个队胜了x 场，则负了（14-x ）场，若这个队的胜场总积分等于负场总积 分，那么列方程为：x x -=142，解得3 14=x . 想一想，x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 这里x 表示一个队所胜得场数，它是一个整数，所以314= x 不符合实际意义。由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 拓展延伸： 如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系 吗？ 设胜一场积x 分，则前进队胜场积分为10x ，负场积分为（24 -10x ）分，他负了4场，
初三数学应知应会的知识点 一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=>有两个不等的实根； Δ=0<=>有两个相等的实根； Δ＜0 <=>无实根；Δ≥0 <=>有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2a c 4b b x ) 1(212122 ,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2 -4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数?a b -= 0且Δ≥0?b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数?a c =1且Δ≥0?a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根?a c = 0且a b -≠0?c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ?a c = 0且a b -= 0?c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 ?a c =0?c=0； （6）两根异号 ?a c ＜0 ?a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值?a c ＜0且a b -＞0?a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?a c ＜0且a b -＜0?a 、c 异号且a 、b 同号； （9）有两个正根 ?a c ＞0，a b -＞0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0； （10）有两个负根 ?a c ＞0，a b -＜0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0. 6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解. ax 2 +bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2 +bx+c=??? ? ?? ----???? ? ?-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式： x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a ,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： . 0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母 两边同乘最简 去分母法
Unit 11 Sad movies make me cry. Language Goal 【语言目标】 Talk about how things affect you Knowledge Goals 【知识目标】 Key Words drive，friendship，king，power，banker，pale，queen， examine，nor，palace，wealth，grey，lemon，uncomfortable， weight，shoulder，goal，coach，kick，courage，pull， nod，agreement，disappoint Key Phrases would rather，drive sb.crazy/mad，the more…the more…， be friends with sb.，leave out，call in，neither…nor…， to start with，let…down，kick sb.off，be hard on sb.，rather than，pull together Key Sentences 1.The loud music makes me nervous. 2．Sad movies don't make John cry. 3．Money and fame don't always make people happy. 4．She said that the sad movie made her feel like crying. Key Grammar Learn to use “make＋sb.＋infinitive without to；make ＋sb.＋adj.” Ability Goals 【能力目标】 1.Develop listening，speaking，reading and writing skills by using the target languages. 2．Learn to talk about how things affect you by using “make sb.do sth.”and “make sb. adj.”. Moral Goals 【情感目标】 With the help of this unit's study，students should know that things affect our feelings.We should treat it correctly and be happy and active in our life. Teaching Time 【课时】 Five periods Period 1 Section A(1a－2d) Period 2 Section A(3a－4b) Period 3 Section B(1a－1e) Period 4 Section B(2a－2e) Period 5 Section B(3a－3b) & Self Check 本单元围绕情感的话题，通过学习让学生能够表达自己的感受。Section A通过谈论不同事物对情绪的影响，要求学生学习与情感有关的词汇，并通过听说读写逐步掌握make作使役动词的语言结构，学习掌握表达情绪和感受的形容词和动词，学习make＋sb.＋do sth.和
人教版初中数学知识点总 结总复习 Prepared on 22 November 2020
一、考试指导思想 初中毕业数学学业考试是依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。考试要有利于全面贯彻国家教育方针，推进素质教育；有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量；有利于数学课程改革，培养学生的创新精神和实践能力；有利于减轻学生过重的课业负担，促进学生生动、活泼、主动地学习。 数学学业考试命题应当根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，面向全体学生，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能正常表现自己的学习状况。学业考试要求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中教育阶段的数学学习所获得的发展状况。 数学学业考试要重视对学生学习数学的结果与过程的评价，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，重视对学生数学认识水平的评价；学业考试试卷要有效发挥选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、开放性问题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题及其它各种题型的功能，试题设计必须与其评价的目标相一致，加强对学生思维水平与思维特征的考查，使试题的解答过程体现《数学课程标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等。 二、考试内容和要求 （一）考试内容 数学学业考试应以《数学课程标准》所规定的四大学习领域，即数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用的内容为依据，主要考查基础知识、基本技能、基本体验和基本思想。 1．关注基础知识与基本技能 了解数的意义，理解数和代数运算的算理和算法，能够合理地进行基本运算与估算；能够在实际情境中有效地使用代数运算、代数模型及相关概念解决问题。 能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。 正确理解数据的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果做合理的预测；了解概率的涵义，能够借助概率模型或通过设计活动解释事件发生的概率。 有条件的地区还应当考查学生能否借助计算器进行较复杂的运算和从事数学规律的探究活动。 2.关注“数学活动过程” 包括数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究的意识、能力和信心等。也包括能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的语言有条理地表达数学的思考过程。 3．关注“数学思考”
九年级英语下·RJ Unit 11 Sad movies make me cry. Language Goal 【语言目标】 Talk about how things affect you Knowledge Goals 【知识目标】 Key Words drive，friendship，king，power，banker，pale，queen，examine，nor，palace，wealth，grey，lemon，uncomfortable，weight，shoulder，goal，coach，kick，courage，pull，nod，agreement，disappoint Key Phrases would rather，drive sb.crazy/mad，the more…the more…，be friends with sb.，leave out，call in，neither…nor…，to start with，let…down，kick sb.off，be hard on sb.，rather than，pull together Key Sentences 1.The loud music makes me nervous. 2．Sad movies don't make John cry. 3．Money and fame don't always make people happy. 4．She said that the sad movie made her feel like crying. Key Grammar Learn to use “make＋sb.＋infinitive without to； make＋sb.＋adj.” Ability Goals 【能力目标】1.Develop listening，speaking，reading and writing skills by using the target languages. 2．Learn to talk about how things affect you by using “make sb.do sth.” and “make sb. adj.”. Moral Goals With the help of this unit's study，students should
初三知识整理 全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体 九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节： 第21章二次根式第22章一元二次方程 第23章旋转第24章圆 第25 章概率初步 本册书内容分析如下： 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： （1）是一个非负数； （2）≥0）； （3） (a≥0)． 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)， (a≥0，b>0)， 并运用它们进行二次根式的化简。
“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 （1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 （3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
苏教版初中数学一轮复习资料（教师用） 目录 1、第1课时实数的有关概念....................................................................... (2) 2、第2课时实数的运算....................................................................... .. (4) 3、第3课时整式与分解因式....................................................................... (6) 4、第4课时分式与分式方程....................................................................... (8) 5、第5课时二次根式....................................................................... (10) 6、第6课时一元一次方程和二元一次方程 （组） (12) 7、第7课时一元二次方程....................................................................... (14) 8、第8课时方程的应用（一）...................................................................
(16) 9、第9课时方程的应用（二）................................................................... (18) 10、第10课时一元一次不等式（组） (20) 11、第11课时平面直角坐标系、函数及图 像 (22) 12、第12课时一次函数图像及性 质 (24) 13、第13课时一次函数应用....................................................................... (26) 14、第14课时反比例函数图像和性 质 (28) 15、第15课时二次函数图像和性 质 (30) 16、第16课时二次函数应用....................................................................... (32)
Until 1.n. 教科书；课本 2.n. 交谈；谈话 3.adv. 大声地；出声地 4.n. 发音；读音 5.n. 句子 6.adj. 有耐心的n. 病人 7.n. 表达（方式）；表示 8.$ 9.v. 发现；发觉 10.n. 秘密；秘诀adj. 秘密的；保密的 11.爱上；与??相爱 12.n. 语法 13.v. 重复；重做 14.n. 笔记；记录v. 注意；指出 15.n. 朋友；伙伴 16.n. 模式；方式 17.$ 18.n. 物理；物理学 19.n. 化学 20.n. 搭档；同伴 21.v. 发音 22.v. 增加；增长 23.n. 速度 24.n. 能力；才能 25.n. 大脑 26.[ 27.adj. 活跃的；积极的 28.n. 注意；关注 29.注意；关注 30.v.（使）连接；与??有联系 31.把??和??连接或联系起来 32.adv. 一夜之间；在夜间 33.v. & n. 回顾；复习 34.知识；学问 35.[ 36.adv. 明智地；聪明地 Annie /{ni/ 安妮（女名） Alexander Graham Bell 亚历山大?格雷厄姆?贝尔Unit2 1.n. 灯笼 2.n. 陌生人 3.。 4.n. 亲属；亲戚 5.增加（体重）；发胖 6.n. 磅（重量单位）；英镑（英国货币单位） 7.adj. 民间的；民俗的 8.n. 女神 9.v. 偷；窃取 10.v.放置；安放；产（卵）；下（蛋） 11.摆开；布置 12.| 13.n（饭后）甜点；甜食 14.n. 花园；园子 15.v.欣赏；仰慕 16.n.领带v. 捆；束 17.adj. 有鬼魂出没的；闹鬼的 18.n.鬼；鬼魂 19.n. 花招；把戏 20.款待；招待v. 招待；请（客） 21.% 22.n. 蜘蛛 23.n.圣诞节 24.n. 蠢人；傻瓜v. 愚弄adj. 愚蠢的 25.v.平躺；处于 26.n.（长篇）小说 27.n（尤指宗教节假日的）前夕；前夜 28.n.书店 29.adj. 死的；失去生命的 30.; 31.n.生意；商业 32.n.处罚；惩罚 33.v. 警告；告诫 34.n.现在；礼物adj. 现在的 35.pron. 没有人 36.n.温暖；暖和 37.v.传播；展开n. 蔓延；传播 《 Macao 澳门 Chiang Mai 清迈（泰国城市） Halloween 万圣节前夕 St. Valentine’ Day 情人节 Clara 克拉拉（女名）
人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式
四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点
第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数；
0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
Unit13 知识要点梳理 【重点短语】 1. at the bottom of the river 在河床底部 2. be full of the rubbish 充满了垃圾 3. throw litter into the river 把垃圾扔入河中 4. play a part in cleaning it up 尽一份力把它清理干净 5. land pollution 土地污染 6. fill the air with black smoke 使空气中充满了黑烟 7. cut down air pollution 减少空气污染 8. make a difference 产生影响 17. take action 采取行动 18. turn off 关掉 19. pay for 付费 20. add up 累加 21. use public transportation 使用公共交通 22. recycle books and paper 回收书和废纸 23. use paper napkins 使用纸巾 24. turn off the shower 关掉喷头 25. ride in cars 开车出行
【重点句型】 1. Even the bottom of the river was full of rubbish. 甚至河底都充满垃圾。 2. Everyone in town should play a part in cleaning it up. 城里的每个人都应当尽一份力把它清理干净。 3. The air is badly polluted because there are too many cars on the road these days. 空气被严重污染因为如今路上的汽车太多了。 4. To cut down air pollution, we should take the bus or subway instead of driving. 为了减少空气污染，我们应当乘坐公汽或地铁而不是开车。 5. I used to be able to see stars in the sky. 我过去能在天空中看到星星。 6. The air has become really polluted around here. I’m getting very worried. 这儿的空气真的已经被污染了，我非常担心。 7. No scientific studies have shown that shark fins are good for health. 没有科学研究说明鱼鳍对人们的健康有好处。 【考点详解】 1. pay的基本用法 （1）pay （sb.）money for sth. 付钱（给某人）买…… 例：I have to pay them 20 pounds for this room each month. 我每个月要付20英磅的房租。 （2）pay for sth. 付……的钱。 例：I have to pay for the book lost. 我不得不赔丢失的书款。 （3）pay for sb. 替某人付钱。
宜宾县课改联盟学校九年级数学科导学案 一、学习目标 1.掌握利用图形的相似测量物体的高度，并画出实际问题的平面示意图。 二、学习重点 重点：用相似三角形的知识解决旗杆等物体的测量问题。 三、自主预习 1.旧知回顾 (1)什么是相似三角形？. (2)相似三角形的性质是什么？ (3)相似三角形判定方法有哪些？ 四、合作探究 1.请你想办法测量一下学校操场旗杆有多高？ (1)如何利用太阳光照射的影子来测？能画出具体示意图吗？ (2)需要哪些测量工具？ (3)应测量哪些数据？ (4).小组合作，看看还有哪些方法？ 2.拿一根高 3.5米的竹竿立在离旗杆底部B27米的C处（如图）然后沿BC的方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A与竹杆顶部E恰好在同一直线上，又测得C,D两点间的距离为3米，小芳的目高1.5米这样便可知道旗杆的高度。 你认为这种测量方法可行吗？请说明理由？ A E F B C D
3.如图，小明在地面上放置了一个平面镜E 来测量旗杆AB 的高度，镜子与旗杆的距离EB=20米，镜子于小明的距离ED=2米，小明刚好从镜中看到旗杆的顶端A 。已知小明眼睛的高度CD=1.5米，则旗杆AB 的高度是多少米? 五、巩固反馈 1.某建筑物在地面的影长为36米，同时高为1.2米的侧杆影长为2米，那么该建筑物的高为_________米。 2.垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到期影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高___________米。 3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 4．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 5.在河的两岸有对应的A 、B 两点，请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB 的距离。并说明理由。 C D E A B