高中数学基础知识归类——献给2012年高三(理科)考生
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域；
{(,)|lg }
x y y x =—函数图象上的点集.
2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?.
②空集是任何集合的子集,记为A ??.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况 如：}
012|{2
=--=x ax x A ,如果A
R +=?
,求a 的取值.(答：0a ≤)
④()U
U U C A
B C A C B =,()U U U C A B C A C B
=；A B C A B C =（）（）
；
A B C A B C =（）（）
.
⑤A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=?U C A
B R
?=. ⑥
A B
元素的个
数
：
()()card A B cardA cardB card A
B =+-.
⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n
；真子集(非空子集)个数为21n
-；非空真子集个数为22n
-.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有
关问题。
如：已知函数1
4
(2
)(2
)2
2
2+
x
p
f在区间]1,1[-上至少
x
x
-
-
p
-
=p
-
存在一个实数c,使
c
f,求实数p的取值范围.(答：32
(>
)
-)
(3,)
4.原命题: p q?；逆命题: q p?；否命题: p q
???；逆否
命题: q p
???；互为逆否的两
个命题是等价的.如：“β
αsin
sin≠”是“βα≠”的条件.(答：充分非必要条件)
5.若p q?且q p≠>,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
6.注意命题p q?的否定与它的否命题的区别: 命题p q?
的否定是p q??；否命题是p q
???.
命题“p或q”的否定是“p?且q?”；“p且q”的否定是“p?或q?”.
如：“若a和b都是偶数，则b a+是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则b a+是奇数”
否定是“若a和b都是偶数,则b a+是奇数”.
7.常见结论的否定形式
二.函数
1.①映射f:A B→是：⑴“一对一或多
对一”的对应；⑵集合A中的元素必
有象且A中不
同元素在B中可以有相同的象；集合B
中的元素不一定有原象(即象集B?).
②一一映射f:A B→：⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.
2.函数f: A B→是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x轴
的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可
能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>
且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b,复合函数[()]
f g x定义
域由()
f g x定义域为[,]a b,则()f x定义域相
≤≤解出；若[()]
a g x b
当于[,]
∈时()g x的值域.
x a b
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；
⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
⑵若()f x是偶函数,那么()()(||)
f x f x f x
=-=；定义域含零的奇
函数必过原点((0)0
f=)；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0
f x f x
±-=
或()
()1(()0)
f x f x f x
-
=±≠；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个
(如()0
f x=定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）
如：函数1
22
log(2)
y x x
=-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))
8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移-
--------“左加右减”（注意是针对x 而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →.
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像1
C 与2
C 的对称性,即证1
C 上任意点关于对称
中心(轴)的对称点仍在2
C 上,反之亦然.
③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数
()
y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；
④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；
⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于
直线2
a b
x +=对称； ⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=对称(由a x b x
+=-确定)；
⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2
a b x +=对称； ⑧函数
()y f x =,
()
y A f x =-的图像关于直线
2
A y =
对称(由
()()
2
f x A f x y +-=
确定)；
⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；
函数()y f x =,()y n f m x =--
的图像关于点22
(,)m n
对称； ⑩函数()y f x =与函数1
()
y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲
线1
C ：(,)0f x y =,关于
y x a
=+,
y x a
=-+的对称曲线2
C 的方程为
(,)0
f y a x a -+=(或
(,)0
f y a x a -+-+=；
曲线1
C ：
(,)0
f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2
C 方程为：
(2,2)0
f a x b y --=.
9.函数的周期性：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；
⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；
⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；
⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -； ⑸()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；
⑹()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()
()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||
a ；
10.对数：⑴log log
n
n a
a b b =(0,1,0,)
a a
b n R +>≠>∈；⑵对数恒等式
log (0,1,0)
a N a N a a N =>≠>；
⑶log ()log log
;log log log ;log log n a
a
a a
a a a a M N
M N M N M N M n M
?=+=-=；
1
log log a a n
M
；⑷对数换底公式log log log
b b a N a
N =
(0,1,0,1)
a a
b b >≠>≠；
推论：1
21123log log log 1log
log log log n a
b
c
a a a n a n
b c a a a a a -??=????=.
(以上1
2
0,0,0,1,0,1,0,1,,,
n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠>且1
2
,,
n
a a a 均不等于1)
11.方程()k f x =有解k D ?∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立
[()]a f x ?≥最大值
,
()
a f x ≤恒成立[()]a f x ?≤最小值
.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：
2()(0)
f x ax bx c a =++≠；②顶点式：
2()()(0)
f x a x h k a =-+≠； ③零点式：1
2
()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0?>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由
不等式()a g x ≤b ≤解出；若[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定
义域，相当于[,]x a b ∈时,求
()
g x 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判
定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；
⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹()y f x =与1
()
y f x -=互为
反函数,设
()
f x 的定义域为
A
,值域为
B
,则有
1[()]()
f f x x x B -=∈,1
[()]()
f
f x x x A -=∈.
18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
()()()0
f u
g x u
h x =+≥(或0≤)()a u b ≤≤()0()0f a f b ≥???≥?(或()0
()0f a f b ≤??
≤?
)； 19.函数(0,)ax b cx
d
y c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线d c x =-(由分母为零确定)和
直线a c y =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c -；③反函数为b dx cx a
y --=； 20.函数(0,0)b x y ax a b =+>>
：增区间为(,)
-∞+∞,
减区间为
[-. 如：已知函数12
()ax x f x ++=在区间(2,)-+∞上为增函数,则实数a
的取值范围是_____(答：12(,)+∞). 三.数列 1.由n
S 求n
a ,1*1(1)
(2,)
n
n n S n a
S S n n N -=??=?-≥∈?? 注意验证1
a 是否包含在后面
n
a 的公式中,若不符合要
单独列出.如：数列{}n
a 满足1
11
5
3
4,n
n n a S
S a ++=+=，求n
a (答：
{
14(1)
34(2)
n n n a n -==
?≥).
2.等差数列1
{}n
n
n a a a
d
-?-=(d 为常数)112(2,*)
n
n n a
a a n n N +-?=+≥∈
2112
2
(,)(,)
n n d
d
a an
b a d b a d S An Bn A B a ?=+==-?=+==-； 3.等差数列的性质： ①()n
m a a n m d =+-,
m n a a m n
d --=
；
②m
n l k m n l k a
a a a +=+?+=+(反之不一定成立)；特别地,当
2m n p
+=时,有2m
n p
a
a a +=；
③若{}n
a 、{}n
b 是等差数列,则{}n
n
ka tb +(k 、t 是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,
m
m
m m m S S
S S S --仍是等差数列；
⑤等差数列{}n
a ,当项数为2n 时,S
S nd
-=偶
奇,1
n n S a S
a +=
奇偶
；项数为
21
n -时,
(*)n S S a a n N -==∈偶中奇,
21(21)n n
S n a -=-,且1
S
n S
n =
-奇偶
；
()(21)
n n n
n
A a
B b f n f n =?
=-.
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
100
n n a a +≥??
≤?(或1
n
n a a +≤??
≥?
).也可用2n
S An Bn
=+的二次函数关系来分析.
⑦若,()
n
m a m a n m n ==≠,则0
m n
a
+=；若,()
n
m S
m S n m n ==≠,则()
m n
S
m n +=-+；
若
()
m n S S m n =≠,则S m+n =0；S 3m =3(S 2m －S m )；
m n m n S S S mnd
+=++.
4.等比数列12
1
111{}(0)(2,*)n n
n n
n n n n a a
a q q a a a n n N a a q +--+?=≠?=≥∈?=.
5.等比数列的性质 ①n m
n
m a
a q -=
,n q =
；②若{}n
a 、{}n
b 是等比数列，则{}n
ka 、
{}
n n a b 等也是等比数列；
③
11
1111(1)1111(1)(1)(1)
(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==????==??-+≠=≠????
；④m n
l k
m n l k a a
a a +=+?=(反之不
一定成 立)；
m n m n m n n m
S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中
232,,,
m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)
仍是等比数列. ⑥等比数列{}n
a 当项数为2n 时,S
S q
=偶奇
；项
数为21n -时,1S a S q -=奇
偶
.
6.①如果数列{}n
a 是等差数列,则数列{}n
a A (n
a A 总有意义)
是等比数列；如果数列{}n
a 是等比数列,
则数列{log
||}(0,1)
a
n a a a >≠是等差数列；
②若{}n
a 既是等差数列又是等比数列,则{}n
a 是非零常数数列；
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项
顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；
④三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++；
三个数成等比的设法：,,a q
a aq ；四个数成等比的错误设法：3
3
,,,a a
q q aq aq (为什么？)
7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式. ⑵已知n
S (即1
2
()
n a a a f n ++
+=)求n
a 用作差法：11,(1)
,(2)
n
n n S n a
S S n -=?=?
-≥?.
⑶已知1
2
()
n a a a f n ??
?=求n
a 用作商法：
()(1)
(1),(1),(2)
n f n f n f n a n -=??=?≥??.
⑷若1
()
n n a a f n +-=求n
a 用迭加法. ⑸已知1()
n n
a
a f n +=,求n
a 用迭乘
法.
⑹已知数列递推式求n
a ,用构造法(构造等差、等比数
列)：①形如1n
n a
ka b -=+,1n
n n a ka b -=+,
1n n a ka a n b
-=+?+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数
法转化为公比为k 的等比数列后, 再求n
a .②形如11n n n
a ka b
a
--+=
的递推数列都可以用 “取倒数
法”求通项.
8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位 相减；⑤分裂通项法.公式：1
2
123(1)
n n n +++
+=+；
22221
6
123(1)(21)
n n n n ++++=++；
33332
(1)2
123[
]n n n ++++
+=；2
135n n +++
+=；常见裂项公式
11
1(1)1
n n n
n ++=-
；
111
1
()
()
n n k k n
n k
++=-
；
111
1(1)(1)
2(1)
(1)(2)
[
]
n n n n n n n -++++=-
；
11(1)!!
(1)!
n n n n ++=
-
常见放缩公式：
=.
9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利 率为
r
,则
n
期后本利和为：
(1)2
(1)(12)(1)()
n n n S p r p r p nr p n r +=++++
+=+(等差数列问
题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等
1-
11
sin cos αα
-
1-
-sin cos αα
+ 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利
率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：
12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x
--+=++++
+++(等比数列问题).
四.三角函数
1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ?=+∈；α终边与θ终边共线
()
k k Z αθπ?=+∈；α终边
与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ?=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称
2()k k Z απθπ?=-+∈；α
终边与
θ
终边关于原点对称
2()
k k Z απθπ?=++∈；
α
终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ?=-+∈.
2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：2
11
2
2
||S lr r θ==扇形
；1弧
度(1rad )≈57.3?.
3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”
.
注意： tan15cot 752?=?
=；tan75cot152?=?=+
4.三兄妹
sin cos x x
±、sin cos x x ?”的关系如2
(sin cos )
12sin cos x x x x
±=±等.
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
(注意：公式中始终视．．．α．为锐．．角．)．
6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角
与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；2
2αβαβ++=?；
2
2
2
()()
αββα
αβ+=---等；“1
”的变换：
221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=?=?=?
；
7.
重要结论：sin cos )
a x
b x x ?+=
+其中tan b a
?=）；重要公式2
2cos 1sin 2
αα-=；2
cos α= 1cos 22
α
+
；sin 1cos 21cos sin tan ααα
αα
-+===
；2
2
|cos sin |
θ
θ
±.
万能公式：2
2tan 1tan sin 2α
αα+=；2
2
1tan 1tan cos2α
αα-+=；2
2tan 1tan tan 2α
α
α-=. 8.正弦型曲线sin()y A x ω?=+的对称轴2
()
k x k Z π
π?
ω
+
-=∈；对称中
心(,0)()k k Z π?ω-∈；
余弦型曲线cos()y A x ω?=+的对称轴()k x k Z π?ω-=∈；对称中心
2
(
,0)()
k k Z π
π?
ω
+
-∈；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180?,一般用正、余弦定理实施边角互化；正
弦定理：sin sin sin 2a b c A B C R ===； 余弦定理：222
22
2
22
()222cos ,cos 1
b c a
b c a
bc
bc
a
b c bc A A +-+-=+-=
=
-；
正弦平方差公式：2
2sin sin sin()sin()
A B A B A B -=+-；三角形的内
切圆半径2ABC
S a b c r ?++=；
面积公式：12
4sin abc R
S ab C ?
==
；射影定理：cos cos a b C c B =+. 10.
ABC
?中,易
得：
A B C π
++=,①
sin sin()A B C =+,
cos cos()A B C =-+,
tan tan()
A B C =-+.
②22sin cos A B C +=,22cos sin A B C +=,22
tan cot
A B C
+=. ③sin sin a b A B A B >?>?> ④锐角ABC ?中,2A B π+>,sin cos ,cos cos A B A B ><,2
22
a
b c +>,类比得钝角
ABC
?结论.
⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.
11.角的范围：异面直线所成角2(0,]π；直线与平面所成角2[0,]π；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线的倾斜角
[0,)
π；1
l 到2l 的角[0,)π；1l 与2
l 的夹角2(0,]π.注意术语:坡度、
仰角、俯角、方位角等.
五.平面向量 1.
设
11(,)
a x y =,
22(,)b x y =. (1)
1221//0
a b x y x y ?-=；
(2)12
12
00
a b a b x x y y
⊥??=?+=.
2.平面向量基本定理：如果1
e 和2
e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向
量a ,有且只有一对实数1
λ、2λ,使1122
a e e λλ=+.
3.设1
1
(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212
||||cos a b a b x x y y θ?==+；其几何意义是a b
?等于a 的长度
与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b 的方向上的投影12
22||cos ||a b a b x θ?==+.
4.三点A 、B 、C 共线AB ?与AC 共线；与AB 共线的单位向量||
AB AB ±. 5.平面向量数量积性质：设
11(,)
a x y =,
22(,)
b x y =,则
121cos ||||a b
a b x θ?=
=
+；注意:,a b ??为锐角0a b ??>,,a b 不同向；
,a b ??
为直角0a b ??=；,a b ??为钝角0a b ??<,,a b 不反向.
6.a b ?同向或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+≥-=-；a b ?反向或有
0||||||||||||
a b a b a b a b ?-=+≥-=+；a b ?不共线||||||||||a b a b a b ?-<±<+.
7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若1
1
(,)a x y =,2
2
(,)b x y =,则
1212
a b x x y y ?=+；||(AB x =
⑵若(,)a x y =,则2
22
a
a a x y =?=+.
8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P 在线段2
1P P 上时,0λ>；当点P 在线段2
1P P (或1
2P P )
延长线上时,1λ<-或10λ-<<.②分点坐标公式：若
1
2PP PP λ=；且1
1
1
(,)P x y ,(,)P x y 2
2
2
(,)P x y ；
则
121211(1)x x y y x y λλ
λλλ++++?=??≠-?
?=??
, 中点坐标公式：
12122
2(1)x x y y x y λ++?
=??=?
?=??
.
③1
P ,P ,2P 三点共线?存在实数λ、μ使得12
OP OP OP λμ=+且
1
λμ+=.
9.三角形中向量性质：①AB AC +过BC 边的中点：
||
||
||
||
(
)(
)
AB AC AB AC AB AC AB AC +
⊥-
；
②13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++?++=?为ABC ?的重心； ③
PA PB PB PC PA PC P
?=?=??为
ABC
?的垂心； ④
||||||0BC PA CA PB AB PC P
++=?为
ABC
?的内心；||||
()(0)AB
AC
AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?内心. ⑤设1122(,),(,)
A x y
B x y , 12
AOB A B B A
S x y x y ?=
-. 222
11||||sin ||||()2
ABC
S
AB AC A AB AC AB AC ?=
=-?. ⑥O 为ABC ?内一点,则0
BOC
AOC AOB S OA S OB S OC ???++=.
10.
(,)(,)(,)
a h k P x y P x y ='''?????→按平移
,有
x x h
y y k
'=+??
'=+?(
PP a
'=)；
(,)()()
a h k y f x y k f x h ==?????→-=-按平移
.
六.不等式
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若0ab >,b a >,则11a b
>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b a ,
则
22
11a b a b
++≥≥(当且仅当b a =时
取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈，2
22a
b c ab bc ca
++≥++(当
且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：
2
2
2
2
2
(
)a b a b ++≥,
2
2
()a b ab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则b b m
a a m
++<
(真分数的性质)； 4.含绝对值不等式：
,a b
同号或有
0||||||||||||
a b a b a b a b ?+=+≥-=-；,a b 异号或有0
||||||||||||
a b a b a b a b ?-=+≥-=+.
5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：
0A B A B
-≤?≤.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通
过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或舍去一
些项,如：
||
a >n
>.②将分子或分母放大(
或缩小)
③利用基本不等式,如：(1)
2
n n ++.
④利用常用结
论：0
1
11<
；
2
2
111111
11
(1)(1)1
k
k k k
k
k k
k k
++---
=
<
<=
-
(程度大)；0
3 2
2
11111
1211
()k k k k --+<=-(程度小)；
⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知2
22
x y a +=,可设cos ,sin x a y a θθ==；知2
21
x
y +≤,可
设cos x r θ=,sin y r θ= (01r ≤≤)；知222
2
1
x
y a
b
+
=,可设cos ,sin x a y b θθ==；已知222
2
1
x
y a
b
-
=,可设
sec ,tan x a y b θθ
==.
⑺最值法,如：()a f x >最大值
,则()a f x >,则()a f x <恒成立.
七.直线和圆的方程
1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan ()k παα=≠(如右图)：
3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点
00(,)
x y 斜率为k ，则直线
高考数学必背公式与知识点过关检测 姓名 班级 第一部分：集合与常用逻辑用语 1．子集个数：含n 个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集 2．常见数集：自然数集： 正整数集： 或 整数集： 有理数集： 实数集： 3．空集：φ是任何集合的 ，是任何非空集合的 . 4．元素特点： 、 、 确定性 5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算 6．四种命题：原命题：若p ，则q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 7．充要条件的判断：p q ?，p 是q 的 条件；p q ?，q 是p 的 条件；p q ?，,p q 互为 条件；若命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B ，则 p q ?等价于 ，p q ?等价于 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）”； 8．逻辑联结词：或命题：p q ∨，,p q 有一为真即为 ，,p q 均为假时才为 ；且命题：p q ∧，,p q 均为真时才为 ，,p q 有一为假即为 ；非命题：p ?和p 为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词：⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?；全称命题p 的否定?p ： ； ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?；特称命题p 的否定?p ： ； 第二部分：函数与导数及其应用 1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0次幂的底数 0 ；对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0且 1 2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 3．函数的单调性：设1x ，2[,]x a b ∈ （1 ? []1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是 函数；
高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3． 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== (３）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法) 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f:Ａ→B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? （一对一,多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 1０． 如何求复合函数的定义域? [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是＿____＿_____＿_。 [] （答：，）a a - 1１． 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? （一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、ｙ；③注明定义域) () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥---
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
高三年级数学必背知识点 【篇一】 一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1， 同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn， 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1). 两个防范 (1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有： (1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. 注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列. 【篇二】 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互 高中数学必修+选修知识点归纳必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 3、并集.记作：B A Y .交集.记作：B A I . 全集、补集{|,}U C A x x U x A =∈?且 (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 简易逻辑： 或：有真为真，全假为假。 且：有假为假，全真为真。 非：真假相反 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 常用变换： ①) () ()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 证)()(])[()() () ()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?= - ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=??-= 证：)()()()(y f y x f y y x f x f +=?= 4、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 5、定义域1?? ??? 分母不等于零被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于 值域：利用函数单调性求出所给区间的最 大值和最小值， 6、函数单调性： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若 0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则) (x f 为减函数. 7、奇偶性 ()x f 为偶函数：()()x f x f =-图象关于y 轴对称.
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积
1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函
数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误 对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误 零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。
2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点，高三一轮复习从零开始，完整涵盖高中所有的知识点，第一轮复习是高考复习的关键，是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结，希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于
0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义
高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=，
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用
高考重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高中数学知识点回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素嘚特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合嘚性质：①任何一个集合是它本身嘚子集，记为A A ?； ②空集是任何集合嘚子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合嘚真子集； ①n 个元素嘚子集有2n 个. n 个元素嘚真子集有2n －1个. n 个元素嘚非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题嘚否命题为真，它嘚逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它嘚逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题嘚形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”嘚真假判断 4、四种命题嘚形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它嘚逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它嘚否命题不一定为真。
③、原命题为真，它嘚逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 嘚充分条件，q 是p 嘚必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 嘚充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数嘚性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数： )()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -； d.比较 )()(x f x f 与-或)()(x f x f --与嘚关系。 （4）函数嘚单调性 定义：对于函数f(x)嘚定义域I 内某个区间上嘚任意两个自变量嘚值x 1,x 2, ⑴若当x 1