一、 名词解释
1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，
简称误差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能
表示其精确程度。如果近似值*x 的误差限是1
102
n -?，则称*x 准确到
小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足
（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、
分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数
()x ?作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*
x 的
相对误差，记为*
()r e x ，即**
()
()r e x e x x
=
7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。若||||A 满足
（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；
（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B
称||||A 为矩阵A 的范数。
8． 算子范数：设A 为n 阶方阵，||||?是n R 中的向量范数，则0
||||
||||||||
max
x Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||?诱导出的矩阵范数，也称算子范数。
9. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n 维向量x ，都有
||||||||Ax A ≤ ||||x
这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。
10. 1-范数，∞-范数和2-范数： （1）1-范数 11||||||n
i i x x ==∑
（2）∞-范数 1||||max{||}i i n
x x ∞≤≤=
（3）2-范数 2
21||||x x =+二、简答题
1．高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。
2. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。
3. 雅可比（Jacobi ）迭代法的计算过程（算法）： （1）输入()ij A a =，1(,,)n b b b =，维数n ，(0)(0)(0)(0)12(,,,)n x x x x =，ε，最大容许
迭代次数N 。 （2）置1k = （3）对1,2,
,i n = (0)1()/n
i i ij j ii j j i x b a x a =≠=-∑
（4）若(0)x x ε-<，输出x 停机；否则转5。 （5）k N <，置(0)1,(1,2,,)i i k k x x i n +??=，转3，否则，输出失败信息，停机。
4. 插值多项式的误差估计：（P102）
由(1)(1)101()()
()()()()()(1)!(1)!
n n n n n f f R x x x x x x x x n n ξξω+++=
=---++
当(0,1,
,)i x x i n ==时，上式自然成立，因此，上式对[,]a b 上的任意点都成立，这
就叫插值多项式的误差估计。
5. 反幂法的基本思想：设A 为阶非奇异矩阵，λ，u 为A 的特征值和相应的特征
向量，则1A - 的特征值是A 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即
11
A u u λ
-=
因此，若对矩阵1A -用幂法，，即可计算出1A -的按模最大的特征值，其倒数恰为A 的按模最小的特征值。
6. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：选取初始向量(0)x 代入迭代公式
(1)()k k i x Bx g +=+ (0,1,2,)k =
产生向量序列(){}k x ，由上述计算过程所给出的迭代法。
7. 数值计算中应注意的问题是： （1）避免两个相近的数相减 （2）避免大数“吃”小数的现象
（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 （4）要简化计算，减少运算次数，提高效率 （5）选用数值稳定性好的算法
8. 高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k 次消元时，需作除法n k -次，乘法()n k -(1)n k -+次，故消元过程中乘除运算总量为
乘法次数1
21()(1)(1)3n k n n k n k n -=--+=-∑ 除法次数1
1
()(1)2n k n
n k n -=-=-∑
在回代过程中，计算k x 需要(1)n k -+次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为
1
(1)(1)2
n
k n
n k n =-+=
+∑，所以，高斯消去法的乘除总运算量为 322(1)(1)(1)32233
n n n n n N n n n n =-+-++=+-
9. 迭代法的收敛条件：对任意初始向量(0)x 和右端项g ，由迭代格式
(1)()k k x Mx g +=+ (0,1,2,)k =
产生的向量序列(){}k x 收敛的充要条件是()1M ρ<。
10. 迭代法的误差估计：设有迭代格式(1)()k k x Mx g +=+，若||||1M <，
(){}k x 收敛于*x ，则有误差估计式()
*
(1)(0)||||||||||||1||||
K
k M x x x x M -≤--。
二、 计算题
1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求*
1.21 3.659.81x =?-的绝对误差限和相
对误差限，计算结果有几位有效数字？
解：由式121212
12
121212
()()()()()()r r r e x x e x e x x x e x x e x e x x x x x ±=±?
?
?±=±?±±?和1221121212()()()()()()r r r e x x x e x x e x e x x e x e x ≈+??≈+?得 *() 3.65(1.21) 1.21(3.65)(9.81)e x e e e =?+?-
因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为21
102
-?，故有
*|()| 3.65|(1.21)| 1.21|(3.65
e x e e ≤?+?
**
*
|()|0.0293
|()|0.0054|| 5.3935
r e x e x x =≤= 所以，*x 的绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字。
2.求矩阵223477245A ??
=????-??
的三角分解。
21
(3.65 1.211)100.0293
2-≤++??=
解：由式111
111(1,2,,)(2,,,,
,)
()/(1,2,
,1,1,
,)j j i ij ij ik kj
k j ij ij ik kj jj
k u a j n u a l u i n j i n l a l u u j n i j n -=-=??==?
?
=-==??
?
=-=-=+??
∑∑
，12122u a ==，13133u a ==
2121114/22l a u ==
=，3131112
/12
l a u -===- 222221127223u a l u =-=-?=，232321137231u a l u =-=-?=
3232311222()/[4(1)2]/32l a l u u =-=--?= 333331133223()5[(1)321]6u a l u l u =-+=--?+?=
所以
100223210031121006A ????
????=????
????-????
3．用幂法（2k =）求矩阵210021012A -??
=-????-??
的按模最大的特征值和相应的特征向量。
取(0)(0,0,0)T
x =. （P 77）
解：(0)(0)(0,0,1)T y x ==
(1)(0)(0,1,2)T x Ay ==-, 2α=
(1)
(1)
(0,0.5,1)T x y
α
=
=-
(2)(1)(0.5,2,2.5)T x Ay ==-， 2.5α=
4. 已知函数ln y x =，x 的值是10,11,12,13,14对应的ln y x =的值分别是 2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。用Lagrange 线性插值求ln11.5的近似值。 解：取两个节点011x =，112x =，插值基函数为
1
001()(12)x x l x x x x -=
=--- 0110
()11x x l x x x x -==-- 由式01
10
10110
()x x x x x y y x x x x ?--=+--得 1() 2.3979(12) 2.4849(11)L x x x =--+-
将x=11.5代入，即得
1ln11.5(11.5) 2.39790.5 2.48490.5 2.4414L ≈=?+?=
按式(1)1()
()()(1)!
n n n f R x x n ξω++=
+ (,)a b ξ∈得 "1(ln )()(11)(12)2!
x R x x x ξ
=
--
因为"21
(ln )x x
=-
，ξ在11和12之间，故 "2
21
1
|(ln )|0.008264511
x ξξ=
≤
= 于是
311
|(11.5)|0.00826450.50.5 1.03306102
R -≤???=?
5. 用Jacobi 迭代法（1k =）求解线性方程组12312312
31027210283542
x x x x x x x x x --=??
-+-=??--+=? .
解：由Jacobi 迭代法得计算公式(1)
()11n
k k i
i
ij j j ii
ii
j i
b x
a x a a +=≠=-
+
∑得 (1)()()
123(1)()()
213(1)()()3
120.10.27.20.10.28.30.20.28.4
k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=++?=++??=++? 取(0)(0,0,0)T x =，代入上式得
(1)17.2x = (1)28.3x = (1)
38.4x =
(2)10.18.30.28.47.29.71x =?+?+=
(2)20.17.20.28.48.310.70x =?+?+=
(2)30.27.20.28.38.411.50x =?+?+=
6. 设有方程组Ax b =，其中1
11221
112211122
A ?
?????
=?
????????
?
，讨论用Jacobi 迭代法求解的收敛性。 解：因为A 为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A 为对称正定矩阵，A 不是
弱对角占优阵，故不能判别Jacobi 迭代的收敛性。易算出Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
11102
21
102211
022B I D A -??
-
-??????=-=-
-??????
--???
?
其特征方程
31
12
21
113||2244112
2
I B λλλ
λλλ???????
?-==+-??????????
21
()(1)02
λλ=-+=
有根121
2
λλ==
，31λ=-，因而()1B ρ=。由向量序列(){}k x 收敛的充要条件是()1B ρ<，故Jacobi 迭代法不收敛。
7．用反幂法（1k =）求矩阵210021012A -??
=-????-??
接近2.93的特征值，并求相应的特征
向量，取(0)(0,0,0)T
x =.
解：对 2.93A I -作三角分解得
0.93
102.9300.931010.93A I --????-=--??
??--??
1000.931001000.9311101000.930.930.93????????--????
=--????????
-+?????
???
8. 已知函数ln y x =，x 的值是10,11,12,13,14对应的ln y x =的值分别是 2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。用Lagrange 抛物线插值求ln11.5的近似值。 解：取011x =，112x =，213x =，插值多项式为
2(12)(13)(11)(13)(11)(12)
() 2.3979
2.4849 2.5649(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)
x x x x x x L x ------=++------
1.19895(12)(13)
2.4849(11)(13) 1.28245(11)(12)x x x x x x =-----+--
所以
2ln11.5(11.5)L ≈
1.19895(0.5)( 1.5)
2.48490.5( 1.5) 1.282450.5(0.5) 2.442275=?-?--??-+??-=
因为"'32
(ln )x x
=
，于是 "'2
3
1113
2max |(ln )|0.15031011
x x -≤≤≤
=? 因此用抛物线插值法计算的误差为
"'2|(ln )||(11.5)||(11.511)(11.512)(11.513)|3!
x R ξ=
---
251
0.1503100.50.5 1.59.3938106
--≤?????=? 查表可得ln11.5 2.442347= 三、 证明题
1. 若x 的近似值x *
=1210.10(0)m
n a a a a ±?≠…有n 位有效数字，则11
1102n a -+?为其相对误差限。反之，若x *
的相对误差限r
ε满足111
102(1)
n r a ε-+≤
?+，则x *至少具有n 位
有效数字。
证明：由式*1
||102
m n x x --≤?得
**1
|()|||102
m n e x x x -=-≤?
从而有
*
*1*121
1
10()12|()|||100.102m n n r m n e x e x x a a a a --+?=≤≤?? 所以
11
1
102n a -+?是*x 的相对误差限。 若1
11102(1)n r a ε-+≤
?+，由式***()|()|||r r e x e x x
ε=≤得 ***12
|()||()|0.10m r n
r e x x e x a a a ε=≤?
111111
(1)1010102(1)2
m n m n a a --+-≤+??
?=?+
由式*1
||102
m n x x --≤?，*x 至少有n 位有效数字。
2. 设01,,,n x x x …为1n +个互异节点，
(),(0,1,)i l x i =…,n 为这组点上的Lagrange 插值基函数，试证明0
()1n
i i l x =≡∑。
证明：上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为1。显然，函数()1f x ≡在这n+1个节点处取值均为1，即()1i i y f x == (0,1,,)i n =，
由式0
()()n
n i i i L x y l x ==∑知，它的n 次Lagrange 插值多项式为
0()()n
n i i L x l x ==∑
对任意x ，插值余项为
(1)1()
()()()()0(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=≡+
所以 0
()()()1n
n i i L x l x f x ==≡=∑
3 设A 为任意n 阶方阵，?为任意由向量范数诱导出的矩阵范数，则()A A ρ≤ 证明：对A 的任一特征值i λ及相应的特征向量i u ，都有
||i λ||||||||||||||||i i i i u u Au A λ==≤||||i u
因为i u 为非零向量，于是有 ||||||i A λ≤ 由i λ的任意性即得 ()||||A A ρ≤
4. 设A 为n 阶方阵，则lim 0k k A →∞
=的充分必要条件为()1A ρ<。
证明：必要性。若
lim 0k k A →∞
=
由相关定义得 lim ||||0k k A →∞
=
而 0()[()]||||K K K A A A ρρ≤=≤ 于是由极限存在准则，有 lim[()]0k k A ρ→∞
=
所以()1A ρ<。
充分性。若()1A ρ<，取1()
02
A ρε-=
>，由||||()A A ρε≤+,存在一种矩阵范数?，使得
1()
||||()12
A A A ρρε+≤+=
< 而||||||||k k A A ≤，于是 lim ||||lim ||||0k k k k A A →∞
→∞
== 所以 lim 0k k A →∞
=
五、应用题
1.平面桁架是由刚性元件通过结点互相联结而组成的力学结构，它通常出现在桥梁结构和其他需要力学支撑的结构中。如图是一个简单的静力桁架结构，其中刚性元件（5m =）通过结点,,,A B C D 相连。求各个结点的合力方程，并求出当,3
6
π
π
αβ==
外部负荷12250,1500g N g N ==时，求各个节点内力。
解：设五个刚性元件的内力为125{,,
,}f f f ，它们都处理为压力，如果解是负的，表
明该力是张力。桁架的左边由固定结点A 支撑，右边由滑轮D 支撑，678,,f f f 是外部支撑力，12,g g 是外部负荷。由于在静力平衡时，每个结点处的水平方向合力与垂直方向的合力为零，那么有
结点A 12617cos 0sin 0f f f f f αα+-=??+=? 结点B 141134cos cos 0
sin sin 0f f g f f f αβαβ-++=??---=?
结点C 253200f f f g -+=??-=? 结点D 4548cos 0
sin 0f f f f ββ--=??+=?
设f 表示未知力向量，上述方程组可用矩阵表示为
12cos 1000
1000sin 00000100cos 00cos 0000sin 01sin 0000001001000000100000000cos 100000
sin 00010g f g α
ααβαβ
ββ
-????
?????
???????--?
???
---???
?=????-????
????
????--????
????????
若取,3
6
π
π
αβ=
=
，外部负荷12250,1500g N g N ==。采用列主元素法，得各结点的
内力如下：
(1174,837,1500,966.5,837,250,1017,483.3)T f =--
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
数值分析上机实验报告 选题：曲线拟合的最小二乘法 指导老师： 专业： 学号： 姓名：
课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j t y 的误差，12,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式 对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为 ∑==m j j j x a x y 0)()(? 特别的，取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…，m )
则根据最小二乘法原理，可以构造泛函 ∑∑==-=n i m j i j j i m x a f a a a H 1 10))((),,,(? 令 0=??k a H (k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程 ???? ??????? ?=????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ????????????????????? 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二乘解 ∑=≈m j j j x a x f 0)()(? 曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
数值实验课试题 本次数值实验课结课作业，请按题目要求内容写一篇文章。按题目要求 人数自由组合，每组所选题目不得相同(有特别注明的题目除外)。试题如下： 1）解线性方程组的Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法(2人)/*张思珍，巩艳华*/ 用C 语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下列84阶的方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 1681684 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 2）解线性方程组的平方根法(4人)/*朱春成、黄锐奇、张重威、章杰*/ 用C 语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b Ax =，其中 (1)b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵 ?????? ???? ? ? ?101 1101 1101 1101 1101110 ； (2)系数矩阵为40阶的Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为 1 1-+= j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+ = n j i j i b 1 1 1. 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编
3.《数值分析简明教程》，王能超编 3）三对角线方程组的追赶法(3人)/*黄佳礼、唐伟、韦锡倍*/ 用C 语言将三对角线方程组的追赶法法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解如下84阶三对角线方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 16816 84 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值分析简明教程》，王能超编 4）线性方程组的Jacobi 迭代法(3人)/*周桂宇、杨飞、李文军*/ 用C 语言将Jacobi 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组， 精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?-149012 2111221 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 5）线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法(3人)/*张玉超、范守平、周红春*/ 用C 语言将Gauss-Seidel 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?--39721 1111112 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 6）解线性方程组的最速下降法法(2人)/*赵育辉、阿热孜古丽*/ 用C 语言将最速下降法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
第一章 一、题目 设∑ =-= N N j S 2 j 2 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序1 1 13112122 2-+??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N); fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________')
三、结果 从结果可以看出有效位数是6位。 感想：可以得出，算法对误差的传播有一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数所得到的结果才比较准确。
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在
数值计算方法I 上机实验考试题（两题任选一题） １．小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）．重力加速度取9.8米/秒2. A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）； B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度． ２．小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k ，火箭升空过程的数学模型为 0)0(,0,01222==≤≤-+?? ? ??-==t dt dx x t t mg T dt dx k dt x d m 其中)(t x 为火箭在时刻t 的高度，m =1200-15t 为火箭在时刻t 的质量，T （=30000牛顿）为推力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t 1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻． 今测得一组数据如下（t ~时间（秒），x ~高度（米），v ~速度（米/秒））： 现有两种估计比例系数k 的方法： 1．用每一个数据(t,x,v )计算一个k 的估计值（共11个），再用它们来估计k 。 2．用这组数据拟合一个k ． 请你分别用这两种方法给出k 的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）．
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(数值分析实验报告1
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学 实验名称数值il?算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级：电力实08学生姓名：李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期：2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一. 各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程 *对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶 xxfx ()0, fx ()xkk 泰勒公式 "f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2! 忽略高次项，有 ，fxfxfxxx 0 ()()()，，, kkk 右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的 **根代入，即fx ()0, X ，* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkk fx 0 fx 0 0,
解出 fX 0 *k XX,, k' fx 0 k 水将右端取为，则是比更接近于的近似值，即xxxxk, Ik, Ik fx ()k 八XX, Ikk* fx()k 这就是牛顿迭代公式。 ,2,计算机程序框图:，见, ,3,输入变量、输出变量说明: X输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数，\0 输出变量:当前迭代次数，当前迭代值xkl ,4,具体算例及求解结果: 2/16 华北电力大学实验报吿 开始 读入 l>k /fx()0?,0 fx 0 Oxx，，01* fx ()0 XX,,，?10 kk, ,1，kN, ?xx, 10 输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志
,3,输入变量、输出变量说明: 结束 例：导出计算的牛顿迭代公式，并il ?算。（课本P39例2-16） 115cc （0）, 求解结果: 10. 750000 10.723837 10. 723805 10. 723805 2、列主元素消去法求解线性方程组，1,算法原理: 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上 对上三角 3/16 华北电力大学实验报告方程组求解。 列选主元是当高斯消元到第步时，从列的以下（包括）的各元素中选出绝 aakkkkkk 对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的 两行（包括常ekk 数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:，见下页, 输入变量:系数矩阵元素，常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n
本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日
y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"
心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
实验报告 学院（系）名称： 主程序部分列选主元部分
实验结果： 一．列主元消去法 输入各个数据，最终使用列选主元法，得到结果为：x1=x2=x3=1二．高斯-赛德尔迭代法 输入各个数据，输出每一步迭代数据，最终结果为：x1=0.285716，附录（源程序及运行结果） 一．列主元高斯消去法 #include 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 数值计算方法上机实习题 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+ -=-，从I 0=0.1824, 0=0.1823I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 答：第一个算法可得出 e 0=|I 0?I 0 ?| e n =|I n ?I n ?|=5n |e 0| 易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍，n 次计算后更是放大了5n 倍，可靠性低。 第二个算法可得出 e n =|I n ?I n ?| e 0=(15 )n |e n | 可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍，n 次后缩小了5n 倍，可靠性高。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求41105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 计算根与步数程序： fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x; f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1); fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n); 计算结果显示： root=0.09057617 ,n=11 （2） 取初值00=x ，并用迭代10 21 x k e x -=+； （3） 加速迭代的结果; （4） 取初值00 x ，并用牛顿迭代法； 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=?数值分析作业答案
数值计算方法上机实习题
数值计算方法期末考试题
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