由一道习题引发的关于做功的思考
【摘要】好多学生甚至有些老师对做功的计算和动能定理的应用存在理解误区。通过例子来具体说明功，系统动能定理应为【关键词】受力点位移；内力做功；系统动能定理
例1.1，一匀质长方体木块静止放于光滑地面上，一颗子弹以初速度v0水平向右射入木块，最后留在木块中，子弹打入的深度为d，在打入过程中木块的位移为L，假设射入过程中子弹与木块间的力f大小恒定，求子弹对木块和木块对子弹做的功W1和W2分别为多少？
解析：为了简化，我们把子弹当作质点。射入过程中，子弹对地的位移为（L+d），故而阻力对子弹做功W1=-f（L+d）。木块长度不能忽略，木块也不能当作质点，子弹对木块作用力的作用点一直在变，子弹在木块上打入的深度为d的径迹可以认为是由无数个质点组成的一条线段，在子弹对每一个质点作用过程中，每个质点在力作用下位移分别为l1，l2，，l3，，l4，，l5，，l6……在相同的时间段里，每个质点位移与木块的整体位移都相同，所以l1，l2，，l3，，l4，，l5，，l6……恰好就是木块在各个小时间段里的位移，所以这些小位移之和恰好等于木块总位移L。子弹对木块做的功W2=fl1+fl2+fl3+fl4+...=fL。
由上例可以看出，当物体平动时，由于作用点的位移与物体整体
一道习题引发的思考 ——如何提高学生解决应用题的能力二年级在学生学习了用除法解决问题后，试卷中出现了这样一道题：“一张邮票8角，小明有4元钱，能买几张这样的邮票？”这道题正确的做法是先把4元换算成40角，再用40÷8=5（张），而大多数学生是这样做的：8÷4=2（张）。学生的错误率如此之高，所犯错误又是如此雷同，为什么会出现这种现象呢？我是这样分析的：这道题的前两题都是用除法解决问题，而且都是大数除以小数，学生做到这题时思维定势，以为还是用题目中的大数除以小数。作为一名数学教师，“如何提高学生解决应用题的能力”成了我思考最多的问题。 一、仔细审题 做一道题目之前首先要读题，所以我认为要提高学生解决问题的能力，培养学生仔细审题的习惯尤为重要。让学生学会读懂题目，明确题目中究竟讲了怎样的一回事，要我们解决的是什么问题。 在平时的教学中，我要求学生读题时放慢速度，用铅笔指着所读的内容，做到“手眼合一”，避免“一目十行”。读到题目中重点的词语作上记号，比如有的题目中提到的“从大到小”、“由高到矮”等比较容易忽视或容易混淆的字词加上着重号，有些题目条件中是“厘米”作单位的，问题是“米”作单位，要求学生圈出“厘米”、“米”。读完题目，可以让学生合上书本，复述刚才读到的条件和问题。这些都可为正确解题打下良好的基础。 二、分析数量关系 解决应用题的核心是分析数量关系。突出数量关系分析，找到解题思路，是解决实际问题教学的重点。 我发现有些数学能力较强的学生，当他们读完一道题后，就能立即看到题目的“骨架”，这个“骨架”就是数量关系。例如，“红花有5朵，黄花的朵数是红花的2倍，两种花一共有多少朵？”这一问题的数量关系是：红花朵数+黄花朵数=总朵数。根据这一数量关系式，发现必须先求出黄花的朵数，该题便迎刃而解。又如，“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”、“工作效率×工作时间=工作总量”等，这些人们在工作和学习中概括出的一些常见数量关系都是学生解题
第1节动能的改变 第1课时实验：探究恒力做功与动能改变的关系 一、实验目的 1．通过实验探究力对物体做的功与物体速度变化的关系。 2．体会探究过程和所用的方法。 二、实验原理 1．在钩码的拉动下，小车的速度发生了变化，也就是小车的动能发生了变化。 2．钩码对小车的拉力对小车做了功，只要能求出小车动能的变化量、小车运动的位移以及钩码对小车的拉力(近似等于钩码的重力)，就可以研究W＝Fs与ΔE k之间的关系。 三、实验器材 长木板(一端附有滑轮)、打点计时器、钩码若干、小车、纸带、复写纸片、刻度尺、细线。 四、实验步骤 1．按图2-1-1所示安装实验器材，调整滑轮的高度，使细线与长木板平行。 图2-1-1 2．将打点计时器固定在长木板上，把纸带的一端固定在小车的后面，另一端穿过打点计时器。改变木板倾角，使小车重力沿斜木板方向的分力平衡小车及纸带受到的摩擦力，使小车做匀速直线运动。
3．用细线将木板上的小车通过一个定滑轮与悬吊的钩码相连。接通电源，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点。 4．更换纸带，重复实验。选择一条点迹清晰的纸带进行数据分析。 五、数据处理 1．求动能变化量ΔE k ：小车在细线的拉力作用下做匀加速直线运动，选取纸带上恰当的两点A 、B 为初状态和末状态，依据匀变速直线运动特点v ＝s n ＋1－s n －12t 计算出A 、B 两点的瞬时速度v A 、v B ，求出物体动能的改变量ΔE k ＝12m v B 2－12 m v A 2。 2．求解合外力做的功：此过程细线的拉力对小车做功，由于钩码质量很小，可认为小车所受拉力F 的大小等于钩码所受重力的大小(忽略钩码加速需要的合外力)。用刻度尺量出 A 、 B 之间的距离s ，由此可知拉力所做的功W ＝mgs 。 3．交流论证：通过表格中的数据比较W ＝Fs 与12m v B 2－12 m v A 2的值，可发现结果在误差允许范围内二者相等，即W ＝12m v B 2－12 m v A 2，说明外力对物体所做的功等于物体动能的改 变量。 六、误差分析及注意事项 1．由于本实验要求物体由静止开始运动，所以应正确选取O 点位置，选取第一个点清晰的纸带，其他点的位置尽量离O 点远些。 2．本实验的误差主要来源于拉力略小于钩码的重力、不能完全平衡摩擦力、起始点O 的速度不为零和测量误差等方面。 3．实验中不可避免地要受到摩擦力的作用，摩擦力对小车做负功，我们研究拉力做功与物体动能变化的关系，应该设法消除摩擦力的影响，可采取将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就能消除摩擦力的影响。 4．尽量减小小车的加速度。因为钩码拉着小车加速运动时，钩码处于失重状态，小车受到的拉力小于钩码的重力。为减小这一系统误差，应使小车的加速度尽量小，也就是实验中必须满足钩码的质量远小于小车的质量。由受力分析及牛顿第二定律可知，F ＝Ma ， mg －F ′＝ma ，且F ′＝F ，联立得F ＝M ·mg m ＋M ＝mg 1＋m M 。当M 远大于m 时，有F ≈mg 。如果钩码质量太大，和小车质量相差不多，那么F ≠mg ，此时再认为F ＝mg 产生的误差就很大了。 [例1] 在“探究恒力做功和物体动能变化之间的关系”的实验中。
由教材一道例题教学引发的思考与探讨 福建省晋江市第二中学 362212 施国龙 在华师版九年级《数学》上册第39页的例2中,教材所用的证明方法与证明过程值得仔细体会与探讨. 题目 例2 (1)如果 d c b a =,那么d d c b b a +=+; 证明 ∵d c b a =,在等式两边同加上1, ∴11+=+ d c b a ,∴d d c b b a +=+. 学生提问1:前面刚学了比例的基本性质,为什么不是像以前那样用刚学的知识去证明呢? 教师思考1:学生讲的有道理呀!以前我们都是这样的学习模式:学生学到一个知识后就会马上去应用,在此处为什么没有呢?如果采用此种方法会怎样呢?心动不如行动. 证明: ∵d c b a =, ∴bc a d =, 在等式两边同加上bd , ∴bd bc bd ad +=+, 即b d c d b a )()(+=+, 两边同时除以bd , ∴d d c b b a +=+. 这种方法其实质是用到了教材中刚学的“比例的基本性质”,这是解决此类问题的常用解法之一.在教材中没有采用这种方法确实与以往的教材安排大不一样,结果让学生适得其反,理解不到位,容易产生误解.让学生认为这道例题的方法与前面刚学的内容无关. 学生提问2:为什么要用“等式两边同加上1”的方法去证明呢? 教师思考2:在华师版数学教材中第一次出现这种“加上1”的方法,学生确实无法马上理解为什么是“加上1”?而不是“加上2”或“加上3”? 经过仔细的思考与对比发现,事实上其实质是:此处是采用了高中数学中证明等式常用的“分析法与综合法”的证明思路.以下为用“分析法”证明. 证明: 要证 d d c b b a +=+, 只要证 11+=+d c b a , 即证 d c b a =, 而d c b a =是已知成立的,
一道课本例题的探究开发 663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇 课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨. 题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形. (1)相似吗？与ABC ASR ?? (2)求正方形PQRS 的边长. 分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ?∽ABC ?.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解. 解：（1）ASR ?∽ABC ?.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ?∽ABC ? . （2）由（1）可知ASR ?∽ABC ?.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得 设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得： 所以正方形PQRS 的边长为24cm. 此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页 .BC SR AD AE =，cm χ. 24=χ60 4040χχ= -
的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。 变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。 分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长. 解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF. 所以△AHG ∽△ABC. 所以 则 解得： 所以矩形EFGH 的周长为56cm. 变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。求正方形HEFG 的面积。 分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。 . AD AN BC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=. 2=χ
由一道课本例题带来的日常教学思考 发表时间：2013-06-13T09:29:21.560Z 来源：《少年智力开发报》2013学年36期供稿作者：张进辉 [导读] 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。 江西省抚州市东乡二中张进辉 对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思. 一、课本上的一道例题： 浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58 书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处. ⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？ ⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？ 问题解决——谜底： 二、例题教学后的反思： 对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。 三、题目变式教学 题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。． 变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达 P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。 变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短
Use basetest 【例1】查询全体学生的记录 【例2】查询全体学生的姓名和性别。 【例3】查询全体学生的姓名和出生年份。 【例4】在例3的基础上，将字段名替换成中文名显示。 【例5】显示学生表student中前5行数据。 【例6】查询学生课程表sc中选修了课程的学生学号。 【例7】查询SC表中选修了课程的学生学号、姓名、院系、课程号和成绩。 【例8】以student为主表查询例7。 【例9】查询表student中年龄大于20岁的学生姓名性别和各自的年龄大小。 【例10】查询年龄在21岁到23岁（包括21和23岁）之间的学生信息。 【例11】查询所有姓黄的学生的姓名、性别、年龄、院系 【例12】查询数学系（MA）学生的姓名、性别和年龄。 【例13】查询没有选修课（cpni）的课程名和学分。 【例14】查询cs系中男生的学号和姓名。 【例15】查询在sc表中选课了的女生的学号和姓名。 【例16】按学生年龄的降序对学生进行排序。 【例17】按院系、学号等对学生情况进行分组。 【例18】按院系、学号等对女学生情况进行分组。 【例19】按院系、性别查看学生的平均年龄。 【例20】在例19的基础上使用WITH CUBE关键字。 【例21】在例19的基础上使用WITH ROLLUP关键字。 【例22】求sc表中选修了课程的学生的总成绩。 【例23】计算选修了课程学生的平均成绩。 【例24】查询选修了课程的学生选修课程的数目 【例25】查询CS系中年龄最大的学生的姓名以及年龄 【例26】查询学号为05007的学生的选修课程的平均成绩和最高成绩 【例27】查询选修了课程5的学生信息，并计算平均成绩和最高成绩，以成绩高低排序。 查询所有系中年龄最大的学生的姓名以及年龄 【例28】查询选修了课程6的学生学号和姓名 【例29】查询选修了数据库的学生信息。 【例30】查询选修了课程6的学生学号、姓名和性别。 【例31】查询除了IS系的其他系中年龄不大于IS系中最小年龄学生的学生信息。 【例32】查询IS系的学生以及年龄大于20岁的学生。 【例33】对例32使用UNION ALL子句。
第一章小数乘法 一、计算 1、直接计算。 3.5×3= 0.72×5= 2.05×4= 12.4×7= 1.2×0.8= 0.56×0.04= 6.7×0.3= 0.29×0.07= 0.86×7= 0.37×0.4= 7×0.86= 0.6×0.39= 2、竖式计算 2.3×12= 2.4×6.2= 3.7× 4.6= 6.5× 8.4= 3.5×16= 12.5×42= 1.8×23×= 1.06×25= 27×0.43= 3、近似数 得数保留一位小数： 0.8×0.9 1.2×1.4 0.37×8.4 得数保留两位小数： 1.7×0.45 0.86×1.2 2.34×0.15 4、脱式计算 72×0.81+10.4 7.06×2.4-5.7 50.4×1.9-1.8
5、简便计算 4.8×0.25 2.33×0.5×4 1.5×105 1.2×2.5+0.8×2.5 0.25×4.78×4 0.65×201 0.034×0.5×0.6 102×0.45 二、填空题 1、一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数（） 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数（） 2、根据简便计算方法填空： 0.7×1.2= ×0.7 （0.8×0.5）×0.4= ×（×0.4） （2.4+3.6）×0.5= ×0.5+3.6× 3、根据65×39=2535，在下面的（）里填上合适的数。 25.35=（）×（） 2.535=（）×（） 253.5=（）×（）0.2535=（）×（） 4、在下面的○里填上“＞”或“＜”。 756×0.9○756 1×0.94○1 4.25×1.1○4.25 31.4×1.2○31.4 三、解决问题 1、非洲野狗的最高速度是56千米/时。鸵鸟的最高速度是非洲野狗的1.3倍，鸵鸟的最高速度是多少呢？ 2、蓝鲸的体重是150吨，体长25.9米。世界上最大的一个巨杉，质量是蓝鲸的18.7倍，高是蓝鲸体长的3.2倍，这棵巨杉重多少吨？高多少米？ 3、小娟加印了14张照片，每张照片0.55元，她一共花了多少钱？ 4、要下雨了，小丽看见远处有闪电，4秒后听到了雷声，闪电的地方离小丽多远？（雷声在空气中的传播速度是0.34千米/秒） 5、宣传栏的长为1.2米，宽为0.8米。现在宣传栏的玻璃碎了，需要换一块玻璃，已知玻璃每平方米为16.5元，买这块玻璃要多少钱？
让练习题的评价更有灵气 张金玲枝江市董市镇泰洲小学数学专业邮编443214 前段时间，听了一节三年级的两步计算的复习课，课讲得很好，教师研究教材也很透彻，将本单元知识复习的比较扎实、完整。在练习一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题时，从教师批阅学生的作业中我发现了这样一个问题，学生是这样列式的： 21×5=105（只） 105×5=525（只） 答：5只蜻蜓一个周吃了525只蚊子。 教师在第二步的乘“5”处批了一个大大的圆圈并标了一个“×”。很明显，教师认为第一步21×5=105（只）是求5只蜻蜓一天吃了多少只蚊子，第二步105×5=525（只）是求一个周吃多少只蚊子，此处不应该乘5应该乘7。看到这里引起我的思考：一个周他为什么不乘7却乘5呢，他为什么这样做？ 学生的做法引起了我的兴趣，带着问题，我首先找到这个学生。我让学生不要担心说错，当时怎么想的就怎么说给我听。在我的鼓励下学生说出了他的做法。学生说21×5=105（只）是求一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子，105×5=525（只）是在求出一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子之后再求5只蜻蜓一个周吃了多少只蚊子。也就是说学生的想法与老师的想法是不一致的，学生第一步中的乘5才是表示一周的工作时间，第二步中乘5其实表示的是5只蜻蜓，那么教师在学生的第二步的“5”处打“×”就值得商榷了。 一个周是7天呀，学生在求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子时用21×5=105，为什么不乘7却乘5呢？有了前面的交谈，学生的胆量也大了起来：一个周是7天，但我们都是工作5天休息2天，蜻蜓吃蚊子也是工作呀，如果他天天工作，不累吗，我让他跟我们一样也休了两天，所以列式21×5。听了学生的想法我感觉到学生的做法虽然幼稚但其实还是有他自己的道理。可不是吗，如果把吃蚊子看成是蜻蜓的工作，一个周按照工作5天计算，那求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子，不就应该是21×5吗？ 原来我还在想，学生不乘7却乘5，是不是受5只蜻蜓的干扰不小心马虎写错了，看来我的想法也是与学生的想法是不一致的。幸亏我及时找到这位同学了解到他的想法，要不也不知道我们的评价会给学生造成什么样的影响，那位学生说不定会对求五只蜻蜓吃多少蚊子该不该乘5也会糊涂啦。由此看来，课堂上那位老师的评判处理的还是过于急了，其实很多类似的问题教师在评判时如果发现问题并不急于评判，而是把学生叫到面前进行面对面的交流，学生的想法教师也掌握了，教师的评判是不是会更科学效果更好呢？学生学习过程中出现的问题是不是也就迎刃而解了呢？那样，学生的错误是不是也就不会成为问题，纠正起来也会省很多力呢？ 像今天这样的问题，我感觉教师如果多想想学生为什么这样做可能处理起来也会更艺术、更有实效。 为了防止类似问题的发生，在平日学习过程中，教师在领学生做题时是不是该多思考这样问题： 1、设计这样的练习题是为了干什么？ 2、学生怎样做的，道理是什么？ 3、通过练习，我们要提高学生什么？ 比如一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题，我认为教师设计这样一道题就是为了考察学生两步计算问题的算法是否清楚、两三位数乘一位数的算
在运动中探索在变化中思考 江苏省东台市五烈镇中学杨荫林 （获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖） 摘要在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。 在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。 关键词命题运动变化两圆内切、外切、外离、内含。 普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。 一. 原题中两圆内切 命题1如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD. B D 如图1 如图2 变化1如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有 命题2如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC. 设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立? (1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC; (6)S ⊿ACE :S ⊿BCF =PE:PF． 变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有 命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD
由一道课本习题引发的思考 九年义务教育八年级数学上配套练习册 P 65第11题: 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形, 思考 由命题的条件，根据平行线判定定理易知： AM/CN MC/ NB,由此得命题1： 命题1已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形, 求证：AM CN ，MC /NB 思考二 由命题的条件结合三角形全等的判定定理可知，有三对全等三角形，故得命题: 命题2已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：△ACN 也血CB, △AEC 也 JMFC, △ECN 也△CB 思考三 由命题2的结论，根据全等三角形的性质，可得到一些相等的线段和相等的角， 从而得到 命题： 命题3已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：⑴ AN=BM,CE=CF,AE=MF,NE=FB, (2)/NAC= /BMC; ZANC= JMBC; ZAEC= / MFC; 山东省五莲县洪凝初中 王爱仁 求证: 图1
JCEN= /CFB
思考四 因为/ ACM # NCB=60 ,所以/ MCN=6D ,再由命题3的结论可知CE=CF 则△ ECF 为等边三 角形，得命题： 命题4已知：如图3,点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AN 交 思考五 _ 由命题4的结论知，/ EFC=60°，故/ EFC=/FCB ，所以EF I AB ，得命题: 命题5已知;如图3,点C 为线段AB 上一点,^ACM, ACBN 是等边三角形,AN 交MC 于点 BM 交CN 于点F. 求证：AN=BM MrzT -[y 、. 思考八 由^ ACN^A MCB 可知，/ CAN=/ CMB 所以/ A0B2 MAO ￡ AMO ^ MAO ￡ AMC ：+ CMB ^ MAO 乂 CAN # AMChMAC+^AMC=60 +60° =120° ,可得命题： 命题6已知;如图4,点C 为线段AB 上一点,AACM, ACBN 是等边三角形,AN,BM 相交于 点O. MC 于点 E ，BM 交CN 于点F. ⑴求证: AN=BM; (2)求证: △CEF 为等边三角形 若AN 、MC 交于点E,BM 、 NC 交于点F ，求证：EF IAB 图4
1、（求出下列各圆的周长。 （1）r=2.6dm (2 ) r=5.5cm (3 ) d=12cm (4 )r=15dm 2. 一辆自行车车轮的外直径是0.71米。如果车轮平均每分转100周，这辆自行车每分前进多少米？ 3.一张圆桌桌面的直径是1.8米，桌面的面积是多少平方米？ 4.淘气沿一个圆形花坛走一圈，走了18.84米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ 5、在一张长8厘米、宽6厘米的长方形纸上剪一个最大的洞，这个圆的面积是多少？剩余部分的面积是多少？ 6、圆规两脚间的距离为1.5cm, 那么所画圆的周长和面积各是多少？ 7、沿一块直径为20米的圆形菜地围一圈篱笆，篱笆的长是多少？菜地的占地面积是多少？ 8、有个圆形喷水池的周长是12.56米，它的占地面积是多少平方米？ 9、一根绳子长64.8米，在一棵大树的树干上绕了10圈后还余2米。这棵树树干的横截面面积是多少？ 10、画一个长4厘米、宽3厘米的长方形，再在长方形中画一个最大的圆。求出圆的面积和剩余部分的面积。 11、在一块草坪中间有一个喷水头，最远可以喷4米。喷水头转动一周可以浇灌多大面积的草坪？ 12、钟表的分针长15厘米，时针长12厘米。 （1）１小时分针针尖走过了多少厘米？ （２）一小时分针针尖扫过的面积是多少平方厘米？ １３、用两根长度都是６．２８厘米的铁丝，分别围成一个圆和一个正方形，哪个图形的面积大？相差多少平方厘米？ １４、小方绕一个圆形花坛走一圈是２５．１２米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ １５、一只钟的时针长３厘米。一昼夜时针针尖走过了多少厘米？ １６、一只羊被拴在草地中央，绳子长６米。小羊能吃到草的面积是多少？ １７、某汽车的轮胎外直径为６０厘米，汽车行驶１千米，轮子大约转了几圈？（结果保留整数） １８、在直径是４米的圆形花坛外面有一条宽１米的环形小路，这条小路的面积是多少？ １９、现在有一根长１２５．６米的绳子，要围一块尽可能大的土地。你认为该怎么围？围成的是什么图形？面积是多少？ ２０、（１）２０米比２５米少百分之几？ （２）２５米比２０米多百分之几？ ２１、光明小学篮球队有２５人，合唱队有４０人。合唱队人数比篮球队人数多百分之几？题中把（）看作单位“1”，“合唱队人数比篮球队人数多百分之几”是指（）是（）的百分之几。 1
2013年9月21日 由一道连线题引发的思考 洛南县巡检镇中心小学任俊 人教版三年级数学上册20页有这样一道题，如下图： 教学过程中，我先让学生独立完成，结果有个叫王紫彤 的小女孩问道：“老师，这道题是不是错了，您看 的计算结果是837，这把钥匙就找不到与它配对的锁，而这把锁也没有找到能打开它的钥匙。也就是说，这把钥匙无锁可 开。。这把锁呢，题里根本就没设计能打开它的钥匙。”听完小女孩的见解，我微微一笑，告诉她，“我们的课本是课程教材研究所，经过专家反复审定编著的，一般不会出错，这道题你可以能打开几把锁就打开几把锁吧。” 走出课堂，我陷入深深的沉思之中，说句心里话，我是一位不负责任的数学老师，课前没有细细研究这道题，一眼
断定这道题很简单，不需认真研究，凭借自己多年的教学经验到课堂上去处理这类“简单”问题就好了。可是，今天我似乎错了，这道看似简单的连线题也许不简单。它究竟是如学生所说错了呢，还是另有深意？这个问题对于已有十五年丰富数学教学经验，在全镇具有数学权威的我来说，真的无法做出合理解释。我似乎更相信这道题是编委们疏忽造成的错，因为： 1、这道题所处位置在练习五10道题的中间，即第6题位置，按照我们使用的这套教材来说，教材编排有一个整体体现，每组练习设计由浅入深，由易到难，也就是说，每组练习前几道题简单，中间的题适中，最后的题偏难，这是遵循“让不同的学生在课堂上有不同的收获”这一原则的。而这道题在练习中间设计，我认为它的考查意图不会太难。 2、我们使用的做这套教材编排还有一个显著特征，每次遇到需要提示、启发、引导的时候，在哪就会设置一个“小精灵”图像，给我们一适当的提醒，而这道题里没有小精灵的出现，我认为编排时不可能设置更深刻的意图。 3、这道题如果说有意设置和为干烧因素，想告诉我们“一一对应”关系不是时时处处都存在，那么我 认为只需要设置就足够了，因为，这样设置6把钥匙5把锁，学生一下子就看出不存在“一一对应”关系，
一道数学例题引发的思考 -------《平行四边形（1）》教学反思 北师大数学九年级上册第三章第一节有这样一道例题： 例题： 证明：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。 在和学生共同探讨这道题目时，我们首先是共同完成了证明文字命题的一些必要步骤，（如：画出图形、根据题设和结论写出已知和求证）完成对这道题目的数学化，运用准确的数学语言完成翻译。即： 已知：如图，梯形ABCD ，AB=CD. 求证：∠A=∠D ∠B=∠C 课本上给出的证明方法是解决梯形问题的最常见的方法。我在解决这个问题时，要求学生不看书，独立自主的想出尽可能多的解题方式。 学生们在很短的时间内就探索出了几种不同的做法，当然也包括和教材相吻合的解题方式。课本解题方法如下： 过点D 做D E ∥AB,交BC 于点E.不难证出四边形ABED 是平行四边形，进而得出AB=DE,而AB=CD,∴DE=DC, ∴∠DEC=∠C,而AB ∥DE,则∠B=∠DEC,进而得出∠B=∠C, ∠A=∠ADC. A B E C D 在这里我想要谈的是，其中一个学生用了以下方式来解决问题： 将线段AB 沿着BC 方向平移至CF 交AD 的延长线于点F,不难证出四边形ABCF 是平行四边形，仿照例题的证法，进而解决了问题。 A C D E
我问她是如何想到了用平移思想解决这道题。她说，她发现课本上的辅助线可以理解为一种平移，将复杂图形分解为简单图形，因而想到了：如果继续平移会产生什么效果，从而找到了这样的解决办法。她的想法让大家耳目一新。平移、旋转的数学思想的运用容易被老师和学生忽视，在这里巧妙运用让这道题“活”了起来，毕竟课本上的解题方式是一种静态的。学生的思维也“活”了起来。此时，我也特别的兴奋，不禁想到在这之前学校崔老师的爱女曾经问到我的一道数学题，我立即把这道题目拿出来和同学们一起分享，让学生们更深入地了解平移、旋转等思想对于解决数学问题的便捷与巧妙。 题目如下： 已知：如图，点P 在正方形ABCD 的内部，且AP:BP:CP:=1:2:3. 求：∠APB 的度数。 A B C D P 我们将△PBC 绕着点B 逆时针方向旋转90°后，点C 将落在A 点位置（因为四边形ABCD 是正方形），点P 落在E 的位置，连接PE ，AE.不难证出△PBE 是等腰直角三角形，得出∠BPE=45°.设AP=1,则PB=EB=2,PC=AE=3,则PE=22；在△APE 中。AP=1,AE=3,PE=22,根据勾股定理的逆定理可判定出△APE 是直角三角形，则∠APE=90°； ∴∠APB=45°+90°=135°.
受力分析与恒力做功综合问题（难度评估0.51） 1 .一物体置于光滑水平面上，受互相垂直的水平力F i、F2作用，如图，经一段位移, F i做功为6J,克服F2做功为8J，则F i、F2的合力做功为（） A. 14J B. 10J C. —2J D. 2J 2 ?一辆正沿平直路面行驶的车厢内，一个面向车前进方向站立的人对车厢壁施加水平推力F,在车前进s的过程中，下列说法正确的是： A. 当车匀速前进时，人对车做的总功为正功 B. 当车加速前进时，人对车做的总功为负功 C. 当车减速前进时，人对车做的总功为负功 D. 不管车如何运动，人对车做的总功都为零 3. 如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m在与水平面成0角的恒定拉力F 作用下，沿水平地面向右移动了一段距离I。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为□，雪橇受到的（） A. 支持力做功为mgl B .重力做功为0 C.拉力做功为FIcos 0 D .滑动摩擦力做功为-卩mgl 4 .如图，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）.初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态.剪断 轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块 A、速度的变化量相同 B 、机械能的变化量相同 C、落地时间相同D 、重力做功的平均功率相同 5.如图所示，质量为m的物体置于倾角为0的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为□，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止.则关于斜面对m的支持力和摩擦力的做功情况，下列说法中错误的是
A. 支持力一定做正功 B. 摩擦力一定做正功 C. 摩擦力可能不做功 D. 摩擦力可能做负功 6 ?下列关于力、功、能的关系正确的是（） A、力F做正功，则该力F —定起动力作用 B、物体的重力做正功，动能一定增加 C、物体的合外力做正功，动能一定增加 D、物体的合外力做功为零，则物体的机械能一定守恒 7 .下列说法正确的是（） A. 匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动 B. kg、s、N都是国际单位制中的基本单位 C. 牛顿最早提出力不是维持物体运动的原因 D. —对作用力和反作用力做功之和不一定为零 8. 如图是质量为1.0kg的质点在水平面上运动的v-t图像，以水平向右的方向为正方 向。以下判断正确的是（） -2r---------------- --------- A. 在0?3 s时间内，合力对质点做功为10 J B. 在4?6 s时间内，质点的平均速度为3 m/s C. 在1?5 s时间内，合力的平均功率为 4 W D. 在t = 6 s时，质点的加速度为零 9. 如图所示，质量为0.4kg的物块放在光滑的斜面上，在水平拉力F作用下下滑高度1m,拉力F做了3J的功，则在此过程中 A.重力做功为4J B .重力势能增大4J C.合外力做的总功为5J D .外力做的总功为7J 10 .如图所示，质量为m的物块，始终固定在倾角为的斜面上，下面说法中正确的 是（） 0| ①若斜面向左匀速移动距离s，斜面对物块没有做功 ②若斜面向上匀速移动距离s，斜面对物块做功mgs ③若斜面向左以加速度a移动距离s，斜面对物块做功mas ④若斜面向下以加速度a移动距离s，斜面对物块做功m（g a）s A.①②③ B.②④ C.②③④ D.①③④
课本典型例题、习题 必修1 【集合】 1.期中考试,某班数学优秀率为70％,语文优秀率为75％.问:上述两门学科都优秀的百分率至少为多少? 【函数概念与基本初等函数Ｉ】 1. 已知一个函数的解析式为2 x y =,它的值域为[1,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数. 2. 解下列方程: (1))12(log )3(log 22+=x x (2))2(log )12(log 255-=+x x (3))1lg(1lg -=-x x 3.解下列不等式: (1)25 2 >+x (2) 633<-x (3)3)2(log 3>+x (4)1)1lg(<-x 4.利用计算器,求方程x x -=3lg 的近似解(精确到0.1) 5.分别就2 1,45,2===a a a 画出函数x y a y a x log ,==的图像,并求方程x a a x log =的解的个数. 探究:当10< 由一道考题引起的思考 在一次六年级的数学检测中，试卷设计了这样一个数学问题： 看右图解答： 80m （1） 在操场周围镶嵌上长6分米 的砖，需要多少块？ （2） 操场里面铺上草坪，每平方米 的草坪8元，购买草坪需要多少元？ 这是一道解决实际问题的问题，题目创意是了解学生根据已学知识解决实际问题的能力。从所给的数据来看，数目较小，便于计算，重点是检查学生解决问题的方法策略。通过检测后的统计分析，此题解答完全正确的不足20%，没有解题思路的25%，失分率高达60%。 在与教师、学生的调查中发现，问题的症结在于学生不会分析问题，不能将语言文字的表述转化为数学模型，不知道要求的是什么；少数学生没有识图的能力，看不出所给的数据是什么已知条件，图形数据的转化能力相对欠缺，个别学生是由于计算的失误，导致解题的错误。面对着如此大的问题，反思我们的课堂教学，或许能找到答案。 我们的课堂，机械重复地练习较多，如：计算长方形的周长和面积（单位：厘米） 25m 计算图形的周长、计算图形的面积，问题明确，学生思路清晰：只要熟记公式，再加上认真计算，就能得到高分。而这只相当于梅克五种类型问题中的的第一种，条件、条件已知，问题已知，答案唯一。 对于这些基本图形，学生不假思索，照猫画虎，较顺利地完成。教师认为学生已掌握了知识，就此结束。殊不知，学生学习知识，是为了解决实际问题。而我们的学生，缺乏的就是这种实践能力，缺少的就是这种创新精神。面对着新的问题，束手无策。新课程强调“以创新精神和实践能力的培养”为重点，要建立新的教学方式，促进学习方式的变革。这就要求教师首先转变观念，从三个维度 一道简单的题目引发的思考 ++i 与i++ ——Don't believe in magic !Understand what your program do ,how they do .引言 昨晚一时兴起，我脑子就问自己下面的代码会输出什么，也不知道我脑子为什么有这个代码模型，只是模糊的有些印象： 01#include 因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是由于前面两个++ 是后置++，最后一个++是前置++，故j = 3+4+6 = 13。 1.2、B君的回答 因为i = 3，故第一个i++后为4，第二个i++后为5，接着做i+i操作= 5+5=10，最后与(++i)相加= 10+6=16。 1.3、C君的回答 因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是第一i、第二个i 的++是后置++，先进行i+i操作，然后进行两次i++后置操作，故等价于(i)+(i) = 3+3=6，i++，i++，最后与++i=6相加等于12。 1.4、D君的回答 因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是前面两个++都是后置++，故先做i+i+(++i)操作，然后才在i++,i++操作，第三个++是前置++，故等价于i+i +(++i)=3+3+4=10，i++，i++。 到底哪个人说得对呢？ 2、编译器的输出 首先让我们先来看看编译器会输出什么? 2.1、Visual Studio的输出 运行环境：Win7+VS2005 or VS2010，输出如下图所示： 一道课本例题引发的探究 【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。 【关键词】例习题 问题 探究 引申 高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。 一、问题的提出 （选修2—1第41页例3）设点A 、B 的坐标（5,0）、（-5,0）。直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-9 4 ，求点M 的轨迹方程。 解答：（略） 本题由学生用直译法做，没有太大的问题。 二、问题的引申 1、逆向思维，大胆猜想： 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。可见猜想与数学发现是形影不离的。我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？ 猜想1：椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上长轴的两顶点A 、B 与任意一 点P （不同于A 、B ）连线PA PB 、的斜率之积为定值. 解答：（略） 有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。 2、大胆假设，归纳引申： 先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。这样有利于学生形成良好的认知结构。变式问题中弦AB 是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？ 我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。 问题：椭圆22 132x y +=上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，求直线PA PB 、的斜率之积。 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --2222 111,13232 x y x y ∴+ =+=,两式相减得: 22221132x x y y --∴=, 22122 12 3 y y x x -∴=-- 22111221112 3 PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-∴?=?==- -+- 让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的问题。 命题1: 椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点P 与过中心的弦AB 的两 端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，则直线PA PB 、的斜率之积 为定值. 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --1,122122122 22=+=+∴b y a x b y a x ,两式相减 得: 22122212b y y a x x --=- 22 2 12212a b x x y y -=--∴ 22 1111a b x x y y x x y y K K PB PA -=++?--=?∴为定值. 3、极限思想，知识串联； G ?波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。我们这时引导学生，然后提问：椭圆的极限位置是圆，此性质可以类比圆中什么性质呢？让学生分组探讨，进行类比与归纳。探讨后部分学生提出了对性质的解释:是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广。 这个解释充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题。再引导类比圆中的性质，可以引申出以下命题.由一道考题引起的思考
[++i_与i++]一道简单的题目引发的思考
一道课本例题引发的探究
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