机器学习优化算法中梯度下降,牛顿法和拟牛顿法的
优缺点详细介绍
?1、梯度下降法
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?梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。
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?梯度下降法的优化思想：用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下降法
越接近目标值，步长越小，前进越慢。
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?缺点：
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?靠近极小值时收敛速度减慢，求解需要很多次的迭代；
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?直线搜索时可能会产生一些问题；
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。
牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：
ICA用牛顿迭代法改进的FastICA算法 ICA算法原理： 独立分量分析（ICA）的过程如下图所示：在信源()st中各分量相互独立的假设下，由观察xt通过结婚系统B把他们分离开来，使输出yt逼近st。 图1-ICA的一般过程 ICA算法的研究可分为基于信息论准则的迭代估计方法和基于统计学的代数方法两大类，从原理上来说，它们都是利用了源信号的独立性和非高斯性。基于信息论的方法研究中，各国学者从最大熵、最小互信息、最大似然和负熵最大化等角度提出了一系列估计算法。如FastICA算法, Infomax算法，最大似然估计算法等。基于统计学的方法主要有二阶累积量、四阶累积量等高阶累积量方法。本实验主要讨论FastICA算法。 1. 数据的预处理 一般情况下，所获得的数据都具有相关性，所以通常都要求对数据进行初步的白化或球化处理，因为白化处理可去除各观测信号之间的相关性，从而简化了后续独立分量的提取过程，而且，通常情况下，数据进行白化处理与不对数据进行白化处理相比，算法的收敛性较好。 若一零均值的随机向量 满足 ， 其中：I为单位矩阵，我们称这个向量为白化向量。白化的本质在于去相关，这同主分量分析的目标是一样的。在ICA中，对于为零均值的独立源信号 ， 有： ， 且协方差矩阵是单位阵cov( S ) = I，因此，源信号 S( t )是白色的。对观测信号X( t )，我们应该寻找一个线性变换，使X( t )投影到新的子空间后变成白化向量，即：
其中，W0为白化矩阵，Z为白化向量。 利用主分量分析，我们通过计算样本向量得到一个变换 其中U和 分别代表协方差矩阵XC的特征向量矩阵和特征值矩阵。可以证明，线性变换W0满足白化变换的要求。通过正交变换，可以保证 因此，协方差矩阵： 再将 代入 且令 有 由于线性变换A~连接的是两个白色随机矢量Z( t )和S( t )，可以得出A~ 一定是一个正交变换。如果把上式中的Z( t )看作新的观测信号，那么可以说，白化使原来的混合矩阵A简化成一个新的正交矩阵A~。证明也是简单的： 其实正交变换相当于对多维矢量所在的坐标系进行一个旋转。 在多维情况下，混合矩阵A是N*N 的，白化后新的混合矩阵A~ 由于是正交矩阵，其自由度降为N*(N-1)/2，所以说白化使得ICA问题的工作量几乎减少了一半。 白化这种常规的方法作为ICA的预处理可以有效地降低问题的复杂度，而且算法简单，用传统的PCA就可完成。用PCA对观测信号进行白化的预处理使得原来所求的解混合矩阵退化成一个正交阵，减少了ICA的工作量。此外，PCA本身具有降维功能，当观测信号的个数大于源信号个数时，经过白化可以自动将观测信号数目降到与源信号维数相同。
机器学习中常见的几种优化方法 阅读目录 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods） 3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient） 4. 启发式优化方法 5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法 我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯
度法等等。 回到顶部 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下 降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示： 牛顿法的缺点： （1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示； （2）直线搜索时可能会产生一些问题； （3）可能会“之字形”地下降。 从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。 在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
实验的题目和要求 一、所属课程名称： 最优化方法 二、实验日期： 2010年5月10日~2010年5月15日 三、实验目的 掌握最速下降法，牛顿法和共轭梯度法的算法思想，并能上机编程实现相应的算法。 二、实验要求 用MATLAB实现最速下降法，牛顿法和共轭梯度法求解实例。 四、实验原理 最速下降法是以负梯度方向最为下降方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是互相直交的。牛顿法是利用目标函数)(x f在迭代点 x处的Taylor展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极k 小点序列去逼近目标函数的极小点。共轭梯度法它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向 d仅仅是负梯度方向k g-与上一次接 k 待的搜索方向 d的组合。 k - 1 五．运行及结果如下: 最速下降法： 题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2 M文件： function [R,n]=steel(x0,y0,eps) syms x; syms y; f=(x-2)^2+(y-4)^2; v=[x,y]; j=jacobian(f,v); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0; n=0; syms kk; while (temp>eps) d=-T;
f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2); fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)]; fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2); Mini=Gold(fun,0,1,0.00001); x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0; n=n+1; end R=[x0,y0] 调用黄金分割法： M文件： function Mini=Gold(f,a0,b0,eps) syms x;format long; syms kk; u=a0+0.382*(b0-a0); v=a0+0.618*(b0-a0); k=0; a=a0;b=b0; array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; while((b-a)/(b0-a0)>=eps) Fu=subs(f,kk,u); Fv=subs(f,kk,v); if(Fu<=Fv) b=v; v=u; u=a+0.382*(b-a); k=k+1; elseif(Fu>Fv) a=u; u=v; v=a+0.618*(b-a); k=k+1; end array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; end Mini=(a+b)/2; 输入： [R,n]=steel(0,1,0.0001) R = 1.99999413667642 3.99999120501463 R = 1.99999413667642 3.99999120501463 n = 1 牛顿法：
2.3 牛顿（Newton ）法及其变形 一、Newton 迭代方法 牛顿迭代法计算公式的推导过程 设*x 是()0f x =的根，()f x 在*x 的邻域内具有二阶连续导数，在*x 的邻域内取一点0x ，使0()0f x '≠，则()f x 在*x 的邻域内连续，将它在0x 点二阶Taylor 展开得 2 0000000()()()()()()2! ()()() f f x f x f x x x x x f x f x x x ξ'''=+-+-'≈+- 又()0f x =，则有 000()()()0f x f x x x '+-≈ 故()0f x =的近似解000()()f x x x f x ≈-'，记0100()() f x x x f x =-' 类似，在点1x 处Taylor 展开，可得： 111()() f x x x f x ≈-'，记1211()()f x x x f x =-' 依次往下做，可得一般的迭代格式：
上述迭代格式称为求()0 f x=的解的牛顿迭代法。 几何意义 在点 00 (,()) x f x处作() f x的切线，交x轴于一点，求该点的横坐标。此切线方程为 000 ()()() y f x f x x x ' -=-， 当0 y=时，得0 () () f x x x f x =- ' ，正是 1 x的值。 类似地，在点(,()) k k x f x作函数() f x的切线，交x轴于一点，切线方程为 ()()() k k k y f x f x x x ' -=-， 当0 y=时，得 () () k k k f x x x f x =- ' ，正是 1 k x + 的值。 所以，牛顿迭代法又称为切线求根法。 例6用牛顿迭代法求方程x x e- =在0.5 x=附近的根。解.将原方程化为()0 x f x x e- =-=，则牛顿迭代格式为
哪些问题适合于用机器学习来解决 我们和大家分享了哪些问题适合于用机器学习来解决。在明确了问题之后我们就需要来解决问题，本文要描述的是产品经理在开发机器学习产品时所需要的能力。第一部分提到产品经理的核心能力并不会因为应用到机器学习技术而改变，而只是在某些方面需要有所加强。产品经理一般需要五种核心能力，包括客户共情/设计分解，沟通、合作、商业策略和技术理解力。在机器学习领域需要增强的可能是技术方面的理解能力，因为产品经理需要理解机器学习系统的操作才能做出较好的产品决策。你可以向工程师学习也可以通过书本和网络教程充电。但如果你对机器学习系统的运行没有很好的理解，那么你的产品很可能会遇到很多问题。 算法的局限性 机器学习使用的每一个算法都基于特定的任务进行优化，无法覆盖真实情况下每一个细微的差别。理解算法的能力和局限将会帮助你把握住用户体验中存在的差距，并且通过优化产品设计或算法来解决。这是作为产品经理必须要掌握的能力。关于算法的不足我们用几个例子来说明。 数据中的偏差 机器学习算法从数据中学习模式，所以数据的质量决定了算法的表现。机器学习产品需要面对的第一个挑战便是这些数据要能够充分代表你的用户。有一个很负面的例子，就是google将黑人兄弟识别成了大猩猩。 所以保证数据代表你所有的用户是产品成功的关键。有时候偏差的存在并不是来自于数据收集的错误，而是数据固有的特性。就像IBM沃森利用俚语的都市字典进行训练后会输出恶毒的语言一样。我们期待的是输出礼貌的语言，但机器学习却学到了语言集中不好的部分。所以在精训练的时候需要对数据进行一定的清晰。 另一个例子，一般发达国家的互联网人数相较于发展中国家多。如果你基于搜索次数对搜索习惯进行建模的话，就会得到发达国家更多的结果，那么建模就不能准确的反映各国人民的上网习惯了，例如非洲的用户。对于数据偏差的审视将帮助你意识到产品不希望出现
题目和要求 最速下降法是以负梯度方向最为下降方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是互相直交的。牛顿法是利用目标函数)(x f在迭代点 x处的Taylor展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极k 小点序列去逼近目标函数的极小点。共轭梯度法它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向 d仅仅是负梯度方向k g-与上一次接 k 待的搜索方向 d的组合。 k - 1 运行及结果如下: 最速下降法： 题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2 M文件： function [R,n]=steel(x0,y0,eps) syms x; syms y; f=(x-2)^2+(y-4)^2; v=[x,y]; j=jacobian(f,v); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0; n=0; syms kk; while (temp>eps) d=-T; f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2); fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)]; fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2); Mini=Gold(fun,0,1,0.00001); x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0; n=n+1; end R=[x0,y0] 调用黄金分割法：
几种拟牛顿算法综述 摘要: 拟牛顿方法是求解无约束优化问题有效而著名的算法。在拟牛顿法中，有根据矫正公式的不同分为几类方法。本文主要针对SR1、SR1的一种修改、BFGS、MBFGS、非单调的CBFGS、LBFGS这几种矫正公式产生方法进行理论阐述，包括其收敛性，收敛速度的证明并检验其在正定二次问题上的等价性。最后通过C#编程语言检验上述方法在收敛速度上的差异性。 关键字：拟牛顿法、矫正公式、收敛性、非线性方程 引言： 考虑无约束问优化题minf(x)（0.1）f是连续可微的函数。牛顿法利用 Newton方法最突出的优点是其收敛速度快，凡是目标函数的Hessian矩阵 较简单的问题都可以采用Newton方法,1- 。对于那些Hessian矩阵复杂的问题而 言，求解Hessian矩阵无疑是一项艰巨的工程，这是很多学者选择采用拟牛顿的方法来解决现实中较复杂的问题的原因所在。拟牛顿法和Newton法的主要区别于求解迭代方向。拟牛顿法的主要思路是通过构造一个矩阵序列*H（k）+去逼近 原问题迭代方向中的Hessian矩阵*G(k)?1+，这很好的避免了复杂矩阵求逆的问题。在算法上很好的降低了计算量，从而提高计算速度。为了寻找与G有某种近似的，我们需要来考察的各种相关关系。为此目的，我们将f(x)的梯度在处作Taylor 展开， (δ)()δ(x) f(x) 当δ充分小时，可得到近似关 δ()δ(δ)() 或δγ，γ 1 1(δ)（0.2） 关系式（1）对二次函数f(x)恒成立，但对于不一定成立。现在我们研究与寻找，使它满足关系式（1）。为讨论与计算上的方便，当得到 1 δ时，δ，γ已知，我们求得 1，它满足关系: 1 δγ （0.3）为了叙述方便，我们引入=?1那么有以下式子成立
由于人工智能的火热，现在很多人都开始关注人工智能的各个分支的学习。人工智能由很多知识组成，其中人工智能的核心——机器学习是大家格外关注的。所以说，要想学好人工智能就必须学好机器学习。其中机器学习中涉及到了很多的算法，在这几篇文章中我们就给大家介绍一下关于机器学习算法的优缺点。 首先我们给大家介绍一下正则化算法，这是回归方法的拓展，这种方法会基于模型复杂性对其进行惩罚，它喜欢相对简单能够更好的泛化的模型。其中，正则化算法的例子有很多，比如说岭回归、最小绝对收缩与选择算子、GLASSO、弹性网络、最小角回归。而正则化算法的优点有两点，第一就是其惩罚会减少过拟合。第二就是总会有解决方法。而正则化算法的缺点也有两点，第一就是惩罚会造成欠拟合。第二就是很难校准。 接着我们给大家说一下集成算法，集成方法是由多个较弱的模型集成模型组，其中的模型可以单独进行训练，并且它们的预测能以某种方式结合起来去做出一个总体预测。该算法主要的问题是要找出哪些较弱的模型可以结合起来，以及结合的方法。这是一个非常强大的技术集，因此广受欢迎。这种算法的案例有很多，比如说Boosting、Bootstrapped Aggregation （Bagging）、AdaBoost、层叠泛化、梯度推进机、梯度提升回归树、随机森林。而集成算法的优点就是当前最先进的预测几乎都使用了算法集成，它比使用单个模型预测出来的结果要 精确的多。而缺点就是需要大量的维护工作。
然后我们给大家介绍一下决策树算法，决策树学习使用一个决策树作为一个预测模型，它将对一个 item（表征在分支上）观察所得映射成关于该 item 的目标值的结论（表征在叶子中）。而树模型中的目标是可变的，可以采一组有限值，被称为分类树；在这些树结构中，叶子表示类标签，分支表示表征这些类标签的连接的特征。决策树算法的案例有很多，比如说分类和回归树、Iterative Dichotomiser 3（ID3）、C4.5 和 C5.0。决策树算法的优点有两种，第一就是容易解释，第二就是非参数型。缺点就是趋向过拟合，而且可能或陷于局部最小值中，最后就是没有在线学习。 在这篇文章中我们给大家介绍了机器学习中涉及到的正则化算法、集成算法以及决策树算法的案例、优点以及缺点，这些知识都是能够帮助大家理解机器学习的算法，希望这篇文章能够帮助到大家。
MATLAB实现最速下降法_和牛顿法和共轭梯度法最速下降法: 题目:f=(x-2)^2+(y-4)^2 M文件: function [R,n]=steel(x0,y0,eps) syms x; syms y; f=(x-2)^2+(y-4)^2; v=[x,y]; j=jacobian(f,v); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0; n=0; syms kk; while (temp>eps) d=-T; f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2); fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)]; fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2); Mini=Gold(fun,0,1,0.00001); x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0;
n=n+1; end R=[x0,y0] 调用黄金分割法: M文件: function Mini=Gold(f,a0,b0,eps) syms x;format long; syms kk; u=a0+0.382*(b0-a0); v=a0+0.618*(b0-a0); k=0; a=a0;b=b0; array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; while((b-a)/(b0-a0)>=eps) Fu=subs(f,kk,u); Fv=subs(f,kk,v); if(Fu<=Fv) b=v; v=u; u=a+0.382*(b-a); k=k+1; elseif(Fu>Fv) a=u; u=v; v=a+0.618*(b-a); k=k+1;
本科生实验报告 实验课程数值计算方法 学院名称信息科学与技术学院 专业名称计算机科学与技术 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年五月二〇一六年五月
实验一非线性方程求根 1.1问题描述 实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法，。 实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x5-3x3+x-1= 0 在区间[-8,8]上的全部实根，误差限为10-6。 要求：讨论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优缺点等作分析及比较， 第2章算法思想 2.1二分法 思想：在函数的单调有根区间内，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。 步骤： 1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，否则在[mid,x1]之间。 3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。
2.2 简单迭代法 思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。 步骤：1.构造迭代公式f(x)，迭代公式必须是收敛的。 2.计算x1,x1=f(x0). 3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。 4．输出x1,即为方程的近似解。 f为迭代函数
2.3 Newton迭代法 思想：设r 是的根，选取作为r的初始近似值，过点 做曲线 的切线L，L 的方程为，求出L与x轴交点的 横坐标，称x 1 为r的一次近似值。过点做曲线 的切线，并求该切线与x 轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。重复以上过程，得r 的近似值序列，其中，称为r 的 次近似值 步骤：1.计算原函数的导数f’(x);构造牛顿迭代公式 2.计算 ,若f’(x0)=0,退出计算，否则继续向下迭代。 3.若|x1-x0|满足精度要求，x1即为方程的近似解。
改进的牛顿迭代法求解非线性方程 摘要：牛顿法思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，但是其对初值、波动和可能出现的不收敛等缺点，而牛顿下山法克服了可能出现的发散的缺点。 关键词：牛顿法、牛顿下山法、非线性方程 一、牛顿法的迭代公式 设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当*0x x →时，由Taylor 公式有： ))(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 以方程 0))(()(000=-'+x x x f x f 近似方程0)(=x f ，其解 ) ()(0001x f x f x x '-= 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式 ),1,0(,) ()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 该方法称为牛顿迭代法。 二、牛顿法的改进 由于牛顿法缺点对牛顿法进行改进，使其计算简单，无需每次迭代都去计算)(x f '，且能够更好的收敛。 2.1简化的牛顿法 牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算)(k x f '。为回避该问题，常用一个固定 )(k x f '迭代若干步后再求)(k x f '。这就是简化牛顿法的基本思想。 简化牛顿法的公式为： )(1k k k x cf x x -=+
迭代函数 )()(x cf x x -=? 若 2)(0,1)(1)(<'<<'-='x f c x f c x 即?，在根*x 附近成立，则迭代法局部收敛。 显然此法简化了计算量，却降低了收敛速度。 2.2牛顿下山法 牛顿法的缺点二是其收敛依赖与初值0x 的选取，若0x 偏离所求根*x 较远，则牛顿法可能发散。为防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项条件，即具有单调性： )()(1k k x f x f <+ 保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。将牛顿法的计算结果 ) ()(1k k k k x f x f x x '-=+ 与前一步的近似值k x 适当加权平均作为新的改进值 k k k x x x )1(11λλ-+=++ 其中，称 )10(≤<λλ为下山因子，即为： ) ()(1k k k k x f x f x x '-=+λ 称为牛顿下山法。选择下山因子λ时，从 1=λ开始逐次将λ减半进行试算，直到条件成立为止。 三 举例说明 例1 求方程013=--x x 的根 （1）取5.10=x ，用牛顿法公式： 1 32131---=-+k k k k x x x x x 计算得：32472.1,32520.1,34783.1321===x x x
机器学习实战之分类算法 第一章机器学习概论 (4) 机器学习基本概念 (4) 机器学习的主要任务以及相应的算法 (4) 如何选择合适的算法？ (4) 机器学习应用的步骤 (5) 第二章 K近邻算法(KNN) (5) 工作原理 (5) 实现步骤 (6) K近邻算法的优缺点 (6) 第三章决策树 (7) 基本思路 (7) 集合无序程度测量 (7) 应用场景 (7) 优缺点 (7) 第四章朴素贝叶斯分类 (8) 基本思路 (8) 基本假设 (8) 条件概率 (8) 词袋模型和词集模型 (9) 优缺点 (10) 标称型和数值型数据的区别 (10)
主要应用及步骤 (10) 第五章逻辑回归 (12) 基本思想 (12) 使用场景 (12) 优缺点 (12) Sigmoid函数 (13) 回归系数 (13) 梯度上升法 (14) 特征缺失处理 (14) 标签缺失处理 (14) 第六章支持向量机SVM (14) 基本思想 (14) SVM第一层理解 (15) 超平面的确定 (15) 函数间隔和几何间隔 (15) 最大间隔分类器 (16) SMO优化算法 (16) 核函数 (19) 应用场景 (19) 第七章 AdaBoost分类 (19) Bagging (20) Boosting (20) Adaboost (20) Adaboost的优点 (20)
Adaboost实现步骤 (21) 第八章非均衡分类问题 (23) 分类性能指标 (23) 混淆矩阵 (23) ROC曲线 (24) 处理非均衡问题的数据抽样 (24)
第一章机器学习概论 机器学习基本概念 机器学习就是将无序的数据转化为有用的信息。一个实例有n个特征，由n列组成。机器学习最主要的任务就是分类，另一个就是回归，回归中比较典型的就是线性拟合。分类和回归都属于监督学习，因为这类算法必须知道要预测什么，即已知目标变量的分类信息。与监督学习对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程叫做聚类。将描述数据统计值的过程称之为密度估计。分类首先要进行训练，训练样本集必须确定目标变量的值，以便发现特征与目标变量之间的关系。特征或者属性通常是训练样本集的列，他们是独立测量得到的结果，多个特征联系在一起共同组成一个训练样本。 机器学习的主要任务以及相应的算法 如何选择合适的算法？ 如果要预测目标变量的值：
Newton迭代法求解非 线性方程
一、 Newton 迭代法概述 构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。 设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即： )x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1) 于是我们得到如下近似方程： 0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2) 设0)('≠k x f ，则方程的解为： x ?=x k +f (x k ) f (x k )? (1-3) 取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,… (1-4) 上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义。方程： )x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5) 是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。 牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。若
要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k λ -=+, ?=,2,1,0k (1-6) 上式中，10<λ<，称为下山因子。因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。 牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算)x (f k 之外，还要计算 )x ('f k 的值。如果)x (f 比较复杂，计算)x ('f k 的工作量就可能比较大。为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。通常用如下几种方法： 1. 割线法 如果用 1 k k 1k k x x ) x (f )x (f ----代替)x ('f k ，则得到割线法的迭代格式为： )x (f ) x (f )x (f x x x x k 1k k 1 k k k 1k --+---= (1-7) 2. 拟牛顿法 如果用 ) x (f )) x (f x (f )x (f k 1k k k ---代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： )) x (f x (f )x (f ) x (f x x 1k k k k 2k 1k -+--- = (1-8) 3. Steffenson 法 如果用 ) x (f ) x (f ))x (f x (f k k k k -+代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： ) x (f ))x (f x (f ) x (f x x k k k k 2k 1 k -+- =+
线性方程组的迭代法应用及牛顿迭代法的改进 摘要: 迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到近似解的方法。由于从不同 的问题而导出的线性代数方程组的系数矩阵不同，因此对于大型稀疏矩阵所对应线性代数方程组，用迭代法求解。本文论述了Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法这三种迭代法，并在此基础上对牛顿型的方法进行了改进，从而使算法更为精确方便。 关键词:线性方程组，牛顿迭代法，Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛 法 1.线性方程组迭代法 1.1线性方程组的迭代解法的基本思想 迭代法求解基本思想:从某一初始向量X （0）=[x 1(0) ,x 2(0) ,……………x n (0) ]出发，按某种迭代规则，不断地对前一次近似值进行修改，形成近似解的向量{X (k)}。当近似解X (k) =[x 1(k) ,x 2(k) ,……………x n (k) ]收敛于方程组的精确解向量X* =[x 1*,x 2*,……………x n *]时，满足给定精度要求的近似解向量X (k)可作为X*的数值解。 1.2 线性方程组的迭代法主要研究的三个问题 (1) 如何构造迭代公式 (2) 向量数列{X (k)}的收敛条件 (3) 迭代的结束和误差估计 解线性方程组的迭代解法主要有简单迭代法、 Gauss-Seidel 法和SOR 法。简单迭代法又称同时代换法或Jacobi 法，是最简单的解线性方程组的迭代解法也是其他解法的基础。 1.3Jacobi 迭代法 设方程组点系数矩阵n n j A ai R ???=∈??满足条件0ii a ≠，i=0,1,2, …n 。把A 分解为 A=D+L+U
第四章 无约束优化方法 ——最速下降法，牛顿型方法 概述 在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的，无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。 为什么要研究无约束优化问题? （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 （3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。 一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。 二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。 无约束优化问题的一般形式可描述为： 求n 维设计变量 []1 2T n n X x x x R =∈L 使目标函数 ()min f X ? 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 无约束优化问题的求解： 1、解析法
可以利用无约束优化问题的极值条件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方程 0)(min *=X f 的解。也就是求Ｘ＊使其满足 解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值点。但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。由第二章的讲述我们知道，优化问题的一般解法是数值迭代的方法。因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。 2、数值方法 数值迭代法的基本思想是从一个初始点) 0(X 出发，按照一个可行的搜索方向) 0(d ρ搜索，确定最佳的步长0α使函数值沿) 0(d ρ方向下降最大，得到)1(X 点。依此一步一步 地重复数值计算，最终达到最优点。优化计算所采用的基本迭代公式为 ),2,1,0() () () 1(Λρ=+=+k d X X K K K K α （4.2） 在上式中， () K d r 是第是 k+1 次搜索或迭代方向，称为搜索方向（迭代方向）。 由上面的迭代公式可以看出，采用数值法进行迭代求优时，需要确定初始点)(k X 、搜 索方向) (k d ρ和迭代步长K α，称为优化方法迭代算法的三要素。第三章我们已经讨论了 如何在搜索方向) (k d ρ上确定最优步长K α的方法，本章我们将讨论如何确定搜索方向) (k d ρ。 最常用的数值方法是搜索方法，其基本思想如下图所示： 0) (0) (0) (*2*1*=??=??=??n x X f x X f x X f M
模式识别与机器学习期末考查 思考题 1：简述模式识别与机器学习研究的共同问题和各自的研究侧重点。 机器学习是研究让机器（计算机）从经验和数据获得知识或提高自身能力的科学。 机器学习和模式识别是分别从计算机科学和工程的角度发展起来的。然而近年来，由于它们关心的很多共同问题（分类、聚类、特征选择、信息融合等），这两个领域的界限越来越模糊。机器学习和模式识别的理论和方法可用来解决很多机器感知和信息处理的问题，其中包括图像/视频分析、（文本、语音、印刷、手写）文档分析、信息检索和网络搜索等。近年来，机器学习和模式识别的研究吸引了越来越多的研究者，理论和方法的进步促进了工程应用中识别性能的明显提高。 机器学习：要使计算机具有知识一般有两种方法；一种是由知识工程师将有关的知识归纳、整理，并且表示为计算机可以接受、处理的方式输入计算机。另一种是使计算机本身有获得知识的能力，它可以学习人类已有的知识，并且在实践过程中不总结、完善，这种方式称为机器学习。机器学习的研究，主要在以下三个方面进行：一是研究人类学习的机理、人脑思维的过程；和机器学习的方法；以及建立针对具体任务的学习系统。机器学习的研究是在信息科学、脑科学、神经心理学、逻辑学、模糊数学等多种学科基础上的。依赖于这些学科而共同发展。目前已经取得很大的进展，但还没有能完全解决问题。 模式识别：模式识别是研究如何使机器具有感知能力，主要研究视觉模式和听觉模式的识别。如识别物体、地形、图像、字体（如签字）等。在日常生活各方面以及军事上都有广大的用途。近年来迅速发展起来应用模糊数学模式、人工神经网络模式的方法逐渐取代传统的用统计模式和结构模式的识别方法。特别神经网络方法在模式识别中取得较大进展。理解自然语言计算机如能“听懂”人的语言（如汉语、英语等），便可以直接用口语操作计算机，这将给人们带来极大的便利。计算机理解自然语言的研究有以下三个目标：一是计算机能正确理解人类的自然语言输入的信息，并能正确答复（或响应）输入的信息。二是计算机对输入的信息能产生相应的摘要，而且复述输入的内容。三是计算机能把输入的自然语言翻译成要求的另一种语言，如将汉语译成英语或将英语译成汉语等。目前，研究计算机进行文字或语言的自动翻译，人们作了大量的尝试，还没有找到最佳的方法，有待于更进一步深入探索。 机器学习今后主要的研究方向如下： 1)人类学习机制的研究；
题目和要求 最速下降法是以负梯度方向最为下降方向的极小化算法，相邻 两次的搜索方向是互相直交的。牛顿法是利用目标函数)(x f 在迭代点k x 处的Taylor 展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极小 点序列去逼近目标函数的极小点。共轭梯度法它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向k d 仅仅是负梯度方向k g -与上一次接待 的搜索方向1-k d 的组合。 运行及结果如下: 最速下降法： 题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2 M 文件： function [R,n]=steel(x0,y0,eps) syms x ; syms y ; f=(x-2)^2+(y-4)^2; v=[x,y]; j=jacobian(f,v); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0; n=0; syms kk ; while (temp>eps) d=-T; f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2); fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)]; fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2); Mini=Gold(fun,0,1,0.00001); x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2); T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0; n=n+1;
end R=[x0,y0] 调用黄金分割法： M文件： function Mini=Gold(f,a0,b0,eps) syms x;format long; syms kk; u=a0+0.382*(b0-a0); v=a0+0.618*(b0-a0); k=0; a=a0;b=b0; array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; while((b-a)/(b0-a0)>=eps) Fu=subs(f,kk,u); Fv=subs(f,kk,v); if(Fu<=Fv) b=v; v=u; u=a+0.382*(b-a); k=k+1; elseif(Fu>Fv) a=u; u=v; v=a+0.618*(b-a); k=k+1; end array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; end Mini=(a+b)/2; 输入： [R,n]=steel(0,1,0.0001) R = 1.99999413667642 3.99999120501463 R = 1.99999413667642 3.99999120501463 n = 1 牛顿法： 题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2 M文件：