学科教师辅导讲义
学员编号：年级：六年级课时数：3
学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：
授课主题第16讲——比较数的大小
授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结
教学目标①小数的大小比较常用方法；
②分数的大小比较常用方法；
③数的估算时常用方法。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、小数的大小比较常用方法
为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)
二、分数的大小比较常用方法
⑴通分母：分子小的分数小.
⑵通分子：分母小的分数大.
⑶比倒数：倒数大的分数小.
⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数)
⑸重要结论：
①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；
②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．
⑹放缩法
在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！
三、数的估算时常用方法
知识梳理
（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．
考点一：两个数的大小比较
例1、如果a = 20052006，b = 2006
2007
，那么a ，b 中较大的数是
例2、如果A =111111110222222221，B =444444443
888888887
,A 与B 中哪个数较大？
例3、在 a=20032003×2002和 b=20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。
例4、试比较: 2962
2222????L 1442443个与1853
3333????L 14424
43个哪一个大?
例5、已知：258998
369999A =????L ，那么A 与0.1中 比较大，说明原因；
考点二：多个数的比较
例1、（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：37 ，513，916，15
28
（2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“<”号连接起来：
1017 ，1219，1523，2033，60
91
典例分析
例3、已知()1111111
15111929411110099
N k k =+++++++++
+-L L ，求N 的整数部分．
P (Practice-Oriented)——实战演练
? 课堂狙击
1、如果222221333331
,222223333334
A B ==
，那么A 和B 中较大的数是 .
2、有8个数，0.51&&，23, 59, 0.51&, 2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51
&，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 3、将131250、2140
、0.523&&、0.523
&、0.52&从小到大排列，第三个数是________.
4、甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪—个是平衡的?
实战演练
5、a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分是。
6、有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么，精确到小数点后两位数是多少？
?课后反击
1、比较444443
444445
和
555554
555556
的大小
2、试比较111
1111
和
1111
11111
的大小
3、在19981998
19991999
，
19991999
20002000
，
20002000
20012001
中，最小的分数是__________.
4、编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为115
127
，
302
333
，
439
488
克的重物．问：金、银、铜牌应分别发给几
号蚂蚁?
5、这里有5个分数：25151012
38231719
，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数?
6、已知x=0.9+0.99+0.999+L+0.9999999999．求x的整数部分．
7、有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是_______．
1、（第五届华杯赛口试）图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米2)．黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由．
直击赛场
重点回顾
一、小数的大小比较常用方法;
二、分数的大小比较常用方法;
三、数的估算时常用方法。
名师点拨
一、小数的大小比较常用方法
为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)。
二、分数的大小比较常用方法
⑴通分母：分子小的分数小.
⑵通分子：分母小的分数大.
⑶比倒数：倒数大的分数小.
⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数)
⑸重要结论：
①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；
②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．
⑹放缩法
在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！
三、数的估算时常用方法
（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果．（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．
学霸经验
?本节课我学到
?我需要努力的地方是
第二十四周 比较大小 专题简析： 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比 较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进 行推理判断。如：a ＞b ＞0，那么a 的平方＞b 的平方；如果a ＞b ＞0，那么＜；如果 1a 1b ＞1，b ＞0，那么a ＞b 等等。 a b 比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相 等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小， 除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的 变形后再进行判断。 练习一 1、比较和的大小。42134312 2、比较和的大小。322122321123 3、比较和的大小。904991 48练习二： 1、比较和的大小。777777577777776666661 6666663
2、将， ，，按从小到大的顺序排列出来。98765987669876987798798898993、比较和的大小。 235861235862652971652974练习三： 1、 比较A ＝和B ＝的大小 3331666331662、 比较和的大小 1111111102222222214444444438888888873、 比较和的大小。 8888887888888999999919999994
练习四 1、 已知A×1＝B×90％＝C÷75％＝D×＝E÷1。把A 、B 、C 、D 、E 这5个数从小到 234515大排列，第二个数是___ ___. 2、 有八个数，0.Error!Error! ，，， 0.5Error!，，是其中的六个数，如果从小到235924471325大排列时，第四个数是0.5Error!，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？ 3、 在下面四个算式中，最大的得数是几？ （1）（+）×20 （2）（+）×30 117119124129（3）（+）×40 （4）（+）×50 131137141147练习五 1、××××××××…×的积与比较，哪个大？12345678109121114131615181736356 1
1.8分数大小比较 1.8.1母同看子法 分母相同，分子大的分数比较大。例如： 1.8.2子同看母法 分子相同，分母大的分数比较小。例如： 1.8.3与1比较法 1.8.4半比法 1.8.5等差比较法 如果两个分数的分子分别比各自的分母小相同的数，分子、分母稍大的那个分数比较大。例如： 如果两个分数是假分数，而且分子、分母的差分别相同，那么，分母大的那个分数比较小。
1.8.6相减比较法 如果一个分数的分子和分母都比另一个分数的分子和分母大，可把分子的差做分子、分母的差做分母，得到一个新的分数。若新分数比原来分数中的任意一个分数大，则原来的两个分数中分母大的那个分数较大。例如： 1.8.7同加比较法 如果一个真分数的分子和分母同时加上一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么，另一个分数比较小。例如： 如果一个假分数的分子和分母同时加上一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么，另一个分数比较小。例如： 1.8.8同减比较法 如果一个真分数的分子和分母同时减去一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么，另一个分数比较小。例如： 如果一个假分数的分子和分母同时减去一个数（0除外），正好和另一个分数相等，那么另一个分数比较大。例如： 1.8.9化成整数比较 用两个分母分别去乘两个分数，将分数化成整数，整数大的原分数较大。例如：
1.8.10化成小数比较 1.8.11化一个分数为整数比较 1.8.12两数相减比较法 两个分数直接相减，所得之差大于0，则被减数大于减数。例如： 1.8.13两数相除比较法
1.8.14倒数比较法 倒数小的分数大。例如： 1.8.15化为百分数比较 1.8.16分别除以一个数比较 1.8.17分别加上一个数比较 1.8.18分别减去一个数比较 1.8.19由规律比较
六年级数学-奥数精品讲义16讲 目 录 第1讲 定义新运算 第2讲 简单的二元一次不定方程 第3讲 分数乘除法计算 第4讲 分数四则混合运算 第5讲 估算 第6讲 分数乘除法的计算技巧 第7讲 简单的分数应用题（1） 第8讲 较复杂的分数应用题（2） 第9讲 阶段复习与测试（略） 第10讲 简单的工程问题 第11讲 圆和扇形 第12讲 简单的百分数应用题 第13讲 分数应用题复习 第14讲 综合复习（略） 第15讲 测试（略） 第16讲 复杂的利润问题（2） 第一讲 定义新运算 在加，减，乘，除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。 例1；如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？ 例2；如果A#B 表示 3 B A + 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 例3；规定Y X XY Y X +=? 求2Δ10Δ10的值。
例4；设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N （1）计算（14 *10）*6 （2）计算 （ 58*43） *（1 *2 1） 例5；如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-（A+B ） 求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4 （3）假设2¤X=1求X 例6；设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞（X ∞ 1/4）的值是多少？ 例7；规定X*Y=XY Y AX +，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？ 例8；▽表示一种运算符号，它的意义是） ）（（A Y A X XY Y X +++ = ?1 1 已知3 211212112=+++= ?））（（A 那么20088▽2009=？ 巩固练习 1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推
聪明屋：苍蝇散步 一只苍蝇和它的孩子在一个秃头上散步，过了一会儿，它若有所思的说：“孩子们，时间过得真快啊，我像你们这么大的时候，这儿只是一条小道。” 第三讲 比较分数的大小 一、 考点、热点回顾 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： （1）分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； （2）分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 （3）分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法： 1、“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 2、化为小数。 3、先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4、根据倒数比较大小，倒数大的分数小 5、若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。 6、借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m 和n ，若m ＞k ，k ＞n ，则m ＞n 。 （2）对于分数m 和n ，若m-k ＞n-k ，则m ＞n 。 （3）对于分数m 和n ，若k-m ＜k-n ，则m ＞n 。 注意：（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k 小于原来的两个分数m 和n ；（3）中借助的数k 大于原来的两个分数m 和n 。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定 介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 7、交叉相乘法：如比较 b d a c 和的大小，交叉相乘后，如果ac bd >，那么说明a b 大. 8、基准数法：最常用的是把1选为基准数，还有常用的像1123 ，这样的分数. 9、两数相减法：两个分数相减，如0a b ->，则a 大；反之则b 大. 两数相除法：两个分数相除，如1a b ÷>，则a 大；反之则b 大. 二、典型例题 例1、 比较分数3214和531 6的大小
第一讲速算与巧算（一） 我们已经学过四则运算的定律和性质等基础知识。这一讲主要介绍基本定律和性质在加减法中的灵活运用，以便提高计算的技能技巧。 一、运用加法运算定律巧算加法 1．直接利用补数巧算加法 如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。 如：28＋52＝80，49＋51＝100，936＋64＝1000。 其中，28 和52 互为补数；49 和51 互为补数；936 和64 互为补数。 在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十、整百、整千，……再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。 例 1 巧算下面各题： （1）42＋39＋58； （2）274＋135＋326＋ 265。解：（1）原式＝（42＋ 58）＋39
＝100＋39＝139
（2）原式＝（274＋326）＋（135＋265） ＝600＋400 ＝1000 2．间接利用补数巧算加法 如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。例 2 计算 986＋238。 解法 1：原式＝1000－14＋238 ＝1000＋238－14 ＝1238－14 ＝1224 解法 2：原式＝986＋300－62 ＝1286－62 ＝1224 以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。 解法 3：原式＝（62＋924）＋238
＝924＋（238＋62） ＝924＋300 ＝1224 解法 4：原式＝986＋（14＋224） ＝（986＋14）＋224 ＝1224 以上方法是把其中一个加数拆分为两个数，使其中一个数正好是另一个加数的补数。所以可称为“拆分凑补法”。 3．相接近的若干数求和 下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。 例 3 计算 71＋73＋69＋74＋68＋70＋69。 解：经过观察，算式中 7 个加数都接近70，我们把 70 称为“基准数”。我们把这7 个数都看作70，则变为7 个70。如果多加了，就减去，少加了再加上，这样计算比较简便。 原式＝70×7＋（1＋3－1＋4－2＋0－1）
小学奥数最大值最小值问题汇总 1．三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是_______。 3．一个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_______厘米、_______厘米时面积最大，面积最大是_______平方厘米。 4．现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_______米，宽应是_______米。 5．将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成_______。 6．从1，2，3，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7．一个两位小数保留整数是6，这个两位小数最大是_______，最小是_______。 8．用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出_______种不同的整数的重量。 9．有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用_______的砝码。 10．如下图，将1～9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为A，A最大是_____。二、解答题（30分） 1．把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？ 2．把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和相等，求这个和的最大值与最小值。 3．自行车的前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7000千米后要报废。前后轮可在适当时候交换位置。问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？ 4．如下图，有一只轮船停在M点，
现需从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？ 5．甲、乙两厂生产同一型号的服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套，但上衣用15天，裤子也要用15天。两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出1~63千克所有整千克数的苹果，并且每次都是整筐整筐地取出。问：至少需要多少个空筐？如何装？ B卷（50分）一、填空题（每题2分，共20分） 1．在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是_____。 2．用1～8这八个数码组成两个四位数，要使这两个数的差尽量小，这个差是______。 3．三个质数的和是100，这三个质数的积最大是______。 4．有一类自然数，自左往右它的各个数位上的数字之和为8888，这类自然数中最小的 (1)求最大量的最大值：让其他值尽量小。例：21棵树载到5块大小不同的土地上，要求每块地栽种的棵数不同，问栽树最多的土地最多可以栽树多少棵?解析：要求最大量取最大值，且量各不相同，则使其他量尽可能的小且接近，即为从“1”开始的公差为“1”的等差数列，依次为1、2、3、4，共10棵，则栽树最多的土地最多种树11棵。(2)求最小量的最小值：让其他值尽量大。例：6个数的和为48，已知各个数各不相同，且最大的数是11，则最小数最少是多少?解析：要求最小数的最小值，则使其他量尽可能的大，
第一讲 找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论．解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是(1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论;（3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 开篇小练习: 1、有一列数,观察规律,并填写后面的数，－5,－２,１,4，___＿__＿,_＿__＿＿__，__＿_＿___。 ２、有一组数为: 1111111,,,,,,234567 ---- …找规律得到第11个数是＿＿＿______,第ｎ个数是＿＿__＿＿＿_＿＿ 3、小凡在计算时发现,11×11＝121,111×111=１2321,1１11×１11１=１２34３２1,他从中发现了一个规律。你能根据他所发现的规律很快地写出 １11111111×11１111１11=＿_____吗? 答案是___＿______＿__＿___________＿＿。 ４、四个同学研究一列数:1，－3，5，-7,9，-11，１3，……照此规律,他们得出第n 个数分别如下,你认为正确的是 （ ） A.２ｎ－1 Ｂ.1-2n Ｃ.(1)(21)n n -- D.1 (1)(21)n n +-- 5、如图，是用积木摆放一组图案，观察图形并探索:第五个图案中共有 块积木，第 n 个图形中共有 块积木． 6、观察数列１,1,２，3,5,８，x,2１，y,……,则２x-y=_＿_＿＿_＿＿____ 7、观察下列各式: 12 34567822,24,28,216,232,264,2128,2256,======== …，请你根据上述规律，猜想108的末位数字是_________. ８、观察下列各式：32 11= 3323332 333321231236123410+=++=+++=
1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法：50÷（4+1）=10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-倍数（较小数）=几倍数（较大数） 例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法：80÷（5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差． 题目一般用“照3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”； 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树：棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;
第16讲比的应用（一） 一、知识要点 我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。 二、精讲精练 【例题1】甲数是乙数的2 3 ，乙数是丙数的 4 5 ，甲、乙、丙三数的比是 （）：（）：（）。 【思路导航】 甲、乙两数的比 2 ：3 乙、丙两数的比 4 ：5 甲、乙、丙三数的比 8：12 ：15 答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。练习1： 1．甲数是乙数的4 5 ，乙数是丙数的 5 8 ，甲、乙、丙三数的比是 （）：（）：（）。 2．甲数是乙数的4 5 ，甲数是丙数的 4 9 ，甲、乙、丙三数的比是 （）：（）：（）。 【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？ 【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。 ①一、二两组人数的比 2 ：3 二、三两组人数的比 4 ： 5 一、二、三组人数的比 8：12 ：15 ②总份数：8+12+15＝35 ③第一组：140×8 35 ＝32（人） ④第二组：140×12 35 ＝48（人） ⑤第三组：140×15 35 ＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。 练习2： 1．某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他作物面积的比6：1。每种作物各是多少公亩？ 2．小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5：4，第二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？ 【例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？ 【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图 书的本数是两校图书总数的 7 75 + ，由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书 占两校图书总数的 3 43 + ，甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的 7 75 +－ 3 43 + ＝ 13 84 。 650÷（ 7 75 + － 3 43 + ）× 7 75 + ＝2450（本）答：原来甲校有图书2450本。 练习3： 1．小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已 读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？
1、六年级奥数(比较大小) 姓名 试一试： （1）比较这几个分数的大小： 52、。、、、37152912231073 （2）试比较，和7777 55577755哪个分数大？ （3）已知：Ａ＝，10061207Ｂ＝，2006 2207试比较Ａ与Ｂ的大小。 1(例)、已知5 115410943321÷??÷?ＥＤＣＢＡ＝＝＝＝（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ都不等于0），将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ按从大到小的顺序排列起来。 2、如果5465521? ??=d c b a ＝＝（a 、b 、c 、d 都不等于0），那么a 、b 、c 、d 四个数中，谁最大？谁最小？ 3(例)、将下列分数从小到大排列起来： 52、。、、、37152912231073 4、把下面几个分数按从小到大的顺序排列起来： 175、。、、、373033104615196 5(例)、已知Ａ＝ ，55555555555553Ｂ＝，666663666661试比较Ａ与Ｂ的大小。 6、试比较下面两个分数的大小559557445443和 7(例)、试比较 ，和777755577755哪个分数大？ 8、试比较1721719219和的大小。 9(例)、试比较下面两个分数的大小。 10061207和20062207 10、试比较1231292329与的大小。 习题 1、把下面几个分数按照从大到小的顺序排列起来。 16154847323137361918、、、、 2、试比较下面两个分数的大小。 999499和1001501 3、比较665443332221和的大小。 4、比较2004 1234567892004987654321123456789987654321++与的大小。 5、为迎接2003年国庆节，需要装饰节日的广场，工人叔叔用鲜花在广场上铺设成若干个圆形花坛。他们用一串红围成了两个直径分别是2003厘米和1949厘米的两个圆，又用菊花围成了两个直径分别是2001厘米和1951厘米的两个圆。用一串红围成的两个圆形花坛的面积之和与用菊花围成的两个圆形花坛面积之和，哪一个大？
第一讲分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数
1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差 ;求这两个数。 方法① ：（和－差）÷2= 较小数 ;和 -较小数 =较大数 方法② ：（和+ 差）÷2=较大数 ;和- 较大数 =较小数 例如：两个数的和是 15;差是 5; 求这两个数。方法：（15-5）÷2=5 （; 15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数 +1）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -1 倍数（较小数） = 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为 50;大数是小数的 4 倍 ;求这两个数。 方法： 50÷（ 4+1） =10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系 ;求这两个数。 方法：差÷（倍数 -1 ）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -倍数（较小数） =几倍数（较大数） 例如：两个数的差为 80;大数是小数的 5 倍 ;求这两个数。 方法： 80÷（ 5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的 ; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 ;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的 ; 两人年龄的倍数关系是变化的量 ; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 =大小年龄差÷倍数差 -小年龄 ; 几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差÷倍数差． 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量 ;一般是那个“单一量”题;目一般用“照这样的速度”??等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植 树 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数 =段数 +1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数 =全长÷株距 ; 株距 =全长÷棵数 ; 3 、直线两端都不植树：棵数 =段数-1= 全长÷株距 -1 ; 株距=全长÷（棵数 +1 ） （二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题 棵数 =总距离÷棵距; 总距离 =棵数×棵距;
我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如：a ＞b ＞0，那 么a 的平方＞b 的平方；如果a ＞b ＞0，那么1a ＜1b ；如果a b ＞1，b ＞0，那么a ＞b 等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。 比较777773777778 和888884888889 的大小。 这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近1，所以我们可先用1分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。 因为1－777773777778 =5777778 ，1－888884888889 =5888889 5777778 ＞5888889 所以777773777778 ＜888884888889 。 1.比较77777757777777 和66666616666663 的大小。 2.将9876598766 ，98769877 ，987988 ，9899 按从小到大的顺序排列出来。 挑战自我 例题1 专题简析： 比较大小
3.比较235861235862 和652971652974 的大小。 比较1111111 和111111111 哪个分数大？ 可以先用1分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。 因为1÷1111111 ＝1111111 ＝101111 1÷111111111 ＝111111111 ＝1011111 101111 ＞1011111 所以1111111 ＜111111111 1、比较A ＝3331666 和B ＝33166 的大小 2、比较111111110222222221 和444444443888888887 的大小 3、比较88888878888889 和99999919999994 的大小。 比较1234598761 和1234698765 的大小。 两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘法比较分数的大小。 因为12345×98765 ＝12345×98761+12345×4 ＝12345×98761+49380 例题3 挑战自我 例题2
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：六年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第16讲——比较数的大小 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结 教学目标①小数的大小比较常用方法； ②分数的大小比较常用方法； ③数的估算时常用方法。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二、分数的大小比较常用方法 ⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小. ⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三、数的估算时常用方法 知识梳理
（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式． 考点一：两个数的大小比较 例1、如果a = 20052006，b = 2006 2007 ，那么a ，b 中较大的数是 例2、如果A =111111110222222221，B =444444443 888888887 ,A 与B 中哪个数较大？ 例3、在 a=20032003×2002和 b=20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。 例4、试比较: 2962 2222????L 1442443个与1853 3333????L 14424 43个哪一个大? 例5、已知：258998 369999A =????L ，那么A 与0.1中 比较大，说明原因； 考点二：多个数的比较 例1、（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：37 ，513，916，15 28 （2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“<”号连接起来： 1017 ，1219，1523，2033，60 91 典例分析
六年级奥数辅导第十三讲排列、组合问题 一、排列问题。 在实际生活中，我们常常遇到过这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少中排法，这就是排列问题。在排列过程中，不仅与参加排列的失误有关，而且与各失误所在的先后顺序有关。 排列公式：P m =(n-1) (n-2)……(n-m+1) n 【例题分析】 例1、有9面颜色不同的信号旗，任意取出3面旗从上到下挂在旗杆上表示信号，共可以表示多少种不同的信号？ 例2、用0，1，2，3，4，5，6，7，8这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 例3、7个人并排站成一排，其中甲必须站在中间位置，共有多少种不同的站法？ 【巩固提高】 1、某班有一个小图书馆，有不同的文艺书80本，不同的自然科学书120本。如果最多从这两类书中各借1本，共有多少种借法？ 2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，如果任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少种不同的排法？ 3、从1，3，5中任取两个数字，从0，2，4中任取两个数字，共可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？ 二、组合问题。
知识导航： 日常生活中有很多的“分组”问题，如把同学分两组进行篮球对抗赛，从全班同学中选几人参加数学竞赛等。这种“分组”问题，就是我们要讨论的组合问题。 组合问题与所取的元素有关，而与元素之间的先后顺序无关。 组合公式C m n =p m n ÷p m m 【例题分析】 例1、六（1）班要在25名同学中选出4名同学去参加夏令营活动，共有多少种选法？ 例2、从6幅水墨画、3幅油画和4幅素描中选取两幅不同类型的画，布置画室。共有多少种不同的选法？ 例3、圆上有12个点，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？若以每4个点为顶点画一个四边形，可以画多少个四边形？ 【巩固提高】 1、要从9名男生和5名女生中选出6名学生参加数学竞赛，共有多少种选法？ 2、某种产品100件，其中2件次品，其余为合格品，从中抽3件产品来检验， 至少有1件次品的情形有多少种？ 3、从16个小朋友中任选4个人合影留念，共需拍多少张照片？ 综合练习
小学六年级奥数：比较分数大小的方法 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 一“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 二万能方法.化为小数。 三.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 四.根据倒数比较大小。倒数大的原分数小。
五.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。， 六.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 前一个差比较小，所以m＜n。 （3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
第一讲:分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b ?a b <1111(a b b a a b =-?-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ?+?+1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+1111[(1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） （2）11a b a b a b a b a b b a +=+=+???2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+???裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
小学奥数最大值最小值问题汇总 1. _____________________________________________________ 三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是 _______________ 。 3. _________________________________________________ —个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_____________________ 厘米、_______ 厘米时面积最大，面积最大是__________ 平方厘米。 4. 现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个 鸡舍面积最大，长应是_________ 米，宽应是 _________ 米。 5 .将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成__________ 。 6 .从1, 2 , 3,…，2003这些自然数中最多可以取 ____________ 个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7. __________________________________________________ —个两位小数保留整数是6,这个两位小数最大是____________________ ，最小是________ O 8. 用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最 多可以称出________ 种不同的整数的重量。 9. 有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1?80克之间所有整克 数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用__________ 的砝码。10 .如下图，将1?9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为 A，A最大是_______ 。二、解答题（30分） 1. 把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？
六年级数学思维训练（1） 一、快速填空。 1 . a是一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是70.70, a最大可以是（），最小是（）。 2. b是一个大于0的自然数，且a=b+ 1,那么a和b的最大公约是（），最小公倍数是（）。 3 ?一辆汽车从甲地开往乙地用了5时，返回时速度提高了20%这样将比去时少用（）时。 4 .一套西服的价格是250元，其中上衣价钱的1/6正好与裤子价钱的1/4相等。每件上衣（）元, 每条裤子（）元。 5?甲、乙、丙三个数的比是2: 5: 8，这三个数的平均数是90,甲数是（）。 6 ?在一个密封的不透明的袋子里装了两只红球，两只黄球，明明伸手任意抓一只球，抓到红球的机会是（）。 7. 8 （x —3）—5x = 27 , x=（）。 8 .把一杯20升的纯牛奶喝掉2升，再用水填满，则牛奶的浓度为（）。 二、准确计算。 1 . 1 —3 + 5 —7+ 9- 11 +…—1999 + 2001 三、解决冋题。 1?小红看一本书，已看的页数与未看的页数比是1: 5，如果再看10页这时已看页数占全书总页数的 25%这本书共多少页？ 2 .甲、乙两桶油共68千克，若从甲桶中取出它的1/4，从乙桶中取出它的1/3后，两桶油剩下的一 样重。那么，原来甲、乙两桶油各多少千克？
3?两列火车同时从甲、乙两地相对开出，快车行完全程需要 20时，慢车行完全程需要 5时后两车相遇。已知快车在相遇前途中停留了 4小时，慢车在相遇前途中停留了几时？ 4 ?一项工程单独完成甲队需要 10天，乙队需要15天，丙队需要20天，三队一起干, 结果一共用了 6天，甲队实际干了几天？ 5、幼儿园大班和中班共有 32名男生，18名女生，已知大班中男生和女生的比是 5: 3，中班中男生 和女生的比是2 : 1。那么大班有女生多少名？ 30时。开出1 甲队中途撤走,