关于正方体截面形状探究
引题：
问题1：什么叫几何体的截面？
答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？
答：截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？
答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形：
E
A A 1
解析:
如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF
显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析
E
A A 1
一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。
3.是否可以截出直角三角形：
A A 1
解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF
所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际
所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 结论1：用平面去截正方体能截到三边形：
（1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形)
探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形：
分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。
F
A A C 1
做法：
如上图；取正方体一棱AB ，作与棱AB 平行的平面就可以得到一个矩形截面。 2.可以截出正方形:
分析：正方体六个表面都是正方形只要用一平行于原表面的平面去截正方体，就可以得到正方形截面,如图所示。
F
A
A 1
3.可以截出梯形：
分析:用一平面从正方体上表面斜截下，与下底面相交，因为上下两底面平行，由面面平行的性质定理可得EH ∥FG ，只要EH ≠FG,所以可截到梯形。
A
A C 1
4、截面还可以是平行四边形或菱形
A
A 1
如图当AE= C 1F 时四边形A 1ECF 是菱形，调整面A 1ECF 的倾斜方向时四边形A 1ECF 可以是一般的平行四边形 结论2：用平面去截正方体能截到四边形： （1.）长方形；（2.）正方形；（3.）梯形;(4)平行四边形；(5)菱形。 探究3：截面多边形的边数最多有几条？ 解析：
因为正方体有六个面，所以它与平面相交最多有六条交线，
即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形,六边形。 探究4:截面可能是正多边形吗？可能有几种？ 答：截面是正多边形有3种可能。
有正三角形，正方形，正六边形。如图所示
E
A
A 1
F
A
A 1
J
A
A C 1
E 、
F 、
G 、
H 、
I 、
J 分别是所在边的中点时六边形EFGHIJ 是正六边形 当截面是五边形时不可能是正五边形
如图：由面面平行的性质，五边形EFGHI 中必有E F ∥HI,G F ∥EI 所以五边形EFGHI 不可能是正五边形。
E
H
A
A 1
总结；
1.用平面去截正方体能截到三角形：
（1）等腰三角形，(2)三角形，(3)普通三角形；(不能截出直角三角形) 2.用平面去截正方体能截到四边形： （1）长方形、（2）正方形、（3）梯形、（4）平行四边形（5）菱形 3. 用平面去截正方体能截到三角形、四边形、五边形、六边形。 4.用平面截正方体可以截得的正多边形有正三角形、正方形、正六边形。 试题设计
1用平面去截正方体所得截面的形状可能有------ 2用平面去截正方体所得截面的边最多有------条
3用平面去截正方体所得截面可能有的正多边形有------ 可以设计成选择题或填空题
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
- - - 可能出现锐角三角型、等 边、等腰三角形,但不可能 出现直角和钝角三角形 正方体截面的形状
结论如下： 1、可能出现的： 锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、 非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、 五边形、六边形、正六边形 四边形: 可能出现正方形、矩形、 非矩形的平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形 不可能出现直角梯形
2、不可能出现： 钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形 正方体的截面形状
一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
正方体截面的形状 可能出现锐角三角型、等 边、等腰三角形,但不可能 出现直角和钝角三角形 四边形 : 可能出现正方形、矩形、非 矩形的平行四边形、菱形、 梯形、等腰梯形 不可能出现直角梯形
结论如下： 1、可能出现的： 锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形 2、不可能出现： 钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或 者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：
====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1 ）菱形： 如下图所示，当A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形：
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
关于正方体截面形状探究 引题： 问题1：什么叫几何体的截面？ 答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？ 答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形： E A A 1 解析: 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF 显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析
E A A 1 一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。 3.是否可以截出直角三角形： A A 1 解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF 所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 结论1：用平面去截正方体能截到三边形： （1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形) 探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形： 分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。
立体几何中的截面问题剖析 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况. 以正方体为例：平面截正方体的截面图形 三角形： 四边形 五边形 六边形 类型一：与截面有关的求值问题 1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．35 B ．35 C ．92 D ．98 2、 体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ） A. 2717 B ．2117 C ．1517 D ．1317
正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ） A ．425133+ B ．225133 + C ．2513+ D ．13252 + 反馈练习： 1、在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是正方形C C BB 11的中心，M 为11D C 的中点，过M A 1的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面面积为（ ） A ．23 B ．26 C ．225 D ．3 2、如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ） A ．S 为定值,l 不为定值 B ．S 不为定值,l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值 类型二：与截面有关的最值问题 1、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．433 B ．332 C ．423 D ．2 3
正方体的截面问题研 究
研究性学习报告 ————正方体的截面问题 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段： 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：
研究性学习报告 ————正方体的截面问题课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示 来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 阶段探究： 1.猜想阶段：根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的 平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下 ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
如下图所示，当 A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异 时，所得截面可能是梯形： 3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： ==》得 ==》》
正方体截面问题 课题:正方体截面问题 班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方 法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做: :什么叫几何板的截面, 问题1 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部)，叫做几何体的截面。问题2:截面的边是如何得到的, 答:截面的边是平面和几何体各面的交线。问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边, 答:因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1:截面图为三角形时，有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:
A’ a C c B bA 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 (2)做法: 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 (3)证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: (1)解析 A’ a C c bBA 一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，
正方体截面的形状 可能出现锐角三角型、等但不可能,边、等腰三角形出现直角和钝角三角形 四边 可能出现正方形、矩形、非矩形的平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形 不可能出现直角梯形
1、可能出现的：结论如下： 非矩形的平行四边等腰三角形，正方形、矩形、锐角三角型、等边、五边形、六边形、正六边形形、梯形、等腰梯形、 2 、不可能出现：七边形或更多边形直角梯形、正五边形、直角三角形、钝角三角形、
正方体的截面形状一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：
》》》==== 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 矩形：2. 当长宽不等的矩形截面的图示如下：其次，因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 平行四边形：3. 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
》== 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: 》==》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
4.成对的脑颅骨有：顶骨、颞骨，不成对的脑颅骨有：额骨、枕骨、蝶骨、筛骨。 5.鼻旁窦有四对，包括：额窦、筛窦、蝶窦、上颌窦。 6.肩胛骨上能触及的骨性标志有：肩峰、上角、下角、肩胛冈、喙突、内侧缘。 7.椎间盘由纤维环和髓核构成。 8.胸廓是由12块胸椎、12对肋和1块胸骨借 可能出现锐角三角型、等 边、等腰三角形,但不可能 出现直角和钝角三角形正方体截面的形状
4.成对的脑颅骨有：顶骨、颞骨，不成对的脑颅骨有：额骨、枕骨、蝶骨、筛骨。 5.鼻旁窦有四对，包括：额窦、筛窦、蝶窦、上颌窦。 6.肩胛骨上能触及的骨性标志有：肩峰、上角、下角、肩胛冈、喙突、内侧缘。 7.椎间盘由纤维环和髓核构成。 8.胸廓是由12 块胸椎、12对肋和1 块胸骨借 结论如下： 1、可能出现的： 锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、 非矩形的平行四 四边形: 可能出现正方形、矩形、 非 矩形的平行四边形、菱形、
4.成对的脑颅骨有：顶骨、颞骨，不成对的脑颅骨有：额骨、枕骨、蝶骨、筛骨。 5.鼻旁窦有四对，包括：额窦、筛窦、蝶窦、上颌窦。 6.肩胛骨上能触及的骨性标志有：肩峰、上角、下角、肩胛冈、喙突、内侧缘。 7.椎间盘由纤维环和髓核构成。 8.胸廓是由12块胸椎、12对肋和1块胸骨借 边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形 2、不可能出现： 钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形
4.成对的脑颅骨有：顶骨、颞骨，不成对的脑颅骨有：额骨、枕骨、蝶骨、筛骨。 5.鼻旁窦有四对，包括：额窦、筛窦、蝶窦、上颌窦。 6.肩胛骨上能触及的骨性标志有：肩峰、上角、下角、肩胛冈、喙突、内侧缘。 7.椎间盘由纤维环和髓核构成。 8.胸廓是由12块胸椎、12对肋和1块胸骨借 正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
研究性学习报告 ——正方体的截面形状 【课题】正方体的截面形状 【作者】刘可歆岳新茹 【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。 【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。 【研究过程】 探究1：当截面为三角形 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==== 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
》 ====正三棱锥：当截面是四边形探究2 正方形：1. 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： 》》》 ==== 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 》 ====》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形：因为正
方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。． 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： 》 == 所得截面可能为平行四当截面不与正方体的各面平行时，由上图所示可知，边形。．菱形：4 A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：如下图所示，当
5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： 》》》 == 3：当截面是五边形探究 6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面： 》= ：当截面是六边形探究3 六边形：7. 如图所示，可以截得六边形截面： 》=
结论如下：?1、可能出现的：? 锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、?非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、?五边形、六边形、正六边形 ?2、不可能出现：? 钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、?七边形或更多边形 正方体的截面形状 可能出现锐角三角型、等边、 等腰三角形,但不可能出现直 角和钝角三角形 四边形: 可能出现正方形、矩 正方体截面的形状
一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：
正方体截面的探究 教学设计 无为县襄安中学李向林背景介绍 为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。 在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。 因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。 教材分析 《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此，本节课设计如下： 教学目标 (一)知识与技能： 1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。 2. 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验。 (二)过程与方法： 在对实物模型“截”活动过程中，学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。 (三)情感、态度与价值观： 通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，使学生在合作学习中体验到数学活动充满探索和创造，获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。 教学重点、难点： 重点：正方体截面的结构特点。 难点：正方体截面结构的多重性。 教学用具： 大块橡皮泥、小刀、一张CT片，透明正方体盒子(可用鱼缸)、水，正方体模型等。 教学方法： 1.采取直观教具与多媒体相结合，通过师生互动进行教学。 2.采取小组合作交流，动手操作实验的学习方法。 教学过程： 活动一：情境导入，引发思考 师：（拿出西瓜）大家都知道西瓜是我们常吃的一种水果，那么他像我们已经学过的那种几何体？（生：球体） 师：按习惯我们是不吃西瓜皮，只吃西瓜瓤的。现在有一个外皮已经洗净的西瓜，设想一下，你一般是如何吃到里面的瓤呢？第一步怎么办？（生：用刀切） 师：那么刀经过的面是一个什么形状的图形？（生：圆）
1A 正方体“异面点”截面的作法问题 高二十班 史威、冯心怡 【引言】： 用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面。可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是通过X 射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT 影像诊断技术”——在医学史上具有划时代意义。可见,数学知识对于生活何等重要。在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题的一个方法，也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.本文通过举例引申出过正方体异面的点（以下简称为“异面点”）作截面的几种常见方法. 【正文】： 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 而对于“异面点”做图方法大致可分为两类：平面作图法和空间向量法。下面笔者将对于这两类方法进行介绍。 一、平面作图法： 1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 2．作截线与截点的主要根据有： (1)确定平面的条件． (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． (4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 3.作图的的主要思想方法有： (1)若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 (2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 (3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。 (4)若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线。 (5)若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。 4.具体题目分析： 已知：P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB 上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面．
正方体的截面问题 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰
和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形： ==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面：
=》 通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。 （4）六边形： 如图所示，可以截得六边形截面： =》 特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示： 拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质 1. 正方体最大面积的截面三角形：
课题：正方体截面问题 班级：高二（2）班 小组：数学兴趣小组 指导老师：王长喜 组员：崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长：张皓楠 课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做： 问题1：什么叫几何板的截面？ 答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 （包含它的内部），叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体各面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型， 它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一 个平面去截一个正方体那么会得到什么形状 的截面图呢？截面图最多有几条边？ 答：因为正方形只有六个面，所以它与平面 最多有六条交线，即所截到得截面图最都有 六条边。所以截图可能是三角形，四边形， 五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1.是否可以截出等腰三角形： （1）解析:
如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于 三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 （2）做法： 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 （3）证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。 所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: （1）解析
结论如下： 1、可能出现的： 锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形 2、不可能出现： 钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：
====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下： 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：
正方体截面的形状 一、课题设计意图： 1. 按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识的过程，所以在本模块设计该课题，是为了今后做更为完整的数学探究、数学建模活动所做的准备。 2．“正方体截面的形状”,是北师大版新教材配合立体几何学习而设定的一个”课题学习”的内容.它以立体几何的核心模型之一----正方体为载体, 通过试验、探究，寻求截面的可能的形状。它通过“问题串”的形式，推进学生的思考和试验。对实验中每一个结果，让学生自己确认其过程，又是一个理性思考、用心求证的过程。这些环节可以帮助学生理解、应用本章所学知识，体验分类讨论、合情推理、大胆猜想、小心求证等数学思想方法。同时做这个课题所采用的探究方法---结合实际问题设计实验、动手操作、合作交流、合作探究、撰写实验报告等，都是重要的学习和研究的方式，可以帮助学生积累数学研究的经验。加上“*”的问题给优秀学生留出了创新的空间。 3. 本课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理。通过正方体不同截面的生成和变化，可以认识空间图形及其关系，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观的洞察力。做课题的过程是对立体几何知识的一次综合应用的过程。 4．该课题学习很好地体现了立体几何初步一章的基本要求，有助于认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力。 5．在章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个学、用知识解决问题的舞台，能增强学生的应用意识和问题意识，加深对所学知识的理解。另一方面，课题学习的形式有助于发展学生自主学习、合作学习的能力，改进学习方式，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜想和理性推力的关系，积累数学研究的经验，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。 二、课题设计方案： 【教学目标】 1、知识与技能目标：经历切截正方体的活动过程，探索发现正方体的截面形状，体会几何体在切截过程中面与体的变化。 2、过程与方法目标：通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想像、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验。 3、情感与态度目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作，与人交流的良好品质，激发学生对知识需求的欲望和探索创新的精神，培养用数学的意识，激发学生对数学的热爱。 【教学重点】探索截面形状的过程 【教学难点】 从切截活动中发现对同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与如何截。
长方体和正方体知识总结 1.至少要8个小正方体才能拼成一个稍大的正方体。 2.长方体最多有两个面是正方形。
长方体和正方体的展开： （1）“141”型：中间四个连一串，两边各放一个。例如： （2）“231”型：二三紧连错一个，三一相连一任意。例如： （3）“33”型： （40“222”型： 特点：相对的面不能相连。 常见的错误类型： (1)“田字”： （2）“L” （3）“凹字”：
注意：解题时要统一单位。 容积和容积单位：仓库、箱子、油桶等所能容纳物体的体积，通常叫做容积。单位：升(L)、毫升(mL)，1L=1000mL。 单位换算： 1m = 10dm = 100cm 1 cm = = 1m2 = 100dm2 = 10000cm2 1m3 = 1000d m3 = 1000000cm3 1L = 1dm3 = 1000mL = 1000cm3 截面问题：长方体或正方体每截断一次会增加两个截面。 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，棱长和就会扩大相同的倍数，表面积会扩大倍数的平方倍，体积会扩大倍数的立方倍。 不规则物体的体积： （1）改变物体的形状使之成为规则物体（比长方体、正方体）在计算体积。（2）排水法： ①容器的底面积×上升那部分水的高度 ②放入物体后的体积—原来水的体积
规律总结： （1）三面涂色的小正方体：都在大正方体的顶点的位置，为8个。 （2）两面涂色的在正方体：棱上除去两端的位置，（每条棱上小正方体个数-2）×12个。 （3）一面涂色的在正方体：每个面除去一周边一圈的位置，（每条棱上小正方体个数-2）的平方×6个。 （4）没有涂色的在正方体：里面除去表面一层的位置，（每条棱上小正方体块数-2）的立方个。 数正方体的个数 2层:1+(1+2)=4 或 1×2+2×1=4 3层:1+(1+2)+(1+2+3)= 10 或 1×3+2×2+3×1=10 4层:1+(1+2)+(1+2+3)+ (1+2+3+4)=20 或 1×4+2×3+3×2+4×1=20
《正方体截面的形状》教学设计 一、教学目标 1)知识与技能： A用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助学生更好地认识几何体。 B探索正方体可能的截面形状，通过实践证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 2)过程与方法： A首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。 B学生截萝卜块以培养学生探索问题的能力，知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。 3)情感态度与价值观： A激发学生主动参与活动的热情，培养人人参与学习和自觉把数学知识应用实际生活的意识。 B培养学生学生探索创新能力。 二、学生分析 根据学生情况将学生分为ABC三大组，A组为待优生，A组分为第一组和第二组，B组为临界生，B组分为第三组和第四组，C组为优等生，记为第五组和第六组。 根据学生的不同学情，安排不同难度的问题。 三、教学内容分析 本节内容位于《必修2》P51页第一章立体几何初步的课题学习，属于探究性课题。本节课以正方体的截面图为核心，让学生借助萝卜块进行实际操作和
探索学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结并在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立性和发散性，使学生真正成为学习的主体。 重点：正方体的截面图的作法 难点：正方体的截面图形的交点的作法 四、教法：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的 意义建构。 五、教学过程 提问复习： 【教师提问】什么叫几何体的截面？ 【学生回答】一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。 【教师提问】截面的边是如何得到的？ 【学生回答】截面的边是平面和几何体各面的交线。 揭示课题： 【教师提问】正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢？截面图最多有几条边？ 【学生回答】【七嘴八舌】三角形，四边形，五边形，六边形，七边行。 导入新课：