第二讲 函数的极限
一 内容提要 1.函数在一点处的定义
,
0,0)(lim 0
>?>??=→δεA x f x x 使得δ<-
右极限
,
0,0)(lim 0
>?>??=+→δεA x f x x 使得δ<-
左极限
,
0,0)(lim 0
>?>??=-→δεA x f x x 使得δ<-
注1 同数列极限一样，函数极限中的ε同样具有双重性． 注2
δ的存在性（以0x x →为例）
：在数列的“N -ε”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N 无关紧要；对δ也是如此，只要对给定的0>ε，能找到某一个δ，能使δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(即可． 注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究)(x f 是否无限趋近于A ．
注4 ?=→A x f x x )(lim 0
=+→)(lim 0
x f x x A x f x x =-→)(lim 0
．
注５ ?
??
???≠→∈??=∞→→00,|}{}{)(lim 0x x x x x x A x f n n n n n x x 且，有A x f n n =∞→)(lim ，称为
归结原则――海涅（Heine ）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．） 注6 0,
0)(lim 00
>?>??≠→δεA x f x x ，δ<-'<'?00:x x x ，有0)(ε≥-'A x f ．
2 函数在无穷处的极限 设)(x f 在),[+∞a 上有定义，则
,
,0)(lim a X A x f x >?>??=∞→ε使得X x x >?:，有ε<-A x f )(． ,,0)(lim a X A x f x >?>??=+∞
→ε使得X x x >?:，有ε<-A x f )(． ,
,0)(lim a X A x f x >?>??=-∞
→ε使得X x x -
注１ ?=∞
→A x f x )(lim =+∞
→)(lim x f x A x f x =-∞
→)(lim ．
注２ ?
??
???∞→∈??=∞
→∞→n n n n x x x x A x f |}{}{)(lim ，有A x f n n =∞→)(lim ．
３ 函数的有界
设)(x f 在),[+∞a 上有定义，若存在一常数0>M ，使得),[+∞∈?a x ，有M x f ≤)(，则称)(x f 在),[+∞a 上有界． ４ 无穷大量
,
0,0)(lim 0
>?>??∞=→δG x f x x 使得δ<-)(． ,
0,0)(lim >?>??∞=∞
→X G x f x 使得X x x >?:，有G x f >)(．
类似地，可定义-∞=+→)(lim 0
x f x x ，-∞=-→)(lim 0
x f x x ，∞=+→)(lim 0
x f x x ，∞=-→)(lim 0
x f x x 等．
注 若∞=→)(lim 0
x f x x ，且0>?δ和0>C ，使得δ<-≥C x f ，
则∞=→)()(lim 0
x g x f x x ．
特别的，若∞=→)(lim 0
x f x x ，0)(lim 0
≠=→A x g x x ，则∞=→)()(lim 0
x g x f x x ．
５ 无穷小量
若0)(lim 0
=→x f x x ，则称)(x f 当0x x →时为无穷量．
注1 可将0x x →改为其它逼近过程．
注2 ?=→A x f x x )(lim 0
)()(x A x f α+=，其中0)(lim 0
=→x x x α．由于有这种可以互逆的表
达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 0)(lim 0
=→x f x x ，)(x g 在0x 的某空心邻域内有界，则0)()(lim 0
=→x g x f x x ．
注4 0)(lim =∞
→x f x ，且当x 足够大时，)(x g 有界，则0)()(lim 0
=→x g x f x x ．
注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量． 6 函数极限的性质
以下以0x x →为例，其他极限过程类似． （1）A x f x x =→)(lim 0
，则极限A 唯一．
（2）A x f x x =→)(lim 0
，则0,>?M δ，使得δ<-
（3）A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
，且B A <，则0>?δ，使得δ<-
有 )()(x g x f <
注 这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍． （4）A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
，且0>?δ当δ<-<00x x 时，)()(x g x f <则
B A ≤．
（5）A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
，则
[]B A x g x f x x ±=±→)()(lim 0
B A x g x f x x ?=?→)()(lim 0
B
A
x g x f x x =→)()(lim
（0≠B ） 要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若,
0>?δ使得δ<-
=→)(lim 0
x f x x A x h x x =→)(lim 0
，则A x g x x =→)(lim 0
．
8 Cauchy 收敛准则
函数)(x f 在0x 的空心邻域内极限存在,0,
0>?>??δε使得x x '''?,，当
δ<-'<00x x ，δ<-''<00x x 时，有ε<''-')()(x f x f ．
9 无穷小量的比较 设0)(lim 0
=→x x x α，0)(lim
=→x x x β，且k x x x x =→)
()
(lim
αβ，则 （1）当0=k 时，称)(x β为)(x α的高阶无穷小量，记作)(x β())(x o α=；
（2）当∞=k 时，称)(x β为)(x α的低阶无穷小量； （3）当0≠k 且∞≠k 时，称)(x β为)(x α的同阶无穷小量．
特别的，当1=k 时，称)(x β和)(x α为等价的无穷小量，记作)(x α～)(x β．
注 1 上述定义中，自变量的变化过程0x x →也可用+∞→x ，-∞→x ，∞→x ，
+→0x x ，-
→0x x 之一代替．
注2 当0→x 时，常见的等价无穷小有：
x sin ～x ，x tan ～x ，x cos 1-～2
2x ，1-x e ～x ，)1ln(x +～x ，1)1(-+m
x ～mx 注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：
若)(x α～)(x β（P ），则
=)
()(lim
x x f P
β=?)()()()(lim x x x x f P βαα)()
(lim x x f P α
或 =)()(lim x x g P
α=?
)
()
()()(lim x x x x g P
βαβ)()(lim x x g P β （P 为某逼近过程）．
而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．
注4 在某一极限过程中，若)(x α为无穷小量，则在此极限过程，有 ())()(x o x αα+～)(x α． 10 两个重要极限
（1）1sin lim
0=→x
x
x ； （2）e x x x =+→1
0)1(lim ．
二、典型例题
例 用定义证明下列极限： （1）2
1
1)1(lim
2
1
=--→x x x x ；
（2）211lim
2-=-+-∞
→x
x x
x ．
例 A x f x x =→)(lim 0
，证明：
（1）若0>A ，则有2
21
)(1lim 0
A x f x x =
→； （2）33
)(lim
A x f x x =→．
例 设)(x f 是],[b a 上的严格严格单调函数，又若对],(b a x n ∈（ ,2,1=n ），有
)()(lim a f x f n n =∞
→，试证明：a x n n =∞
→lim ．
例 函数)(x f 在点0x 的某邻域I 内有定义，且对{}I x n ??（00,x x x x n n ≠→），且 0010x x x x n n -<-<+（N n ∈?）
，有A x f n n =∞
→)(lim ，证明：A x f x x =→)(lim 0
．
例 设函数)(x f ，)1,0(∈x ，满足0)(→x f （+
→0x ），且 )()2
()(x o x
f x f =-（+→0x ） 则 )()(x o x f =（+
→0x ）
问：在题设条件下，是否有0)0(=f 答：否．如??
?=≠=0
10
0)(x x x f ．
例 设函数)(x f 在),0(+∞上满足议程)()2(x f x f =，且A x f n =+∞
→)(lim ，则 A x f ≡)(（),0(+∞∈x ）．
例求下列函数极限
（1）?
?
?
??
?
+
→x
b
a
x
n0
lim（0
,0>
>b
a）；
（2）
x
b
a
x
n
??
?
?
??
?
+
→0
lim（0
,0>
>b
a）；
（3）
?
?
?
?
?
?
?
+
+
+
→x
x
e
e
x
x
n
sin
1
2
lim
4
1
．
例 求下列极限 （1）1
tan 1tan 1lim
---+→x
n e x
x ； （2）)
cos 1(cos 1lim
x x x n --→；
（3）x
e x x
e x x x n 2)ln()ln(sin lim 2220-+-+→．
例 求下列极限：
（1）x
x x e e x
x n cos sin lim tan 0--+→；
（2）2
303cos 2cos cos 1lim x x
x x n -→．
例 求下列极限：
（1）
x
x
x x
n ln
1
lim
1
-
→
；
（2）
2
)
(
lim
x
a
x
a x
x
n
-
+
→
．
例求下列极限：
（1）)
1
ln(
1
2
)
(cos
lim x
n
x+
→
；
（2）x
n x
x
)
1
cos
1
(sin
lim+
∞
→
；
（3）设0
>
i
a（n
i,
,2,1
=），求
x
n
x
n
x
x
n n
a
a
a
??
?
?
?
?+
+
+
→
2
1
lim．
例（1）已知0
)
1
(
lim33=
-
-
-
∞
→
b
ax
x
n
，求常数b
a,；
（2）已知5
1
3
)
2
sin
)
(
1
ln(
lim
=
-
+
→x
n
x
x
f
，求
2
)
(
lim
x
x
f
n→
．