§3、2 量子力学初步
3．2．1、 物质的二象性
①光的二象性：
众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。
一个光子的能量： E=hv v 是光的频率，h 是普朗克常数
光子质量： 22c hv c E m == 秒焦??=-341063.6h
光子动量：
c hv
mc P =
= ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是
λh
p hv E =?=
自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。
物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大，
则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。
例1、试估算热中子的德布罗意波长。（中子的质量
kg m n 271067.1-?=）热中子是指在室温下（T=300K ）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能
eV
J kT 038.01021.63001038.123232123=?=???==--ερ 它的方均根速率
s m m v n 32721107.21067.11021.622?≈???==--ε，相应的德布罗
意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734
=???==--λ
这一波长与X 射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。
3．2．2、海森伯测不准原理
设一束自由粒子朝z 轴方向运动，每一个粒子的质量为m ，速度为v ，沿z 轴方向的动量P=mv 。这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z 轴垂直的波阵面上沿任何一个方向（记为x 方向）的动量取0=x p 精确值。波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现的概率相同，这意味着粒子的x 位置坐标可取任意值，或者说粒子的x 位置坐标不确定范围为∞→?x 。为了在波阵面的某个x 位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做：在波阵面的前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x 轴垂直的狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x ，那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x 位置不确定范围为△
x 。△x 越小，通过狭缝粒子以x 位置就越是确定。然而问题在于物质波与光波一样。通过狭缝即会发生衍射，出射波会在缝的上、下两侧散开，或者说通过狭缝的粒子既有可能继续沿x 轴方向运动，也有可能朝x 轴正方向或负方向偏转地向前运动。偏向的粒子必对应地取得x 方向的非零动量，即有0≠x p ，这表明出射粒子在x 方向的动量不再一致地为0=x p ，因此x 方向动量有不确定性，不确定范围可记为x p ?。缝越窄，△x 越小，粒子的x 位置越接近准确，但衍射效应越强，x p ?越大，粒子的x 方向动量值越不准确。反之，缝越宽，△x 越大，粒子的x 位置越不准确，但衍射效应越弱，x p ?越小，粒子的x 方向动量值越准确。总之，由于波动性，使粒子的x 位置和x 方向动量x p 不可能同时精确测量，这就是测不准原理。
由近代量子理论可导出△x 与x p ?之间的定量关系，这一关系经常可近似地表述为：
≥???x p x h
对y 和z 方向，相应地有：
h p y x ≥???, h p z x ≥??
有时作为估算，常将上述三式再近似取为：
h p z h p y h p x z y x =??=??=???,,
在经典力学中，运动粒子任意时刻的位置和动量或者说速度都可以精确测定，粒子的运动轨道也就可以确定。在量子理论中，运动粒子在任意时刻的位置和动量或者说速度不能同时精确测定，粒子的运动轨道也就无法确定。微观世界中，粒子的运动轨道既然不可测，也就失去了存在的意义。如在经典力学中，可以说氢原子中的电子绕核作圆轨道或椭圆轨道运动。
在量子力学中，只能说粒子在核周围运动，某时刻电子的位置可能在这里，也可能在那里。描述这种可能性的概率有一个确定的分布。即使在这一时刻于某一位置“捕捉”到了该电子，也不能预言下一时刻该电子会出现在什么位置，因为电子的运动没有可供预言的轨道。经典力学中一个粒子可静止在某一确定的位置，量子力学则否定了这种可能性。据测不准原理，如果一个粒子在x 、y 、z 坐标完全确定，即△x=△y=△z=0，那么它的x 、y 、z 方向动量均不可为零，否则0=?=?=?z y x p p p ，与上面给出的关系式显然会发生矛盾。
例2、实验测定原子核线度的数量级为m 1410-。试应用测不准原理估算电子如被束缚在原子核中时的动能。从而判断原子核由质子和电子组成是否可能。
取电子在原子核中位置的不确定量m r 1410-≈?，由测不准原理得
s m kg r h p ??=?=≥?---201434
1063.6101063.62π
由于动量的数值不可能小于它的不确定量，故电子动量
kg p 201063.6-?≥考虑到电子在此动量下有极高的速度，由相对论的能量动量公式
402222c m c p E +=
故 J c m c p E 114202102-?≈+=
电子在原子核中的动能
MeV j c m E E K 1251021120=?≈-=-。理论证明，电子具有这么大的动能足以把原子核击碎，所以，把电子禁锢在原子核内是不可能的，这就否定了原子核是由质子和电子组成的假设。
3.2.3 量子力学的基本规律——薛定谔方程
波函数是描写微观粒子的基本物理量，波函数所遵从的规律，就是量子力学的基本规律，它将决定粒子函数的特征，从而决定粒子的运动状态。正像在经典力学学里，粒子的位置和动量描写粒子的运动状态，牛顿运动定律决定了粒子的位置和动量如何变化，因而牛顿运动定律是经典力学的基本规律。
奥地利物理学家薛定谔（1887~1961）在1926年找到了ψ遵从的规律，称为薛定谔方程。在应用数学形式描述电子的波粒二象性上，他从麦克斯韦电磁理论得到启发，认为电子的德布罗意波也可以应用类似于光波的方式加以描述。这个方程既描述了电子的波动行为，又蕴涵着粒子性特征。写出并求解薛定谔方程，超出本书的范围。不过，我们可以讨论一下有关结论。
波函数ψ必须满足一些物理条件：作为描写粒子运动状态的应ψ是时空坐标的单值函数，变化应是连续的，不能变为无限大，即应有界。这样，薛定谔方程的解，不但成功地解释了玻尔原子理论所能解释的现象，而且能够解释大量玻尔理论所不能解释的现象。玻尔的基本假设，在量子力学里是从理论上推导出来的必然结果。原来，在薛定谔方程中，只有原子中电子具有某些不连续的能量值时，方程的解才满足上述物理条件。由薛定谔方程解中得出的氢原子中电子能量的可能值，正好就是玻尔原子理论给出的值。
3.2.4概率密度与电子云
我们将以原子的稳定态为例，讨论一下由波函数所决定的电子在原子中的概率密度，这波函数就是由薛定谔方程求解出来的。因为是稳定态，
所以和时间无关，说明在任何时候，电子出现在任一处的概率密度都相同。例如，氢原子处在基态时，电子经常出现的概率最大的地方，是以原子核为中心的一个球壳，这个球壳的半径为101053.0-?米，这个数值与玻尔原子理论计算出来的基态轨道半径相同，可见，玻尔的原子轨道只不过电子出现概率最大的地方。
电子核外的运动情况，通常用电子云来形象地描述。用小黑点的稠密与稀疏，来代表电子核外各处单位体积中出现的概率（即概率密度）的大小，这样就可以画出原子的电子云图。图11-8是氢原子基态的电子云。
看一下以核为中心的一层层很薄的球壳中电子出
现的概率，在靠近原子核的地方，虽然云雾浓度较大，
小黑点稠密，但是靠近原子核的一个薄球壳中包含的
小黑点的总数不会很多，即电子出现在这个球壳中的
概率不会很大，因为这个球壳的体积较小。在远离原
子核的地方，球壳的体积虽然较大，但是小黑点稀疏，因而出现在这个球
壳中的概率不会很大。经过计算知道，在半径为1011053.0-?=r 米的一薄的
球壳中电子出现的概率最大，1r 就是玻尔理论中氢原子基态的轨道半径。
3.2.5 量子学的应用和发展
量子力学建立后，应用它计算氢原子的光谱，获得巨大成功，其理论计算与实验结果完全符合。量子力学不仅可以正确地解释氢原子光谱，而且，还可以说明复杂原子的构造，解释复杂原子的光谱。这确实表明，量子力学是微观粒子所遵从的规律。
在量子力学发展的早期，就认识到它的应用不限于电子，对其它粒子也
一样适用。1927年，美国物理学家康登应用量子力学解释了α衰变现象。这又称为隧道效应。在α粒子放射体中α粒子被约束在原子核内，其能量小于核对它的结束能量——势垒，按照经典理论，α粒子是不可能穿出原子核的。但是，按照量子力学，α粒子有穿过势垒的概率。这个概率即使很小，但不为零。对大量的原子核来说，总会有一小部分原子核的α粒子，穿透势垒而发射出来。理论计算为实验数据所证实。
量子力学在建立之初，就用于研究分子的结构。美国物理学家和化学家泡利阐明了化学键的本性，就是以量子力学为依据的。比如，对22,H N ,CO 等分子，原子之间的相互作用是量子力学效应。当两个氢原子互相靠近时，它们能量的减小在于相互吸引作用，而这是由于两个原子共享两个电子造成的。和电子波函数的对称性密切相关。量子力学可以算出2H 分子的平衡
距离为110104.7-?=r 米，两个氢原子结合成氢分子时释放的能量为4.52电
子伏。同样，量子力学也解释了共价键以外的结合键。这里不作具体介绍。
凝聚态物理，如液体和固体的构造理论，其导电与导热性能的解释，也是建立在量子力学基础之上的。比如研究电子在晶体中的运动，因为晶体点阵的周期性结构。电子受的力也具有空间的周期性，量子力学能揭示电子在晶体中的运动状态，就像一个原子中的电子可以处在不同的能级上，在固体中，电子可以在不同的能带上，能带有一定的宽度，代表一个能量范围。这就是能带理论。应用能带理论，可以成功地解释金属和半导体的导电特性。在近代，其实际应用几乎随处可见。
薛定谔方程是非相对论的，不能应用于高速的微观粒子。1928年，狄拉克建立了相对论的量子力学方程，称为狄拉克方程。它不仅成功地说明电子
自旋的存在，而且还证明，对于每一种粒子，都存在相应的反粒子。电子的反粒子带正电，其他性质都和电子相同。1932年，美国物理学家安德森从宇宙射线中发现了正电子，证明了狄拉克理论的正确性，这是基本粒子广泛研究的开始。
一个光子的能量： E=hv v 是光的频率，h 是普朗克常数 光子质量： 22c hv c E m == 秒焦??=-341063.6h 光子动量： c hv mc P = = ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是 λh p hv E =?= 自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。 物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大，则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来
表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。 例1、试估算热中子的德布罗意波长。（中子的质量 kg m n 271067.1-?=）热中子是指在室温下（T=300K ）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能 eV J kT 038.01021.63001038.123232123=?=???==--ερ 它的方均根速率 s m m v n 32721107.21067.11021.622?≈???== --ε，相应的德布罗 意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734 =???==--λ 这一波长与X 射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。 3．2．2、海森伯测不准原理 设一束自由粒子朝z 轴方向运动，每一个粒子的质量为m ，速度为v ，沿z 轴方向的动量P=mv 。这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z 轴垂直的波阵面上沿任何一个方向（记为x 方向）的动量取0=x p 精确值。波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现的概率相同，这意味着粒子的x 位置坐标可取任意值，或者说粒子的x 位置坐标不确定范围为∞→?x 。为了在波阵面的某个x 位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做：在波阵面的前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x 轴垂直的狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x ，那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x 位置不确定范围为△x 。△x 越小，通过狭缝粒子以x 位置就越是确定。然而问题在于物质波与光波一样。通过狭
第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律：
量子力学初步 1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ ，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψ 须满足的条件是_______________________________； 其 归 一 化 条 件 是 _______________________________. 2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变) 3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为 ()()30x x x a a πψ= << 粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________. 4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ?= _________N·s. (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s) 5. 波长λ= 5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ?= 10-3 ?，则利用不确定关系式x p x h ??≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________. 6. 粒子做一维运动，其波函数为 ()00 x Axe x x x λψ-≥= ≤ 式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________. 7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现. 8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________. 9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而
第三章 量子力学初步 3.1 波长为ο A 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得： 动量为：1 24 10 34 10 63.610 1063.6----???=?= = 秒 米千克λ h p 能量为：λ/hc hv E == 焦耳 15 10 834 10 986.110 /10310 63.6---?=???=。 3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？ 解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系： meV h 2/ =λ 对于电子：库仑 公斤，19 31 10 60.110 11.9--?=?=e m 把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得： ο οο λA A A V 1225.010000 25.1225.12== = 对于质子，库仑 公斤，19 27 10 60.110 67.1--?=?=e m ，代入波长的 表示式，得：ο λ A 3 19 27 34 10 862.210000 1060.110 67.1210 626.6----?=??????= 3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来ο λ A V 25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系 式应改为： ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。 证明：德布罗意波长：p h /=λ
对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：2 22 02 2c p c Km K =+ 而被电压V 加速的电子的动能为：eV K = 2 2 002 2 2 /)(22)(c eV eV m p eV m c eV p += += ∴ 因此有： 2 002112/c m eV eV m h p h + ?= =λ 一般情况下，等式右边根式中2 02/c m eV 一项的值都是很小 的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得： )10 489.01(2)41(26 02 00V eV m h c m eV eV m h -?-= - = λ 由于上式中ο A V eV m h 25.122/0≈ ，其中V 以伏特为单位，代回原 式得： ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。 3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。
第三章 量子力学初步 一、学习要点 1．德布罗意假设： (1)内容： ων ==h E , n k k h p λ πλ2,=== (2)试验验证：戴维孙—革末试验 电子 λ=V meV h 26 .122≈（?） 2．测不准关系：2 ≥???x p x , 2 ≥???E t ； 3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件 薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态 4量子力学对氢原子的处理 轨道角动量()1,,2,1,0,1-=+=n l l l p l ，l 称为轨道角量子数， 轨道角量子数l =0 1 2 3 4 … 电 子 态 s p d f g … 原 子 态 S P D F G … 能量()n hcT n hc R n e m E e n --=-=∞22 224220Z 2Z )41 ( πε，n ＝１.2.3…… 轨道投影角动量()l l l l m m p l l lz ,1,,1,0,,1,,----== ，称轨道磁量子数，表征轨道角动量对外场方向的取向，轨道角动量对外场方向的投影图 描述电子空间运动的三个量子数l m l n ,,的名称、取值范围、所表征的物理量表达式 二、基本练习 1．楮书 P 113习题①②③ 2．选择题 （1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了： A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性 (2)德布罗意假设可归结为下列关系式： A .E=h υ， p =λh ; B.E=ω ，P=κ ; C. E=h υ ，p =λ ; D. E=ω ，p=λ (3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压： A ．11.51?106V ； B.24.4V ； C.24.4?105V ； D.15.1V (4）基于德布罗意假设得出的公式V 26 .12=λ ?的适用条件是： A.自由电子，非相对论近似； B.一切实物粒子，非相对论近似； C.被电场束缚的电子，相对论结果； D 带电的任何粒子，非相对论近似 (5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为
(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练 10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1 -)． (B) (2，0，0，21)． (C) (2，1，-1，2 1 -)． (D) (2，0，1，21)． ★提示：2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1，只有答案（C ）满足。 [ C ]2. （基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3. （自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4. （自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如图19-6所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ★提示：隧道效应。 二. 填空题 1. （基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___4___． ★提示：主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子（电子组态为2622s p ），如 仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。 图 19-6
§3、2 量子力学初步 3．2．1、 物质的二象性 ①光的二象性： 众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。 一个光子的能量： E=hv v 是光的频率，h 是普朗克常数 光子质量： 22c hv c E m == 秒焦??=-341063.6h 光子动量： c hv mc P = = ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是 λh p hv E =?= 自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。 物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大，
则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。 例1、试估算热中子的德布罗意波长。（中子的质量 kg m n 271067.1-?=）热中子是指在室温下（T=300K ）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能 eV J kT 038.01021.63001038.123232123=?=???==--ερ 它的方均根速率 s m m v n 32721107.21067.11021.622?≈???==--ε，相应的德布罗 意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734 =???==--λ 这一波长与X 射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。 3．2．2、海森伯测不准原理 设一束自由粒子朝z 轴方向运动，每一个粒子的质量为m ，速度为v ，沿z 轴方向的动量P=mv 。这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z 轴垂直的波阵面上沿任何一个方向（记为x 方向）的动量取0=x p 精确值。波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现的概率相同，这意味着粒子的x 位置坐标可取任意值，或者说粒子的x 位置坐标不确定范围为∞→?x 。为了在波阵面的某个x 位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做：在波阵面的前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x 轴垂直的狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x ，那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x 位置不确定范围为△
量子力学发展历程 摘要：量子理论是在普朗克为了克服经典理论解释黑体辐射规律的困难，引入能量子概念的基础上发展起来的，爱因斯坦提出光量子假说、运用能量子概念使量子理论得到进一步发展。玻尔、德布罗意、薛定谔、玻恩、狄拉克等人为解决量子理论遇到的困难，进行了开创性的工作，先后提出电子自旋概念，创立矩阵力学、波动力学，诠释波函数进行物理以及提出测不准原理和互补原理。终于在1925年到1928年形成了完整的量子力学理论，与爱因斯坦的相对论并肩形成现代物理学的两大理论支柱。 关键词：量子力学；量子理论；矩阵力学；波动力学；测不准原理 量子力学(Quantum Mechanics)是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学揭示了微观物质世界的基本规律，为原子物理、固体物理学、核物理学和粒子物理学奠定了基础。它能很好地解释原子结构、原子光谱的规律性、化学元素的性质，光的吸收与辐射等等方面。从1900年到1913年量子论的早期提出，到经过许多科学家如玻恩、海森伯、玻尔等人的努力诠释，量子力学得到了进一步发展。后来遭到爱因斯坦和薛定谔等人的批评，他们不同意对方提出的波函数的几率解释、测不准原理和互补原理。双方展开了一场长达半个世纪的论战，至今尚未结束。 1 普朗克的能量子假设 普朗克在黑体辐射的维恩公式（u = b(λ^-5)(e^-a/λT)）和瑞利公式（u = 8π(υ^2)kT / c^3）之间寻求协调统一，找到了与实际结果符合极好的内插公式，迫使他致力于从理论上推导这一新定律。1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。 2光电效应和固体比热的研究 普朗克的出能量子假说具有划时代的意义，但是，不论是他本人还是同时代人当时对这一点都没有充分认识。爱因斯坦最早明确地认识到，普朗克的发现标志了物理学的新纪元.1905年，爱因斯坦在其论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》中，发展了普朗克的量子假说，提出了光量子概念，并应用到光的发射和转化上，很好地解释了光电效应等现象。在那篇论文中，爱因斯坦总结了光学发展中微粒说和波动说长期争论的历史，提示了经典理论的困境，提出只要把光的能量看成不是连续的，而是一份一份地集中在一起，就可以作出合理的解释。与此同时，他还大胆地提出了光电方程，当时还没有足够的实验事实来支持他的理论，因此，爱因斯坦称之为“试探性观点”。但他的光量子理论并没有及时地得到人们的理解和支持，直到1916年，美国物理学家密立根对爱因斯坦的光电方程作出了全面的验证，光量子理论才开始得到人们的承认。1906年，爱因斯坦将普
(不确定关系、薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、 能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 二. [ A ] 1.（基础训练8 ）设粒子运动的波函数图线 分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 【提示】: 根据动量的不确定关系：2 x x p ???≥ ， 图(A)对应的粒子位置的不确定量大，则动量的不确定 量小。 [ C ] 2.（基础训练10） 氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1- )． (B) (2，0，0，21 )． (C) (2，1，-1，2 1-)． (D) (2，0，1，21 )． 【提示】：2p 电子：n ＝2，l =1。 [ C ] 3.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ A ] 4.（自测提高5）已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ, ( - a ≤x ≤a ) 那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a )． (B) 1/a ． (C) a 2/1． (D) a /1 【提示】：25/6 1()2x a x a ψ== [ B ] 5.（自测提高7）一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ．应用测不准关系估计 势阱中质量为m 的粒子的零点能量为 (A) )/(2 ma ． (B) )2/(2 2 ma ． (C) )2/(2 ma ． (D) )2/(2 ma ． ［ ］ x (A) x (B) x (C) x (D) 图 19-4
第十九章量子力学简介（Ⅱ） (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ ]1.（基础训练10）氢原子中处于2p状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，m l，m s)可能取的值为 (A) (2，2，1，)． (B) (2，0，0，)． (C) (2，1，-1，)． (D) (2，0，1，)． [ ]2.（基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ ]3.（自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ ]4.（自测提高9）粒子在外力场中沿x轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为E< U0从左向右运动的粒子，若用ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x
二. 填空题 1.（基础训练17）在主量子数n=2，自旋磁量子数的量子态中，能够填充的最大电子数是_________． 2.（基础训练20）在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下： (1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． 3.（自测提高16）有一种原子，在基态时n= 1和n= 2的主壳层都填满电子，3s次壳层也填满电子，而3p壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 4.（自测提高17）在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态： (1) n =2，l =_____，m l= -1，． (2) (2) n =2，l =0，m l =_____，． (3) n =2，l =1，m l = 0，m s = ． 三. 计算题 1.（自测提高22）已知粒子处于宽度为a的一维无限深方势阱中运动的波函数为 ，n = 1, 2, 3, … 试计算n = 1时，在x1 = a/4 →x2 = 3a/4区间找到粒子的概率。
第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,) ? r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如?() H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger &&方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger &&方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值 _______________。 1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为 ， 归一性的表达式为 。 1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为2 247m a h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2 2 43m a h 的简并度是_____，E '=2 2827m a h 的简并度是______________。
1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p （1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 是概率密度函数， 12 dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年） 4.量子力学与经典力学的比较：
量子力学经典力学 研究对象在t时刻的位置 无法确定 只能确定在dx x x ~的出现概率 可以确定 t时刻的动量和速度 无法确定，速度无意义 只能确定具有dp p p ~的概率 且不可同时确定位置和动量 位置、动量和速度 同时确定 研究对象的状态的描述波函数（复函数） 或态矢量 （复矢量） t p t r ,（实矢量函数） 状态的 演化方程 薛定谔方程（复系数方程）牛顿第二定律（实系数方程）观测行为 会影响对象 （只有时间测量不影响） 不会影响对象 测量精度 受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定 可达到任意高 可以同时测定所有物理量 预测的 测量结果 某个结果出现的概率确定的值 实际的测量结果 确定的值 或可能取值的统计平均 确定的值 *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态 的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节
半导体器件物理 第一章：半导体材料 就其导电性而然，半导体材料的导电性能介于金属和绝缘体之间。半导体基本可以分为两类：位于元素周期表IV族的元素半导体和化合物半导体。大部分化合物半导体材料是Ⅲ族和V族元素化合而成的。表1.1是元素周期表的一部分，包含了最常见的半导体元素。表1.2给出了较为常用的某些半导体材料。 表1.1部分半导体元素周期表 表1.2半导体材料 由一种元素组成的半导体称为元素半导体，如Si和Ge。硅是制作半导体器件和集成电路最常用的半导体材料。
由两种或两种以上半导体元素组成的半导体称为化合物半导体，如GaAs或GaP是由Ⅲ族和Ⅴ族元素化合而成的。
其中GaAs是应用最为广泛的一种化合物半导体材料，它具有较高的载流子迁移率，因此一般应用在制作高速器件或高速集成电路的场合。 1.1半导体的价键和价电子 硅是用于制作半导体器件和集成电路的重要材料之一，它具有金刚石晶格结构，是IV族元素； 锗也具有金刚石晶格结构，也是IV族元素。其它化合物半导体材料如砷化镓具有闪锌矿晶格结构。 由于硅是主流集成电路工艺普遍使用的半导体材料，所以我们主要研究该材料的物理特性。无限多的硅原子按一定规律在三维空间上的集合就形成硅晶体（通常是形成单晶体结构）是什么因素导致硅原子的集合能够形成特定的硅晶格结构？ 统计物理学给出了答案：热平衡系统的总能量总是趋于达到某个最小值。原子间价键的作用使它们“粘合”在一起形成晶体。 原子间的相互作用倾向于形成满价壳层。元素周期表中的Ⅳ族元素Si和Ge，其原子序数是14，包围着硅原子有3个电子壳层，最外层壳层上有4个价电子，需要另外4个价电子来填满该壳层。当硅原子组成晶体时，最外层壳层上的4个价电子与紧邻的硅原子的最外层4电子组成共价键。
第1章、 量子力学基础 1.1 量子力学和量子光学发展简史 1900，Planck （普朗克），黑体辐射，能量量子化： h εν= 1905，Einstein （爱因斯坦）, 光电效应，光量子–光子： E h ν=， h p λ= （h h E p c c νλ===） 1913，Bohr （玻尔）, 原子光谱和原子结构，定态、量子跃迁及跃迁频率： ()/mn m n E E h ν=- 1923， de Broglie （德布罗意）, 物质粒子的波动性，物质波： E h ν=，h p λ= 1925， Heisenberg （海森堡）， 矩阵力学 1926, Schr?dinger （薛定谔）, 波函数(),r t ψ ，波动方程- Schr?dinger 方程，波动力学: ()(),,i r t H r t t ψψ?=? 1926， Born （波恩）, 波函数的统计诠释：()2 ,r t ψ 为概率密度， ()2,1dr r t ψ=? 1926， Dirac （狄拉克），狄拉克符号、态矢量ψ、量子力学的表象理论 1927， Dirac ，电磁场的量子化 1928， Dirac ，相对论性波动方程 至此，量子力学的基本架构已建立，起初主要用其处理原子、分子、固体等实物粒子问题。尽管量子力学在处理实际问题中获得了巨大成功，但是关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论，最著名的有： 1935， Schr?dinger 猫态 1935， EPR 佯谬 1960 前后，量子理论用于电磁场：量子光学 1956， Hanbury Brown 和Twiss ，强度关联实验 1963， Glauber （2005年诺奖得主），光的量子相干性 1963， Jaynes & Cummings, J-C 模型：量子单模电磁场与二能级原子的相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax 三个主要学派） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光、超荧光、超辐射 1980’s ，光学双稳态 1990’s ，光场的非经典性质（反群聚效应、亚泊松分布、压缩态）、
第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 )] r ()r ()r ()r ([m 2i ] e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i ) (m 2i J e )r ( ) t (f )r ()t r (**Et i Et i **Et i Et i **Et i ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（， 可见t J 与 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： i k r i k r e r e r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21 在球坐标中 ? θθ?θ?? +??+??=?s i n r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr 3 020 220 1* 1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 ) (2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1 与同向。表示向外传播的球面波。
r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i ) (m 2i J )2(3020 220 ik r ik r ik r ik r * 2*222 -=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ 可见，r J 与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∞==? ? ∞ ∞ dx dx ψψ* ∴波函数不能按1) (2 =? dx x ψ方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 12 ==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 ??? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，， ，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为 Ⅰ： )()()()(2 011122 2x E x x U x dx d m x ψψψ=+- < ① Ⅱ： )()(2 0 222 2 2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332 2 2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+- > ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ
《量子力学》基础习题 1．在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 2．氦原子的动能是 kT E 23 = （k 为玻耳兹曼常数），求K T 1=时，氦原 子的德布洛意波长。 3．设质量为m 的粒子在谐振子势 2221 )(x m x V ω= 中运动，用量子化条件 求粒子能量E 的可能取值。 4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。 6．由下列两定态波函数计算几率流密度； （1） ikr e r 1 1=ψ， （2） ikr e r -=12ψ 7．求粒子在一维无限深势阱 ?? ?≥≤∞<<=a x x a x x V 或0,0,0)(中运动的能 级和波函数。 8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 = '。 9．求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 10．一维运动的粒子处于如下状态： ?? ?=-0)(x Axe x λψ 00<≥x x 其中0>λ，
(1) (1) 将此波函数归一化， (2) (2) 问在何处找到粒子的几率最大？ 11．设在球坐标系中，粒子的波函数为),,(?θψr ， 求 (1)在球壳)(dr r r +→中找到粒子的几率， (2)在),(?θ方向，立体角元Ωd 中找到粒子的几率。 12． 求三维各向同性谐掁子 )(21 2222z y x U ++= μω的能级和波函数。 13．设1ψ和2ψ都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E ，试证明： =-1221 ψψψψdx d dx d constant. 14．上题中，若1ψ和2ψ描述的都是束缚态，试证明1ψ和2ψ只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即当∞→x 时有0=ψ) 15．一维线性谐振子处于基态 t i x e ωαπ αψ2 21 02 2--= ，求 （1）势能的平均值 >=< 2221 x U μω （2）动能的平均值 > =<μ22 p T （3）动量的几率分布函数。 16．氢原子处于基态 1 ),,(a r e a r - =π?θψ，求： （1）r 的平均值； （2）势能r e 2- 的平均值； （3）最可几半径； （4）动能的平均值； （5）动量的几率分布函数。