第一章 函数与极限
§1 函数
一、是非判断题
1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ]
2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有
B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2
x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题
1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y =
（C ）44x y = （D ）x x y sgn =
2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。
（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是
（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2
x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。
(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=)
1arctan(+x e
2、 y=x x x ++
3、 y=x ln ln ln
四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。
（1） f()2x
(2) f(sinx)
(3) f(x+a) (a>0)
(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)
五．设???=,,2)(x x x f 00≥ ??-=,3, 5)(x x x g 00≥ 六．利用x x f sin )(=的图形作出下列函数的图形： 1．|)(|x f y = 2。|)(|x f y = 3．2)(+=x f y 4。)2(+=x f y 5．)(2x f y = 6。)2(x f y = §2 数列的极限 一 是非判断题 1、当n 充分大后，数列n x 与常数A 越来接近，则.lim A x n x =∞ → [ ] 2、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。 [ ] 3。如果对任意,0>ε存在正整数N ，使得当n>N 时总有无穷多个n x 满足|n x ε<-|a ， 则 .l i m a x n n =∞ → [ ] 4、如果对任意,0>ε数列n x 中只有有限项不满足|n x ε<-|a ，则.lim a x n n =∞ → [ ] 5、若数列n x 收敛，列n y 发散，则数列n n y x +发散。 [ ] 二．单项选择题 1、根据 a x n n =∞ →lim 的定义，对任给,0>ε存在正整数N ，使得对n>N 的一切x n ，不等式 ε<-a x n 都成立这里的N 。 （A ）是ε的函数N(ε)，且当ε减少时N （ε）增大； （ B ）是由ε所唯一确定的 （C ）与ε有关，但ε给定时N 并不唯一确定 （D ）是一个很大的常数，与ε无关。 2、?? ???=-为偶数当为奇数 当n n n x n ,10,1 7则 。 （A ）;0lim =∞ →n n x （B ）;10lim 7 -∞ →=n n x （C ）;,10, ,0lim 7 ?? ?=-∞ →为偶数 为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞ →lim 3、数列有界是数列收敛的 。 （A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件。 4、下列数列n x 中，收敛的是 。 （A ）n n x n n 1) 1(--=（B ）1+=n n x n （C ）2 sin π n x n =（D ）n n n x )1(--= 三．根据数列极限的定义证明。 （1） 01lim 2=∞→n n （2） 3 21312lim =++∞→n n n （3）0sin lim =∞→n n n （4）21 )21(lim 222=+++∞→n n n n n 四、若0lim =∞ →n n x ，又数列n y 有界，则0lim =∞ →n n n y x 。 五、若a x n n =∞ →lim ，证明||||lim a x n n =∞ →。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出 反例。 §3 函数的极限 一 是非判断题 1、如果)(0x f =5，但则,4)0()0(00=+=-x f x f )(lim 0 x f x x →不存在。 [ ] 2、)(lim x f x ∞ →存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞ →和)(lim x f x -∞ →都存在。 [ ] 3、如果对某个,0>ε存在,0>δ使得当0<δ<-||0x x 时，有,|)(ε<-A x f 那末 .)(lim 0 A x f x x =→ [ ] 4、如果在0x 的某一去心邻域内，,0)(>x f 且.0,)(lim 0 >=→A A x f x x 那末 [ ] 5、如果A x f x =∞ →)(lim 且,0>A 那么必有,0>X 使x 在[]X X ,-以外时.0)(>x f [ ] 二．单项选择题 1、从1)(lim 0 =→x f x x 不能推出 。 （A ）1)(lim 0 0=+→x f x x （B ）1)0(0=-x f （C ）1)(0=x f （D ）0]1)([lim 0 =-→x f x x 2、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0 x f x x →存在的 。 （A ） 充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件 （C ） 充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件 3、若,11 )(,1 )1()(2 2+-=--=x x x g x x x f 则 。 （A ）)()(x g x f = （B ）)()(lim 1 x g x f x =→ （C ）)(lim )(lim 1 1 x g x f x x →→= （D ）以上等式都不成立 4、)(lim )(lim 0 00x f x f x x x x +→-→=是)(lim 0 x f x x →存在的 。 （A ）充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件 （C ）充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件 四．根据函数极限的定义证明 （1）8)13(lim 3=-→x n （2）44 4 lim 22-=+--→x x x （3）2 121lim 33=+∞→x x x （4）2)4(lim 2 -=--+∞→x x x x 五．求x x x 0 lim → 六．设f(x)=? ??<>-1;21 ;13x x x x 求（1）)(lim 1 x f x → （2）)(lim 2 x f x → （3）)(lim 0 x f x → 七．设函数| |35| |3)(x x x x x f -+= ，求 （1）)(lim x f x +∞ → （2）)(lim x f x -∞ → （3）)(lim 0 x f x +→ （4）)(lim 0 x f x -→（5）)(lim 0 x f x → §4无穷小与无穷大 一、是非题 1、零是无穷小。 [ ] 2、 x 1 是无穷小。 [ ] 3、两个无穷小之和仍是无穷小。 [ ] 4、两个无穷小之积仍是无穷小。 [ ] 5、两个无穷大之和仍是无穷大。 [ ] 6、无界变量必是无穷大量。 [ ] 7、无穷大量必是无界变量。 [ ] 8、0,x x →是βα时的无穷小，则对任意常数A 、B 、C 、D 、E ， ββαβE Da C B Aa ++++22也是0x x →时的无穷小。 [ ] 二．单项选择题 1、若x 是无穷小，下面说法错误的是 。 （A ）x 2是无穷小；（B ）2x 是无穷小； （C ）x-0．0001是无穷小；（D ）-x 是无穷小。 2、在X →0时，下面说法中错误的是 。 （A ）xsinx 是无穷小（B ）是无穷小x x 1 sin (C)x 1sin x 1是无穷大; (D)x 1是无穷大。 3、下面命题中正确的是 。 （A ）无穷大是一个非常大的数； （B ）有限个无穷大的和仍为无穷大； （C ）无界变量必为无穷大； （D ）无穷大必是无界变量。 三．下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量 （1） lnx )1(→x 及)0(+→x （2）)21 (sin +x x )0(→x (3) x e )(+∞→x 及)(-∞→x (4) x e 1 )0(+→x 、)0(-→x 及)0(→x 四．证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大。 §5 极限的运算法则 一．是非题 1、R ) () ()(x Q x p x = 是有理分式，且)(,0)(x T x Q ≠是多项式， 那末 []).()()()(lim 000 x T x R x T x R x x +=+→ [ ] 2、.0lim ...2lim 1lim ...321lim 2222 =+++=++++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n [ ] 3、0 0011 lim sin lim .limsin 0x x x x x x x →→→== [ ] 4、 若则可断言且存在,0)(lim ,)()(lim 0 0=→→x g x g x f x x x x 0)(lim 0=→x f x x [ ] 二．计算下列极限 （1） 35lim 22-+→x x x （2）1 1 2lim 221-+-→x x x x （3）h x h x h 220)(lim -+→ （4）1 21lim 22---∞→x x x x 5）13lim 2420+-+→x x x x x （6）4 586lim 224+-+-→x x x x x （7）)2141211(lim n n ++++ ∞ → （8）2) 1(321lim n n n -++++∞→ （9） )1311( lim 31 x x x ---→ （10） 3 5)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→ （11） x e x x arctan lim +∞ → （12） x x x 1 sin 1sin lim 0 +?→ （13） )11(lim 22 -- +∞ →x x x （14）1 2lim ++++∞ →x x x x x 四．已知 22l i m 2 22=--++→x x b ax x x ，求常数,a 和b 。 五．已知 1)1 1(l i m 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b 。 §6极限存在准则，两个重要极限 一．是非题 1、,lim lim a z y n n n n ==∞ →∞ →且当n>N 时有.lim ,a x z x y n x n n n =≤≤∞ →那么 [ ] 2、如果数列n x 满足：（1）为常数a n a x n ...,2,1(=<；（2）x n >x n+1(n=1,2…).则 x n 必有 极限 [ ] 3、1sin lim =∞→x x x [ ] 4、1)1 1(lim =+∞→n n n [ ] 5．∞=+→x x x 1 )1(lim [ ] 二．单项选择题 1、下列极限中，极限值不为0的是 。 （A ）; lim x arctgx x ∞→ （B ）x x x x cos 3sin 2lim +∞→ （C ）x x x 1sin lim 02 → （D ）242lim x x x x +→ο 2、若且),()(x x f ?>则必有b x a x B x A x f →→==,)(lim ,)(lim ? 。 （A ）A>B (B)A ≥B (C)|A|>B (D)|A|≥|B| 3、1000 )11(lim +∞ →+ n x n 的值是 。 (A)e (B)e 1000 (C)e ·e 1000 (D)其它值 4、=→x tgx x sin lim π 。 (A)1 (B) -1 (C)0 (D)∞ 5、=-→)sin 1 1sin (lim 0 x x x x x 。 (A)-1 (B)1 (C)0 (D)不存在 三．计算下列极限 （1） x x x 20sin lim → （2） x x tg x 3lim 0→ （3） ax h h cos 1lim 0 -+→ （4） x x x x sin 2cos 1lim 0-→ （5） x x x 10 )1(lim -→ （6）x x x 21lim 0 +→ （7） x x x x 2)1( lim +∞ → （8）kx x x )1 1(lim -∞→ （k 为正整数） （9）x x x 32)11(lim - ∞ → （10） x x x cos 20)sin 31(lim -→ （11）x x x x 3sin 11lim --+→ （12）x x x x x x )cos 1(1 sin 3sin lim 20++→ 三．利用夹逼准则证明：1)1 2111( lim 2 22=++++++∞ →n n n n n n 四．设01>=a x ，)2 (211n n n x x x +=+ ,3,2,1=n ，利用单调有界准则证明：数列}{n x 收敛，并求其极限。 §7无穷小的比较 1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。 [ ] 2、0→x 时0lim sin sin lim ,~sin 303=-=-∴→∞→x x x x x tgx x x x x [ ] 3、已知11cos lim 0=-→x x x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4．当0→x 时，x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小 。 [ ] 5．当1→x 时，31x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ] 二．单项选择题 1、x →0时，1—cosx 是x 2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当x →0时，（1—cosx ）2是sin 2x 的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,11 1,2+++∞→ 。 (A)1,1,0===c b a (B) 为任意常数c b a ,1,0=≠ (C) 为任意常数c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数c b a ,, 4、1→x 时与无穷小x -1等价的是 。 (A) () 3121x - (B) () x -121 (C) () 212 1 x - (D) x -1 5．下列极限中，值为1的是 。 (A) x x x sin 2 lim π∞ → (B) x x x sin 2 lim π→ (C) x x x sin 2lim 2 ππ → (D) x x x sin 2 lim ππ → 三．证明：当0→x 时，2~)2cos (cos 3 2 x x x -。 四．确定α的值，使α x x x 4 1~sin 1tan 1+-+ （)0→x §8 函数的连续性与间断点 1、)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x 0处连续的充分必要条件是)(x f 在x 0既左连续又右 连续。 [ ] 2、)(x f 在x 0有定义，且0 lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在x 0连续。 [ ] 3、)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x 0连续，则0 lim x x →)(x f =0 )(lim x x x f → [ ] 4、)(x f 在（a,b ）内除x 0外处处连续，点x 0是)(x f 的可去间断点，则 000 ()(,)(,) ()(,)lim (),x x f x x a x x b F x a b f x x x →∈??=?=??或在内连续 [ ] 5、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在x 0处不连续。 [ ] 二．单项选择题 1、)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x x =连续的 。 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 2、连续的在是00)()()(lim 0 x x x f x f x f x x ==→ 。 （A ）必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 3、x x x f x 1 sin sin )(0?==是的 。 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点 4、的是则)(1,1,2,1,11 )(2x f x x x x x x x f =?? ???≥<--= 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)无穷间断点 5、的是则)(0, 0,1 cos ,0,0, 0,sin )(x f x x x x x x x x x x f =??? ??? ?>=<+= 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 6、设函数,)1()(cot x x x f -=则定义)0(f 为 时)(x f 在0=x 处连续 (A) e 1 (B) e (C) -e (D)无论怎样定义),0(f )(x f 在0=x 处也不连续 三．研究下列函数的连续性，并画出图象。 （1）???≤<-≤≤=2 1;210;)(2x x x x x f （2）???>-<≤≤-=11;11 1;)(x x x x x f 或 四．判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续。 （1）2 31 22+--=x x x y x=1,x=2 (2) tgx x y = x=k π )2,1,0(2 ±±=+=k k x ππ （3） ? ??>-≤-=1;31 ;1x x x x y x=1 五 .讨论函数n n n x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点判断其类型。 §9 连续函数的运算与初等函数的连续性 一．是非题 1、f(x),g(x)在0x x =连续，则)(3)().(2)(2x g x g x f x f -+在0x x =也连续。 [ ] 2、)(x f 在0x x =连续，)(x g 在0x x =不连续，则)()(x g x f +在x 0一定不连续。[ ] 3、)(x f 在x 0连续，)(x g 在x 0不连续，则)().(x g x f 在x 0一定不连续。 [ ] 4、x e x x x f sin )(= 在),(+∞-∞上连续。 [ ] 5、不连续函数平方后仍为不连续函数。 [ ] 三．.求函数6 33)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间。 四．.求函数? ??≤<≤≤-=31;31 0;12)(x x x x x f 的连续区间。 四．.设函数???≥+<=0 ;0 ;)(x x a x e x f x 应当怎样选择数a,使得f(x)成为),(+∞-∞内的连续函数。 五．求下列极限 （1）a x a x a x --→22cos cos lim （2）x x x 5sin )21ln(lim 0+→ （3）x x x cos 1cos 1lim 0 --+→ （4）1 sin 1tan 1lim 3 -+-+→x x e x x （5）1 313lim 110 +-+→x x x （6）x x arctan 3 lim ∞ → 六．设函数 ????? ????+--=)ln([ln 1cos 1sin )(2x x x x b x ax x f 000>= 问b a ,为何值时，)(x f 在),(+∞-∞内连续 §10 闭区间上连续函数的性质 一．是非题 1、)(x f 在（a,b ）内连续，则)(x f 在（a,b ）内一定有最大值和最小值。 [ ] 2、设)(x f 在[a,b]上连续且无零点，则)(x f 在上[a,b]恒为正或恒为负。 [ ] 3、)(x f 在[a,b]上连续且单调，f(a)·f(b)<0,则)(x f 在（a,b ）内有且只有一个零点。[ ] 4、若)(x f 在闭区间[a,b]有定义，在开区间（a,b ）内连续，且f(a)·f(b)<0，则)(x f 在（a,b ）内有零点。 [ ] 5、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。 [ ] 6、)4 3,4(,0143,014 π πππ 在tgx tg tg ∴<-=>=内必有零点。 [ ] 二．单项选择题 1、函数],[)(b a x f 在上有最大值和最小值是],[)(b a x f 在上连续的 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件。 2、],[)(b a x f 在上连续，,,0)()(654321b x x x x x x x b f a f <<<<<<< ,1)(,0)()(,1)()()(542631-======x f x f x f x f x f x f 则应判断),()(b a x f 在内的零 点个数 。 (A) ≥3 (B) ≥4 (C) ≥5 (D) ≥6 3、下列命题错误的是 (A) ],[)(b a x f 在上连续，则存在)()()(],,[,2121x f x f x f b a x x ≤≤∈使 (B) ],[)(b a x f 在上连续，则存在常数M ，使得对任意M x f b a x ≤∈)(],,[都有 (C) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内必定没有最大值； (D) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内可能既没有最大值也没有最小值； 4．对初等函数来说，其连续区间一定是（ ） （A ）其定义区间 （B ） 闭区间 （C ） 开区间 （D ） （),+∞∞- 三．证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 四．若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，b b f a a f ><)(,)(。证明：至少有一点 ),(b a ∈ξ，使得ξξ=)(f 。 五．设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，),(,b a d c ∈，0,021>>t t ，证明：在[],b a 上必有点ξ，使得 )()()()(2121ξf t t d f t c f t +=+ 六．若)(x f 在],[b a 上连续，.21b x x x a n <<<<< 则在],[b a 上至少存在一点ξ，使 n x f x f x f f n ) ()()()(21+++= ξ 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 函数与极限练习题 直禅IS □ >肖时"用减JE)在冠ttK恵Ifr的盘守呦.削下刮式于中楠课的业€5 C ■ ?^r,)+oU* )=€<■*)D： d(x) + XJt：)=^) I 二 e =] (2> ^#/(>)=—的可去间斷底的牛妆为f ;r(x 十1)L1 蓋I B) 1 Q> n-aaftbm^"31?3111=F?扁冲乱r 舸擒巒?B.c *=?, m < B> 2.^?— '4 I I '.2、H T J「忘廿jl*：= 5T1[1Y-llIl沁'?才r/苇八七目小?眄 “让=7 ■3 a f€>- □-町可E THf J；旳个枝为 曲充H C7> =^i /(JI)- j-suiflrl3jti)=i1尤曲也Nl (B)昶* = 1 - t=— 6 :CI ff = -1. B ?- 1 C .■ ijl+^Jx — L tD、1—COS-^I = e=1 ?AW*W?X ?*? a,b 为 __ Ixdsinfx —21 请数门工)= _-—— 在尸列券个区阖内有界一 z(x-l)(x-2J (A> (-1,0) (B> (OJ) CO (12) (D> (23) (19)下列riNffliE 踊的是 (A)若1诃/X?工1曲> S 当Q q 窗―旺K 占时fW 土 g(r) 星 T J ^ Jt —?齐 CB)?3(f >O h ttO 题型 一．求下列函数的极限 二．求下列函数的定义域、值域 三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型 内容 一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数 二．极限 （一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则 （二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则 （三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理 三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质 例题详解 题型I函数的概念与性质 题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限） 题型III求数列的极限 题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值 题型V无穷小的比较 题型VI判断函数的连续性与间断点类型 题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明 自测题一 一． 填空题 二． 选择题 三． 解答题 3月18日函数与极限练习题 一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x + 高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0( 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 第一章 函数与极限 §1 函数 一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是 （A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x + 3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→ 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ） 第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=； 设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ， ，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定 的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．，；，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，；，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，；，．， ；，设000)(00)(2x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，． 求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???12002?? []设，；， ． 求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
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