第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决
简单的实际问题．
26．1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维]
（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]
例1． m 取哪些值时，函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：
02≠-m m ．
解 若函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02
≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ．
因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2
的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m
取哪些
值？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 )0(62
>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；
（2）由题意，得 )0(42
>=x x y π
，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000?+=x y （x ≥0且是正整数），
其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 )260(132
1
)26(212<<+-=-=
x x x x x S ，
其中S 是x 的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余
下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2
150(42254152
22<
<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252
=?-=S （cm 2）． [当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02
=-x y （2）2
)1()2)(2(---+=x x x y
（3）x
x y 1
2+
= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2
+-=+k
k
x k y 为二次函数？
3．已知正方形的面积为)(2
cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]
A 组
1． 已知函数7
2
)3(--=m
x m y 是二次函数，求m 的值．
2． 已知二次函数2
ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱
的底面半径x 为3，求此时的y ．
4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之
间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．2
2
)1(x m y -= B ．2
2
)1(x m y += C ．2
2
)1(x m y += D ．2
2
)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2
（0≠a ）模型的是 （ ） A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计
空气阻力）
D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]
§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）
教学目标
(一)知识与技能
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．
2．通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，
2．具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．体会方程与函数之间的联系．
2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．
教学难点
1．探索方程与函数之间的联系的过程．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?
2.选教材提出的问题，直接引入新课
Ⅱ．合作交流解读探究
1.二次函数与一元二次方程之间的关系
探究：教材问题
师生同步完成.
观察：教材22页，学生小组交流.
归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.
Ⅲ.应用迁移巩固提高
1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根
同期声
2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.
3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况
Ⅳ．总结反思拓展升华
本节课学了如下内容：
1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．
2．理解了二次函数与x轴交点的个数
与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.
3.数学方法:分类讨论和数形结合.
反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案
Ⅴ．课后作业P231.3.5
26．2 二次函数的图象与性质（1）
[本课知识要点]
会用描点法画出二次函数2
ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]
我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x
y 3
=的图象分别是 、 ，那么二次函数2
x y =的图象是什么呢？
（1）描点法画函数2
x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？
（2）观察函数2
x y =的图象，你能得出什么结论？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1）2
2x y = （2）2
2x y -=
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =
…
18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …
-18
-8
-2
-2
-8
-18
…
分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．
共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：2
2x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对
称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对
称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
例2．已知4
2
)2(-++=k k
x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解 （1）由题意，得???>+=-+0
22
42k k k ， 解得k=2．
（2）二次函数为2
4x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．
例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2． 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(16
12
>=C C S ． C
2
4 6
8 (2)
161C S =
41 1
4
9 4
…
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）2
3x y = （2）2
3x y -= （3）23
1x y = 2．（1）函数2
32x y =
的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数2
4
1x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．
[本课课外作业]
A 组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）2
4x y -= （2）24
1x y = 2．填空：
（1）抛物线2
5x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线m
m x m y --=2
)1(开口向下．
（3）已知函数1
222
)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y
随x 的增大而增大． 3．已知抛物线10
2-+=k k kx
y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线2
ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．
B 组
5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．
6．二次函数2
ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（2）
[本课知识要点]
会画出k ax y +=2
这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]
同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？
，你能由此推测二次函数2x
y=与1
2+
=x
y的图象之间的关系吗？
，那么2x
y=与2
2-
=x
y的图象之间又有何关系？
．
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出函数2
2x
y=与2
22+
=x
y的图象．
描点、连线，画
出这两个函数的
图象，如图
26．2．3所示．
回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数2
2x
y=与2
22-
=x
y的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数1
2+
-
=x
y与1
2-
-
=x
y的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线1
2+
-
=x
y得到抛物线1
2-
-
=x
y．
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
2
2x
y=…18 8 2 0 2 8 18 …
2
22+
=x
y…20 10 4 2 4 10 20 …
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．
可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12
+-=x y 向下平移两个单位得到的．
回顾与反思 抛物线12
+-=x y 和抛物线12
--=x y 分别是由抛物线2
x y -=向上、向
下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线42
+-=x y ，应将抛物线12
--=x y 作怎样的平移？
例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与2
2
1x y =
相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22
>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112
-?=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232
-=x y ．
回顾与反思 k ax y +=2
（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标k ax y +=2
开口方向
对称轴
顶点坐标 0>a
0 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y … -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 … [当堂课内练习] 1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 221x y = ， 2212+=x y ， 22 1 2-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说 出抛物线k x y += 2 21的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线94 12 -=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可 以看作是由抛物线2 4 1x y =向 平移 个单位得到的． 3．函数332 +-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业] A 组 1．已知函数231x y = ， 3312+=x y ， 23 1 2-=x y ． （1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数53 12 += x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数34 12 +-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由 函数2 4 1x y -=通过怎样的平移得到的． 3．若二次函数22 +=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？ B 组 4．在同一直角坐标系中b ax y +=2 与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( ) 5．已知二次函数7)1(82 -+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（3） [本课知识要点] 会画出2 )(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维] 我们已经了解到，函数k ax y +=2 的图象，可以由函数2 ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-= x y 的图象，是否也可以由函数22 1 x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 221x y = ，2)2(21+=x y ，2)2(2 1 -=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所 示． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22 1x y = … 2 9 2 21 0 21 2 29 … 2)2(21+=x y … 21 0 2 1 2 2 25 8 2 25 … 2)2(21 -= x y (2) 25 8 2 9 2 21 0 2 1 … 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(2 1 += x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(2 1-=x y 分别是由抛物线221 x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2 )4(21-=x y ，应将抛物线22 1x y =作怎样的 平移？ 例2．不画出图象，你能说明抛物线2 3x y -=与2 )2(3+-=x y 之间的关系吗? 解 抛物线2 3x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2 )2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线2 3x y -=与2 )2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2 )2(3+-=x y 是由2 3x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2 )(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐 [当堂课内练习] 1．画图填空：抛物线2 )1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2 x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点 坐标． [本课课外作业] A 组 1．已知函数221x y - =，2)1(21+-=x y ， 2)1(2 1 --=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质． 2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线2 2 1x y -=得到抛物线2)1(21+- =x y 和2)1(2 1 --=x y ？ 3．函数2 )1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 4．不画出图象，请你说明抛物线2 5x y =与2 )4(5-=x y 之间的关系． B 组 5．将抛物线2 ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（4） [本课知识要点] 1．掌握把抛物线2 ax y =平移至2 )(h x a y -=+k 的规律； 2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维] 由前面的知识，我们知道，函数2 2x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2 ) 3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22 +-=x y 的图象呢？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 221x y = ，2)1(21-=x y ，2)1(2 1 2--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示． 它们的开口方向都 向 ，对称轴分别 为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系． 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2 )(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数2 )(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称2)(h x a y -=+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 0>a 0 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 221x y = (2) 9 2 2 1 0 2 1 2 2 9 … 2)1(2 1 -= x y … 8 29 2 2 1 0 2 1 2 … 2)1(2 1 2--= x y … 6 2 5 0 2 3- -2 2 3- 0 … 例2．把抛物线c bx x y ++=2 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 2x y =，求b 、c 的值． 分析 抛物线2 x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2 的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值． 解 c bx x y ++=2 c b b bx x +-++=44222 4 )2(2 2b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(2 2+- ++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24 )42(22 +- +++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24 ,42(2 +- --b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则 ??? ????=+-=--024042 2 b c b 解得 ?? ?=-=14 8c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛 物线c bx x y ++=2 ．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习] 1．将抛物线1)4(22 --=x y 如何平移可得到抛物线2 2x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线2 2 3x y - =向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y - +=可由抛物线22 1 x y -=向 平移 个单位， 再向 平移 个单位而得到． [本课课外作业] A 组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶 点坐标． 2．将抛物线522 ++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线23212++- =x x y 如何平移，可得到抛物线322 1 2++-=x x y ？ B 组 4．把抛物线c bx x y ++=2 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线 532+-=x x y ，则有 （ ） A ．b =3，c=7 B ．b= -9，c= -15 C ．b=3，c=3 D ．b= -9，c=21 5．抛物线c bx x y ++-=2 3是由抛物线132 +--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平 移2个单位得到的，求b 、c 的值． 6．将抛物线)0(2 ≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（5） [本课知识要点] 1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2 化成2 )(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM 及创新思维] 我们已经发现，二次函数1)3(22 +-=x y 的图象，可以由函数2 2x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22 +-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232 -+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ [实践与探索] 例1．通过配方，确定抛物线6422 ++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 6422 ++-=x x y [ ] 8 )1(261)1(26)112(26)2(222 22+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． x … -2 -1 0 1 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 0 6 8 6 0 -10 … 描点、连线，如图26．2．7所示． 回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点． 探索 对于二次函数c bx ax y ++=2 ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ． 例2．已知抛物线9)2(2 ++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值． 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2 ++-=x a x y 4 )2(9)22(2 2+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是??? ???+-+4)2(9,2 22a a ． 当顶点在x 轴上时，有 02 2 =+- a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04 )2(92 =+- a ， 解得 4=a 或8-=a ． 所以，当抛物线9)2(2 ++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8． [当堂课内练习] 1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ． （2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． （3）抛物线642 --=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2．抛物线c x ax y ++=22 的顶点是)1,3 1(-，则a 、c 的值是多少？ [本课课外作业] A 组 1．已知抛物线2 5 3212+-= x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2 )(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）162 ++-=x x y （2）4322 +-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=2 3．已知6 22 )2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大． （1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴． B 组