2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学文
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）e=（ ） A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6}
D.{1，2，3，4，5}
【答案】
C
考点：补集的运算.
2. 已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A.m ∥l B.m ∥n
C.n ⊥l
D.m ⊥n
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知,l l αββ=∴?，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．
考点：线面位置关系.
3. 函数y =sin x 2的图象是（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：因为2
sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π
=
，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D. 考点：三角函数图象.
4. 若平面区域30,
230,230x y x y x y +-≥??
--≤??-+≥?
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
【答案】B
考点：线性规划.
5. 已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<
D. (1)()0b b a -->
【答案】D 【解析】
试题分析：log log 1>=a a b a ，
当1>a 时，1>>b a ，10,0∴->->a b a ，(1)()0∴-->a b a ；
6. 已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：充分必要条件.
7. 已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R .（ ） A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2b f a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b f a ≥，则a b ≥ 【答案】B 【解析】
试题分析：由已知可设2(0)()2(0)-?≥?=?
()2(0)-?≥?=?
情况即可．若()2≤b
f a ，则22≤a b ，所以≤a b ．故选B ．
考点：函数的奇偶性.
8. 如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且
*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ， *1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .
(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)
若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）
A.{}n S 是等差数列
B.{}2n S 是等差数列
C.{}n d 是等差数列
D.{}
2
n d 是等差数列
【答案】A
考点：新定义题、三角形面积公式.
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
【答案】80；40．
【解析】
试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，
222
62244242280 S=?+?+??-?=
表，3244240
V=+??=．
考点：三视图.
10. 已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5．
考点：圆的标准方程.
11. 已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ω?+=++>，则A =______．
1． 【解析】
试题分析：22cos sin21cos2sin2)14
x x x x x π
+=++++
，所以 1.A b ==
考点：三角恒等变换.
12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．
【答案】－2；1． 【解析】
试题分析：3
2
3
2
3
2
3
2
()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，
23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，
所以2232
23
203a b a ab a b a a --=??
+=??-=--?
，解得21a b =-??=?．
考点：函数解析式.
13．设双曲线x 2
–2
3
y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|
的取值范围是_______．
【答案】．
考点：双曲线的几何性质.
14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．
所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n
?=uuu r r
uuu r r
cos 1α=时，cos θ
取最大值9
考点：异面直线所成角.
15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．
【解析】
考点：平面向量的数量积和模.
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =
2
3
，求cos C 的值． 【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27
C =. 【解析】
试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力． 试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，
故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，
又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此，A π=（舍去）或2A B =， 所以，2A B =.
（2）由2cos 3B =
，得sin 3
B =，2
1cos 22cos 19B B =-=-，
故1cos 9A =-
，sin A =
22cos cos()cos cos sin sin 27
C A B A B A B =-+=-+=
. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.
17. （本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；
（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.
【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*
2,13511,2,2
n n n T n n n n N =?
?
=?--+≥∈?
?
.
考点：等差、等比数列的基础知识.
18. （本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.
（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；
（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明详见解析；（2）
7
.
考点：空间点、线、面位置关系、线面角.
19. （本题满分15分）如图，设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；
（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.
【答案】（1）p=2；（2）()
(),02,-∞+∞.
考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.
20. （本题满分15分）设函数()f x =3
1
1x x
+
+，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）
34<()f x 32
≤. 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 【解析】
试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决
问题的能力.第一问，利用放缩法，得到411
11x x x
-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤
， 再结合第一问的结论，得到()3
4
f x >， 从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4
4
2
3
111,11x x x x x x x
----+-=
=--+
考点：函数的单调性与最值、分段函数.