2019届文科辅优讲义——解析几何
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专题五 第二讲 离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a与b或a与c的其次式，从而根据221cbeaa（这是椭圆）221cbeaa（这是双曲线），就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一）、用定义求离心率问题： 122121(05,,221A. B. C. 22 D. 2122FFFPFPF例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－ 【强化训练】1.在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e ． 2、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_________； 3、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。
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4.已知F1、F2是双曲线)0,0(12222babyax的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A．324 B．13 C．213 D．13 5、如图，1F和2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点， A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A）3 （B）5 （C）25 （D）31 （二）、列方程求离心率问题：构造a、c的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e 例2、如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 . 变式：设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ) （A）3 （B）2 （C）5 （D）6 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组
有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
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【强化训练】1、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) （A）2 （B）3 （C）312 （D）512 2.在平面直角坐标系中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半 径的圆，过点(a2c，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ． 3.已知椭圆C：22221xyab（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若3AFFBuuuruuur。则k =( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 4.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FDuuruur，则C的离心率为 5. 已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为（ ） . m A．65 B. 75 C. 58 D. 95 二、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式. 模型三：几何性质求离心率： 例3.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ． B2 BFy x O F2 P
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【强化训练】1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P， 使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ． 2．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 例4.已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMFuuuuruuuur的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．(0,1) B．1(0,]2 C．2(0,)2 D．2[,1)2 【强化训练】1、椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．102， Ｂ．202， Ｃ．112， Ｄ．212， 2、已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF,点P在双曲线的右支上，且12||4||PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为：（ ） A．43 B．53 C．2 D．73 3、双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ） A.(1,3) B.1,3 C.(3,+) D.3,