1．圆锥曲线中常用公式：
弦长公式：
对于直线MN：y kx b
=+，点()
M M
M x y
，，()
N N
N x y
，，
M N M N
MN x y
=-=-．
两根差公式：
如果
M N
x x
，满足一元二次方程：20
ax bx c
++=，
则
M N
x x
-==（0
?>）．
2．椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>：
判断交点个数时，一般方法是连立直线与椭圆的方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，根据判别式的情况判断交点情况．
如果一条直线与椭圆只有一个交点，则此直线一定与椭圆相切，对于双曲线与抛物线，此说法不成立．知识内容
高考要求
直线与圆锥曲线
注意椭圆上的点可以直接设为(cos ,sin )(02π)a b θθθ<≤，此处的θ的几何意义不明显；
3．过双曲线22
221x y a b
-=外一点00()P x y ，的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线，以及只与双曲线的一支相切的两条切线，共四条；
②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线，以及只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；
③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一条渐近线平行的直线，
一条是切线； ④P 为原点时不存在这样的直线．
3．抛物线22(0)y px p =>
焦点：02p ??
???
，
，通径2AB p =；准线：2p x =-；焦半径：12p CF x =+， 过焦点弦长121222p p
CD x x x x p =+++=++，2212124
p x x y y p ==-，．
利用抛物线的定义可以简化并解决抛物线中的很多问题，对于椭圆与双曲线，也有类似的定义，称为椭圆与双曲线的第二定义．
圆锥曲线可以统一定义为：平面内，到一个定点距离与一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比为常数e 的点的轨迹，
当此常数e 大于1时，轨迹为双曲线；等于1时，轨迹为抛物线；小于1时，轨迹为椭圆． 这里的定点与定直线是圆锥曲线对应的焦点与准线． 4．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
⑴从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础． 要重视通过设而不求与弦长公式等简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质． ⑵以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．
<教师备案>直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，也是难点．这类问题围绕着圆锥曲线的性质与直
线的基本知识点展开，涉及交点、弦长、中点弦、对称、夹角、面积、最值、定点定值等问题．
它容纳了解析几何的绝大部分知识点，各种解题方法在这里也得到了充分的体现，它把代数、三角与几何联系在一起，不仅综合性大，而且方法变化多，体现了解析几何与方程思想、数形结合、等价转化、分类讨论等基本数学思想．
【例1】 通过焦点的直线l 被圆锥曲线E 所截得的线段AB 被称为是焦点弦，它的长度AB 与直线的倾斜角α
有如下关系：
对于椭圆2222:1x y E a b +=，有AB =2
2222sin ab b c α
+；
典例分析
)
对于双曲线22
22:1x y E a b -=，有AB =22222sin ab b c α
-；
对于抛物线2:2E y px =，有AB =
22sin p
α
．
【练1】 （丰台·理·题20）已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于
A ，
B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．
⑴ 求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； ⑵ 设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．
y
x
O
M
F
D
C
B
A
【练2】 （丰台·文·题20）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>经过点()0,1，过右焦点F 且不与x 轴重合的动直线
l 交椭圆于A 、C 两点，当动直线l 的斜率为2时，坐标原点O 到l
． ⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 过F 的另一直线交椭圆于B 、D 两点，且AC BD ⊥，当四边形ABCD 的面积16
9
S =时，求直线l 的方程
【例2】 （2010全国卷Ⅱ高考）已知斜率为1的直线l 与双曲线22
221(00)x y C a b a b
-=>>∶，相交于B 、D 两
点，且BD 的中点为(13)M ，
． ⑴求C 的离心率；
⑵设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ?=，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
【练3】 （西城·文·题18）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>C 上任意一点到椭圆两个
焦点的距离之和为6． ⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点()0,1P ，且||||PA PB =，求直线l 的方程．
【练4】 （2010天津高考）已知椭圆22
221(0x y a b a b
+=>>）的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形
的面积为4． ⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(0)a -，
，点0(0)Q y ，在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ?=
，求0y 的值．
【例3】 （海淀·理·题19）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，
过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ，B 两点．
⑴写出抛物线2C 的标准方程；
⑵若12
AM MB = ，求直线l 的方程；
⑶若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．
【练5】 （2004年福建高考）如图，P 是抛物线C ：2
12
y x =
上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．
⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求
ST ST SP
SQ
+的取值范围．
【例4
】 （2010重庆高考）已知以原点O 为中心，)
0F
为右焦点的双曲线C 的离心率e =
⑴求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
⑵如图，已知过点()11M x y ，的直线111:44l x x y y
+=与过点()22N x y ，（其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH
△的面积．
【练6】 （崇文·理·题19）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两
条切线，切点分别为,A B ．
⑴（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；
（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=?，求椭圆离心率e 的取值范围． ⑵设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
222
2
a b ON
OM
+
为定值．
【练7】 （东城·理·题18）已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F
的直线与抛物线交于,M N 两点，过,M N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ． ⑴求抛物线的标准方程；
⑵求FT MN ? 的值；
⑶求证：||FT 是||MF 和||NF
的等比中项．
【例5】 （2010四川卷高考）已知定点(10)A -，，(20)F ，
，定直线l :1
2
x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ⑴ 求E 的方程；
⑵ 试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．
【练8】 （朝阳·理·题19）已知动点M 到点()1,0F 的距离，等于它到直线1x =-的距离．
⑴求点M 的轨迹C 的方程；
⑵过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段,AB MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； ⑶在⑵的条件下，求FPQ ?面积的最小值．
【例6】 （2010广东）已知双曲线2
212
x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点()11P x y ，，()11Q x y -，
是双曲线上不同的两个动点．
⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程
⑵ 若过点()0,h ，0h >的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值．
【练9】 （西城·理·题19）如图，椭圆2
2
:14
y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x
轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ．
⑴ 若CE FD =
，求直线l 的方程；
⑵ 设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 的值．
【例7】 （宣武·理·题20）已知0p >，动点M 到定点F ,02p ??
???
的距离比M 到定直线:l x p =-的距离小2p ．
⑴求动点M 的轨迹C 的方程；
⑵设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0OA OB ?=
，求AOB ?面积的最小值；
⑶在轨迹C 上是否存在两点,P Q 关于直线():02p m y k x k ??=-≠ ??
?对称？若存在，求出直线m 的方
程，若不存在，说明理由．
【练10】 （2009山东22）设椭圆22
22:1x y E a b
+=（a ，0b >）
过(2M
，)
1N 两点，O 为坐标原点，
⑴求椭圆E 的方程；
⑵是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且O
A O
B ⊥ ？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由． ⑶在⑵的条件下，求AB 的取值范围．
习题1. 已知椭圆22
143
x y +=，直线l ：y x m =+与椭圆有两个交点时，m 的取值范围为_______
习题2. 直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点的坐标是_________．
习题3. （2009江南十校素质测试12）
若AB 是过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴
课后作业
不平行，AM k 、BM k 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则AM BM k k ?=（ ）
A ．22c a -
B ．22b a -
C ．22c b -
D ．2
2a b
-
习题4. （2010丰台文科一模19）
已知椭圆C ：2
214
x y +=
，直线:l y kx =+C 交于不同的
两点P 和Q ．
问是否存在常数k ，使得0OP OQ ?=
？若存在，求出k 的值；
若不存在，请说明理由．
习题5. 过点(1,0)M -且与抛物线2y x =只有一个公共点的直线方程为__________．
习题6.
已知点()
0A
和)
0B ，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线
2y x =-交于D 、E 两点，⑴求轨迹C 的方程；⑵求线段DE 的长．
习题7. （2010福建理17）
已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点．
⑴求椭圆C 的方程； ⑵是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
圆锥曲线（学生版） 一、填空题 1、已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值 为 ▲ 2、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点， AB =3，则C 的实轴长为 ▲ . 3、已知1F 、2F 分别是椭圆14 82 2=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则 121 || PF PF PF -的取值范围是 ▲ ． 4、已知双曲线22221y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合，且双曲线的离心率等5，则该双曲线的标准方程为 ▲ ． 5、已知双曲线)0,0(12 22 2>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆 05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ . 6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 22:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左顶点为A ，过双曲 线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ?为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ． 7、设双曲线22 145 x y -=的左、 右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且12PF F 的面积为6，则点P 的坐标为 8、如图，过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ， 交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。 9、已知圆C 的圆心为抛物线x y 42 -=的焦点,又直线4360x y --=与圆C 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ． 10、圆心在抛物线22x y =上,并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．
专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅
2018高考真题分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 1.【2018高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2 2 221x y a b -=（a,b ＞0）的左、 右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平 分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 A. 23 B 6 2 D. 3【答案】B 【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组??????? =-+=0,b y a x b x c b y 得点 Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组??????? =++=0 ,b y a x b x c b y 得点P ),(a c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b c a x b c b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c b a c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223 c a =，所以26=e 。 故选B 2.【2018高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线 x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）
()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 【答案】C 【解析】设等轴双曲线方程为)0(2 2 >=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得412162 2 =-=-=y x m ，所以双曲线方 程为42 2 =-y x ，即14 42 2=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2018高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为 直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45 【答案】C 【解析】因为12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则有 P F F F 212=,，因为 2130=∠F PF ，所以 0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F == ，即c c c a =?=-22 1 23，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4 3=e ，选C. 4.【2018高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ） A 、22 B 、23 C 、4 D 、5 【答案】B 【解析】设抛物线方程为2 2y px =，则点(2,2)M p ±Q 焦点,02p ?? ??? ，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴ 2 2492p P ? ?-+= ?? ?， 解得2p =，所以44223OM =+?=.
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
2021年高考数学（理）解析几何突破性讲练 10圆锥曲线综合问题（2） -最值、范围、证明问题 一、考点传真： 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想． 二、知识点梳理： 1.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 3.圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证
法证明. 三、例题： 例1.（2020年江苏卷，18）在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22 :143 x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ， 点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B . （1）求 12AF F 的周长； （2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ?的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB 的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求M 的坐标. 【解析】（1）设椭圆22 :143 x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===. 所以12AF F 的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ， 则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 在2x =时取等号.
招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O
即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-
专题二 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 一.知识体系小结 22 2222222222 222222 cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x y a b a b x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p 圆锥曲线的标准方程 椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时． 双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，． 抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p ，开口向上时，开口向下时． 2222 2222 2222 222222 222222 221111 1(0)123142x y x y a b a b x y x y a b a b x y x y a b a b mx ny 常用曲线方程设法技巧 共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m 点在轴上，； 焦点在轴上，． 3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式； (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 1212|||| |.AB AB x x y y (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 222 0002220 222 0002220 2000 1()1()2(0)(). b x x y P x y k a b a y b x x y P x y k a b a y p y px p P x y k y 圆锥曲线中点弦斜率公式 在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．
圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．
2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;
专题10 圆锥曲线 易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程” 如图，已知点0(1 )F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=?，求动点P 的轨迹． 【错解】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP QF FP FQ ?=?，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP QF FP FQ ?=?，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ． 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线． 【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线． 1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有: （1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性． （2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程． （3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点
(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表 示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程． （4）参数法：若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点 ,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这 种求轨迹方程的方法叫做参数法. 2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等． 1．已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||2 PA d = . （1）求动点P 的轨迹C 方程； （2）设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点，B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点 (3,0)D ,求直线AM 的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）(1)2 y x =+. 【解析】（1）设(,)P x y ，则由(1,0)A -，知||PA = 又:2l x =-，∴|2|d x =+， 2 = ， ∴22 21 (1)(2)2 x y x ++= +， ∴2 2 22x y +=， ∴点P 的轨迹方程为2 212 x y +=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>，
终结圆锥曲线大题十个大招 招式一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242 (21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为： 22 1112()22k y x k k k --=--令y=0,得0 21122x k =-，则211 (,0)22E k - ABE ?为正三角形，∴2 11( ,0)22E k -到直线AB 的距离d AB 。 AB =2 1k = +d = 2 1k +=k =满足②式此时053x =。 【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。 练习题：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
高考达标检测（三十八） 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线 的位置关系 一、选择题 1．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．22 解析：选D 由题意可知焦点F (1,0)，设A (x A ，y A )， 由|AF |＝3＝x A ＋1，得x A ＝2，又点A 在第一象限， 故A (2,22)，故直线l 的斜率为2 2. 2．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为( ) A. 1 8 B ．0 C. 1 8 或0 D ．8或0 解析：选C 由??? y ＝kx ＋2， y 2＝x ， 得ky 2－y ＋2＝0， 若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2， 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝1 8， 综上可知k ＝0或 1 8 . 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B.32 C.355 D.52 解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AB 的中点为N (12,15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，
由????? x 21a 2－y 21 b 2＝1，x 2 2 a 2 －y 22b 2 ＝1， 两式相减得： x 1＋x 2 x 1－x 2 a 2 ＝ y 1＋y 2 y 1－y 2 b 2 ， 则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 2 5a 2.
专题五 第二讲离心率专题 卡 两 勖心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求 圆锥曲线离心率的问题，通常有 一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围， 属于中低 档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。 一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心 率，只需要由条件得到一个关于基本量 a 与 b 或a 与 c 的其次式，从而根据e - . 1 2 a \ a （这是椭圆）e - . 1 b 2 （这是双曲线），就可以从中求出离心率. 但如果选择方法不 a ■ a 恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以 使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好 的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一）、用定义求离心率问题： 例1、（05全国川）设椭圆的两个焦点分别为 F i 、 F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. 2 B. C. 2 - 2 D. . 2-1 2 2 点C ,则该椭圆的离心率 e ___________ 2、已知正方形 ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过 C 、D 两点的椭圆的离心率为 __________________ 3、已知长方形 ABCD , AB = 4, BC = 3,则以A 、B 为焦点，且过 C 、D 两点的椭圆的离 心率为 。 【强化训练】1.在厶ABC 中，AB BC , cosB 18 .若以A ，B 为焦点的椭圆经过 7
x 2 y 4?已知F 1、F 2是双曲线 飞 亍1(a a b MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上 , A . 4 2.3 B . . 3 1 2 2 5、如图，F 1和F 2分别是双曲线 笃 爲 1(a 0,b 0)的两个焦点, a b A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点，且△ F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) (A ) 3 ( B ) ■■-- 5 (C ) —— ( D ) 1 , 3 2 (二)、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助 a 、b 、c 之间的关系，构造 a 、c 的关系(特别是齐二次式)，进而 得到关于e 的一元方程，从而解得离心率 e x 2 y 2 例2、如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A ,, A 2, B ,,B 2为椭圆二 2 1(a b 0)的四 a b 个顶点，F 为其右焦点，直线AB ?与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 _____________________ . ” 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 ，以及直线与抛物线的位置关系 只有一个公共点，则解方程组有唯一解?本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 0,b 0)的两焦点，以线段 F 1F 2为边作正三角形 则双曲线的离心率是( 变式：设双曲线 的离心率等于( (A ) .3 b 2 1 (a > 0,b > 0)的渐近线与抛物线 y=x +1相切，则该双曲线 (B ) 2 (C ) 5 6
考点10 圆锥曲线 椭圆 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）已知曲线 22 1 x y a b +=和直线10 ax by ++=(,a b为非零实数)在同一坐标系 中，它们的图形可能是（） A．B． C．D． 【答案】C 【详解】考点：直线与圆锥曲线的关系． 分析：可以以直线的方程为主进行讨论，根据直线的位置关系得出参数a，b的符号，再由此关系判断曲线的形状，不出现矛盾者即是所求的正确选项 解：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对； B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对； C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选；
选项中不正确，由C 选项的判断可知D 不正确．故选C 二、填空题 2．（2021·上海高三专题练习）已知F 1，F 2是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的 一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =________． 【答案】3 【分析】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义得到1 22r r a +=，根据12PF PF ⊥，得到222124r r c +=， 进而求得2 122r r b =，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义可得12122PF PF r r a +=+=， 又由12PF PF ⊥，可得222 124r r c +=， 可得222222 1212122()()444r r r r r r a c b =+-+=-=，即2 122r r b =， 所以12PF F △的面积为12 221211 222 PF F S r r b b = =?=， 又因为12PF F △的面积为9，即29b =，解得3b =.故答案为：3 3．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）在在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是 椭圆22 124 x y + =上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为-2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF +为定值，则该定值为_______________. 【答案】【分析】先设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），利用坐标表示求动点P 轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果. 【详解】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2， ∵点M ，N 在椭圆22 124x y +=上，所以2211241x y +=，2 22224 1x y +=， 故2x 2+y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）+（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2+y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =-2，
《圆锥曲线解题十招全归纳》 招式一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 招式二：动弦过定点的问题 例题2、已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>， 且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程； (II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。 招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.
2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2 14 y x =的焦点，离心率 为 5 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-. 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14 6 ( ,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。 类型1——求待定字母的值 例1设双曲线C ：)0(12 22>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交 于点P ，且PA=PB 12 5 ，求a 的值
教学过程 一、复习预习 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. 二、知识讲解 考点1范围问题 求范围和最值的方法： 几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 考点2对称问题 要抓住对称包含的三个条件： (1)中点在对称轴上 (2)两个对称点的连线与轴垂直
(3)两点连线与曲线有两个交点(0>?),通过该不等式求范围 考点/易错点3定点、定值、最值等问题 定点与定值问题的处理一般有两种方法： （1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）． 三、例题精析 【例题1】 【题干】已知椭圆1:22221=+b y a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当 椭圆的离心率e 满足2 223≤≤e ，且0=?OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】 []6,5 【解析】由???=-+=+0 12 22222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a 由( ) 0122222>-+=?b a b a ，得12 2 >+b a 此时222212b a a x x +=+，() 2 22 2211b a b a x x +-= 由0=?OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x 即022 2 2 2 =-+b a b a ，故1 222 2 -=a a b 由2 22222 a b a a c e -==，得2 222e a a b -= ∴2 2 11 12e a -+ = 由 2 223≤≤e 得23452 ≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为 []6,5 【例题2】
1、（2012济南一中模拟）过双曲线2222x y a b -=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆222 4 a x y +=的 切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为 . 2、（2012滨州二模）设抛物线y 2 ＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点PA⊥l ，A 为垂足，如果AF 的斜率为－3，那么｜PF ｜＝＿＿＿＿ 3、（2012德州二模）设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直 的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若 (,)OP OA OB R λμλμ=+∈，3 16 λμ= ，则该双曲线的离心率为 A ． 322 B ．355 C ．233 D ．9 8 答案：C 解析：双曲线的渐近线为：y ＝b x a ± ，设焦点F （c ，0），则
A （c ，bc a ）， B （c ，－bc a ），P （c ，2 b a ），因为OP OA OB λμ=+ 所以，（c ，2b a ）＝（()c λμ+，()bc a λμ-），所以， λμ+＝1，λμ-＝b c ，解得：,22c b c b c c λμ+-== ，又由3 16 λμ=，得： 3 2216 c b c b c c +-?=，解得：2234a c =，所以，e ＝233，选C 。 4、（2012德州二模）设斜率为1的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为8，则a 的值为 。 5 、（2012德州一模）已知抛物线2 40y px(p )=>与双曲线22 22100x y (a ,b )a b -=>>有相同 的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( ) A ． 51 2 B 21 C 31 D ．2212 答案：B 解析：依题意，得F （p ，0），因为AF x ⊥轴，设A （p ，y ）， 2 2 4y p =，所以y ＝2p ，所以，A （p ，2p ），又A 点在双曲线上，所以，22 224p p a b -＝1， 又因为c ＝p ，所以，22222 4c c a c a --＝1，化简，得：4224 6c a c a -+＝0，即：42 610c c a a ????-+= ? ? ???? ，所以2 322e =+e 21，选B 。 6、（2012济南三模）若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>与直线3y x =无交点，则离心率e 的取值范围