小学奥数之几何蝴蝶定
理问题
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
C
F
E
A
D
B
C
B E F
D
A
几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理)
如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2）左、右部分的面积相等
3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质
1） H
h
C c B b A a ===
2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理
S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB
二、 例题
例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？
1
2
AD AB =
，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且
13BE BC =，1
4
CF CA =，求三角形DEF 的面积.
例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC
的中点，E 为
AB 上的一点，且BE=1
3
AB,已知四边形
EDCA 的面积
是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积
和。（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角
形。已知
两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△
AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
例8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9平方厘米，三角形BOC 的面积为25平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图）所示。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1
3
，且
2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 例10、左下图所示的ABCD 的边BC 长10cm ，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm ，已知两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2，求CF 的长。
例11、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分
的面积。
例13、如图，大正方形ABCD 的边长为6，依以下条件求三角形BDF 的面积。
例14、如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且ADG ?的面积比EFG ?的
面积
大6平方厘米。?的面积是多少平方厘米
ABC ? 三、 练习题
1、如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形
DOC 的面积=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？
2、如图所示，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，△DEF 的面积是4 cm 2，△CED 的面积6cm 2。问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
3、如右图BE=31BC ，CD=4
1
AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______.
5、如图所示，已知ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF 的面积是16平方厘米，求三角形ABE 的面积是多少平
方厘米？
6、 如右图，ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。
7、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？
8、 已知ABC ?中，12AB AC cm ==，ABC ?的面积是
42
2
cm ，P 是BC 上任意一点，P 到AB ,AC 的距离是,x y ，那么x y += ；
9、如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。