小学奥数几何专题
1、(★★)如图,已知四边形ABCD 中,AB=13,BC=3,CD=4,DA=12,并且BD 与AD 垂直,则四边形的面积等于多少?
[思 路]:显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到.三角形
ABD 是直角三角形,底AD 已知,高BD 是未知的,但可以通过勾股定理求出,进而可以判定三角形BCD 的形状,然后求其面积.这样看来,BD 的长度是求解本题的关键.
解:由于BD 垂直于AD ,所以三角形ABD 是直角三角形.而AB=13,DA=12,由勾股
定理,BD 2
=AB 2
-AD 2
=132
—122
=25=52
,所以BD=5.三角形BCD 中BD=5,BC=3,CD=4,又32
十42
=52
,故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形,BC 与CD 垂直.那么:
ABCD S 四边形=ABD S ?+BCD S
?=12×5÷2+4×3÷2=36.. 即四边形ABCD 的面积是36.
2、(★★)如图四边形土地的总面积是48平方米,三条线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米.那么最大的一个三角形的面积是________平方米;
[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ,是右侧两个三角形面积和的2 倍,故
左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍,最大三角形面积是 9×2=18。
3.(★★)将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图,其中的粗实线图形面积与原三角形面积
之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少?
[思 路]:小升初中常把分数,百分数,比例问题处理成份数问题,这个思想一定要养成。 解:粗线面积:黄面积=2:3
绿色面积是折叠后的重叠部分,减少的部分就是因为重叠才变少的,这样可以设总
共3份,后来粗线变2份,减少的绿色部分为1份,所以阴影部分为2-1=1份,
7 9
4、(★★)求下图中阴影部分的面积:
【解】如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积:π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
5、(★★)下图中阴影部分的面积是多少厘米2?
分析与解:本题可以采用一般方法,也就是分别计算两块阴影部分面积,再加起来,但不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法,将左上角一块阴影部分(弓形)翻折到半圆的右上角(以下图中虚线为折痕),把两块阴影部分合在一起,组成一个梯形(如下图所示),这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°,到达右上角,得到同样的一个梯形。
6、(★★)如图6-1,每一个小方格的面积都是l平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一:正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L
2
-1)×单位正方形面
积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.
有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为:(4+7
2
-1)×1=6.5(平方厘米)
方法二:如下图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,有①=3÷2=1.5,
②=2÷2=1,③=2÷2=1,④=2÷2=1,⑤=2÷2=l,⑥=2÷2=1,还有三个小正方形,所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所以粗线围成的图形的面积为:16-9.5=6.5平方厘米.
7(★★),已知四边形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的边长为10厘米,那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?
【分析与解】 方法一:因为CEFG 的边长题中未给出,显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG 的边长为x ,有:
=1010=100,ABCD S ?正方形2
=x ,S 正方形CEFG 2
1110x-x =DG GF=(10-x)x=,222
DGF S ??
又1=1010=50,2
ABD S ???2
110x+x =(10+x)x=
.22BEF S ? 阴影部分的面积为:
DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ???++--正方形正方形
22
2
1010100505022
x x x x x -+=++--=(平方厘米).
方法二:连接FC ,有FC 平行与DB ,则四边形BCFD 为梯形.
有△DFB 、△DBC 共底DB ,等高,所以这两个三角形的面积相等,显然,△DBC 的面积
1
1010502
??=(平方厘米). 阴影部分△DFB 的面积为50平方厘米.
8、(★★)用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米?
[方法一]:
[思 路]:整体看待面积问题。
解:不管叠多高,上下两面的表面积总是3×3;再看上下左右四个面,都是2×3+1, 所以,总计9×2+7×4=18+28=46。 [方法二]:
[思 路]:所有正方体表面积减去粘合的表面积
解:从图中我们可以发现,总共有14个正方体,这样我们知道总共的表面积是:6×14=64,但总共粘合了18个面,这样就减少了18×1=18,所以剩下的表面积是64-18=46。 [方法三]:直接数数。
[思 路]:通过图形,我们可以直接数出总共有46个面,每个面面积为1,这样总共的表
面积就是46。
9、(★★)一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高2.5cm,玻璃杯内侧的底面积是72cm2,
在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?
解:水的体积为72×2.5=180(cm3),放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6
×6=32(cm2)的柱体,所以它的高为
180÷32=5(cm)。
10、(★★)有一个棱长为1米的立方体,沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后,成为60
个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米. (06年三帆中学考试题)
【解】原正方体表面积:1×1×6=6(平方米),一共切了2+3+4=9(次),
每切一次增加2个面:2平方米。所以表面积: 6+2×9=24(平方米)
二:提高题
11、(★★★)图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一
边的中点。已知正方形的边长为10,那么阴影部分面积是多少?(π取3.14.)
[方法一]:阴影面积的“加减法”。
[思路]:因为阴影部分面积不是正规图形,所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。
解:过P点向AB作垂线,这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形,这样
阴影面积=整个面积-空白面积=(正方形ABCD+半圆)—(三角形+梯形)
=(10×10+π×5×5÷2)-[15×5÷2+(5+15)×5÷2]
=51.75
[总结]:这种方法是小升初中最常用的方法,一定要学会这种处理思路。
[方法二]:面积的“加减法”和“切割法”综合运用
[思路]:出现正方形,出现弧线时,注意两个考点:1.半叶形 2。1/4圆,所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积
解:S1=正方形-1/4圆=5×5-1/4×π×5×5
上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPF-S2=
所以阴影面积=(15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5)+(10×5÷2-5×5-1/4×π×5×5)
=51.75
[方法三]:面积的“切割法”
[思路]:出现正方形,出现弧线时,注意两个考点:1.半叶形 2。1/4圆,这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形
解:半叶形S1=正方形-1/4圆=5×5-1/4×π×5×5
上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5
阴影面积=(10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5)+(5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5)=51.75
12、(★★★)如图,ABCG是4×7的长方形,DEFG是2×10的长方形,那么,三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少?
[方法一]:
[思 路]:公共部分的运用,这是小升初的常用方法,熟练找出公共部分是解题的关键。
解: GC=7,GD=10推出HE=3;
BC=4,DE=2
阴影BCM 面积-阴影MDE 面积=(BCM 面积+空白面积)-(MDE 面积+空白面积)=三角形BHE 面积-长方形CDEH 面积=3×6÷2-3×2=3
[总 结]:对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目的.
[拓 展]:如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD 的长度?
[方法二]:
[思 路]:画阴影的两个三角形都是直角三角形,而BC 和DE 均为已知的,所以关键问题在于求
CM 和DM .这两条线段之和CD 的长是易求的,所以只要知道它们的长度比就可以了,这恰好可以利用平行线BC 与DE 截成的比例线段求得. 解: GC=7,GD=10 知道CD=3;
BC=4, DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2,MD=1。 阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3 [方法三]:连接BD
S BCM ?—S DEM ?=S BCD ?—S BDE ?=(3×4—2×3)÷2=3.
13.(★★★)如图所示,在三角形ABC 中,DC =3BD ,DE =EA 。若三角形ABC 的面积是1,则阴影部分的面积是多少?
[方法一]:
[思路]:阴影面积是两个不在一起的图形,我们先要通过等量代换,把两个图形拼成一个整体
解:连接FD,因为AE=DE,所以S1=S3,S2=S4,S1+S2=S3+S4,即三角形AFC=三角形FCD,阴影面积等于S3+S4的面积。
又因为DC=3BD,三角形FDC=3×三角形BDF,这样我们就可以设三角形DFB为1份,则
三角形FDC=3份,三角形AFC=三角形FCD=3份,这样总共面积分成7份,
所以阴影面积为1÷7×3=3/7
[方法一]:
14、(★★★)如图,在△ABC中,AD是AC的三分之一,AE是AB的四分之一,若△AED的面积是2平方厘米,那么△ABC的面积是多大?
[分析]连结EC,如图,因为AC=3AD,△AED 与△A EC中AD,AC边上的高相同,所以△AEC的面积是△AED面积的3倍,即△AEC面积是6平方厘米,用同样方法可判断△ABC的面积且△AEC面积的四倍,所以△ABC的面积是6×4=24(平方厘米)。
15(★★★)从一块正方形木板锯下宽为1
2
米的一个木条以后,剩下的面积是
65
18
平方米.问
锯下的木条面积是多少平方米?
【分析与解】我们画出示意图(a),则剩下的木块为图(b),将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c).
我们称AB为长,AD为宽,有长与宽的差为1
2
,所以图(c)中心的小正方形边长为
1
2
,于是
大正方形AEHK的面积为65
18
×4+
1
2
×
1
2
=
529
36
=
23
6
×
23
6
,所以AK长为
23
6
.
即,长+宽=23
6
,已知:长-宽=
1
2
,得长=
13
6
,于是锯去部分的木条的面积为
13
6
×
1 2=
13
12
=1
1
2
(平方米).
16、(★★★)将三角形ABC的BA边延长1倍到D;CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F,如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是_____。
[分析] 如图,连接CD、BF,则
三角形ADC的面积=三角形ABC的面积= 1;
三角形BDE的面积=三角形BCD的面积×2 = (1+1)×2 = 4;
三角形CDF的面积=三角形ADC的面积×3 = 3;
三角形BCF 的面积 = 三角形ABC 的面积×3 = 3; 三角形BEF 的面积 = 三角形BCF 的面积×2 = 6;
三角形DEF 的面积 = 三角形ABC 的面积+三角形ADC 的面积+三角形BDE 的面积+三角形CDF 的面积 +三角形BCF 的面积 +三角形BEF 的面积 = 1+1+4+3+3+6 = 18。
17、(★★★)如图,已知AE =AC/5,CD =BC/4,BF =AB/6,那么DEF ABC 三角形的面积
三角形的面积
等于
多少?
[分析]这道题与例34很相像,但不同的是没有 一个现成的单位面积。要求出这样一个比例,要
求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢?
如图,连接AD ,那么
S △CDE =S △ACD ×4/5=S △ABC ×1/4×4/5=S △ABC ×1/5
同理,连接BE ,那么
S △AEF =S △ABE ×5/6=S △ABC ×1/5×5/6=S △ABC ×1/6
连接CF ,那么
S △BDF =S △BCF ×3/4=S △ABC ×1/6×3/4=S △ABC ×1/8
所以
DEF ABC 三角形的面积
三角形的面积=1-1/5-1/6-1/8=61120
18、(★★★)如图,已知D 是BC 中点,E 是CD 中点,F 是AC 中点。三角形ABC 由①~⑥这6
部分组成,其中②比⑤多6平方厘米。那么三角形ABC 的面积是多少?
[分析]仔细观察图形,我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是一样的,并且EF 是△ACD 的中
位线,也就是EF :AD =1:2。那么②和⑤底和高的比都是2:1(形状相同,高之比和底之比是一样的),面积比自然就是4:1了。 ②与⑤的面积比为4:1,并且相差6平方厘米,所以 ⑤的面积=6÷(4-1)=2(平方厘米) ②的面积=2×4=8(平方厘米)
③与④的面积均为⑤的二倍,②的一半,即4平方厘米; ⑥的面积为④+⑤,即4+2=6(平方厘米)
①的面积为②+③+④+⑤+⑥,即8+4+4+2+6=24(平方厘米) 大三角形的面积为①的二倍,即 24×2=48(平方厘米)。
19、(★★★)在ΔABC 中BD :DC=2:1,AE :EC=1:3 求BO :OE 。
[分析]:解法一,用按比例分配的方法,观察线段BE 正好被AD 分成BO 与OE 两部分,求这两部
分的比,可以AD 为底,B ,E 为顶点构造两个三角形,BAD 与EAD ,这样就可以面积比与线段比之间架一座桥。因为三角形BAD 的三个顶点都在三角形ABC 的边上,因此把三角形ABC 的面积看作单位“1”,就可以用
3
2
来表示ABD 的面积,用AE 的长占AC 的1/4,CD 的长占CB 的1/3,
3141 =12
1
来表示AED 的面积。 因为:S ΔABD :S ΔAED=
32:12
1=8:1,所以BO :OE=8:1。 解法二:这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图,但2个燕尾似乎少了一个,因此应该补全,所以第一步我们要连接OC ,因为AE:EC=1:3 (条件) 所以S ΔAOE/S ΔCOE=1:3 若设S ΔAOE=x,则S ΔCOE=3x S ΔAOC=4x,根据燕尾定理 S ΔAOB :S ΔAOC=BD :DC=2:1
O
A
B
C
E
所以SΔAOB=8x BO:OE=SΔAOB:SΔAOE=8x:x=8:1。
20、(★★★)角形ABC中,C是直角,已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那么三角形AMN(阴影部分)的面积是多少?
[分析]:可以连接NB,由燕尾定理及条件可知CAN:ABN=2:1,不妨设ANM为1份,则ANB为两
1
份,CAN就是4份,CND也是4份,全图就是10份,阴影就占全图的
10
21(★★★)在图中,直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点,如果三角形BEF的面积为6平方厘米,求三角形ADE的面积是多少?
[分析]:连结AC,因为AB平得CD,AE是三角形ADE,ACE的公共底边,所以三角形ADE与三角形ACE的面积相等。又因为BC平行于AF,AF是三角形AFC与三角形ABF的公共底边,所以三角形ACF与三角形ABF的面积相等。从图中还可看出,三角形ACF的面积=三角形ACE的面积+三角形AEF的面积,三角形ABF的面积=三角形BEF的面积+三角形AEF 的面积。从上面两个等式可以得到三角形ACE的面积=三角形BEF的面积,而三角形BEF 的面积为6平方厘米,所以三角形ACE的面积也为6平方厘米,再根据三角形ADE与三角形ACE的面积相等可得三角形ADE的面积为6平方厘米。所以三角形ADE的面积为6平方厘米。
22、(★★★)图中的四边形土地总面积为52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
[分析]:我们不妨把四个小三角形看成四个元素,而不是整体的一部分。
如图,四个小三角形面积中,两个是我们已知的,另两个未知。已知的两个三角形有共同的底边,所以它们的高之比就等于面积比6:7;
S1与S2同样有共同的底边,并且它们的高分别与面积为6和7的两个小三角形相同,也就是同样有6:7的关系。这样S1:S2=6:7; 这样,原来的问题就变成一个和倍问题了。很容易知道 S1=(52-6-7)÷(6+7)×6=18(公顷) S2=(52-6-7)÷(6+7)×7=21(公顷)
这样四个三角形的面积分别为6、7、18、21,最大的一个为21。
23、(★★★)如图,在三角形ABC 中,,D 为BC 的中点,E 为AB 上的一点,且BE=
1
3
AB,已知四边形EDCA 的面积是35,求三角形ABC 的面积. (06年清华附中入学测试题)
【解】根据定理:ABC BED ??=3211??=6
1
,所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份,这样三角形35
÷5×6=42。
24、(★★★)四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,那麽直角三角形中,最短的直角边长度是______米.
(06年实验中学入学
测试题)
【解】小正方形面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,所以外边四个面积和是5-1=4,
所以每个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”,所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长,所以求出短边长就是1。
25、(★★★)如图在长方形ABCD 中,△ABE 、△ADF 、四边形AECF 的面积相等。△AEF 的面积是长方形ABCD 面积的______ (填几分之几)。 (03年资源杯试题)
。
【解】连接AC ,首先△ABC 和△ADC 的面积相等,又△ABE 和△ADF 的面积相等,则△AEC 和△AFC 的面积也相等且等于ABCD 的1/6,不难得△AEC 与△ABE 的面积之比为1/2,由于这两个三角形同高,则EC 与BE 之比为1/2,同理FC 与DF 之比也为1/2。从而△ECF 相当于ABCD 面积的1/18,而四边形AECF 相当于ABCD 面积的1/3,从而答案为1/3-1/18=5/18。
A
F
D
C
B
26、(★★★)如图1,一个长方形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面积为_____
(01年同方杯) 【解】设图示两个三角形的面积分别为a 和b ,因为△AED 面积等于ABCD 的一半,则△ABE 加上△DEC 的面积也等于ABCD 的一半。而△FDC 的面积也等于ABCD 的一半,即23+a+32+12+b=a+b+阴影面积,可见阴影面积=23+32+12=67。
A
D
C
B
a
b
23
32
12
F
27、(★★★)右图中AB=3厘米,CD=12厘米,ED=8厘米,AF=7厘米.四边形ABDE 的面积是 平方厘米.
【解】:四边形AFDC 的面积=三角形AFD+三角形ADC=(
21×FD ×AF )+(2
1
×AC ×CD )=21(FE+ED )×AF+
21(AB+BC )×CD= (21×FE ×AF+21×ED ×AF )+(21×AB ×CD+2
1
×BC ×CD )。 所以阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE —三角形BCD=(21×FE ×AF+21×ED ×AF )+(2
1
×AB ×
CD+21×BC ×CD )-21×FE ×AF-21×BC ×CD=21×ED ×AF+21×AB ×CD=21×8×7+2
1
×3×
12=28+18=46。
28、(★★★)如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A 和B 是两个正方形重叠部分,C ,D ,E 是空出的部分,这些部分都是长方形,其中4个的面积比是A:B:C:D =1:2:3:4。那么这个长方形的长与宽之比是多少?
:
[方 法]:
29.(★★★)如图,长方形的面积是小于100的整数,它的内部有三个边长是整数的正方形,①号正方形的边长是长方形长的5/12,②号正方形的边长是长方形宽的1/8。那么,图中阴影部分的面积是多少?
[方法一]:从整除入手,我们可以推出长方形的面积只能是8×12=96,再入手就很简单可。 解:①的面积就是5×5=25 ②的面积是1×1=1
最大的空白正方形面积=(8-1)×(8-1)=49 阴影面积=96-49-25-1=21
30、(★★★)图30-10是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米.问:阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】 如下图所示,为了方便所叙,将某些点标上字母,并连接BG .
设△AEG 的面积为x ,显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ,则△ABF 的面积为3x ,12010100
2ABF
S ?=??=即1003
x =,那么正方形内空白部分的面积为40043x =
. 所以原题中阴影部分面积为400800
202033
?-= (平方厘米).
【挑战题】
1、(★★★★)一块三角形草坪前,工人王师傅正在用剪草机剪草坪.一看到小灵通,王师傅热情地招呼,说:“小灵通,听说你很会动脑筋,我也想问问你,这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图).修剪西部、东部、南部各需10分钟,16分钟,20分钟.请你想一想修剪北部需要多少分钟?
(05年101中学入学测试题)
20
1016
x y
B
A
C
D F
E
那么有
?
?
?
=
+
=
+
10
:
20
:)
16
(
16
:
20
:)
10
(
x
y
y
x
,即有
?
?
?
+
=
+
=
y
x
x
y
16
2
4
40
5
,解得
?
?
?
=
=
24
20
y
x
.
所以修剪北部草坪需要20+24=44分钟.
评注:在本题中使用到了比例关系,即:
S△ABG:S△AGC=S△AGE:S△GEC=BE:EC;
S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△GFC=AF:FC;
S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB;
2、(★★★★)如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是________平方厘米。
解:
[方法一]:通过比列求解
解:延长EB到K,使BK=CD。三角形EGK与三角形DGC成比例,DC:EK=2:3,所以DG:GK=2:3,由于三角形DEK=90,所以EGK=90÷3/5=54,所以四边形EBFG=EGK-BKF=24。同理,EB:DC=1:2,所以BH:HC=1:2,所以三角形EBH=1/3EBD=10所以,四边形BGHF的面积是24-10=14
[方法二]:份数
解:120÷5=24(平方厘米) 可将该正方形的面积平均分成5份,每份为24(平方厘米)
120÷4=30(平方厘米) 是S△EBC=30(平方厘米) ,所以S△HFC=30-24=6(平方厘米)
在△EBG和△CDG中EB:CD=1:2 (底的比) ;高的比也是1:2
所以S△EBG:S△CDG=1:4
设正方形的边长为"1" ,所以S△CDG=1×(2/3)÷2=1/3
而正方形的面积为"1" 是120平方厘米,所以S△CDG=120×(1/3)=40(平方厘米) S△DBC=120÷2=60(平方厘米)
S四边形BGHF=S△DBC-S△DCG- S△HFC
=60--40-6
=20-6
=14(平方厘米)
小学奥数公式大全及其运用 1 、每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数 2 、1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数 3 、速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 4 、单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价 5 、工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 6 、加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数 7 、被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数
8 、因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数9 、被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 1 、正方形 C周长S面积a边长 周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 、长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 、三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 、平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7 、梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圆形 S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 、圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积=侧面积÷2×半径 10 、圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数=平均数 和差问题的公式 (和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数 和倍问题 和÷(倍数-1)=小数
1.掌握计数常用方法; 2.熟记一些计数公式及其推导方法; 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数. 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想. 一、几何计数 在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分;n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2;n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分;n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解. 排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关;组合问题与各事物所在的先后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关. 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段:如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段”),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角:数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边. 数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为DE上有15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形. 数长方形、平行四边形和正方形:一般的,对于任意长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个. 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的.如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍,那么围成的图形有几层,共用了多少根小 棍?(4级) 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三 角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成,那么一共要用多少根火柴?(4级) 【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”,若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形,请你数一数共有多
六年级数学图形与几何练习题 一、填空 1、3小时20分=()小时9公顷200平方米=()公顷 2、棱长是1分米的正方体,把它切成棱长1厘米的小正方体,摆成一排长()米。 3、一个棱长总和是48分米的长方体,长、宽、高的比是5:4:3,表面积是(),体积是()。 4、把一个正方体平均分成两个小长方体,其中一个长方体的表面积是原来正方体表面积的()。 5、把一个长20厘米、宽15厘米的长方形按1:5缩小后,长是()厘米,宽是()厘米,面积缩小到原来的()。 6、王丽坐在教室最后一排的最后一列上,她的位置可以表示为(6,8),这个班中共有( )名学生。 7、把高10厘米的圆柱分成16等份,拼成近似长方体,表面积增加了80平方厘米,圆柱的体积是()立方厘米。 8、两个圆的半径分别是3厘米和5厘米,它们周长的比是(),面积的比是()。 9、一个棱长4分米的正方体铁块,熔铸成底面积是32平方分米的圆锥,圆锥的高是()分米。 10、一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体盒子,最多能放()个棱长2厘米的小正方体。 二、判断 1、周长相等的两个圆面积也相等。( ) 2、把一个石块放进一只水桶里,桶里的水溢出31.4毫升,则石块的体积是31.4立方厘米。() 3 4 5、打开冰箱门,冰箱门的运动是旋转。() 6、把一个三角形按2:1的比放大后,所画的三角形的每条边、每个角都是原来三角形的 2倍。( ) 7、如果一个圆柱的底面直径和高相等,那么把圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。() 8、一条直线上的两点把这条直线分成两条射线和一条线段,所以射线比直线短。()
9、圆有无数条对称轴,而半圆只有一条对称轴。( ) 10、教室里小华的位置用数对表示是(2,3),他的同桌可以用数对(2,4)表示。( ) 三、选择 1、一架飞机从某机场向南偏东50°方向飞行了1000米,返回时飞机要向( ) A 、南偏东50°方向飞行1000米 B 、 西偏北50°方向飞行1000米 C 、南偏西50°方向飞行1000米 D 、 北偏西50°方向飞行1000米 2、把一段圆钢削成一个最大的圆锥,削去部分重4千克,这段圆钢原来重( )千克。 A 、24 B 、6 C 、 12 D 、 8 3、在一个等腰三角形中,已知两条边分别长8厘米和4厘米,这个等腰三角形的周长是( )厘米。 A 、12 B 、 16 C 、 20 D 、 16或20 4、一个等腰梯形周长是48厘米,面积96平方厘米,高是8厘米,腰长( )厘米。 A 、24 B 、12 C 、18 D 、 36 5、.从上向下看图,应是右图中所示的( ) 四、计算 3×( 31+81 )×8 3.2×1.25 ×0.25 0.32×6.7+3.2×0.33 24×( 83×43) 41÷85+43÷85
三年级奥数逻辑推理专题训练: 1、在三只盒子里,一只装有两个黑球,一只装有两个白球,还有一只装有黑球和白球各一个.现在三只盒子上的标签全贴错了.你能否仅从一只盒子里拿出一个球来,就确定这三只盒子里各装的是什么球? 2.甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印有不同的号码.赵说:“甲是2号,乙是3号.”钱说:“丙是4号,乙是2号.”孙说:“丁是2号,丙是3号.”李说:“丁是l号,乙是3号.”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半.那么丙的号码是几号? 3.某校数学竞赛,A,B,C,D,E,F,G,H这8位同学获得前8名.老师让他们猜一下谁是第一名.A说:“或者F是第一名,或者H是第一名.”B说:“我是第一名.”C说:“G是第一名.”D说:“B不是第一名.”E说:“A说得不对.”F说:“我不 是第一名,H也不是第一名.”G说:“C不是第一名.”H说:“我同意A的意见.”老师指出:8个人中有3人猜对了.那么第一名是谁? 4.某参观团根据下列条件从A,B,C,D,E这5个地方中选定参观地点:①若去A 地,则也必须去B地;②B,C两地中至多去一地;③D,E两地中至少去一地;④C,D两地都去或者都不去;⑤若去E地,一定要去A,D两地.那么参观团所去的地点是哪些? 5.房间里有12个人,其中有些人总说假话,其余的人说真话.其中一个人说:“这里没有一个老实人.”第二个人说:“这里至多有一个老实人.”第三个人说:“这里至多有两个老实人.”如此往下,至第十二个人说:“这里至多有11个老实人.”问房间里究 竟有多少个老实人?
6.甲、乙、丙、丁约定上午10时在公园门口集合.见面后,甲说:“我提前了6分钟,乙是正点到的.” 乙说:“我提前了4分钟,丙比我晚到2分钟.”丙说:“我提前了3分钟,丁提前了2分钟.”丁说:“我还以为我迟到了1分钟呢,其实我到后1分钟才听到收音机报北京时间10时整.” 请根据以上谈话分析,这4个人中,谁的表最快,快多少分钟? 7.甲、乙、丙、丁4个同学同在一间教室里,他们当中一个人在做数学题,一个人在念英语,一个人在看小说,一个人在写信.已知: ①甲不在念英语,也不在看小说; ②如果甲不在做数学题,那么丁不在念英语; ③有人说乙在做数学题,或在念英语,但事实并非如此; ④丁如果不在做数学题,那么一定在看小说,这种说法是不对的; ⑤丙既不是在看小说,也不在念英语. 那么在写信的是谁? 8.在国际饭店的宴会桌旁,甲、乙、丙、丁4位朋友进行有趣的交谈,他们分别用了汉语、英语、法语、日语4种语言.并且还知道: ①甲、乙、丙各会两种语言,丁只会一种语言; ②有一种语言4人中有3人都会; ③甲会日语,丁不会日语,乙不会英语; ④甲与丙、丙与丁不能直接交谈,乙与丙可以直接交谈; ⑤没有人既会日语,又会法语.
小学奥数之几何蝴蝶定 理问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
C F E A D B C B E F D A 几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1:同一三角形中,两个三角形的高相等,则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2:等分点结论( 鸟头定理) 如图,三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3:任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1) S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2)AO ∶OC = (S 1+S 2)∶(S 4+S 3) 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1)S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2)左、右部分的面积相等 3)S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4)S 的对应份数为(a+b )2 定理4:相似三角形性质 1) H h C c B b A a === 2) S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5:燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题 例1、如图,AD DB =,AE EF FC ==,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC 的面积是多少平方厘米? 1 2 AD AB = ,例2、有一个三角形ABC 的面积为1,如图,且 13BE BC =,1 4 CF CA =,求三角形DEF 的面积. 例3、如图,在三角形ABC 中,,D 为BC 的中点,E 为 AB 上的一点,且BE=1 3 AB,已知四边形 EDCA 的面积 是35,求三角形ABC 的面积. 例4 如图,ABCD 是直角梯形,求阴影部分的面积 和。(单位:厘米) 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角 形。已知
小学四年级奥数几何知识经典例题详解:面积的计算 这篇关于《小学四年级奥数几何知识经典例题详解:面积的计算》,是特地为大家整理的,希望对大家有所帮助! 1、人民路小学操场长90米,宽45米,改造后,长增加10米,宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米? 【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积,操场现在的面积是:(90+10)×(45+5)=5000(平方米),操场原来的面积是:90×45=4050(平方米)。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。(90+10)×(45+5)-(90×45)=950(平方米) 练习(1)有一块长方形的木板,长22分米,宽8分米,如果长和宽分别减少10分米,3分米,面积比原来减少多少平方分米? 练习(2)一块长方形地,长是80米,宽是45米,如果把宽增加5米,要使面积不变,长应减少多少米? 2、一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米,如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米,这个长方形原来的面积是多少平方米? 【思路导航】由:“宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9(米);又由“长不变,宽减少3米,那么它的面积减少了36平方米”,可知它的长为:36÷3=12(米),所以,这个长方形的面积是12×9=108(平方米)。(36÷3)×(54÷9)=108(平方米)
练习(1)一个长方形,如果宽不变,长减少3米,那么它的面积减少24平方米,如果长不变,宽增加4米,那么它的面积增加60平方米,这个长方形原来的面积是多少平方米? 练习(2)一个长方形,如果宽不变,长增加5米,那么它的面积增加30平方米,如果长不变,宽增加3米,那么它的面积增加48平方米,这个长方形的面积原来是多少平方米? 练习(3)一个长方形,如果它的长减少3米,或它的宽减少2米,那么它的面积都减少36平方米,求这个长方形原来的面积。 3、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求占地面积有多大。 【思路导航】根据题意,因为一面利用墙,所以两条长加上一条宽等于16米,而宽是4米,那么长是(16-4)÷2=6(米)。因此,占地面积是6×4=24(平方米)(16-4)÷2×4=24(平方米)练习(1)下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成一个长方形的养鸡场,求养鸡场的占地面积有多大? 练习(2)用56米长的木栏围成一个长或宽是20米的长方形,其中一边利用围墙,怎样才能使围成的面积? 4、一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如下图),面积比原来的正方形减少181平方分米,原正方形的边长是多少? 【思路导航】把阴影的部分剪下来,并把剪下的两个小正方形拼合起来(如下图),再补上长,长和宽分别是8分米、5分米的小长
2017年六年级外冲班数学几何综合训练一 一、兴趣篇 1.图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米.已知a=2厘米,b=4厘米,c=5厘米,求图形的面积. 2.如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于度. 3.平行四边形ABCD周长为75厘米,以BC为底时高是14厘米(如图);以CD 为底时高是16厘米.求:平行四边形ABCD的面积. 4.如图,一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是 平方米、平方米、平方米和平方米.已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?
5.如图,红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个正方形盒内,它们之间互相叠合.已知露在外面的部分中,红色的面积是20,黄色的面积是14,绿色的面积是lO.那么,正方形盒子的底面积是多少? 6.如图,在三角形ABC中,IF和BC平行,GD和AB平行,HE和AC平行.已知AG:GF:FC=4:3:2,那么AH:HI:IB和BD:DE:EC分别是多少? 7.如图,已知三角形ABC的面积为60平方厘米,D、E分别是AB、AC边的中点,求三角形OBC的面积. 8.在如图的正方形中,A、B、C分别是ED、EG、GF的中点.请问:三角形CDO 的面积是三角形ABO面积的几倍? 9.如图,ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E,F分别为AB,BC的中点,则图中阴影部分的面积为平方厘米.
10.如图,在三角形ABC中,CE=2AE,F是AD的中点,三角形ABC的面积是1,那么阴影部分的面积是多少? 二、拓展篇 11.如图,A、B是两个大小完全一样的长方形,已知这两个长方形的长比宽长8厘米,图中的字母表示相应部分的长度.问:A、B中阴影部分的周长哪个长?长多少? 12.如图,ABCDE是正五边形,CDF是正三角形,∠BFE等于多少度? 13.一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,如图所示.问:图中的阴影部分(即折叠的部分)的面积是多少平方厘米?
此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 小学奥数方阵问题专题训练 姓名:____________ 1?某班抽出一些学生参加节日活动表演,想排成一个正方形的方阵,结果多出7人;如果每行每列增加一个再排,却少了4人,问共抽出学生多少人? 2?棋子若干粒,恰好可排成每边8粒的正方形,棋子的总数是多少?棋子最外层有多少粒? 3.设计一个团体操表演队,想排成6层的中空方阵,已知参加表演的有360人, 问最外层每边应安排多少人? 4?在第五届运动会上,红星小学组成了一个大型方块队,方块队最外层每边30人,共有10层,中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽,问这个方块队共有多少同学组成? 5?有一队学生,排成中空方阵,最外层的人数共56人,最内层的人数共32人, 这 一队学生共有多少人? 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 6?学校举行团体操表演,四年一班的少先队员排成4层的中空方阵,最外层每边
人数是10人,问参加团体操表演的少先队员共有多少人? 7?用棋子摆成方阵,恰好每边24粒的实心方阵,若改为3层的空心方阵,它的 最外层每边应改放多少粒? 8?将棋子排成正方形,甲、乙两人自其外周起,轮流取一周,结果甲比乙多得 24粒,问棋子总数有多少粒? 9?学生若干人,排成五层的中空方阵,最外层每边人数是12人,问有多少学生?10?某校学生刚好排成一个方阵,最外层的人数是96人,问这个学校共有学生? 11.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋 子? 此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 小学奥数方阵问题专题训练(答案) 1?某班抽出一些学生参加节日活动表演,想排成一个正方形的方阵,结果多出7人;如果每行每列增加一个再排,却少了4人,问共抽出学生多少人?
2015年小学奥数计数专题——几何计数 1.用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成,那么一共要用多少根火柴? 2.如图,用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,那么一共需用多少根火柴棍? 3.图是一个跳棋棋盘,请你计算出棋盘上共有多少个棋孔? 4.如图,在桌面上,用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形.如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形,那么,需要边长为1的正三角形多少个? 5.如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求图中长方形的个数,以及所有长方形面积的和. 6.如图,18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表,其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?
7.图是由若干个相同的小正方形组成的.那么,其中共有各种大小的正方形多少个? 8.图中共有多少个三角形? 9.图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形,其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.那么,图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10.如图,AB,CD,EF,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11.在图中,共有多少个不同的三角形? 12.如图,一块木板上有13枚钉子.用橡皮筋套住其中的几枚钉子,可以构成三角形、正方形、梯形等等,如图.那么,一共可以构成多少个不同的正方形?
13.如图,用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵.用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形.在这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形共有多少个? 14.如图,木板上钉着12枚钉子,排成三行四列的长方阵.那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? 15.如图,正方形ACEG的边界上有A,B,C,D,E,F,G这7个点,其中B,D,F分别在边AC,CE,EG上.以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少? 16.数一数下列图形中各有多少条线段. 17.数出下图中总共有多少个角. 18.数一数下图中总共有多少个角? 19.如下图中,各个图形内各有多少个三角形?
2014年四年级数学思维训练:几何图形剪拼 1 ?如图,将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块,可以怎么剪?请大家画出 尽量多的方法.(如果两个图形通过旋转或翻转后重合,就认为它们的形状、大小是相 2.观察图,ABCDEF 是正六边形,O 是它的中心,画出线段 PQ 后,就把正六边形 ABCDEF 分成了两个形状、大小都相同的五边形.能否画出3条线段,把正六边形分成6个形状、 大小都相同的图形?能否画出几条线段, 把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边 3 .如图,在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞.现在要求用一条经过大正方形中 心点的线段,把纸片分成面积相等的两部分,应该怎么办? 4 .请把图中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形. 6 .如图,三角形和六角星的每条边长都相等,那么用多少个三角形可以拼成六角星? 请在图中表示出来 . 5.请把图沿格线分成形状、 大小都相同的三部分,使得每部分都恰好含有一个“O”.
7 .图1是由五个相同大小的小正方形拼成的,图 2是一个正方形和一个等腰直角三角 形拼成的?请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形. 8?如图,请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形. (1) 如果要求两种小正方形一共有 6个,应该怎么分? (2) 如果要求两种小正方形一共有 7个,应该怎么分? 9 ?如图,有两个面积相等的正方形纸片,现在想把它们剪拼成一个更大的正方形,要 求如下: (1) 如果分别剪开这两个正方形,再拼接成一个大正方形,应该怎么办? (2) 如果只允许剪开一个正方形,再拼接成一个大正方形,应该怎么办? 11?请在图中标出分割线,把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分, 个图形通过旋转或翻转后重合,就认为它们的形状、大小是相同的) 12 ?把图沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分,请在图中画出具体的分割办法 . 10 .如图是由若干个小正方形组成的图形, 你能将其剪成两块,然后拼成一个正方形吗? (如果两 團 1
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一 切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下: 教学目标 知识要点 7-7-3.几何中的重叠问题 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去.
数学思维训练专题 例1:一条毛毛虫由幼虫长到成虫,每天长一倍,16天能长到16厘米。问长到4厘米时要用多少天? 例2:一个数减16加上240,再除以7得40,求这个数是多少? 例3:小丽在做一道加法计算题时,由于粗心,把个位上的4看作7,十位上的8看作2,结果和是306。正确的答案应该是多少? 例4:一根铁丝剪去一半,再减去余下的一半,还剩14分米,这根铁丝原来长多少分米?
例5:小红、小丽、小华三人分苹果,小红得的比总数的一半多1个,小丽得的比剩下的一半多1个,小华得10个。原来有多少个苹果? 例6:三只笼子里共养24只兔子,如果从第一只笼子里取出4只放到第二只笼里,再从第二只笼里取出3只放到第三只笼里,那么三只笼里的兔子就一样多。原来三只笼里各养了多少只兔子? 例7、聪聪住的这幢楼共有6层,每层楼梯20级,她家住在五楼,聪聪每次回家要走多少级台阶才能到自己住的那一层? 例9、小红家住六楼,她从底楼走到二楼用1分钟,那么她从底楼走到六楼要用多少分钟?
例10:把一根粗细均匀的木料锯成5段,每锯一次要用3分钟,一共要用多少分钟? 例11:时钟3点钟敲3下,6秒钟敲完;6点钟敲6下,几秒钟敲完? 例12:六一儿童节同学们参加队列表演,有32人参加,每4人一行,前后两行间隔2米,这个队列全长多少米? 例13:某工厂厂庆,在一条长40米的大路两侧插彩旗,从起点到终点共插了22面,相邻两面彩旗之间的距离相等,相邻两面彩旗之间相距多少米? 例14:小玲家养了46 只鸭子,24 只鸡,养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5 只。小玲家养了多少只鹅?
例15:一个筐里装着52 个苹果,另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里取走18 个梨,那么梨就比苹果少12 个。原来梨筐里有多少个梨? 例16:某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋友们的到来,买了若干糖果。已知水果糖比小白兔软糖多15 块,巧克力糖比水果糖多28 块。又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的2 倍。三年级一班共买了多少块糖果? 例:17:一口枯井深230 厘米,一只蜗牛要从井底爬到井口处。它每天白天向上爬110 厘米,而夜晚却要向下滑70 厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口? 例18:食堂运来一批大米,吃掉24袋,剩下的袋数是吃掉的2倍。食堂运来大米多少袋?
小学几何面积问题一 姓名 引理:如图1 ABCD 中。P 是AD 上一点,连接PB,PC 则S △PBC =S △ABP +S △pcD = 2 1 S ABCD 1.已知:四边形ABCD 为平行四边形,图中的阴影部份面积占平行四边形ABCD 的面积的几分之几 2. 的面积为18,E 是PC 的中点,求图中的阴影部份面积 3. 在中,CD 的延长线上的一点E ,DC=2DE,连接BE 交AC 于P 点,(如图)知S △PDE =1, S △ABP =4, 求:平行四边形ABCD 的面积 4..四边形ABCD 中,BF=EF=ED,(如图) (1) 若S 四边形ABCD =15 则S 阴 = (2)若S △AEF + S △BFC =15 则S 四边形ABCD = (第一题图) (3)若S △AEF= 3 S △BFC =2 则S 四边形ABCD = 5. 四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ,G 三点四等份,(如图)若四边形AECG=15 则S 四边形ABCD = M P E B P 图1 A B A D C B (适应长方形、正方形) B
GB F C A E DA B 6.四边形ABCD 的对角线BD 被E,F ,G 三点四等份,(如图)若阴影部份面积为15 则S 四边形ABCD = 7.若ABCD 为正方形,F 是DC 的中点,已知:S △BFC = 1 (1)则S 四边形ADFB = (2) S △DFE = (3) S △AEB = 8.直角梯形ABCD 中.AE=ED,BC=18,AD=8,CD=6,且BF=2FC,S △GED =S △GFC .求S 阴= 小学几何面积问题二 姓名 1.如图S △AEF= 2, AB=3AE CF=3EF 则S △ABC= 2. 如图S △BDE=30 ,AB=2AE , DC=4AC 则S △ABC= 3.正方形ABCD 中,E,F,G 为BC 边上四等份点, M,N,P 为对角线AC 上的四等份点(如图) 若S 正方形ABCD=32 则S △NGP= 4.已知:S △ABC=30 D 是BC 的中点 AE=2ED 则S △BDE= B A C B D E 第1题 第2题
模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”): S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC 、BD 分成四个部分,△ AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米,公园由陆地面积是 6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米,公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米,所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,123BGC S ?=?,那么6BGC S =; ⑵根据蝴蝶定理,()():12:361:3AG GC =++=. () 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已 知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==, ∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==. 解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G . ∵1 3ABD BCD S S ??=, ∴1 3AH CG =, ∴1 3AOD DOC S S ??=, ∴1 3AO CO =, ∴236OC =?=, ∴:6:32:1OC OD ==.
等量代换 等量代换是小学奥数中非常容易出现的题型,它可能以加减乘除的等式出现,也可能以竖式出现,甚至是通过应用题来展现。然而不管怎样的方式,都离不开等量代换这一概念,所谓万法不离其中,就是这个道理。 例题: 1、○+○+○=9,□+□+□+□=20 ○+□=() 2、※+※+※=12,○+○+※=16,○×※=() 3、○□□ + □—○ □○() 4、想一想,括号里填几? ○×□=24 ○+□=11 ○-□=() 5、已知 ○※ + ※○ ○○△ 求※+○+△=() 6、下面算式中图形表示一个数,想一想,表示几? □×□=□+□ □=() 7、如果10只兔子可以换2只羊,9只羊可以换3头猪,8只猪可以换2头牛,那么2头牛可以换()只兔子。 8、10支同样的铅笔和6支同样的圆珠笔价钱相等,4支同样的圆珠笔和3支同样的钢笔的价钱相等。那么40支铅笔的价钱与()支钢笔的价钱相等。
等量代换(练习题) 1、已知○+○+○+○+○+○=24,○×※=8,求○+※=() 2、已知△×△=4,□÷2=5,求□-△=() 3、○+○=10,○×○×□=50,○-□=() 4、※+○=12,※-1=10,※×○=() 5、已知☆☆□□ ×○+ ○+ □□ ☆○0 则☆--○=()※※○则:□-※-○=() 6、已知:○※※○○ + ※○-- ○×○- □ 6 6 ○□○□ 则:※×○=()则:○+□=() 7、※×□×○=※+□+○ ※=()□=()○=() 8、想一想括号里填几? ○×□=12,○×○=16 ○+□=() 9、小羊说:“3只小狗和我一样重。”小狗说:“2只白兔和我一样重。”白兔说:“4只小鸡和我一样重。”那么一只小羊和()只小鸡一样重。 10、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量,而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。那么()个李子的重量等于1个桃子的重量。 11、百货商店运来300双球鞋,分别装在2个大木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多,那么每个木箱可装()双球鞋,每个纸箱可装()双球鞋。 12、妈妈买来大米2袋,面粉4袋,共重200千克,已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等,那么一袋大米重()千克。
学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数,可以帮助孩子开拓思路,提高思维能力,进而有效提高分析问题和解决问题的能力,与此同时,智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容,求解奥数题,大多没有现成的公式可套,但有规律可循,讲究的是个“巧”字;不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”,是完成不了奥数题的。所以,学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学,课程难度加大,特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高,那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍,但随着课程的深入,难度也相应加大,这个时候是最能考验人的:少部分孩子凭着天分,凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力,坚持了下来、学了进去、收到了成效;一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下,硬着头皮熬了下来;不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为,只要能坚持学下来,不论最后取得什么样的结果,都会有所收获的,特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼,这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图,已知AB =40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成,那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头,现用绳子分别在两处把它们捆在一起,则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计,π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)
工程问题专项训练 工程问题的基本数量关系是:工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 1、一个林场要栽树2000棵,前3天平均每天栽350棵.其余的要求2天栽完,平均每天要栽多少棵? 2、修路队修一段路,前8天平均每天修路150米,余下3000米又用4天修完。这个修路队平均每天修路多少米? 3、服装厂原来做一套衣服用布2.5米。采用新的裁剪方法后,每套衣服节省0.5米,原来做60套衣服的布现在可以多做多少套? 4、工程队修一条长54千米的公路,前7天修了6.3千米,照这样的速度,余下的还要多少天完成? 5、五年级两个班的学生采集树种,一班45人,每人采集0.13千克。二班共采集6.15千克。两班一共采集多少千克? 6、3工程队要全修一条长4.8千米长的水渠,计划用15天完成。实际每天比原计划多修0.08千米,实际多少天就完成了任务? 小学工程问题试题专项练习(二) 一、填空: 1、一桶连桶共重9.2千克,倒去一半后,连桶还重5.6千克,问桶重()千克。 2、某钢厂全年计划产钢54000吨,结果提前两个月完成任务,实际每月比计划每月多生产()吨。 3、甲乙两城相距280千米,两辆汽车同时从两城相对开出,3.5小时两车相遇,已知其中一辆汽车每小时行38千米,另一辆汽车每小时行()千米。
4、李师傅五月份计划10天做1800个零件,实际每天比计划多做15个,李师实际提前了()天完成任务。 5、一条水渠,原计划每天修0.45千米,30天完成,实际每天的工作效率是原计划的1.2倍。完成这项任务,实际需要()天。 6、一个农具厂要生产2500件小农具,前5天每天生产180件,余下的要在8天内完成,每天应生产()件农具。 7、学校食堂运回面粉26袋,每袋20千克,运回大米的重量比面粉重量的2倍少80千克。运回大米()千克。 8、某工地需要47吨沙子,用一辆载重4.5吨的汽车运了6次,余下的改用一辆载重2.5吨的汽车运,还要运()次。 二、选择: 1.晶晶看一本129页的故事书,已经看了7天,每天看12页,剩下的每天看15页,再用()天可以看完。 A、2 B、3 C、4 D、5 2、水果店运来495千克苹果,用纸箱来装,如果每个纸箱装25千克,一共需要()个纸箱。 A、17.5 B、18 C、19.8 D、20 3、甲、乙两人加工同一种机器零件,甲加工了280个,比乙5天加工零件的个数少40个。乙平均每天加工()个。A、46 B、58 C、64 D、68 4、塑料厂计划生产1300件塑料模件,6天生产了780件。照这样计算,剩下的还要生产()才能完成。 A、3天 B、4天 C、5天 D、6天 5、制体厂一车间装订一批练习本,如果每小时装订600本,8小时可以完成任务。如果每小时装订800本,可以提前()完成任务。 A、6小时 B、2小时 C、3小时 D、4小时 5、一个梯形果园,它的下底是240米,上底是180米,高是60米。如果每棵果树占地9平方米,这个果园共有果树()。 A、28 棵 B、280棵 C、2800棵 D、28000棵 三、应用题: 1、两桶油,甲桶油的重量是乙桶油的1.8倍。如果从甲桶中取出1.2千克,两桶油的重量就相等了。两桶油原来各有多少千克?
四年级奥数几何知识------面积的计算 1、人民路小学操场长90米,宽45米,改造后,长增加10米,宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米? 【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积,操场现在的面积是:(90+10)×(45+5)=5000(平方米),操场原来的面积是:90×45=4050(平方米)。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。 (90+10)×(45+5)-(90×45)=950(平方米) 练习(1)有一块长方形的木板,长22分米,宽8分米,如果长和宽分别减少10分米,3分米,面积比原来减少多少平方分米? 练习(2)一块长方形地,长是80米,宽是45米,如果把宽增加5米,要使面积不变,长应减少多少米? 2、一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米,如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米,这个长方形原来的面积是多少平方米? 【思路导航】由:“宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9(米);又由“长不变,宽减少3米,那么它的面积减少了36平方米”,可知它的长为:36÷3=12(米),所以,这个长方形的面积是12×9=108(平方米)。(36÷3)×(54÷9)=108(平方米) 练习(1)一个长方形,如果宽不变,长减少3米,那么它的面积减少24平方米,如果长不变,宽增加4米,那么它的面积增加60平方米,这个长方形原来的面积是多少平方米? 练习(2)一个长方形,如果宽不变,长增加5米,那么它的面积增加30平方米,如果长不变,宽增加3米,那么它的面积增加48平方米,这个长方形的面积原来是多少平方米? 练习(3)一个长方形,如果它的长减少3米,或它的宽减少2米,那么它的面积都减少36平方米,求这个长方形原来的面积。 3、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求占地面积有多大。 【思路导航】根据题意,因为一面利用墙,所以两条长加上一条宽等于16米,而宽是4米,那么长是(16-4)÷2=6(米)。因此,占地面积是6×4=24(平方米) (16-4)÷2×4=24(平方米) 练习(1)下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成一个长方形的养鸡场,求养鸡场的占地面积有多大?