九年级数学几何模型压轴题单元综合测试（Word版含答案）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝5
3
．
【解析】
【分析】
（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】
解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝90°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC22
AB AC
+4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ， ∵∠DAE ＝45°，
∴∠FAD ＝∠FAB +∠BAD ＝∠CAE +∠BAD ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD ＝∠DAE ＝45°，
在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =??
∠=∠??=?
，
∴△FAD ≌△EAD （SAS ）， ∴DF ＝DE ， 设DE ＝x ，则DF ＝x ， ∵BC ＝4，
∴BF ＝CE ＝4﹣1﹣x ＝3﹣x ， ∵∠FBA ＝45°，∠ABC ＝45°， ∴∠FBD ＝90°，
由勾股定理得：DF 2＝BF 2+BD 2， x 2＝（3﹣x ）2+12， 解得：x ＝53
， 即DE ＝
53
． 【点睛】
本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
2．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；
（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若
161A E EC
=，求n
m 的值．
（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，
在BE左侧作矩形BEFG且始终保持
BE n
BG m
=，设AB=
33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
5
π；（2）
3
；（3）存在，63
+
【解析】
【分析】
（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出
∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；
（2）由△BCE∽△BA2D2，推出22
2
A D
CE n
CB A B m
==，可得CE=2n
m
，由161
A E
EC
=-推出16
A C
EC
=，推出A1C=
2
6
n
m
?，推出BH=A1C=
2
6
n
m
?，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到
3
FG
F
FM FE
D
==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.
【详解】
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，
∴BA1=2HA1，
∴∠ABA1=30°，
∴旋转角为30°， ∵BD=22125+=
， ∴D 到点D 1所经过路径的长度=3055
1806
ππ??=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2，
∴222A D CE n
CB A B m
==， ∴2n CE m
=，
∵1
61EA EC
=-， ∴
16A C
EC
=， ∴A 1C=2
6n m
?，
∴BH=A 1C=2
2
2
6n m n m
-=?，
∴4
2
2
26n m n m
-=?，
∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，
∴24
2416n n m m
-=?，
∴
3
n m =
（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；
由（2）可知，
3
BE n BG m ==
， ∵四边形BEFG 是矩形，
∴
3
FG FE =
， ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°， ∴∠DFG=∠MFE ， ∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°， ∴∠FDG=∠FME ， ∴△FDG ∽△FME ，
∴
3
FG F FM FE D ==
，
∵∠DFM=90°，tan FD FMD FM ∠=
=
， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，
∴FM DM =
；
在矩形ABCD 中，有
3
AD AB =
=3AD =， ∵MN ⊥AB ，
∴四边形ANMD 是矩形， ∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°， ∴PM=2MN=6，
∴NP=AB =， ∴DM=AN=BP=2，
∴222
FM DM =
=?=
∴6PF PM MF =+=+ 【点睛】
本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.
3．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC 中，把AB 点A 顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′．当α+β=180°时，请问△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：
特例验证：
(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．
猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①1
2
；②4
(2) AD=1
2
BC，理由见解析
(3)存在，313
【解析】
【分析】
(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可
求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=1
2
AB′=
1
2
BC
②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得
△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.
（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：
因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，
AD=1
2 BC；
(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O
假设P点存在，再证明理由.
根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM
DM
在；
∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=1
2 BM
DE=EM﹣DM
﹣
由已知DA
AE=DE
且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD
因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=1
2
BC
，利用线段长度可求得∠CDF=60°
利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，
得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.
【详解】
(1)①∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°
∵DB′=DC′
∴AD⊥B′C′
∵∠BAB′+∠CAC′=180°
∴∠BAC+∠B′AC′=180°
∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°
∴∠B′=∠C′=30°
∴AD=1
2
AB′=
1
2
BC
故答案：1 2
②∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∵∠BAC=90°
∴∠B′AC′=∠BAC=90°
在△BAC和△B′AC′中，
'
'"90
"
AB AB
BAC B AC
AC AC
=
?
?
∠=∠=??
?=
?
∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′
∵B
′D=DC′
∴AD=1
2
B′C′=
1
2
BC=4
故答案：4
(2)AD与BC的数量关系：AD=1
2
BC；理由如下：
延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，
∵∠BAB′+∠CAC′=180°，
∴∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠BAC=∠AB′M，
在△BAC和△AB′M中，
'
'
'
AC B M
BAC AB M
AB AB
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，
∴AD=1
2 BC；
(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：
延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作
△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：
∵∠A+∠B=120°，
∴∠ADC=150°，
∴∠MDC=30°，
在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，
∴CM3DM3，∠M=90°﹣∠MDC=60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM333，∠MBE=90°﹣∠M=30°，
∴EM=1
2
BM3
∴DE=EM﹣DM
∵DA
∴AE=DE，
∵BE⊥AD，
∴PA=PD，
∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，
在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=1
2 BC
∴tan∠CDF=CF
CD
=
6
，
∴∠CDF=60°，
∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，
∴∠CBE=∠CFD，
∵∠CBE=∠PCF，
∴∠CFD=∠PCF=30°，
∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，
在△FCP和△CFD中，
CPF CDF
PCF CFD CF CF
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△FCP≌△CFD(AAS)，
∴CD=PF，
∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠APD=60°，
∵∠BPF=∠CPF=90°﹣30°=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APD+∠BPC=180°，
∴△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系；
在Rt△PDQ中，∵∠PDQ=90°，PD=DA
DN=
1
2
CD=3，
∴PQ
．
【点睛】
本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.
4．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；
问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
【答案】（17；（25
【解析】
试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.
(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△A PP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.
（17
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′2；
连接PP′，在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′2，∠PB P′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP5
∵2
22
+，即AP′2+PP′2=AP2；
125
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠B PC=∠AP′B=135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；
∴∠BPC=135°，正方形边长为5．
点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.
5．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．
（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，
AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．
（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且
∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．
【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.
【解析】
试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，
FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明
△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，
△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．
试题解析：(1)特例发现，如图：
∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，
∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，
∴FQ=AG，∴PE=FQ；
(2)延伸拓展，如图：
∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，
∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，
△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，
∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；
(3)深入探究,如图2，
在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，
∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，
△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，
∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；
(4)应用推广,如图3，
在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB，
∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H为EF中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，
∴∠EHM=∠FHN．∵∠AEF=∠AFE，∴△HEM∽△HFN，∴，∵EH=FH，
∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN∽△HFN，∴△MHN∽△HFN∽△MEH，在△HMN中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN最小，只有△HMN是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN∴MN∥EF，∵△AEF为等边三角形，∴MN为
△AEF的中位线，∴MN min=EF=×2=1．
考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.
6．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现
（1）某小组做了有一个角是120?的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，
DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC
和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________； 数学思考
（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90?，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由； 类比探索
（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；
②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.
【答案】（1）3EF DF =，DF EF ；
（2）3EF DF =，DF EF ,理由见解析;
（3）①3EF DF =，DF EF ;②旋转过程中3EF DF =，DF
EF 始终成立.
【解析】 【分析】
（1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析； （3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；
②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.
【详解】
解：（1）3EF DF =，DF
EF ；
如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，
AD CD =，EGB 为等边三角形. AM MC ∴=，GN BN =. 又点F 为AB 的中点， AF BF ∴=.
()1
2
MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴.
MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==. 设DM a =，2GB b =，
120ADC ∠=?，DA DC =，
3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===. tan 33EGB NE GN GN b =?==∠.
在DMF 和FNE 中，
3
33DM FN a ==
， 3
33MF NE b
==
， 又
90DMF FNE ∠=∠=?， DMF FNE ∴∽.
MDF NFE ∴∠=∠，
3
3
DF DM FE FN ==
，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=?，
90DFM NFE ∴∠+∠=?. 90DFE ∴∠=?.
3EF DF ∴=且DF
EF .
（2）3EF DF =，DF EF .
理由如下：
如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90?时，则90ACB ∠=?，在
Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，
CF BF
∴=.
又CE EB
=，
EF
∴垂直平分BC.同理，DF垂直平分AC，
∴四边形LCMF为矩形，
90
DFE
∴∠=?.
DF EF
∴⊥，//
AC EF.
DA DC
=，120
ADC=
∠?，30
DCA
∴∠=?.
GEB为等边三角形，
60
ECB
∴∠=?.
∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^°
∴D，C，E三点共线.
30
DCA DEF
∴∠=∠=?.
∴在Rt DEF
△中，
3
tan3
3
DE
DF
F
F
E DF
===
∠；
（3）①3
EF DF
=，DF EF.
选择题图进行证明：
如解图，延长DF并截取FN DF
=，连接NE，连接NB并延长交CE于点P，交DC的延长线于点O，连接DE，
在ADF和BNF中，
AF BF
AFD BFN
DF NF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
()
SAS
ADF BNF
∴?.
AD NB
∴=，ADF BNF
∠=∠.
//
AD NB
∴.
18060
O ADC
∴∠=?-∠=?.
又CPO BPE
∠=∠，60
O CEB
∠=∠=?，
OCP OBE
∴∠=∠.
DCE NBE
∴∠=∠.
又GEB是等边三角形，
GE BE
∴=，
又AD BN CD
==，
()
SAS
DCE NBE
∴?.
DE NE
∴=，BEN CED
∠=∠.
BEN BED CED BED
∴∠+∠=∠+∠，
即60
NED BEC
∠=∠=?.
DEN
∴是等边三角形.
又DF FN
=，
DF EF
∴⊥，60
FDE
∠=?.
tan3
E E
F DF DF
FD
∴∠
=?=.
或选择图进行证明，证明如下：
如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF
=，
连接NB，DE，NE，NB与CD交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF和BNF中，
AF BF
AFD BFN
DF NF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
()
SAS
ADF BNF
∴?.
AD NB
∴=，ADF BNF
∠=∠.
//
AD NB
∴.
120
NOC ADC
∴∠=∠=?.
60
BOJ
∴∠=?，60
JEC
∠=?.
又OJB EJC
∠=∠，
OBE ECJ
∴∠=∠.
AD CD
=，AD NB
=，
CD NB
∴=.
又GEB是等边三角形，
CE BE
∴=.
()
SAS
DCE NBE
∴?.
DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.
BEN BED CED BED ∴∠-∠=∠-∠， 即60NED BEC ∠=∠=?. DEN ∴是等边三角形. 又DF FN =，
DF EF ∴⊥，60FDE ∠=?.
tan 3E E F DF DF FD ∴∠=?=.
②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.
【点睛】
本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.
错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.
7．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F＝30°. （1）求证：BE ＝CE
（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2） ①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；
③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin∠EBG 的值.
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62
4
. 【解析】 【分析】
（1）只要证明△BAE ≌△CDE 即可；
（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；
②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE．
（2）①解：如图2中，
由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，
∴S△BMN=1
2
?x（4-x）=-
1
2
（x-2）2+2，
∵-1
2
＜0，
中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D
九年级化学第一单元及空气氧气中考模拟题 一、选择题（每小题只有一个正确答案，把正确答案序号填入下表） 1.物理变化和化学变化的本质区别( ) Ａ．有颜色变化Ｂ．有其他物质生成Ｃ．有气体生成Ｄ．有发光、放热现象 2、空气中氧气和氮气的体积比约为（） A、1：5 B、5：1 C、1：4 D、4：1 3、下列反应属于化合反应又属于氧化反应的是( ) A．水——氧气+氢气B．硫+氧气——二氧化硫 C．氧化钙+水——氢氧化钙D．石蜡+氧气——二氧化碳+水 4、随着“绿色奥运”的理念逐渐深入人心，空气质量日益受到人们的关注。下列物质中， 未计入监测空气污染指数项目的是（） A．二氧化碳B．二氧化硫C．一氧化碳D．可吸入颗粒物 5、实验室中，不小心将酒精灯碰倒在桌子上燃烧起来，合理简单的灭火方法是( ) Ａ．用水冲灭Ｂ．用书本扑打扑灭Ｃ．用嘴吹灭Ｄ．用湿抹布盖灭 6、某密闭容器内盛有氧气和氮气的混合气体，采用燃烧法除去其中的氧气，且不能混入新的气体，最好采用的可燃物是 A、硫磺 B、红磷 C、铁丝 D、木炭 7、下列各组日常生活中发生的变化，全部属于化学变化的一组是（） A、煤气燃烧水变蒸气 B、瓷碗破碎剩饭变馊 C、菜刀生锈水果腐烂 D、灯泡发光冰块熔化 8、下列有关蜡烛燃烧的叙述错误的是( ) Ａ．可观察到蜡烛燃烧产生明亮的火焰，火焰分三层Ｂ．蜡烛熔化产生“烛泪”Ｃ．在蜡烛火焰上方罩一个干燥的烧杯，烧杯内壁有层水雾Ｄ．用燃着的火柴去点燃蜡烛刚熄灭时的白烟，蜡烛不能被点燃 9、在探究我们吸入的空气和呼出的气体有什么不同的活动中，其中有一操作如右图，则该操作说明该气体是( ) Ａ．极易溶于水Ｂ．不易溶于水Ｃ．易溶于水Ｄ．与气体是否溶于水 无关 10、下列仪器可以直接用酒精灯火焰加热的是( ) ①量筒②试管③燃烧匙④集气瓶⑤烧杯⑥ 烧瓶Ａ．⑤⑥Ｂ．②③Ｃ．②③④Ｄ．② ⑤⑥ 11、蜡烛(主要成份是石蜡)燃烧时,发生的变化: A.只有物理变化 B.只有化学变化 C.既有物理变化又有化学变化 D.只是状态发生了
九年级数学上册旋转几何综合综合测试卷（word含答案） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上， AP＝1 3 AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E， 连接PC，且ABE为等边三角形． （1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是． （2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为 93，求线段AC的长． 【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3） 7 7 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE， ∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP， ∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS），
1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F
解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1
九年级上期化学综合练习题 冯志红 可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Zn-65 Cu-64 一、选择题 1．公安干警在缉毒行动中，训练有素的缉毒犬屡建奇功，它可以嗅出毒品的原因是( ) A．分子在不断运动 B．分子是可分的 C．分子体积极小 D．分子间有空隙2．最近在我国河北省的海陆交界处发现了大储量的油田。油田中的石油属于( ) A．混合物 B．纯净物 C．单质 D．化合物 3．“神舟6号”太空舱利用NiFe 2O 4 将航天员呼出的CO 2 转化为O 2 ，而NiFe 2 O 4 的质量和化学性 质都不变。则NiFe 2O 4 在该过程中是( ) A．反应物 B．生成物 C．消毒剂 D．催化剂 4．下列实验现象描述错误的是( ) A．铁丝在氧气中燃烧火星四射 B．硫在氧气中燃烧产生蓝紫色火焰 C．红磷在氧气中燃烧产生白雾 D．铝丝浸入硫酸铜溶液表面有红色物质生成 5．房屋发生火灾时，消防队员用高压水枪喷水灭火，其主要目的是( ) A．隔绝空气 B．隔绝可燃物 C．改变可燃物性质 D．降低可燃物的温度6．下列做法或认识科学的是( ) A．厨房煤气泄漏，立即打开排气扇电源 B．用硬水洗衣服比用软水洗效果好 C．防煤气中毒，煤炉上放一盆水 D．垃圾经分类回收处理可转化为资源 7．气相合成金刚石薄膜被誉为20世纪的炼金术。其中化学气相沉积法制造金刚石薄膜的原理 为：CH 4 →C(金刚石)+2H 2 。该反应所属的基本反应类型为 ( ) A．化合反应 B．分解反应 C．置换反应 D．氧化反应 8．物质的用途与性质密切相关。下列说法不正确的是( ) A．铜用于制导线，是由于铜有良好的导电性 B．氮气常用作保护气，是由于氮气的化学性质不活泼 C．二氧化碳用于灭火，是由于二氧化碳不可燃、不助燃且密度比空气大 D．铁制品表面涂“银粉”(铝粉)防生锈，是由于铝的化学性质比铁稳定
初三数学几何综合练习题 1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE. （1）如图1，点D在BC边上. ①依题意补全图1； ②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长； （2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系 （直接写出结论）. 图1图2
B A C 2. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ． （1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由. 3．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .
(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形； (2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′. ①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ； ②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段'' C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？ 4．（1）如图1 ，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系； 图1 图2 图3
2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）
2016年初三化学综合测试试题(一） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.第一部分1至4页，第二部分4至8页，共8页。总分100分。考试时间80分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、考场试室号、座位号；再用2B铅笔把对应考生号的标号涂黑。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3．非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；除作图可用2B铅笔外,其他都必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 5．全卷共30个小题，请考生检查题数。 6．可能用到的相对原子质量： O-16 Cl-35.5 Fe-56 H-1 C-12 第一部分选择题(共40分) 一、选择题（本题包括20小题，每小题2分，共40分。每小题均只有一个正确选项，多选，错 选，漏选均不能得分） 1. 下列变化不属于化学变化的是 A．煤矿矿井里的煤层气发生爆炸B．分离液态空气制氧气 C．用熟石灰和硫酸铜配制波尔多液D．用盐酸除去铁制用品表面的锈 2．下列环境问题与二氧化硫的排放有关的是 A．白色污染B．酸雨C．臭氧层被破坏D．温室效应 3．锌铬黄(化学式为ZnCrO4)常用于制防锈涂料。锌铬黄中铬元素的化合价为A．+1 B．+2 C．+6 D．+7 4．下列符号，既能表示一个原子，又能表示一种元素，还能表示一种物质的是A．H+ B．Zn C．Cl2 D．H 5.水是重要的资源。下列关于水的说法中，错误的是 A．净化水时，常会用到活性炭，其作用是用它作杀菌、消毒 B．过滤是通常净化水必须采纳的基础工序 C．用肥皂水可区分硬水和软水 D．水是由氢、氧两种元素组成的氧化物 6．下列各图所示得实验操作中，正确的是 A．稀释浓硫酸B．检查装置的气密性 C. 读取液体体积D．铁丝在氧气中燃烧
九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，
中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：
九年级圆 几何综合单元测试题（Word 版 含解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在 射线BA 上，以BP 为半径的 P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、 PC ，设x BP =，PC y =. （1）求证：PE //DC ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取 值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605 R << 【解析】 【分析】 ()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据 平行线的判定定理即可得到结论； ()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形， //PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到 22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到 223PH x = ，13BH x =，求得1 63 CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218 655 PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】 () 1证明：梯形ABCD ，AB CD =， B DCB ∠∠∴=， PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，
圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．
3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
初中化学酸碱盐综合练习题(一)和答案酸碱盐综合训练题 一.选择题 1.某盐在人体的新陈代谢中十分重要,它可维持血液 中适当的酸碱度,并通过人体复杂的作用产生消化液,帮助消化.该盐是（） A.氯化钙 B.氯化钠 C.硝酸钾 D.碳酸钠 2.下列一些化学常识与我们的生活息息相关,其中叙 述错误的是（） A.成年人在正常情况下每天要摄入食盐5g左右 B.医用生理盐水是0.5%的氯化钠溶液 C.当空气中的二气化碳的体积分数达到1%时,对人体就有害 D.通常的食醋中约有3%-5%的醋酸 3.（2009，佛山）下列物质能共存于同一溶液中，且 无色透明的是（）A.NaOH、NaNO3、K2SO4 B.CuSO4、MgSO4、KCl C.Ba(OH)2、H2SO4、NaCl D.NaCl、AgNO3、HNO3 4.我国化学家侯德榜改进了一种化工产品的工业生产 技术，其产品获得美国费城万国博览会金奖，这种生产技术用于（）A、生产烧碱 B、生产纯碱C、精制精盐D、生产尿素 5.（2007，烟台）下列推论正确的是（） A、碳酸盐与盐酸反应放出气体，所以与盐酸反应放 出气体的物质一定是碳酸盐 B、酸与碱反应生成盐和水，所以生成盐和水的反应 一定是酸与碱的反应 C、燃烧都伴随着发光、发热，所以有发光、放热现 象的就是燃烧 D、碱性溶液能使石蕊溶液变蓝，所以能使石蕊溶液 变蓝的溶液呈碱性 6.（2009，四川）下列离子能在pH=12的水溶液中大 量共存的是（） A.SO42-、NO3-、K+、H+ B.Na+、Cl-、OH-、Al3+ C.Cl-、NO3-、K+、Na+ D.Ag+、Cl-、CO32-、K+ 7.（2008，山东）下列各组物质能按照关系图 （→表示反应一步完成）相互转化的是（） A B C D X NaOH Ca(OH)2Fe2O3Cu Y NaNO3CaCl2Fe CuO Z Na2SO4CaCO3FeCl2Cu(OH)2 8.（2008，乐山）图中，四圆甲、乙、丙、丁分别表 示一种溶液，两圆的相交部分为两溶液混合后出现的主要实验现象，下表中符合图示关系的是（） 甲乙丙丁 A Na2CO3 H2SO4 Ba(OH)2 石蕊 B Na2CO3 HCl Ca(OH)2 CuSO4 C Na2SO4 HCl Ba(OH)2 石蕊 D HCl Na2CO3 Ca(OH)2 酚酞 9.（2010，桂林）下列化肥能与碱性物质混放或混用 的是（）A.碳铵 B.硝铵 C.硫铵 D.硫酸钾 10.(2008,咸宁)已知某固体粉末是由NaCl、Ba(NO3)2、 CuSO4、Na2SO4、Na2CO3中的一种或几种组成，取这种粉末加足量的水，振荡后呈浑浊，再加稀盐酸，沉淀不溶解，过滤后得无色滤液，取滤液并滴加AgNO3溶液，产生白色沉淀，对原固体粉末的判断正确的是（） A.可能含CuSO4和Na2CO3 B.一定含NaCl，可能含Ba(NO3)2、Na2SO4,一定不含 Na2CO3、CuSO4 C.一定含有NaCl、Ba(NO3)2、Na2SO4，一定不含Na2CO3， 可能含CuSO4 D.可能含NaCl，一定含Ba(NO3)2、Na2SO4，一定不含 Na2CO3、CuSO4 11.（2009，锦州）将稀硫酸、澄清的石灰水、碳酸 钠 溶液、氧化铁、锌粒五种物质两两混合，发生的反应共有（） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 X Y Z
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
九年级化学单元测试题 第三单元 自然界的水 （测试时间45分钟 满分100分 ） 班级 学号 姓名 成绩 一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意） 1．下列四组变化中，有一组变化与其它三组变化有本质区别，这一组是 （ ） A ．铁片生锈 B ．蜡烛融化 C ．空气液化 D ．滴水成河 2．从分子角度看，水的蒸发或水结成冰块的实质是 （ ） A ．分子运动速度的改变 B ．分子间间隔发生变化 C ．分子的质量减小 D ．分子的种类发生了改变 3．下列说法错误的是 （ ） A.自然界的水都不是纯水，通过多种途径可以使水得到不同程度的净化 B.硬水易生水垢，常用肥皂水来鉴别硬水和软水 C.利用活性炭净化水的过程属于化学变化 D.净化水的方法有多种，如吸附、沉淀、过滤和蒸馏等 4．保持过氧化氢的化学性质的最小粒子是 （ ） A ．氧气分子和氢气分子 B ．水分子 C ．过氧化氢分子 D ．氢原子和氧原子 5．下列变化中，分子没有改变的是 （ ） A ．高锰酸钾加热分解 B ．水的电解 C ．液化空气分离出氮气和氧气 D ．白磷燃烧 6．下列变化属于分解反应的是 （ ） A ．氢气＋氧化铜 铜＋水 B ．氧气＋氢气 水 C ．碳酸钙 氧化钙＋二氧化碳 D ．酒精＋氧气 水＋二氧化碳 7．2006年我国世界水日的宣传主题为“转变用水观念，创新发展模式”，水资源的保护和合理使用已受到人们的普遍关注。下列用水行为符合这一主题的是 ①将工业冷却水进行循环利用 ②用未经处理的工业污水灌溉农田 ③用洗菜、淘米的水浇花、冲厕所 ④用喷淋节水龙头代替用水较多的旧式龙头 ⑤用大量的水冲洗汽车代替人工擦洗 A ．②③④ B ．①③④ C ．③④⑤ D ．①②⑤ 8．下列物质中，前者是化合物，后者是单质的是 （ ） A ．空气、氧气 B ．水、二氧化硫 C ．氧化铁、 氢气 D ．碳、二氧化碳 9．国家饮用水标准规定，饮用水的硬度是：含钙镁化合物的量低于450mg/L 。我市饮用水的硬度经测定为270 mg/L 。你认为下列说法没有道理的是 （ ） A ．我市的饮用水的硬度没有超过国家的规定，是达标的 B ．含有一定硬度的水可以补充钙元素，对人体是有益的 C ．水的硬度太大，口感不好，容易使煮水的器具产生水垢 D ．纯净水中没有钙镁化合物，所以用它洗衣服最合适 高温 点燃 高温 点燃
九年级旋转几何综合单元测试题（Word版含解析） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED． （1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系． （2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由． （3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长． 【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】 【分析】 （1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题； （2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似； （3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可． 【详解】 解：（1）结论：DE＝2DG． 理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°， ∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM， ∴∠CMG＝∠FEG， ∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF， ∴△CMG≌△FEG（AAS）， ∴EF＝CM，GM＝GE， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM， ∴△DCM≌△DAE（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM， ∴△EGD是等腰直角三角形， ∴DE＝2DG． （2）如图2中，结论成立． 理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R． ∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM， ∴△CGM≌△FGE（SAS）， ∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF， ∴CM∥ER， ∴∠DCM＝∠ERC， ∵∠AER+∠ADR＝180°， ∴∠EAD+∠ERD＝180°， ∵∠ERD+∠ERC＝180°， ∴∠DCM＝∠EAD， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM， ∴△DAE≌△DCM（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∵EG＝GM， ∴DG＝EG＝GM， ∴△EDG是等腰直角三角形，
第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下：
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（广西专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2018?广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（） A．B．C．2D．2 解：过A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC的面积为=， S扇形BAC==π， ∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2， 故选：D． 2．（2018?桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△
ABF，连接EF，则线段EF的长为（） A．3 B．C．D． 解：如图，连接BM． ∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE=AD，∠MAD=∠MAE． ∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF=AM，∠FAB=∠MAD． ∴∠FAB=∠MAE ∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE=∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF=BM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=AB=3． ∵DM=1， ∴CM=2． ∴在Rt△BCM中，BM==， ∴EF=， 故选：C． 解法二：如图，过E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，则∠AHG=∠MGE=90°， 由折叠可得，∠AEM=∠D=90°，AE=AD=3，DM=EM=1， ∴∠AEH+∠MEG=EMG+∠MEG=90°， ∴∠AEH=∠EMG， ∴△AEH∽△EMG，
人教版九年级数学上册圆几何综合单元测试卷附答案 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G． （1）如图1，求证：GD＝GF； （2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小； （3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）1810 ． 【解析】 【分析】 （1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°； （3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】 解：（1）证明：∵DE⊥AB ∴∠BED＝90° ∴∠A+∠ADE＝90° ∵∠ADC＝90° ∴∠GDF+∠ADE＝90° ∴∠A＝∠GDF ∵BD BD ∴∠A＝∠GFD