角平分线垂直平分线及辅
助线专题
Prepared on 22 November 2020
1在ABC 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿
2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（ ）
A BD+ED=BC
B DE 平分ADB ∠
C DA 平分EDC ∠
D D
E AC AD +>
3.如图ABC 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若
10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是
4.如图所示，ABC 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB 的周长为＿＿＿＿
5.在ABC 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE 的周长＿＿＿＿＿
6.如图，ABC 中，90C ∠=°，
,AC BC AD =平分CAB ∠交BC 于点D ，
DE AB ⊥，垂足为E ，且4AB =，则DEB 的周长为＿＿＿
7.如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，BE 平分
,ABC DE AB ∠⊥于D ，如果
6,10,BC cm AB cm ==求①AE DE +的长②DE 的
长
8.如图所示，105BAC ∠=°，若PM 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，求PAQ ∠的度数
9.如图，ABC 中，125BAC ∠=°，AB 边的垂直平分线交BC 于E ，垂足为M ，AC 边的垂直平分线交BC 于F ，垂足为N ，求EAF ∠的度数
10.=8ABC DE FG AC BC EAG 中，和分别是边AB 和的垂直平分线，，则的周长
11.ABC 中，AB 边的垂直平分线交BC 于E ，垂足为M ，AC 边的垂直平分线交BC 于F ，垂足为N ，BC=12，求EAF 的周长
12.在ABC 中，AB=AC DE ，，AB 的垂直平分线，与边BC 所在的直线相交所成锐角为50°，ABC B ∠的底角的大小为
13.在ABC 中，AB=AC A=50∠，°，AB 的垂直平
分线DE 交
AC 于点
D ，垂足为
E ，则
DBC ∠的度数是
14.如图，在
中，，的垂直平分线交于点，交边于点，BCE的周
cm
ABC BC=8AB AB D AC E
长等于18cm,则AC的长等于＿＿＿＿＿＿
15.如图，
∠
中，，是的垂直平分线，，，
ABC AB=AC DE AB AB=8BC=436
°，则
∠＿＿
DBC=
＿＿＿＿
BDC的周长为＿＿＿＿＿
∠∠°，
16.如图，AEB=AFC=90
交于点，，求证：平分
CF BE D BD=CD AD BAC
∠
17.如图，CE AB ⊥于点,E BD AC ⊥于点D ，BD 与CE 交与点O ，且BO=CO ，求证O 在BAC ∠的角平分线上
18.如图所示，已知,,CD AB BE AC ⊥⊥垂足分别为D 和E ，BE CD 交与点O ，且AO 平分BAC ∠，那么图中的全等三角形共有＿＿＿＿
19.如图所示，40ABC A ∠=中，°，点O 是ABC ACB ∠∠与平分线的交点，则BOC ∠的度数为＿＿＿＿＿
20.在
,ABC E ABC ACB ∠∠中，是的角平分线的交点
，
,DE BC D
⊥垂足是，ABC 的周长
为16，
1.5ED =求ABC 的面积
21.如图，ABC 的三边AB BC CA 的长分别为20，30，40，其中三条角平分线将ABD 分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S
S S 等于＿＿＿＿＿＿ [垂直平分线]
22在ABC AD 中，是BC 边上的高，E 为AB 上一点，DG 垂直平分CE ，DC=BE 求证2ABC BCE ∠=∠
23如图，ABC D BC DE BC ⊥中，是边上的中点，交BAC E ∠的平分线于，EF AB ⊥交AB 于点F ，EG AC ⊥交AC 于点G ，求证：BF=CG
[角平分线，截取相等线段]
24.在ABC 中，AB=2AC ，AD 平分,,BAC AD BD CD AC ∠=⊥求证：
在
25.2,ABC C B AD BAC AB AC CD ∠=∠∠-=中，平分，求
26如图，AB ABC ∠BCD ∠ABC 中，
90BAC ∠=°
，AB=AC ，BE 平分,ABC ∠与AC 交与D ，,CE BE ⊥求证12CE BD =
28.已知AD 平分
,BAC BD AD ∠⊥于D ，DE 36BAD ∠=BDE ∠图
,,BAD DAC AB AC CD AD D ∠=∠>⊥于，H 是BC 中点，求证：
1()2
DH AB AC =-
30如图AB=AC ，90BAC ∠=°AD 为ABC CE BE ∠⊥的平分线，求证2BD CE =
31.已知，53ABC AB AC ==中，，，D 是BC 中点，AE 是BAC ∠的平分线，且CE AE ⊥于E ，连接DE ，求DE
[角平分线，向两边作垂直]
32.如图，已知AB 〉AD ，,,180BAC FAC CD BC ADC B ∠=∠=∠+∠=求证：°
33.如图，在90ABC A ∠=中，°，AB=AC ，
ABD CBD ∠=∠求证：BC=AB+AD
34.已知ABC 的角平分线BM CN 相交于点P ，求证：BAC ∠的平分线也过点P
35.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，
EAF DAE ∠=∠求：AF=AD+CF
[角平分线+平行线]
36.如图，BC 〉BA ，BD 平分ABC ∠，且AD=CD ，求证180A C ∠+∠=°
37.如图，AB 〉AC ，,CAD BAD AB AC BD CD ∠=∠->-求证
七年级线段的垂直平分线与角平分线 一、线段垂直平分线 (一）、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 例题 1、如图，已知AB = AC = 14cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D 。 1）若△DBC 的周长为24cm ，则BC = （ ） cm ； 2）若BC = 8cm ，则△BCD 的周长是（ ）cm 。 课堂练习 1、在△ABC 中，BC=10，边BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，D ，BE=6，则△BCE 的周长是 ． （1题图） （2题图） （3题图） 2、如图,AB 是△ABC 的一条边，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，并交BC 于点D ，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____. 3、如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么 △BCD 的周长是_______cm. 4、如图，已知点D 在AB 的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC 的周长是 cm 。 5、如图（2），在ABC Rt ?中，090=∠ABC ，030=∠B ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，则图中等于060的角有 个，分别是： . C B A D E 300 D E B C A 图（2）
6、如图（3），在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，则 . 7、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是( ) 8、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线 交AC 于D ，垂足为E ．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC 的度数和CD 的长． 9、如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C 、D ， （1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？ （2）OP 是CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ 10、如图所示，点A 、点B 和点C 三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个 工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P ，请给予说明理由。 A B C 500B C N A 图（3）
二轮复习之角平分线问题 【考点一：角平分线+平行→等腰三角形】 典例1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=7，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则ED 的长为（ ） A ．4 B ．3 C ．72 D ．2 关键点分析：关注题目中有无平行线环境，这个平行线环境包括题目给出来的平行线条件，也包括平行四边形中的隐性平行线环境，在这样的题目中我们要积极地寻找等腰三角形。 模型图总结： 【考点二：角平分线+垂直→等腰三角形】 典例2.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则CD 的长是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．2 D ． 关键点分析：关注题目中有无“双重身份”的线，即角平分线还有另外一重身份“垂线”，这样的题目中图形中也都隐藏着等腰三角形，需要我们作辅助线把这个等腰三角形找出来。 模型图总结：
【考点三：见角平分线→作双垂】 典例3． 如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，∠BAC=84°，则∠BDC=_______度。 关键点分析：遇到角的平分线作双垂，应用角平分线的性质定理解题是基本的辅助线。 模型图总结： 【考点四：见角平分线→作对称】 典例4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ，若AC=3，CD=2，则AB=________。 关键点分析：轴对称性是角平分线的本质属性，所以遇到含有角平分线的题目经常需要将角平分线一侧的三角形作对称处理，利用角的轴对称性来解决问题。 模型图总结： 【模型应用】 1．已知OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，且PD=3cm ，过点P 作PE ∥OA 交OB 于E ，∠AOB=30°，求PE 的长度为_________cm 。 2． 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点M 在边CD 上，若AM 平分∠DMB ，则DM 的长是________． 3． M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC 的周长等于___________． 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）。
几何辅助线之角平分线专题1、角平分线辅助线四种基本模型 已知：AD是∠BOC的角平分线 （1）（2） （3）（4） 2、补充性质： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC
典型例题 例1、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB 例2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点. 例3、如图，AB=2AC，∠BAD=∠DAC,DA=DB ，求证：DC⊥AC。
B 例4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ， F ．求证：AD 垂直平分EF ． 例5、 如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例6、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E ，求证： BD ＝2CE 。
例7、如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 变式练习 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： ⑴如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断写出FE与FD之间的数量关系； ⑵如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由。
垂直平分线与角平分线 主讲教师：傲德 我们一起回顾 1、垂直平分线 2、角平分线 重难点易错点解析 垂直平分线 题一：AC=AD，BC=BD，则有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB 角平分线 题二：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 金题精讲 题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E． （1）若∠A=40°，求∠BCD的度数； （2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长． 题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O． （1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°． 题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB． 思维拓展 题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD． （1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥B D，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？ （2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积． 学习提醒 重点： 垂直平分线 性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等 判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上 角平分线 性质——角平分线上一点到角两边距离相等 判定——到角两边距离相等的点在角平分线上
5.角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。 分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。 分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。 例题图1 F E C B A 例题图2 G F E C B A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例题图3 D F E C B A 问题图 3 2 1E D C B A 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD = 。 分析：要证 AC AB DC BD = ，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明 AC AB DC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。 证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
1.如图，2是/ DE = DG* △ ADG*U A AED 的而枳分别为 35,见I △ EDF 的而积为( ) 2 - A ?25 B ? 5.5 C ? 7.5 2?如图f 是ZAOB 平分线OC 上一点f D 丄OB,垂足为D, 若PD=2M 点P 到边OA 的距离是 3?如图,AABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,M 三条角平分线将Z\ABC 分为 三个三角形，则 S. .ABO : S A BCO : S/.CAO ，： .r \ ' _______________ ? 4. （2016?怀化）如图,OP 为Z AOB 的角平分线，PC 丄OA, PD 丄OB,垂足分别是C, D,则下 列结论错误的是（） 4 PC=PD B ? ZCPD=Z DOP C ? ZCPO = Z DPO D ? OC = OD 5. （2016?淮安）如图，在PtAABC 中，ZC=90°,以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分 别交AC, AB 于点M, N,再分别以点M, N 为圆心，大于扌MN 的长为半径画弧，两弧交于 点P ，作射线AP 交边BC 于点D,若CD=4, AB = 15,则厶ABD 的面积是（ 6. 如图，AABC 中，ZC=90°, AD 平分Z BAC 交BC 于点D ?已知BD ： CD = 3 ： 2，点D 到 AB 的距禽是6,则BC 的长是 _________ 7. 如图所示，已知AABC 的周长是20, OB, OC 分别平分Z ABC 和Z ACB, OD 丄BC 于点D, 且OD = 3,贝U ABC 的面积是. _______ 之定理专题（基础题） B.2 C. 4 1 5 B. 30 C ? 45 D ? 60 () 為DF 丄AB ，垂足为& A D. B D B O A D H
第二节 证明（二） ——垂直平分线与角平分线 【知识要点】 1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗? 4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗? 【典型例题】 # 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，求BCE ?的周长． # 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的 垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ， AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF A
# 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD # 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线． A E F B D C
例5 如图，P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线PG 上 一点，且A PBC ∠=∠2 1 ．BP ，CP 的延长线分别交 AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD 例6 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3， 21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD C G A E B D P
例7 如图，已知 AD 是 ABC ?中A ∠的平分线， DE ABC ?ο 60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο120=∠BDC ο60AMN ?AMN ?ABC ?AOC MON ∠=∠2MBN ?AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ?PAB ?ABC ?BC DE ⊥ο25=∠B ο25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο40=∠A DBC ∠ABC ?ο120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ? # 7．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ． # 8．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ? 的周长为 ． # 9．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分 ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线， 且DE=1cm ，则AC= cm. 10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ?为等边三角形．
线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 图1 图2
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 课堂笔记： 针对性练习： ：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是 例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。 课堂笔记： 针对性练习： 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线 例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底 B D E B A C O N A
专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法 类型之一线段垂直平分线的辅助线作法 1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB ＋BC＝BE，则∠B的度数是() A．45°B．60°C．50°D．55° 图4－ZT－1 2．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________． 图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数． 图4－ZT－3 4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．
图4－ZT－4 类型之二角平分线的辅助线作法 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC＝8 cm，则点D到AB的距离是() A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 图4－ZT－5 6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于() A．10 B．7 C．5 D．4 图4－ZT－6 类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法 7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB 和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角
角平分线与垂直平分线知识点 一、角平分线 1.角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义） ∵AD是∠CAB的角平分线 1∠CAB ∴∠CAD=∠B AD= 2 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质） ∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB ∴DC=DB 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定） ∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB ∴点D在∠CAB的角平分线上。 二、角平分线图模（对称性） 1、角平分线作垂线 角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现” 若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到?OAP≌?OBP（AAS）。
2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。 若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，?OAP≌?OBP（ASA）。 3、角平分线+斜线：“截等长构造全等” 若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。 4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现” 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边 可以得到△POQ是等腰三角形。 5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”
6、夹角模型 ①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=90°+1 2∠A． ②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则： ∠P=1 2∠A． ③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则： ∠D=90°-1 2∠B． 在∠AOB中，画角平分线： 1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。 2.分别以点M，N为圆心，以大于1 2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。 3.作射线OP。射线OP就是所求作的∠AOB的角平分线。 三、垂直平分线（中垂线）
中垂线 判断 ( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形. ( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内. ( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点. ( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°. ( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点. ( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上. 选择 1.到三角形三个顶点距离相等的是( ) A.三条中线交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点 2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( ) A.17° B.34° C.68° D.136° 4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( ) A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( ) A．6个 B.5个 C.4个D3个 填空 1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上. 2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= . BE= . 3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则 BC 4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= . 5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= . 6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的. 角平分线同步练习 判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴 填空题 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.
线段的垂直平分线与角的平分线 一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD
线段的垂直平分线 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相 等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝ BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于 点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的 距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直 平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习： 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直 平分线交AB 于点D ，交BC 于点 A
第 1 页 共 2 页 角平分线习题精选 1、已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。 2、已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点， 且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。 3、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交 BC 的延长线于点D ，若∠CAD ＝2∠ADC ，求∠B 的度数 5、如图5、A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。DE 平分∠ADC ， 求证：AE 平分∠DAB 。 6、如图6、在△ABC 中，AB ＝7， 求内心到边的距离。 7、如图7、已知在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边向外作 正△BCE 、正△ACD ，BD 与AE 交于M ， 求证：（1）AE ＝BD 。（2）MC 平分∠DME 。 D D C
第 2 页 共 2 页 8、如图8、AB ＝CD ，△PCD 的面积等于△PAB 的面 积，求证：OP 平分∠BOD 。 9如图9、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分 线 AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。 10、如图10、已知在四边形ABCD 中，B D ＞AB ，AD ＝DC ， BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C ＝180°。 11、如图11、△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF 。 12、如图12、△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， AD 的垂直平分线交AD 于点E ， 交BC 的延长线于点F 。 求证：FD 2＝F B ×FC C F
等腰三角形常用辅助线专题练习 （含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由 解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2： 过A点作△ABC底边上的高， 再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。 证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
垂直平分线与角平分线 【专题简介】 我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的影子.中垂线和角平分线是重要的轴对称条件,与之相关的辅助线技巧也非常丰富 【学习目标】 1.理解中要线的性质及其常规辅助线 2.找找与角平分线相关的辅助线证法 模块一 垂直平分线的性质和判定 平分线的性质和判定 垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 【例1】如图,AB=AC,BD=CD,E 是AD 廷长线上一点,求证:BE=CE B C A E 【练1】证明:三角形三边的垂直平分线交于一点 【例2】△ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ；若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC D E A B C
【练2】△ABC 中，∠B=22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，交BC 边上高于G ，求证：EG=EC E D B C A 模块二 角平分线 角平分线的性质与判定: （1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线 （2）角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 （3）角平分线的判定定理 如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的分线:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 强化挑战 【例3】△ABC 中,D 为BC 中点,DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E,EF ⊥AB 于F ；EG ⊥AC 的延长线于G.求证:BF=CG.
垂直平分线与角平分线（讲义） 知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上． 2.角平分线相关定理： ①角平分线上的点到这个角的_____________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上． 精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点 E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________． 第1题图第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB 的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________． 3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线， AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．
4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若 S△ABC=14，则DE=__________． 第5题图第6题图 6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E 在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交 于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E． 求证：OD=OE．
8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于 点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x 轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．
角平分线垂直平分线及辅助线专题
1在ABC V 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿ 2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（ ） A BD+ED=BC B DE 平分ADB ∠ C DA 平分EDC ∠ D D E AC AD +> 3.如图ABC V 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是 4.如图所示，ABC V 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB V 的周长为＿＿＿＿ 5.在ABC V 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若 DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE V 的周长
于F，垂足为N，求EAF 的度数 10. 中，和分别是边AB和的垂直平分线，，则的周长 V V =8 ABC DE FG AC BC EAG 11.ABC V中，AB边的垂直平分线交BC于E，垂足为M，AC边的垂直平分线交BC于F，垂足为N， BC=12，求EAF V的周长 12.在ABC ，，AB的垂直平分线，与边V中，AB=AC DE BC所在的直线相交所成锐角为50°，
ABC B V的底角的大小为 ∠ 13.在ABC ，°， ∠ V中，AB=AC A=50 AB的垂直平分线DE交AC于 点D，垂足为E，则DBC ∠的度数是 14.如 图，在 ABC BC=8AB AB D AC V中，，的垂直平分线交于点，交边于点 cm ，BCE V的周长等于18cm,则AC 的长等于＿＿＿＿＿＿ 15.如图， ABC AB=AC DE AB AB=8BC=436 V中，，是的垂直平分线，，，°，则 ∠ ∠＿＿＿＿＿＿BDC DBC= V的周长为＿＿＿＿＿
线段的垂直平分线与角平分线专题复习
线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 图1 图2
4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 图4
角平分线专题 【类型一】角平分线倒角模型 例1、把一副学生用三角板)9060 30(???、、和)904545(???、、如图(1)放置在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,直角边AC 与y 轴重合,斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点,8=AC . (1)把图1中的AED Rt ?绕A 点顺时针旋转α度)900(?<≤α得图2,此时AGH ?的面积是10,AHF ?的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标; (2)如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M,EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N,当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值. 检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。 x y
检测2、如图探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系． 探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？ 请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．