聪明屋：苍蝇散步
一只苍蝇和它的孩子在一个秃头上散步，过了一会儿，它若有所思的说：“孩子们，时间过得真快啊，我像你们这么大的时候，这儿只是一条小道。”
第三讲 比较分数的大小
一、 考点、热点回顾
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
（1）分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
（2）分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
（3）分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法：
1、“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
2、化为小数。
3、先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4、根据倒数比较大小，倒数大的分数小
5、若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
6、借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
（1）对于分数m 和n ，若m ＞k ，k ＞n ，则m ＞n 。
（2）对于分数m 和n ，若m-k ＞n-k ，则m ＞n 。
（3）对于分数m 和n ，若k-m ＜k-n ，则m ＞n 。
注意：（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k 小于原来的两个分数m 和n ；
（3）中借助的数k 大于原来的两个分数m 和n 。
（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介
于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
7、交叉相乘法：如比较
b d a c
和的大小，交叉相乘后，如果ac bd >，那么说明a b 大. 8、基准数法：最常用的是把1选为基准数，还有常用的像1123
，这样的分数. 9、两数相减法：两个分数相减，如0a b ->，则a 大；反之则b 大.
两数相除法：两个分数相除，如1a b ÷>，则a 大；反之则b 大.
二、典型例题
例1、 比较分数3214和531
6的大小
例2、 将下列分数按由大到小的顺序排列。
1710，1912，2215，9960
例3、分数
22157423101912125、、、、中，哪一个最大？
例4、比较
7777777和777777777的大小
例5、比较分数1111111111111111
和的大小
例6、 比较下列三个分数的大小。
55555551，45674563，9219
9215
例7、 比较分数
233234和346347的大小。
例8、 比较分数
451449和4451
4449的大小。
三、 习题巩固
1、 将分数2515101238231719
，，，，按从大到小的顺序排列.
2、 将五个分数346121847132337，，，，按从小到大的顺序排列.
3、比较两个分数
567867895678167891
，的大小.
4、比较下列各组数的大小： 341115（1），； 32366675（2），； 17156967（3），；
66166619989998（4），； 117207448808（5），； 103217116240（6），
5、四个分数1710，1912，2315，33
20中，哪个分数最大？哪个分数最小？
6、比较下列三个分数的大小。
55555551，45674563，9219
9215 四、习题练习
1、比较下列各组分数的大小
（1）
2513和4027 （2）13112和203
18
2、把下面的分数按照从小到大的顺序排列。
133，175，3310，79
15
3、 将下面的分数按照从大到小的顺序排列。
74，116，178，2312，53
24
4、 将下列分数按照从小到大的顺序连接起来。
72514，77615，51910，1088
21
5、选用适当的方法，比较下列各组分数的大小
（1）
516和638 （2）247和3611
（2）
3333333和33333 （4）12371234和31483145
6、 比较分数45874567和9896
9876的大小
7、把下面的几个分数按照从大到小的顺序排列。
95，1910，3715，61
30
8、 比较下列三个分数的大小。
335234，22352134，890
789
9、 用倒数比较法比较
654321218191和456789152347的大小。
10、比较分数
346347和480481的大小。
11、 比较分数219213和21192113的大小。
12、 比较下列每组分数的大小。
（1）
5123和3415 （2）4733和7255
（3）669673和231235 （4）9991001和9999
10001
13、 把下面的分数按照从大到小的顺序排列。210071002，28984，23429
14、比较21×43×65×87×…×10099与101的大小。
分数加减法速算与巧算 教学目标 五年级奥数分数加减法速算与巧算学生版 知识点拨 一、基本运算律及公式 一、加法 加法交换律：两个数相加,交换加数的位置,他们的和不变。即：a＋b＝b＋a 其中a,b各表示任意一数．例如,7＋8＝8＋7＝15. 总结：多个数相加,任意交换相加的次序,其和不变． 加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数；或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,他们的和不变。 即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 其中a,b,c各表示任意一数．例如,5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8). 总结：多个数相加,也可以把其中的任意两个数或者多个数相加,其和不变。 二、减法 在连减或者加减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b,a－b＋c＝a＋c－b,其中a,b,c各表示一个数．在加减法混合运算中,去括号时：如果括号前面是“＋”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“＋”变为“－”,“－”变为“＋”． 如：a＋（b－c）＝a＋b－c a－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c 在加、减法混合运算中,添括号时：如果添加的括号前面是“＋”,那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”,那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”,“－”变为“＋”。 如：a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c）
二、加减法中的速算与巧算 速算巧算的核心思想和本质：凑整 常用的思想方法： 1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去,或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加,如果恰好凑成整十、整百、整千……,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”． 2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显,这时可“借数”或“拆数”凑整． 3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加,然后再与其它的数相加． 4、“基准数”法,基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去,把少加的数加上） 【例 1】11410410042282082008+++=_____ 【例 2】如果 111207265009A +=,则A =________（4级） 模块一：分组凑整思想 【例 3】 1121123211219951122233333 1995199519951995+++++++++++++++ 【例 4】 11112222333181819234 20345204520192020 ????????+++++++++++++++++ ? ? ? ????????? 【巩固】分母为1996的所有最简分数之和是_________ 例题精讲
第五周 简便运算（四） 例题1。 计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 原式＝（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （199 －1100 ） ＝1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1100 ＝1－1100 ＝99100 练习1 计算下面各题： 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 4. 1－16 +142 +156 +172
计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 原式＝（22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 ）×12 ＝【（12 －14 ）+（14 －16 ）+（16 －18 ）…..+ （148 －150 ）】×12 ＝【12 －150 】×12 ＝625 练习2 计算下面各题： 1. 1 3×5 +1 5×7 +1 7×9 +…..+ 1 97×99 2. 1 1×4 +1 4×7 +17×10 +…..+ 1 97×100 3. 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 1 33×37 4. 14 +128 +170 +1130 +1208
计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556 原式＝113 －（13 +14 ）+（14 +15 ）－（15 +16 ）+（16 +17 ）－（17 +18 ） ＝113 －13 －14 +14 +15 －15 －16 +16 +17 －17 －18 ＝1－18 ＝78 练习3 计算下面各题： 1. 112 +56 －712 +920 －1130 2. 114 －920 +1130 －1342 +1556 3. 1998 1×2 +1998 2×3 +19983×4 + 19984×5 +1998 5×6 4. 6×712 －920 ×6+ 1130 ×6
分数乘法的巧算（一） 一、拆分因数，使计算简便。 1、拆分分数：一个分数接近单位“1”（小于单位“1”或大于单位“1”） 例：1. 计算33 34×27 2. 计算 23 22×17 练习1： 48 50×13 43 41×13 33 34×13 39 38×25 2、拆分整数：整数接近分数的分母或接近分母的倍数 例：1. 计算2010 ×123 2009 2. 计算93 × 23 46 练习2： 52 ×37 501001 × 101 1002199 × 89 99 43 65×129 二、先分拆分数，然后运用乘法分配律进行简便运算。 1、分母相同的，拆分成一个分数与另一个因数的积的形式，再运用乘法分配律进行计算 例：1. 计算3 4×27 + 1 4×39 2. 计算 5 7×27- 2 7×29 练习3： 1 6×45 + 5 6×15 5 7×19 —8 × 4 7 2、将一个带分数拆分成整数加分数的形式，再运用乘法分配律进行计算 例：计算153 11×1 744 5 7× 4 9
练习4： 2137 × 15 2915 × 56 3429 × 911 2916 × 67 作业（一） 2728 × 15 1002 × 1001001 35 × 31 + 15 × 7 2623 × 15 作业（二） 22311 × 17 3842 × 43 13 × 45 + 23 × 15 3940 × 13 131 × 3865 57 × 9 — 47 ×6 作业（四） 1738 × 37 103 × 15104 57 × 5 + 47 × 6 2517 × 78 二、乘法分配律的进一步运用 例1：计算527 ×5 + 457 ×923 练习1： 335 ×25 25 + 37910 ×625 338 ×4+ 558 ×535 1049 ×4 — 249 ×712 例2：计算22×17 + 11×27 + 337 ×211 练习2： 39×14 + 25×34 + 264 ×313 9×38 + 15×18 — 54 ×35
分数问题 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．在 4136、83 72 、2924、1312四个分数中，第二大的是 . 2.有一个分数,分子加1可以约简为31,分子减1可约简为5 1 ,这个分数 是 . 3.已知5 1 154%75%90321÷=?=÷=?=?E D C B A .把A 、B 、C 、D 、E 这五 个数从小到大排列,第二个数是 . 4.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是 . 5.三个质数的倒数和为231 a ,则a = . 6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和: 1995 1 9511919591- +-+= . 7.将8473、5746 、10089、36 25和6251分别填入下面各( )中,使不等式成立. ( )<( )<( )<( )<( ). 8.纯循环小数0.abc 写成最简分数时,分子与分母之和是58,请你写出这个循环小数 . 9. ()()()24 13 111= ++ .(要求三个加数的分母是连续的偶数). 10.下式中的五个分数都是最简真分数,要使不等式成立,这些分母的和最小是 . ()()()()() 5 4321> >>>. 11.我们把分子为1，分母为大于1的自然数的分数称为单位分数.试把6 1表示成分母不同的两个单位分数的和.(列出所有可能的表示情况). . .
12.试比较2?2?…?2与5?5?…?5的大小. 301个2 129个5 13.已知两个不同的单位分数之和是 12 1 ,求这两个单位分数之差的最小值. 14.(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分? (2)如果把上面(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？
)11 1933139911()115933539951(++÷++2019年小学六年级奥数分数的计算-专项 知识点、重点、难点 分数计算是小学数学的重要组成部分，也是数学竞赛的重要内容之一 分数计算同证书计算一样，既有知识要求又有能力要求。法则、定理、性质是进行计算的依据，要使计算 快速、准确，关键在于掌握运算技巧。对于复杂的分数运算题，常用的方法和技巧是通分、约分、凑整、 分解、分拆等。列项 例题精讲 例1 计算32 141618813417219 19+++++ 例2 计算4 .3695.35.3694.31999-?+??）（ 分析 可以清楚地可拿到分子的括号部分与分母可以通过乘法意义转化成同一个算式，从而使计算简便。 例3 计算)]21 19321(75.15.5[)53315.66.318585.4(41+?-+?+-÷ 分析 若按部就班，计算的复杂性使可想而知的。通过观察，5 186.3=， 518533=，因此在第一个括号中，可以把5 18提取出来，再计算。 例4 计算2222)777777 555555()555055333033()303030202020()202020101010(1???- 解：仔细观察，可以发现每个分数都可以约分 例5 计算)4 13121()514131211()51413121()4131211(++?++++-+++?+++ 分析 把相同的算式用同一个字母表示，先进行字母运算，得到最简单的字母表达式，再把原算式代入，这 是常用的一种巧妙的方法。 解： 令 A B =+++=++51413121,413121 原式 例6 计算 B A AB B AB A B A A B -=--+=?+-?+=)1()1(
学生课程讲义 【专题解析】 在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。 （1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。 （2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。 【典型例题】 例1. 计算：（1）5698÷8 （2）16620 1 ÷41 分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+9 8 ），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。（2） 把题中的166201 分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。 （1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +20 41 )×411= 164×411+2041×411= 4201 【举一反三】 计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）17012 1 ÷13 例2. 计算：20041 20042004 20052006 ÷+ 分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母200420052004?÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006?，又可以约分。 聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004 20042005 的被除数与除数都含有2004，把他们同
分数计算技巧(裂项)(寒假课程) 2、分数 裂和: ⑴ 目 的： 抵 消. 本讲主线 ⑵ 特 点： 分子 为分 母之 和. 1.分数计算裂差. 2.分数计算裂和. ⑶ 公 式： a b1 1 ⑷口诀：分数裂项两肩挑. 【课前小练习】(★)计算：
1、分数裂差: ⑴目的：抵消. ⑵特点：分子相同、分母为连续的等差数列. ⑶公式：111 1 () a b a b差值 ⑷口诀：分数裂项两肩挑.，之后乘以差值分之一 111 1 11⑴ ⑵⑶233457 版块一∶分数计算-裂差【例1】(★★)计算: 111 1 122334910 【例2】(★★★) 1111 1 133******** 【巩固】(★★)计算: 11 1 ...... 101111125960 【拓展】(★★★☆) 444 4 14477104952 _____ 1
【拓展】(★★★) ⑵计算: 1111 1 24466881098100 444 4 ...... 1559939797101 版块二∶分数计算-裂和 【例3】(★★★) 4812162024 计算: 133557799111113 【例4】(★★★★)【例5】(★★★)计算: 11111111 1 2612203042567290 3112339759839 261220380420 15791113151719 ⑵1 2612203042567290
2
【例6】(★★★★) 2 3 5 6 8 9 11 12 98 99 1 4 47 710 1013 97100 【超常大挑战】(★★★★) 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100 知识大总结 【今日讲题】 例2, 例3, 例5, 超常大挑战1、分数裂差: ⑴特点：分子相同、分母为连续的等差数列. ⑵公式： 1 1 1 1 ( ) a b a b差值 2、分数裂和: ⑴特点：分母为连续等差数列，分子为分母之和. ⑵公式：a b 1 1 a b a b 【讲题心得】 _______________________________________________ ______________________________________. 【家长评价】 _______________________________________________ __________________________________.
小学六年级奥数 简便运算专题（一） 一、考点、热点回顾 根据算式的结构和特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把比较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 四则混合运算法则：先算括号，再乘除后加减，同级间依次计算 加法交换律：a b b a +=+ 加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律：ba ab = 乘法结合律：)()(bc a c ab = 乘法分配律：bc ab c b a +=+)( 乘法结合律:)(c b a bc ab +=+ 除法分配律：c b c a c b a ÷+÷=÷+)( c b a c b c a ÷+=÷+÷)( ※没有)(c b a +÷=c a b a ÷+÷和c a b a ÷+÷=)(c b a +÷ 减法性质：从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，也可以先减去第二个数，再减去第一个数。 b c a c b a c b a --=+-=--)( 二、典型例题 例1：计算)37.125.8(63.975.4-+- )38.648.2(17.348.7--+ 练习1：计算511)9518.3(957 -+- 例2：计算4 1666617907921333387?+?
练习2 计算 7.21111.07.09999.0?+? 例3：计算3.672.109.136?+? 练习3：计算8.562.108.148?+? 例4：计算 5 269.37522553 3?+? 练习4：计算2.33.198.168.6?+? 例5：计算5.186.678.515.818.155.81?+?+?
聪明屋：苍蝇散步 一只苍蝇和它的孩子在一个秃头上散步，过了一会儿，它若有所思的说：“孩子们，时间过得真快啊，我像你们这么大的时候，这儿只是一条小道。” 第三讲 比较分数的大小 一、 考点、热点回顾 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： （1）分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； （2）分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 （3）分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法： 1、“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 2、化为小数。 3、先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4、根据倒数比较大小，倒数大的分数小 5、若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。 6、借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m 和n ，若m ＞k ，k ＞n ，则m ＞n 。 （2）对于分数m 和n ，若m-k ＞n-k ，则m ＞n 。 （3）对于分数m 和n ，若k-m ＜k-n ，则m ＞n 。 注意：（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k 小于原来的两个分数m 和n ；（3）中借助的数k 大于原来的两个分数m 和n 。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定 介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 7、交叉相乘法：如比较 b d a c 和的大小，交叉相乘后，如果ac bd >，那么说明a b 大. 8、基准数法：最常用的是把1选为基准数，还有常用的像1123 ，这样的分数. 9、两数相减法：两个分数相减，如0a b ->，则a 大；反之则b 大. 两数相除法：两个分数相除，如1a b ÷>，则a 大；反之则b 大. 二、典型例题 例1、 比较分数3214和531 6的大小
第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差
1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和 2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 考试要求 知识结构 分数裂差
()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()()221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 二、裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 1、 分子不是1的分数的裂差变型； 2、 分母为多个自然数相乘的裂差变型。 一、 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：1(1) n n +型（n 为自然数） 因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数），所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ 【例 1】 填空： （1）1-21= （2）=?211 （3） =-3121 （4）=?3 21 （5）=?60591 （6）=-601591 （7）=?100 991 （8 ）例题精讲 重难点
小学六年级奥数练习（一） 一、定义新运算练习 1. 设）。 ）（求（5101225,213**?-=*b a b a 2.）。 （。求）（是两个数，规定：、设35302q p p q p q p 2???-+=? 3.412010M N N M N M N M -*+= *，求是两个数，规定、设。 4.=*÷*=*=*=*）（），那么（如果6236444 13,43312,32112 5.==?+++++=?++=?+=?x 543x ,109876565.........43232 ,2121中，在，，如果 6..8946b) -a b)a b -a 2:""b a ?+??+=??，求（（定义新运算和对两个整数b a 课后练习题 一、定义新运算 1、规定a*b=(b ＋a)×b ，求(2*3)*5。 2、定义运算“△”如下：对于两个自然数a 和b ，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b 。例如： 4 △ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算， 18△12等于几？ 4、对于数 a ，b ，c ，d ，规定〈a ，b ，c ，d 〉=2ab-c ＋d 。已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值。 5、规定： 6* 2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。 6、如果a △b 表示(a-2)×b ，例如：3△4=(3-2)×4=4，那么当( a △2)△3=12时，a 等于几？ 7、对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算“*”：a*b ＝a(a ＋1)(a ＋2)…(a ＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x 等于几？ 8、有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A ?B ，输入1后，经过A ?B ，输出3。 (1)输入9，经过A ?B ?C ?D ，输出几？ (2)经过B ?D ?A ?C ，输出的是100，输入的是几？ (3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？
（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。 一、复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 二、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 重难点 知识框架 考试要求 整数裂项与分数裂和
（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用 （2）分子隐蔽的裂和型运算。 例题精讲 一、整数裂项 ?+?+?+?++? 【例 1】计算：1324354699101 ?+?+?++?+? 【巩固】计算：355779979999101 ??+??++??+??【例 2】计算101622162228707682768288【例 3】计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
第3讲简便运算（1） 一、夯实基础 所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。 简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质： 乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b 乘法分配律：a×（b＋c）=a×b＋a×c a×（b－c）=a×b－a×c 二、典型例题 例1. （1）9999×7778＋3333×6666 （2）765×64×0.5×2.5×0.125 例2．399.6×9－1998×0.8 例3．654321×123456－654322×123455 三、熟能生巧 1．（1）888×667＋444×666 （2）9999×1222－3333×666 2．（1）400.6×7－2003×0.4 （2）239×7.2＋956×8.2
3．（1）1989×1999－1988×2000 （2）8642×2468－8644×2466 四、拓展演练 1．1234×4326＋2468×2837 2．275×12＋1650×23－3300×7.5 3．7654321×1234567－7654322×1234566 六、星级挑战 ★1．31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷5 ★★★2．3333×4＋5555×5＋7777×7 ★★★3．99＋99×99＋99×99×99 ★★★4. 48.67×67＋3.2×486.7＋973.4×0.05
第一讲:分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
简便运算 一、整数 199999+29999+3999+499+59 847-(647-130) 995+996+997+998+999 588-156-188 1998+997+5 542-39-161 15×999 20×101 75×21+25×21 30×131?30×31 6363÷7÷9 5600÷（25×7）（360+108）÷36（4200-63）÷21 33×57+33×42+33 444×334+333×888 二、小数 0.9+0.99+0.999+0.9999 0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9 0.9+0.98+0.997+0.9996+0.99995 4.7+4.8+4.9+5.0+5.1+5.2+5.3 5.74-2.42+3.26-4.58 19.9+19.98+19.997+19.9996
三、小数应用 1．小明在计算一道减法题时，把被减数个位上的9看成6，把减数十分位上的4看成7小明计算的结果是15.4，求正确的计算结果是多少？ 2. 陈莉在做加法题时，把一个加数个位的9看成了4，把另一个加数百分位的1看成了7。她做得结果是17.42，求正确的结果是多少？ 3.小马虎在做减法题时不慎将被减数百分位上的3看成了8，把减数十分位上的7看成了2。小马虎的计算结果是1.87，你知道正确的结果是多少吗？ 4.陈小鹏计算一直不够细心，这不，老师出的减法题他又做错了。他把被减数个位上的2看成了6，把减数百分位上的7看成了1.你知道他这次错误的结果与正确的结果相差多少吗？ 5、一只蚂蚁从竹竿的一端沿直线爬向另一端，5分钟爬完。已知第一分钟爬0.2米，以后每分钟都比前1分钟多爬0.1米。这根竹竿有多长？ 6、有甲、乙两根木线条，甲木线条长1.8米，乙木线条长2.6米。工人师傅从两根木线条上锯下同样长的一段，剩下的乙是甲的2倍，两根木线条各减去多少米？ 四、巧填数字
分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
及方教育课堂前测 前测目的：检测学生对上次课堂内容的掌握情况，复习情况及运用 检测学生在校一周基础知识的学习情况 检测老师上周的教学效果 前测内容：学生上周所学过的基础知识，基本概念以及运用情况（可以用填空，计算等的形式出题） 前测时间：每次课堂开课前十分钟，不能过多的占用课堂时间 前测要求：要求老师提前出好前测内容，及每周五中午之前交给教务老师打印或复印出来 学生做完前测后老师认真批改，人数多的可以由教务老师帮忙批改，但必须有正确答案 老师课间要求学生对前测中的错误订正并背诵或讲解，完成后老师签字方可过关。 课前测试 课前检测Name______________ 过关后老师签字__________________
及方教育课后作业 作业目的：使学生对课堂内容加以练习，达到熟练掌握的程度 加强并明确老师教学的内容、范围 作业内容：学生所学的基础知识，基本概念以及运用情况 作业时间：每次课堂后练习，下次上课前检查 作业要求：老师会对学生作业中的错误进行订正，讲解，后老师签字，确定学生掌握。 课后作业 Name______________ 知识点内容提示： 熟悉本节课所讲知识内容，正确理解并牢记分数乘法的性质，保证正确率的进行运算。注意观察运算符号及数字特点，合理的把参加运算的数字进行重新组合，使其变成符合定律的模式，从而简化运算。 作业内容： ☆ 293635? ☆ 72 2373? ☆ 200220012000? ☆ 6 1 11149+ ☆ 28314632?+? ☆ 11 29411391?+?
☆ 977228655113?+? ☆ 5 1 11521113201115?+?+? 批改情况记录： 学生确认学会： 时间：
例题1 计算（1）65+24+6 （2）32+25+8 练习：用简便算法计算。 1、78+16+4 2、46+7+23 3、19+9+71 4、38+46+2 5、15+58+15 6、34+39+16 7、45+32+5 8、28+67+2 例题2 计算：75+46+25+54 练习： 1、11+15+9+5 2、36+48+64+52 3、16+72+84+19+28+81 4、1991+2995+9+5 例题3
计算：46+99 141-102 练习：用简便方法计算。 1、98+67 2、888+999 3、375+99 4、79+198 5、176-96 6、624-98 7、1500-294 8、1125-996 例题4 195+196+197+198+199 练习：用简便算法计算下列各题。 1、98+99+100+101+102 2、99+98+97+96 3、18+19+20+21+22+23 4、53+49+51+48+52+50 例题5 995+95+5995+20
练习：用简便方法计算 1. 995+98+9 2、1998+995+97+38 3、1997+997+97+9 综合练习 一、下列各题能用简便算法的用简便算法计算。 1、14＋425＋186 2、48＋68＋52＋32 3、154－93－54 4、246－76－24 5、168－（91＋68） 6、346－（68－54）
7、478＋99 8、478－99 9、568－101 10、568＋101 11、86+49+114 11、240+(39-40) 12、255+(352+145+48) 13、(345+377)+(55+23) 14、9+(80+191) 15、(268+314+132)+86 17、495+(278+5)+222 18、399-199 19、48+(164+152)+36 20 、133-(28+29)-43 21、996+500= 和差倍问题应用题（附） 1、一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多少千克？
12 ＋16 +112 +120 130+ 142 +156 1＋2120 ＋3130 ＋4142 ＋5156 ＋6172 ＋7190 ＋81110 ＋91132 32 +76 +1312 +2120 +3130 +4342 +5756 13 +16 +110 +115 +121 ＋128 +136 +145 11x3 +13x5+ 15x7 +17x9 +19x11 +111x13 11x3 +13x5 +15x7 +……+197x99 12x4+ 14x6+ 16x8 18x10 +110x12 32x4 +34x6 ＋……＋398x100 +3100x102 13 +115 +135 +163 +199 23 +215 +235 +263 +299 +2143 6－23 -215 -235 -263 -299 -2143 32x5 +35x8+ 38x11 +311x14 314x17 41X5 +45X9 +49X13 +413X17 +417X21 514 +584+ 5204 +5374+ 5594 +5864
12 +14 +18 +116 +132 ＋164 12 +14 +18 +131 +162 ＋1124 +1248 +1496 56 -712 +920 -1130 +1342 1+12- 56 +712- 920 +1130 －1342 +1556 -1772 1＋13 -712 +920 -1130 +1342 －1556 ＋……－1999900 12 +（13 +23 ） +（14 +24 +34 ）+ （15 +25 +35 +45 ）+ …（110 +210 + ……+910 ） 12 ＋（23 +13 ）＋（34 +24 +14 ）＋…＋（3940 +3840 ＋…＋240 +140 ） 7116 ×67 ＋6115 ×56 ＋5114 ×45 ＋4113 ×34 ＋3112 ×23 112 ×113 ×114 ×115 ×……×1199 ×11100 （1＋12 ）×（1＋14 ）×（1＋16 ）×…×（1＋120 ）×（1－13 ）×（1－15 ）×…×（1—119 ）×（1—121 ） （1＋12 ）×（1＋14 ）×（1＋16 ）×…×（1＋110 ）×（1－13 ）×（1－15 ）×……×（1－19 ） （1＋12 ＋13 +14 ）×（12 ＋13 +14 +15 ）－（1＋12 +13 +14 +15 ）×（12 ＋13 +14 ） (9-1639 ×4)＋（8－1639 ×5）＋……＋（4－1639 ×9） （1＋733 ）＋（1＋733 ×2）＋（1＋733 ×3）＋…＋（1＋733 ×10）＋（1＋733