经典习题1
1. 若函数
(21)f x +的定义域为31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭,则函数2(log )f x 的定义域为
( ) A.
1
,22⎛⎫
⎪⎝⎭
B.
1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.
12⎛ ⎝ D.12
⎡⎢⎣
2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )
A ．102
B ．99
C ．101
D ．100 3. 定义R 上的函数
()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =
+==
且则（ ） A
B ．2
C ．4
D ．6
4. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。若
2(1)(1)0
f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是
___________________. 5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都
有:
()()()
f xy f x f y =+成立.则不等式
2(log )0
f x <的解集是
_____________________. 6. 已知函数
()
f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知
22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的
,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+.
(1)求(0),(1),(1)f f f -的值;
(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若
(2)2f =,*(2)
()n n f u n N n
-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 8. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；
（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x 2
)>1，求x 的取值范围。 9. 已知函数
()
f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有
1()()()2f m n f m f n +=
+
+,且1()02f =,当1
2
x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ;
(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 10.
函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有
()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1
()13
f >.
(1)求(0)f 的值; (2)求证:
()f x 在
R 上是单调减函数;
(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>. 11. 已知函数
()
f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()(f m n f m f n +=
∙
,且当0x >时,0()1f x <<.
(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明:
()f x 在
R 上单调递减;
(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ∙>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若
A B =Φ,试确定a 的取值范围.
12. 已知函数
()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线
1x =对称.
(1)求(0)f 的值;
(2)证明: 函数()f x 是周期函数;
(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足 条件的函数()f x 至少一个周期的图象. 13. 函数
()
f x 对于x>0有意义，且满足条件
(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
（1）证明：(1)0f =；
（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。 14. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=
+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．
（1）试判断函数()y f x =
的奇偶性；
（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数， 并证明你的结论
1. B
2. A
3. A
4.
0a <<,解:由2(1)(1)0f a f a -+-<得,
2(1)(1)f a f a -<-,得22111
11111
a a a a -<-<⎧⎪
-<-<⎨⎪->-⎩
⇒02021a a a a <<⎧⎪<≠⎨⎪-<<⎩
⇒0a <<5. {}12x x <<；解：令
1x y ==，则
(1)2(1f f =(1)
0f ⇒=，则
2(l o g )(1)f x f <⇒222
l o g 1
l o g l o g 22x x x <
⇒<
⇒<………..①
∵函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴
2og 01l x x >⇒>,……………………………………………………②
由①②得，不等式的解集为{}12x x <<。 6.
a ≤
；解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤
++等价于
2
2
22222222sin 33sin 311cos 32cos 205sin 1cos 1cos sin 14
a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ⎧
⎧⎧-≤-≤⎪-≤-⎪⎪⎪++≤⇒-≤-⇒-≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥++--≥+⎩⎩⎪--≥
⎩⇒
1221122
a a a a a ⎧
⎪≤≤⎪-⎪≤⇒≤≤⎨
⎪
-⎪≤≥⎪⎩
7. （1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒= （2）证明：令1a b ==-，则(1)
2(1)
f f =-，∵(1)0f =，∴(1)
f -=
