2013高考数学一轮复习试题 13-4 理

2013高考数学一轮复习试题 13-4 理

A级基础达标演练

(时间：40分钟满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( )．

A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．

答案 D

2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是( )．

A．2k＋2 B．2k＋3

C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)

解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，

所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k ＋2)＋(2k＋3)．

答案 D

3．对于不等式n2＋n

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k

k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )．

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

答案 D

4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k

＋1时的情况，只需展开( )．

A ．(k ＋3)3

B ．(k ＋2)3

C ．(k ＋1)3

D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3

解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．

当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．

答案 A

5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝

n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )．

A ．k 2＋1

B ．(k ＋1)2

C.k ＋1

4＋k ＋122 D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2

解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2

，

当n ＝k ＋1时，

左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，

∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，

∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；

∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.

答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2

7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1

＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．

解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13

，右边＝2. 答案 1＋12＋13

＜2 8．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…

解析所有数字之和S n＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n. 答案2n－2n

三、解答题(共23分)

9．(11分)试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．

证明法一(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．

当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9

＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，

即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．

根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．

法二(1)当n＝1时f(1)＝64

命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．

由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，

将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得，

f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．

根据(1)(2)知，对于任意n∈N*，命题都成立．

10．(12分)已知数列{a n}中，a1＝a(a＞2)，对一切n∈N*，a n＞0，a n＋1＝a2n

2a n－1

. 求证：a n＞2且a n＋1＜a n.

证明法一∵a n＋1＝a2n

2a n－1

＞0，∴a n＞1，

∴a n－2＝a2n－1

2a n－1－1－2＝

a n－1－22

2a n－1－1

≥0，

∴a n≥2.若存在a k＝2，则a k－1＝2，由此可推出a k－2＝2，…，a1＝2，与a1＝a＞2矛盾，故a n＞2.

∵a n ＋1－a n ＝a n 2－a n 2a n －1

＜0， ∴a n ＋1＜a n . 法二 (用数学归纳法证明a n ＞2)

①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，故命题a n ＞2成立；

②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＞2，那么，a k ＋1－2＝a 2k 2a k －1－2＝a k －22

2a k －1＞0.

所以a k ＋1＞2，即n ＝k ＋1时命题也成立．

综上所述，命题a n ＞2对一切正整数成立．

a n ＋1＜a n 的证明同上．

B 级 综合创新备选

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764

(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )． A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12

＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案 B

2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)

，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )． A.

12k ＋2 B ．－12k ＋2 C.12k ＋1－12k ＋2

D.12k ＋1＋12k ＋2 解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k

，当n ＝k ＋1时， 左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2

. 答案 C

二、填空题(每小题4分，共8分)

3．在数列{a n }中，a 1＝13

且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．

解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115

； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，

即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135

； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，

即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163

. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9

， 故猜想a n ＝12n －12n ＋1. 答案 a n ＝1

2n －12n ＋1

4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；

4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；

5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；

…；

一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．

设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴n －1n

2＝60，

∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，

12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，

∴第60个数对为(5,7)．

答案 (5,7)

三、解答题(共22分)

5．(10分)(2010·全国)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n

. (1)设c ＝52，b n ＝1a n －2

，求数列{b n }的通项公式； (2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．

解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2

＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2. b n ＋1＋23＝4? ????b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以?

?????b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比

数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23

. (2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2.

用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.

(ⅰ)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1

＞a 1，命题成立； (ⅱ)设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *

)时，a k ＜a k ＋1，

则当n ＝k ＋1时， a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k

＝a k ＋1. 故由(ⅰ)(ⅱ)知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.

当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n

， 所以a 2n －ca n ＋1＜0有解， 所以c －c 2－4

2＜a n ＜c ＋c 2－4

2，令α＝c ＋c 2－42，

当2＜c ≤103

时，a n ＜α≤3. 当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜13

2(α－a n －1)＜ (13)

n (α－1)． 当n ＞log 3α－1α－3

时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾． 因此c ＞103

不符合要求． 所以c 的取值范围是?

????2，103. 6．(12分)(2012·西安模拟)是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2

＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．

解 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立．

当n ＝1时，a (b ＋c )＝1；

当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6；

当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.

解方程组????? a b ＋c ＝1，a 4b ＋c ＝3，

3a 9b ＋c ＝19.

解得?????

a ＝13

，b ＝2，c ＝1.

证明如下： ①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N *

)时等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)； 当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12

＝13

k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13

k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13

k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13

(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13

(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．

因此存在a ＝13

，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．