义务教育基础课程初中教学资料
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时)
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点:
理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法:
引导—探索法. 学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法?
2、生活问题数学化:
⑴如图:梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?
⑵以下三组中,梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?
二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵
2
2
2111B AC C B AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
⑷由此你得出什么结论? 三、例题:
例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm ,AB=20cm ,求tanA 和tanB 的值.
四、随堂练习:
1、如图,△ABC 是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC 吗
?
2、如图,某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ,已知点B 到山脚的垂直距离为55m ,求山的坡度.(结果精确到
0.001)
3、若某人沿坡度i =3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ,则tan θ=______.
5、如图,Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB 的长为12 m ,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD ,求DB 的长.(结果保留根号)
五、课后练习:
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=12
5
, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.
E D
B
A
C
7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=
3
4
,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?
8、探究:
⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
§1.1从梯子的倾斜程度谈起(第二课时)
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正弦和余弦的意义.
2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算.
4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点:
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.
2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系,进行简单的计算. 学习难点:
用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法:
探索——交流法. 学习过程:
一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想:如图
(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?
(2) 211
122BA C A BA C A 和有什么关系? 2
112BA BC BA BC 和
呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系:
B A
C B
D
A C E F
B
三、例题:
例1、如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AC =200.sinA =0.6,求BC 的长.
例2、做一做:
如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA =
13
12
,AC =10,AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
四、随堂练习:
1、在等腰三角形ABC 中,AB=AC =5,BC=6,求sinB ,cosB ,tanB.
2、在△ABC 中,∠C =90°,sinA =5
4
,BC=20,求△ABC 的周长和面积.
3、在△ABC 中.∠C=90°,若tanA=
2
1
,则sinA= .
4、已知:如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高,求证:BC 2
=AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习:
1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=
3
4
,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=9
41
,则AC=______,BC=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=4
5
,则BC=_____.
4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
A.sinA=34
B.cosA=35
C.tanA=34
D.cosB=3
5
D
B A
C
5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC AC
等于( ) A.34 B.43 C.35 D.45
6、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=3
5
,那么tanA 等于( )
A.43
B.34
C.45
D.54
7、在△ABC 中,∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是
A .135
B .1312
C .125
D .5
12
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α
9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )
A.CD AC
B.DB CB
C.CB AB
D.CD
CB
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m
A.
100
sin β
B.100sin β
C.100cos β
D. 100cos β
11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.
14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?
15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=4
5
.求:s △ABD :s △BCD
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标:
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
B
D
A
C
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点:
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小. 学习难点:
进一步体会三角函数的意义. 学习方法: 自主探索法 学习过程: 一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.
二、新课
[问题] 1、观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
(1)sin30°+cos45°; (2)sin 260°+cos 2
60°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m ,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
三、随堂练习 1.计算:
(1)sin60°-tan45°; (2)cos60°+tan60°;
(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°; ⑷1
32
30sin 1+-?;
⑸(2+1)-1+2sin30°-8; ⑹(1+2)0
-|1-sin30°|1+(
2
1)-1
;
⑺sin60°+
?-60tan 11; ⑻2-3-(0032+π)0
-cos60°-2
11-.
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°.高为7 m ,扶梯的长度是多少?
3.如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB =CD=30 m ,两楼问的距离AC=24 m ,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ,2≈1.41,
3≈1.73)
四、课后练习:
1、Rt △ABC 中,8,60=?=∠c A ,则__________,==b a ;
2、在△ABC 中,若2,32==b c ,,则____tan =B ,面积S = ;
3、在△ABC 中,AC :BC =1:3,AB =6,∠B = ,AC = BC =
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2,则顶角为 ( ) (A )600
(B )900
(C )1200
(D )150
5、有一个角是?30的直角三角形,斜边为cm 1,则斜边上的高为 ( ) (A )
cm 41 (B )cm 2
1
(C )cm 43 (D )cm 23 6、在ABC ?中,?=∠90C ,若A B ∠=∠2,则tanA 等于( ). (A )3 (B )
33 (C )23 (D )2
1
7、如果∠a 是等边三角形的一个内角,那么cos a 的值等于( ).
(A )2
1 (B )22
(C )23 (D )1
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a 元,则购买这种草皮至少要( ). (A )450a 元 (B )225a 元 (C )150a 元 (D )300a 元
9、计算:
⑴、?+?60cos 60sin 2
2
⑵、??-?30cos 30sin 260sin
⑶、?-?45cos 30sin 2
⑷、3245cos 2-+?
?
15020米30米
⑸、0
45cos 360sin 2+ ⑹、 1
30sin 560cos 300
-
⑺、?30sin 22
·?+?60cos 30tan tan60° ⑻、?-?30tan 45sin 2
2
10、请设计一种方案计算tan15°的值。
§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标:
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明. 学习重点:
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点:
根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图. 学习方法:
探索——发现法 学习过程: 一、问题引入:
海中有一个小岛A ,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西55°的B 处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C 处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
二、解决问题:
1、如图,小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能,把倾角由40°减至35°,已知原楼梯长为 4 m ,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)
三、随堂练习
1.如图,一灯柱AB 被一钢缆CD 固定,CD 与地面成40°夹角,且DB =5 m ,现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ,那么钢缆ED 的长度为多少?
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD =6m ,坡长CD =8m.坡底BC =30m ,∠ADC=135°. (1)求∠ABC 的大小:
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m 3
)
3.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问:B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据:2
≈1.4,3 ≈1.7)
四、课后练习:
1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为3,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.
2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).
太阳光线
B
60?
D
A 36?C
3.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.
N
A
M
P
4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅,
在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).
B
D
A E F
5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).
6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离
黑匣子B 最近,并求最近距离.
7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?
8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空
地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断:
计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.
9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b 的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm 2
,求α的度数.
1.5 测量物体的高度
B 30?
D A
60?C
E
F 30?北A 60?C