2013年高考数学总复习精品资料
平面解析几何初步
1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
2．会用二元一次不等式表示平面区域．
3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用．
4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法．
公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等．
第1课时直线的方程
1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝t anα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．
3．直线方程的五种形式
例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2
3．④ 当m ＝ 时，直
线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．解：(1) －1 ⑵ 2或－2
1 ⑶
31或－2 ⑷－23
⑸
4
1变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3
（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B C D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．
解：（1）D （2）C ．提示：用斜率计算公式
12
12
y y x x --．（3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数．
（4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式.例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5），
∴k AB =
1
31
3-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =k BC ，
∴A 、B 、C 三点共线.
方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，
∴|AB|+|BC|=|AC|，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5），
∴AB =（2，4），BC =（1，2），∴AB =2BC .
又∵AB 与BC 有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.
变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.
证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ，
∴c
a c a
b a b a --=
--3
333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2， ∴b 2-c 2+ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).
试求：
2
3
++x y 的最大值与最小值.解： 由
2
3
++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k≤k PB ,
由已知可得：A （1，1），B （-1，5），∴3
4
≤k≤8，故
23++x y 的最大值为8，最小值为3
4
.变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么x
y
的最大值为 （ ） A.2
1
B.
3
3 C.
2
3
D.3
答案 D
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．
解：Q 点在l 1: y ＝4x 上，可设Q(x 0，4x 0)，则PQ 的方程为：6
6
44400--=
--x x x y 令y ＝0，得：x ＝
1500-x x (x 0>1)，∴ M(1
500-x x
，0)∴ S △OQM ＝21·1
500
-x x ·4x 0＝10·
1020-x x ＝10·[(x 0－1)＋1
1
0-x ＋2]≥40当且仅当x 0－1＝1
1
0-x 即x 0＝2取等号，∴Q(2，8)PQ 的方程为：
6
26
484--=--x y ，∴x ＋y －10＝0变式训练4.直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；
(2)当MB MA ?取最小值时，求直线l 的方程．解：设l ：y －1＝k(x －2)(k ＜0)
则A(2－
k
1
，0)，B(0，1－2k)①由S ＝21(1－2k)(2－
k 1)＝2
1(4－4k －k 1)≥
2
1???
?
????-?-+)1()4(24k k ＝4
当且仅当－4k ＝－
k 1，即k ＝－2
1
时等号成立∴△AOB 的面积最小值为4
此时l 的方程是x ＋2y －4＝0②∵|MA|·|MB|＝224411
k k
+?+＝
||)1(22k k +＝2??
?
???-+-)()1(k k ≥4当且仅当－k ＝－
k
1
即k ＝－1时等号成立此时l 的方程为x ＋y －3＝0
（本题也可以先设截距式方程求解）
1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．
2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．
3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.
4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.
第2课时 直线与直线的位置关系
________．
1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．（二）点到直线的距离、直线与直线的距离
1．P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0 的距离为______________．
2．直线l 1∥l 2，且其方程分别为：l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为 ． （三）两条直线的交角公式
若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则 1．直线l 1到l 2的角θ满足 ．
2．直线l 1与l 2所成的角(简称夹角)θ满足 ．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数． （五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2). ② 与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m≠b). ③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)及x ＝x 0.
④ 与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0 (m≠C). ⑤ 与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C 1＝0 (AB≠0).
例1. 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.
解（1）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0, l 2:x=0,l 1不平行于l 2; 当a=0时，l 1:y=-3,
l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2;
当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l 1:y=-x a 2
-3,l 2:y=
x a
-11
-(a+1), l 1∥l 2???
???+-≠--=-)1(3112a a a
，解得a=-1, 综上可知，a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.
方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a-1）-1×2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a(a 2-1)-1×6≠0,
∴l 1∥l 2?????
?≠?--=?--0
61)1(021)1(2
a a a a
???
???≠-=--6)1(0
22
2a a a a ?a=-1,
故当a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. （2）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0, l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.
当a≠1时，
l 1:y=-2
a
x-3, l 2:y=
x a
-11
-(a+1),
由??? ??-2a ·
a
-11
=-1?a=3
2.
方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a+2(a-1)=0?a=3
2
.
变式训练1.若直线l 1：ax+4y-20=0，l 2：x+ay-b=0，当a 、b 满足什么条件时，直线l 1与l 2分别相交？平行？垂直？重合？
解：当a=0时，直线l 1斜率为0，l 2斜率不存在，两直线显然垂直。
当a≠0时，分别将两直线均化为斜截式方程为：l 1：y= － a 4x+5，l 2：y= － 1a x+ b
a 。 （1）当－ a 4 ≠ － 1
a ，即a≠±2时，两直线相交。
（2）当－ a 4 = － 1a 且5≠ b
a 时，即a=2且b≠10或a= －2且b≠－10时，两直线平行。 （3）由于方程(－ a 4)(－ 1
a )= －1无解，故仅当a=0时，两直线垂直。
（4）当－ a 4 =－ 1a 且5= b
a 时，即a=2且b=10或a= －2且b=－10时，两直线重合.
例2. 已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋2y ＝0与l 2：3x －4y －10＝0的交点，且与直线l 3：5x －2y ＋3＝0的夹角为4
π，求直线l 的方程．
解：由??
?=--=+0
104302y x y x 解得l 1和l 2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l 3的斜率为k 3＝25，l 与l 3的夹角为4π
，
所以直线l 的斜率存在. 设所求直线l 的方程为y ＋1＝k(x －2)．
则tan 4
π
＝
331kk k k +-＝
k k 2
5125
+-
＝1 ?k ＝
73或k ＝－37，故所求直线l 的方程为y ＋1＝－37(x －2)或y ＋1＝7
3
(x －2)即7x ＋3y ＋11＝0或3x －7y －13＝0
变式训练2. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l ，且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为
α,tan α=
2
1
.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）？
解 如图所示，建立平面直角坐标系，
则A （200，0），B （0，220），C （0，300）. 直线l 的方程为y=(x-200)tan α,则y=2
200
-x . 设点P 的坐标为（x,y ），则P （x, 2
200
-x ）(x ＞200). 由经过两点的直线的斜率公式
k PC =x
x x x 2800300
2200
-=
--, k PB =x
x x x 2640220
2200
-=
--. 由直线PC 到直线PB 的角的公式得
tan ∠BPC=
x
x x x x k k k k PC
PB PC
PB 2640·
280012160
·1--+=+- =
288
64016064
64016028864-?+=
?+-2x
x x x x (x ＞200). 要使tan ∠BPC 达到最大，只需x+x
640
160?-288达到最小，由均值不等式 x+
x
640
160?-288≥2640160?-288, 当且仅当x=
x
640
160?时上式取得等号. 故当x=320时，tan ∠BPC 最大. 这时，点P 的纵坐标y 为y=
2
200
320-=60. 由此实际问题知0＜∠BPC ＜
2
π
,所以tan ∠BPC 最大时，∠BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.
例3. 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C 的坐标并判断△ABC 的形状．
解：因为直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线，所以CA 、CB 所在直线关于y ＝2x 对称，而A(－4, 2)关于直线y ＝2x 对称点A 1必在CB 边所在直线上 设A 1(x 1，y 1)则
?????
?
?-?=+-=?---2422
212)4(2
1111x y x y 得?
?
?-==24
11y x 即A 1(4, －2)
由A 1(4, －2)，B(3, 1)求得CB 边所在直线的方程为：3x ＋y －10＝0
又由??
?=-+=0
1032y x x
y
解得C(2, 4)
又可求得：k BC ＝－3，k AC ＝3
1
∴k BC ·k AC ＝－1，即△ABC 是直角三角形
变式训练3.三条直线l 1：x+y+a=0，l 2：x+ay+1=0，l 3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a 的取值范围。 解：a ∈R 且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。
（1）若l 1、l 2、l 3相交于同一点，则l 1与l 2的交点（-a-1，1）在直线l 3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。
（2）若l 1∥l 2，则-1 = - 1
a ，a=1。 （3）若l 1∥l 3，则-1 = - a ，a=1。 （4）若l 2∥l 3，则- 1
a = -a ，a= ±1。）
例4. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点p ，使PB PA +为最小，并求出这个最小值．
解：设点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(a ，b)，则由AA′⊥l 和AA′被l 平分，
则???
????=++?--?-=?+-0425423314
3
35b a a b 解之得a ＝3，b ＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min ＝|A′B|＝513
∵k A′B ＝
3
23
15-+＝－18 ∴A′B 的方程为y ＋3＝－18(x －3) 解方程组??
?--=+=+-)
3(1830443x y y x 得P(38
，3)
变式训练4：已知过点A （1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直
线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值． 解：设l 的方程为y －1＝－m(x －1)， 则P （1＋
m
1
，0），Q （0，1＋m ） 从则直线PR ：x －2y －
m
m 1
+＝0； 直线QS ：x －2y ＋2(m ＋1)＝0 又PR ∥QS ∴ | RS |＝
5
|1122|m m +
++＝5
123m m ++
又| PR |＝
52
2m +
，| QS |＝5
1+m 而四边形PRSQ 为直角梯形，
∴ S PRSQ ＝2
1×(51522+++
m m )×5
1
23m m +
+
＝5
1(m ＋
m 1＋49)2－801≥51(2＋49)2－80
1
＝3.6
∴ 四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6．
1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O 与斜率不存在的两种直线垂直．
2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决． 3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．
4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4
第3课时 线性规划
1．二元一次不等式表示的平面区域．
⑴ 一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式Ax ＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．
⑵ 对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y)使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同．因此，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0一侧的点使Ax ＋By ＋C>0，另一侧的点就使Ax ＋By ＋C<0，所以判定不等式Ax ＋By ＋C>0(或Ax ＋By ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧任意取一点(x 0，y 0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．
⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 2．线性规划 ⑴ 基本概念 ① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性） 例1. 若△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域（含边界）表示的二元一次
不等式组．
解：由两点式得AB 、BC 、CA 直线的方程并化简得AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0，CA ：2x ＋y －5＝0
结合区域图易得不等式组为??
???≤-+≥+-≥-+052020
12y x y x y x
变式训练1： △ABC 的三个顶点为A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，则△ABC 的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 ．
??
?
??≥-+≤--≥+-010440832y x y x y x 例2. 已知x 、y 满足约束条件 ??
???≥+
+≤-+≤--010********
5y x y x y x 分别求： ⑴ z ＝2x ＋y
⑵ z ＝4x －3y
⑶ z ＝x 2+y 2的最大值、最小值？
解：其中A(4，1)， B(－1，－6)， C(－3，2)
(1) 作与直线2x ＋y ＝0平行的直线l 1：2x ＋y ＝t ，则当l 1经过点A 时，t 取最大，l 1经过点B 时，t 取最小． ∴z max ＝9 z min ＝－13
(2) 作与直线4x －3y ＝0平行的直线l 2：4x －3y ＝t ，则当l 2过点C 时，t 最小，l 2过点B 时，t 最大． ∴z max ＝14 z min ＝－18
(3) 由z ＝x 2＋y 2，则z 表示点(x ，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B 到原点的距离最大，当(x ，y)为原点时距离为0．∴z max ＝37 z min ＝0
变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t ＝ax －y ，
(1) 若在区域上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数t 取得最小值，求此时a 的值． (2) 若当且仅当x ＝3
2，y ＝5
4时，目标函数t 取得最小值，求实数a 的取值范围？
解：(1)由t ＝ax －y 得y ＝ax －t
要使t 取得最小时的(x ，y)有无穷多个， 则y ＝ax －t 与AC 重合．
∴a ＝k AC ＝13
20
54--＝－512
(2)由K AC < a< K BC 得－
512< a<－10
3. 例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设
生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？ 解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x 、y ，所获利润为z ，则：
x )
??
?
??
?
?≥≥≤+≤+0056
28.008.07209.018.0y x y x y x 即 ???????≥≥≤+≤+00140072800
2y x y x y x 则z ＝6x ＋10y 作出可行域如图． 由??
?=+=+140072800
2y x y x
得 ?
?
?==100350
y x 即M(350，100)
由图可知，当直线l ：6x ＋10y ＝0平移到经过点M(350，100)时，z ＝6x ＋10y 最大，即当x ＝350，y ＝100时，，z ＝6x ＋10y 最大．
变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2和3m 2，用A 种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B 种可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小． 解：设A 种取x 块，B 种取y 块，总用料为z m 2，则
??
?≥+≥+556545
63y x y x z ＝2x ＋3y (x 、y ∈N)
可行域如图：
最优解为A(5，5)，x ＝5，y ＝5时，z min ＝25，即A 、B 两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m 2．
例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？ 设桌椅分别买x 、y 张，由题意得：
?????
??
??≤+≤≤≥≥2000
20505.100y x x
y y
x y x 由 ???=+=20002050y x y x 解得：??????
?
==72007
200y x ∴ 点A(7200，7200) 由???=+=200020505.1y x x y 解得??
???==27525y x
∴ 点B(25，
2
75
) 满足以上不等式组表示的区域是以A 、B 、O 为顶点的△AOB 及内部设x ＋y ＝z ，即y ＝－x ＋z ；当直线过点B 时，即x ＝25，y ＝
2
75
，z 最大．∵ y ∈z ，∴y ＝37 ∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．
变式训练4：A 1、A 2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B 1、B 2
两车站外运，用汽车将煤运到车站，A 1的煤运到B 1、B 2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A 2的煤运到B 1、B 2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？
解：设A 1运到B 1 x 万吨，A 2运到B 1 y 万吨，总运费为z 万元，则A 1运到B 2(8－x)万吨，A 2运到B 2(18－y)
万吨，z ＝3x ＋5(8－x)＋7y ＋8(18－y) ＝184－2x －y ，x 、y 满足??
???
??≤≤≤≤
+-≤+18080()
8(20y
x x y
x 可行域如图阴影部分．
当x ＝8时，y ＝12时，z min ＝156 即A 1的8万吨煤全运到B 1，A 2运到12万吨运到B 1，剩余6万吨运到B 2156万元．
1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域． 2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法．
3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．
4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查.
第4课时 曲线与方程
、
1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．
、参数法、交轨法等． 例1. 如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程.
解 ：设点M 的坐标为（x,y ）, ∵M 是线段AB 的中点， ∴A 点的坐标为（2x,0），B 点的坐标为（0，2y ）. ∴=（2x-2，-4），PB =（-2，2y-4）.
由已知·
PB =0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0.
∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x+2y-5=0.
变式训练1：已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|||MP |+ ·
NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程.
解 由题意：MN =（4，0），MP =（x+2,y ）,
NP =（x-2,y ）,
∵|MN ||MP |+MN ·
NP =0， ∴2
2
04+·2
2)2(y x +++（x-2）·4+y·0=0，
两边平方，化简得y 2=-8x.
例2. 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ??? ??-0,2
a
,C ??
?
??0,2
a 且满足条件sinC-sinB=2
1sinA,则动点A 的轨
迹方程是 （ ）
A.22
22151616a y a x -=1 (y≠0)
B.22
2231616a
x a y -=1 (x ≠0)
C.
2
2
22151616a y a x -=1（y≠0）的左支
D.
2
2
2231616a y a x -=1（y≠0)的右支 答案 D
变式训练2：已知圆C 1：(x+3)2+y 2=1和圆C 2：（x-3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.
解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得
|MC 1|-|AC 1|=|MA|， |MC 2|-|BC 2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|，
所以|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.
这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小），这里a=1,c=3,
则b 2
=8,设点M 的坐标为（x,y ）,其轨迹方程为x 2
-8
2
y =1 (x≤-1).
例3. 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点， 且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
解 设AB 的中点为R ，坐标为（x 1，y 1），Q 点坐标为（x ，y ）， 则在Rt △ABP 中， |AR|=|PR|，
又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理有
Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（2
1
2
1
y x +）.
又|AR|=|PR|=2
1
2
1
)4(y x +-，
所以有（x 1-4）2+2
1
y =36-（2
1
2
1
y x +）. 即2
1
2
1
y x +-4x 1-10=0.
因为R 为PQ 的中点， 所以x 1=
24
+x ，y 1=2
0+y . 代入方程2
1
2
1
y x +-4x 1-10=0，得
42242
2
-??
?
??+??? ??+y x ·24+x -10=0.
整理得x 2+y 2=56.
这就是Q 点的轨迹方程.
变式训练3：设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN =2MP ，PM ⊥PF ，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M （x 0，0），P （0，y 0），N （x ，y ）， 由=2MP 得（x-x 0，y ）=2（-x 0，y 0），
∴,22000???=-=-y y x x x 即.2100??
?
??=-=y
y x x
∵PM ⊥PF ,PM =(x 0,-y 0), PF =(1,-y 0), ∴(x 0,-y 0)·（1，-y 0）=0,∴x 0+20
y =0.
∴-x+
2
y =0,即y 2=4x.故所求的点N 的轨迹方程是y 2=4x. 1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．
2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．
3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．
第5课时 圆的方程
1． 圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为_________________．
2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F>0)，圆心为 ，半径r ＝ ． 3．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程的充要条件是 ． 4．圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的参数方程为_________．x 2＋y 2＝r 2的参数方程为________________．
5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为 ． 例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上． (2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6． 解：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0 由??
?=++=-+0910301523y x y x 解得 ???-==3
7
y x
∴圆心为C(7，－3)，半径r ＝65 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65
(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0
将P 、Q 两点坐标代入得
??
?-=+-=--②
F E D ①
F E D 1032042 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0
由弦长|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36 ③
解①②③可得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 变式训练1：求过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线x －2y －3=0上的圆的方程． 由A （2，－3），B （－2，－5），得直线AB 的斜率为k AB =
－5－(－3)－2－2
= 1
2 ,
线段AB 的中点为（0，－4），线段AB 的中垂线方程为y ＋4=－2x,即y ＋2x ＋4=0,
解方程组240230x y x y ++=??--=?得12x y =-??=-?
∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2＋(－3＋2)2 =10
所求圆的方程为（x ＋1)2＋(y ＋2)2=10
例2. 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
解 方法一 将x=3-2y, 代入方程x 2+y 2+x-6y+m=0, 得5y 2-20y+12+m=0.
设P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=
.5
12m
+ ∵OP ⊥OQ,∴x 1x 2+y 1y 2=0. 而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2.
∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.
∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为???
??-32
1
，
,半径r=2
5. 方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴21
=M
O k
.
∴O 1M 的方程为:y-3=2??
?
?
?+21x ,
即：y=2x+4. 由方程组.0324
2?
?
?=-++=y x x y
解得M 的坐标为（-1，2）.
则以PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.
∴+??
? ??+-2
121(3-2)2
+5=44)6(12m --+
∴m=3.∴半径为2
5
,圆心为??
?
??-3,21.
方法三 设过P 、Q 的圆系方程为 x 2+y 2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.
由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m-3λ=0，即m=3λ. ∴圆的方程可化为
x 2+y 2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0 即x 2+(1+λ)x+y 2+2(λ-3)y=0. ∴圆心M ???
?
?-+-2)3(221λλ，，又圆在PQ 上. ∴-2
1λ
++2（3-λ）-3=0， ∴λ=1，∴m=3.
∴圆心为??
?
??-3,21
，半径为2
5.
变式训练2：已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m 取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1）， 又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，
∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得
|AB|=22
2
CM r -=.54]）21（）13（[2522
2=-+--
此时，k t =-
C M
k 1
,从而k t =-3
1121--=2. ∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.
（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y 的最大值和最小值； （3）求
1
2
--x y 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 d=
5
6
4312
04)2(32
2=
++?+-?. ∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d+r=5
6+1=
511，最小值为d-r=56-1=5
1
.
（2）设t=x-2y,
则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点. ∴
2
2212+--t ≤1.∴-5-2≤t≤5-2，
∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k=
1
2
--x y ， 则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点， ∴
1
232++-k k ≤1.∴
433-≤k≤4
3
3+, ∴k max =433+，k min =4
33-.
变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0.
（1）求y-x 的最大值和最小值； （2）求x 2+y 2的最大值和最小值.
解 （1）y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时
,32
02=+-b
，解得b=-2±6.
所以y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.
（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为2
2
）00（）02（-+
-=2， 所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2
+y 2
的最小值是（2-3）2
=7-43.
例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②
的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。
解法一设圆的圆心为P （a,b),半径为r ，则点P 到x 轴y 轴的距离分别为∣b ∣、∣a ∣。
由题设条件知圆P 截x 轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P 截x 轴所得的弦长为 2 r ，故r 2=2b 2． 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2＋1,从而得2b 2=a 2＋1．
点P 到直线x －2y=0的距离为∴5d 2=(a －2b)2=a 2＋4b 2－4ab= 2a 2＋2b 2－4ab ＋1=2(a －b)2＋1≥1 当且仅当a=b 时取等号，此时，5d 2=1, d 取得最小值．
由a=b 及2b 2=a 2＋1得11
11
a a
b b ==-????
==-??或，进而得r 2=2 所求圆的方程为（x －1)2＋(y －1)2=2或（x ＋1)2＋(y ＋1)2=2
解法二同解法一，得
a－2b= ±5 d
a2=4b2±4 5 bd＋5d2,将a2=2b2－1代入整理得2b2±4 5 bd＋5d2＋1=0 （※）把（※）看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故△≥0即
8（5d2－1)≥0, 5d2≥1可见5d2有最小值1，从而d有最小值5
5，将其代入（※）式得2b
2±4b＋2=0, b= ±1,
r2=2b2=2, a2=2b2－1=1, a= ±1
由∣a－2b∣=1知a、b同号
故所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2
变式训练4：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝2PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
O1O2所在的直线为x轴，
O1(－2, 0)
、O2(2, 0)．如图：
2
P(x，y)
∴ (x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]
即(x－6)2＋y2＝33为所求点P的轨迹方程．
1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程．
2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；
若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；
若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．
3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算．
4．运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便．
5．点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.
第6课时直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切?d＝r?△＝0
相交??
相离??
2．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：
外离?d > R＋r
外切?
相交? 内切? 内含? 3. 圆的切线方程
① 圆x 2＋y 2＝r 2上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为l: .
② 圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为l : . ③ 圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0上一点p(x 0, y 0)处的切线方程为 .
例1. 过⊙：
x 2＋y 2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
⑴ 求过点P 的圆的切线方程．
⑵ 若切点为P 1、P 2求过切点P 1、P 2的直线方程． 解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y －2＝k(x －4) 即kx －y+2－4k ＝0 ① 则d ＝
2
142k k +-
∴
2
142k k +-＝2 解得k ＝1或k ＝7
1
∴切线方程为：x －y －2＝0或x －7y ＋10＝0
(2) 设切点Ｐ1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则两切线的方程可写成l 1: x 1x ＋y 1y ＝2，l 2：x 2x ＋y 2y ＝２ 因为点(4，2)在l 1和l 2上．
则有4 x 1＋2y 1＝2 4x 2＋2y 2＝2
这表明两点都在直线4x ＋2y ＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x ＋y －1＝0即为所求
变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C ：022
2
2
=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )
A.k ∈R Ｂ.k ＜
3
32 Ｃ.0k << D.k <<（2）设集合A={（x,y)|x 2＋y 2≤4},B={(x,y)|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)},当A ∩B=B 时，r 的取值范围是 （ ） A ．（0， 2 －1） B ．（0，1] C ．（0，2－ 2 ] D ．（0， 2 ] （3）若实数x 、y 满足等式(x-2)２
＋ｙ２
＝３，那么
x
y
的最大值为( ) A.
21 Ｂ.33 Ｃ.2
3 Ｄ.3 （4）过点M )2
3,3(--且被圆252
2=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 ．
（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆0342
2
=--+x y x 和0342
2
=--+y y x 的交点的圆的方程是 .
，2)
解：（1）D ．提示：P 在圆外． （2）C ．提示：两圆内切或内含． （3）D ．提示：从纯代数角度看，设t=x
y
,则y=tx ，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t 的范围。从数形结合角度看，
x
y
是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界． （4）0301543=+=++x y x 或．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．
（5）032622=-+-+y x y x .提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得．
例2. 求经过点A(4，－1)，且与圆：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程． 解：圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝5 ∴圆心C(－1，3)，直线BC 的方程为： x ＋2y －5＝0 ① 又线段AB 的中点D(2
5，2
1)，k AB ＝－1 ∴线段AB 的垂直平分线方程为： y －2
1＝x －2
5即x －y －2＝0 ② 联立①②解得x ＝3，y ＝1
∴所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|＝5
∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5
变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程． 解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2, ∵圆与坐标轴相切， ∴a=±b,r=｜a ｜
又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上. ∴5a-3b=8,
由????
???==-±=a r b a b a 835 得??
?
??=-==?????===111444r b a r b a 或 ∴所求圆的方程为： （x-4)2+(y-4)2=16 或(x-1)2+(y+1)2＝1．
例3. 已知直线l ：y ＝k(x ＋22)(k≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．△AOB 的面积为S ．
⑴ 试将S 表示为k 的函数S(k)，并求出它的定义域． ⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k 值．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
【必考题】数学高考第一次模拟试题(带答案) 一、选择题 1．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 2．若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ． 6425 B ． 4825 C ．1 D ． 1625 3．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6 B ． C ．10 D ．4．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据 分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 5．已知向量( ) 3,1a = ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ?=，则b =（ ） A ．12????? B ．1,22?? ? ??? C ．14? ?? D ．()1,0 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()f x = 与()f x =()f x y ==()f x x =与 ()g x = ③()0 f x x =与()01 g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．已知π ,4 αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．4 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2) (2,)e e e +∞ 9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a)
tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa
2015艺考生高考数学总复习讲义 第一章、集合基本运算 一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…； 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集 定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合
2019年临沂市高考数学第一次模拟试卷(及答案) 一、选择题 1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ． 12 B ． 13 C ． 16 D ． 112 2．如图所示的圆锥的俯视图为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若复数2 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1?i C ．?1+i D ．?1?i 4．()6 2111x x ??++ ??? 展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 5．2 5 3 2()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 7．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α β= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．5 22x x ??+ ?? ?的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．72 B ．64 C ．48 D ．32 11．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，2 11,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ） A ．当101 ,102 b a = > B ．当101 ,104 b a = > C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =-> 12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 二、填空题 13．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．函数()22,0 26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>? 的零点个数是________．
高考公式大总结 根式 当n 为奇数时,a a n n =； 当n 为偶数时,???<-≥==0,0,a a a a a a n n . 正数的正(负)分数指数幂: １．n m n m a a =1,,0(*>∈>n N n m a ，且) 2.n m n m a a 1 = -1,,0(*>∈>n N n m a ，且）． 整数指数幂的运算性质： (1）();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=+ （2）() ()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0; (3）()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. （4)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=÷- 对数 (1）对数的性质: ① N a N a =log ; ② N a N a =log ； ③ a N N b b a log log log = (换底公式); （2）对数的运算法则： ① ();log log log N M MN a a a += ② ;log log log N M N M a a a -= ③ M n M a n a log log =； 错误! M m n M a n a m log log = ① 常用对数:以１０为底的对数叫做常用对 数，并把log 10N 记作_lg １0; ② 自然对数：以_e_为底的对数称为自然对 数，并把ｌｏｇe N 记作ｌn N ． 1.同角三角函数的基本关系 1cos sin 22=+αα αααtan cos sin =(Z k k ∈+≠,2 ππ α） 2.诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变,符号看 象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π 2 的 奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当锐角时,原三角函数式中的2πα?? + ??? 所在象限的原三角函数值的符号． 二倍角公式: αααcos sin 22sin =; ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α =α2sin 21-; α α α2 tan 1tan 22tan -= 三角恒等变换 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±； 解三角形 1.正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === 正弦定理的三种变式:
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5
【典型题】数学高考第一次模拟试题(带答案) 一、选择题 1．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??P ，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r 2．2 5 32()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 3．如果 4 2 π π α<< ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα<< B ．tan sin cos ααα<< C ．cos sin tan ααα<< D ．cos tan sin ααα<< 4．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．53 y x =± 5．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ） A ． B ． C ． D ．
7．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. A ．6500元 B ．7000元 C ．7500元 D ．8000元 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3π B ．2，－6 π C ．4，－6 π D ．4， 3 π 9．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC '' =,//'''B C y 轴,则ABC V 中AB 边上的中线的长度为( ) A ． 732 B 73 C ．5 D ． 52 10．若双曲线22 221x y a b -=3，则其渐近线方程为（ ） A ．y=±2x B ．y=2x C ．1 2 y x =± D ．22 y x =±
文科高考数学必背公式
文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集： 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα
公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．
A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
2018届内蒙古包头市高三第一次模拟考试 数学（理）试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．4 2.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，2{|,}M x x x x U =≤∈，32 {|320}N x x x x =-+=，则M N = I （ ） A ．{0,1,2}-- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{0,1} 3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为（ ） A ． 25升 B ．611升 C ．1322升 D ．21 40 升 4.若,x y R ∈，且1 230x x y y x ≥?? -+≥??≥? ，则2z x y =+的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.已知550(21)x a x -=4 145a x a x a ++??????++，则015a a a ++??????+=（ ） A ．1 B ．243 C ．32 D ．211 6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ） A ． 83 B ．323 C ．163 D ．283
7.若双曲线C ：22 221x y a b -=的离心率为e ，一条渐近线的倾斜角为θ，则cos e θ的值（ ） A ．大于1 B ．等于1 C ．小于1 D ．不能确定，与e ，θ的具体值有关 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的1 50 t = ，则输出的n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母R 时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ） A ．翻且只翻（1）（4） B ．翻且只翻（2）（4） C ．翻且只翻（1）（3） D ．翻且只翻（2）（3） 10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 是EF 的中点，沿DE ，EF ， FD 将正方形折起，使A ，B ，C 重合于点P ，构成四面体，则在四面体P DEF -中，给出下列 结论：①PD ⊥平面PEF ；②PD EF ⊥；③DG ⊥平面PEF ；④DF PE ⊥；⑤平面PDE ⊥平面PDF .其中正确结论的序号是（ ）
高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积
1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
高考数学复习资料精选推荐 复习是高考数学教学的关键部分，它不仅是对数学知识系统全面的整合与巩固，下面是查字典数学网编辑的高考数学复习资料，供参考，祝大家高考大捷~ 高考数学复习资料精选推荐： (一) 任一x∈A x∈B，记作A B A B， B A A=B A B={x|x∈A，且x∈B} A B={x|x∈A，或x∈B} card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B) (1)命题 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q 逆否命题若q，则p (2)四种命题的关系 (3)A B，A是B成立的充分条件 B A，A是B成立的必要条件 A B，A是B成立的充要条件 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法②描述法
③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n 真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2 (二) 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线. 线线平行常用方法总结： (1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________
新高考数学第一次模拟试卷带答案 一、选择题 1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测 的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 3．2 5 3 2()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成 绩依次记为1214,, A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图，那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8
C ．9 D ．10 6．函数3 2 ()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,2) 7．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x > B ．0x 或2x - C ．0x <或2x > D ．1 2 x - 或3x 8．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A B ． 532 C D 9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．样本12310,? ,?,? a a a a ???的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ???的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ???的平均数为（ ） A ．()a b + B ．2()a b + C ． 1 ()2 a b + D ． 1 ()10 a b + 11．已知非零向量AB 与AC 满足 0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ? ?? 且1 2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．以上均有可能 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2 ()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题 13．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3?? +∞???? 上存在单调增区间，则实数a 的取值 范围是_______. 14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
高考必背数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有 个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为 时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 .
7.方程在内有且只有一个实根,等价于 或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有 解充要条件是。
(4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。 对于参数及函数.若恒成立，则；若 恒成立，则；若有解，则；若有解，则 ；若有解，则.若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 10.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也 是减函数; 如果函数和都是增函数,则在公共定义域内,和函数 也是增函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是 减函数,则复合函数是增函数；如果函数和在其对 应的定义域上都是增函数,则复合函数是增函数；如果函数 和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数 是减函数. 11.常见函数的图像： 12.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.
2013高考数学二轮复习精品资料专题集合与常用逻辑用语名 校组合测试题 1．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(?Z M)∩N＝() A．{0,1}B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2} 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是() A．t＋k＝1 B．t－k＝1 C．t·k＝1 D．t－k＝0 【试题出处】2012·银川一中模拟 【解析】∵a＝(2,1)，b＝(－1,2)，∴a·b＝0，|a|＝|b|＝5，∴m⊥n?m·n＝0?(ta＋b)(a －kb)＝0?ta2－kta·b＋a·b－kb2＝0?5t－5k＝0，即t－k＝0. 【答案】D 【考点定位】充要条件 3．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1 i |＜2，i为虚数单位，x∈R}， 则M∩N为() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 4．设集合I是全集，A?I，B?I，则“A∪B＝I”是“B＝?I A”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【试题出处】2012·厦门一中模拟 【解析】由B＝?I A?A∪B＝I，而A∪B＝I?/B＝?I A，故“A∪B＝I”是“B＝?I A”的必要不充分条件．
【答案】B 【考点定位】充要条件 5．已知命题p ：?x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：?x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2，则( ) A ．綈p 是假命题 B ．綈q 是真命题 C ．p ∨q 是真命题 D ．綈p ∧綈q 是真命题 6．已知全集U ，集合A ，B 如图所示，则(?U A )∩B ＝( ) A ．{5,6} B ．{3,5,6} C ．{3} D ．{0,4,5,6,7,8} 【试题出处】2012·邯郸一中模拟 【解析】由图可知，U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,5,6}，∴?U A ＝{0,4,5,6,7,8)，(?U A )∩B ＝{5,6}． 【答案】A 【考点定位】集合 7．下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈????0，π2，x >sin x B ．?x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．?x ∈R,3x >0 D ．?x 0∈R ，lg x 0＝0 8．已知全集U ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩?U N