2016年高考数学文试题分类汇编
立体几何大题
1、【2016年北京高考】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面；
（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；
（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.
解：（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，
所以C DC P ⊥．
又因为DC C ⊥A ，
所以DC ⊥平面C PA ．
（II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，
所以C AB ⊥A ．
因为C P ⊥平面CD AB ，
所以C P ⊥AB ．
所以AB ⊥平面C PA ．
所以平面PAB ⊥平面C PA ．
（III ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面C F E ．证明如下：
取PB 中点F ，连结F E ，C E ，CF ．
又因为E 为AB 的中点，
所以F//E PA ．
又因为PA ?平面C F E ，
所以//PA 平面C F E ．
2、【2016年江苏省高考】如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；
（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C1F.
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C
因为11AC ?平面111A B C ，所以111AA ⊥A C
又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥??= ，平面平面
所以11AC ⊥平面11ABB A
因为1B D ?平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥
又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥??= F ，平面平面
所以111C F B D A ⊥平面
因为直线11B D B DE ?平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面
3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥
DB.
（I ）已知AB=BC ，AE=EC.求证：AC ⊥FB ；
（II ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC.
解析：（Ⅰ））证明：因BD EF //，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为E EC AE ,=为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥，又因为D DE BD = ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为?FB 平面BDEF ，FB AC ⊥。
（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,，在CEF ?中，G 是CE 的中点，所以EF GI //，又DB EF //，所以DB GI //；在C F B ?中，H 是FB 的中点，所以BC HI //，又I HI GI = ，所以平面//GHI 平面ABC ，因为?GH 平面GHI ，所以//GH 平面ABC 。
B
4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆
柱，如图， AC 长为56π ， 11A B 长为3
π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.
【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．计算体积与侧面积即得.
（2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，计算C ∠OB 即得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．
圆柱的体积22V 11r l =π=π??=π，
圆柱的侧面积22112S rl =π=π??=π．
（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ，
所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．
由 11
A B 长为3
π，可知1113π∠AOB =∠A O B =， 由 C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2
π∠OB =∠AO -∠AOB =， 所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π． 5、【2016年四川高考】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12
AD 。
（I ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；
（II ）证明：平面PAB ⊥平面PBD 。
【解析】
（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：
因为AD‖BC,BC=1
2
AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.
又AB?平面PAB,CM ?平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥CD,
因为AD∥BC,BC=1
2
AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥BD.
因为AD∥BC,BC=1
2 AD，
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=1
2
AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
6、【2016年天津高考】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，
AB=2，BC=EF=1，，DE=3，∠BAD=60o，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：FG||平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
解析：（Ⅰ）证明：取BD 的中点为O ，连接OG OE ,，在BCD ?中，因为G 是BC 的中点，所以DC OG //且12
1==DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =
，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又?FG 平面BED ，?OE 平面BED ，所以//FG 平面BED .
（Ⅱ）证明：在ABD ?中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进
而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面?BD ABCD ,平面ABCD ；
平面 AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为?BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED .
（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ?中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此35sin =∠?=ADE AD AH ，在A H B Rt ?中，6
5sin ==∠AB AH ABH ，所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为
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7、【2016年全国I 卷高考】如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.
（I ）证明：G 是AB 的中点；
（II ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
P
A
B
D
C
G E
（II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.
理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以E F P A E F P ，⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.
连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3
=CD CG
由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33
==PE PG DE PC
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,==DE PE
在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF
所以四面体PDEF 的体积114222.323=
????=V
8、【2016年全国II 卷高考】 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF
交BD 于点H ，将DEF ?沿EF 折到'D EF ?的位置.
（Ⅰ）证明：'AC HD ⊥；
（Ⅱ）若55,6,,'4
AB AC AE OD ====,求五棱锥D ABCEF '-体积.
试题解析：（I ）由已知得，,.
⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得=AE CF AD CD
，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD .
（II ）由//EF AC 得1.4
==OH AE DO AD
由5,6==AB AC 得 4.==DO BO
所以1, 3.'===OH D H DH
于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.
'⊥OD OH
由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥= AC BD BD HD H ，
所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD
又由,'⊥= OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC 又由
=EF DH AC DO 得9.2
=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=??-??=S
所以五棱锥'ABCEF D -体积169342
=??=V 9、【2016年全国III 卷高考】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN 平面PAB ；
（II ）求四面体N BCM -的体积.
（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，
所以N 到平面ABCD 的距离为PA 2
1. ....9分 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .
由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=??=
?BCM S . 所以四面体BCM N -的体积3
54231=??=?-PA S V BCM BCM
N . .....12分 10、【2016年浙江高考】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；
（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.
解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，
因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以
AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，
又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以
BCK ?为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥，
所以BF ⊥平面ACFD .
（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角，
在Rt BFD ?中，32
BF DF ==，得cos BDF ∠=，
所以直线BD 与平面ACFD .
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， （2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123， ，， （D ）{10123}-， ，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ 26k x k =+∈Z （C ）()ππ 212 Z k x k = -∈ （D ）()ππ212Z k x k = +∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =， 2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin 2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…， (),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2) 文科数学 使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合{}123A =，，，{} 2|9B x x =<，则A B = （ ） A. {2,1,0,1,2,3}-- B. {2,1,0,1,2}-- C. {1,2,3} D. {1,2} 2. 设复数z 满足3z i i +=-，则=z （ ） A. 12i -+ B. 12i - C. 32i + D. 32i - 3. 函数()sin y A x ω?=+的部分图像如图所示，则 A. 2sin(2)6 y x π =- B. 2sin(2)3 y x π =- C. 2sin()6 y x π =+ D. 2sin()3 y x π =+ 4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （ ） A. 12π B. 32 3π C. 8π D. 4π 5. 设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线0k y k x =>（）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则= k （ ） A. 1 2 B. 1 C. 32 D. 2 6. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a （ ） A. 43 - B. 3 4 - C. D. 2 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ） A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （ ） A. 710 B. 58 C. 3 8 D. 310 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （ ） A. 7 B. 12 C. 17 D. 34 10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是 （ ） A. y x = B. lg y x = C. 2x y = D. 1y x = 11. 函数() = cos26cos()2 f x x x π +-的最大值为 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. 已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的 交点为11x y （,），22x y （,），…，m m x y （,），则1 m i i x =∑= A. 0 B. m C. 2m D. 4 m 姓名________________ 准考证号_____________ --------在 --------------------此-------------------- 卷--------------------上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g. 2016年高考数学全国二卷(理科)完美版 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， （2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123， ，， （D ）{10123}-， ，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为 A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512 2016年全国高考文科数学(全国1卷word 最强解析版) 1 / 17 2016年全国文科数学试题(全国卷1） 第I 卷（选择题） 1．设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B 【解析】 试题分析：集合A 与集合B 公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，选B. 考点：集合运算 2．设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】 试题分析：设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得 3-=a ，选A. 考点：复数的概念 3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ） 13 （B ）12 （C ）13 （D ）56 【答案】A 【解析】 试题分析：将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为3 1，选A. 考点：古典概型 4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3 A = ，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】 试题分析：由余弦定理得3222452 ???-+=b b ，解得3=b （3 1 -=b 舍去），选D. 考点：余弦定理 5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为 2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学文 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）e=（ ） A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5} 【答案】 C 考点：补集的运算. 2. 已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l D.m ⊥n 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意知,l l αββ=∴?，,n n l β⊥∴⊥．故选C ． 考点：线面位置关系. 3. 函数y =sin x 2的图象是（ ） 【答案】D 【解析】 试题分析：因为2 sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π = ，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D. 考点：三角函数图象. 4. 若平面区域30, 230,230x y x y x y +-≥?? --≤??-+≥? 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） 【答案】B 考点：线性规划. 5. 已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --< D. (1)()0b b a --> 【答案】D 【解析】 试题分析：log log 1>=a a b a ， 当1>a 时，1>>b a ，10,0∴->->a b a ，(1)()0∴-->a b a ； 当01<a b a ．故选D ． 考点：对数函数的性质. 6. 已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 2019真题汇编--立体几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ， △ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图， 该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 2016年全国高考理科数学试题全国卷2 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8 4、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( ) A ．–43 B ．–3 4 C ． 3 D ．2 5、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路 径条数 为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π 个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x=k π2–π6(k ∈Z) B ．x=k π2+π6(k ∈Z) C ．x=k π2–π12(k ∈Z) D ．x=k π2+π 12(k ∈Z) 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( ) A ．7 B ．12 C ．17 D ．34 9、若cos(π 4–α)=35 ，则sin2α= ( ) A ．7 25 B ．15 C ．–15 D ．–7 25 10、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n 11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=1 3,则E 的离心率为( ) A ． 2 B ．3 2 C ． 3 D ．2 12、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1 x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )， 则 1 ()m i i i x y =+=∑( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=5 13，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。 (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n 。 (3)如果α∥β，m ?α，那么m ∥β。 (4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7} 2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（） A．B．C．D． 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（） A．B．C．2 D．3 5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（） A．B．C．D． 6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（） A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣） 7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（） A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b 9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（） A．B． C．D． 10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题） 1 1 1 1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. （1）已知 z = (m + 3) + (m - 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 （A ） (-3 ， ) （B ） (-1，3) （C ） (1, +∞ ) （D ） ( ∞ ，- 3) （2）已知集合 A = {1, 2 , 3} ， B = {x | ( x + 1)(x - 2) < 0 ，x ∈ Z } ，则 A U B = （A ） { } （B ） {1，2} （C ） {0 ， ，2 ，3} （D ） {-1，0 ， ，2 ，3} r r r r r （ 3）已知向量 a = (1,m ) ，b =(3, -2) ，且 (a + b ) ⊥ b ，则 m= （A ） -8 （B ） -6 （C ）6 （D ）8 （4）圆 x 2 + y 2 - 2 x - 8 y + 13 = 0 的圆心到直线 ax + y - 1 = 0 的距离为 1，则 a= 4 3 （A ） - （B ） - （C ） 3 （D ）2 3 4 （5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(完整版)2019数学高考试题分类汇编 立体几何
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