第三部分 矩阵特征值的估计
引言：
矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的。幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需有一个粗略的估计就够了。比如：在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。
§1. 特征值的界的估计
引理1. n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使T AU U T =
引理2. 设n
n n n ij C
a A ??∈=)(，则∑∑====n i n
j F ij H
A a AA tr 11
2
2
)(
Proof :设n n ij H b AA B ?==)(则
∑∑===++==n
j j n n n
j j j a a a a a a a a a b 1
2
11112121
11111111
∑∑====n
j j
n j j j a a a b 1
2
21
2222
∑∑====n
j ij n j ij ij ii a a a b 12
1
∑∑∑======n
i n
j ij n
i ii H
a b B tr AA tr 11
2
1
)()(
引理3. A 为正规矩阵?A 酉相似于对角矩阵。 （注：正规矩阵：A A A A H H ?=?）即存在酉矩阵U 使
),,,(21n H diag AU U λλλ =
Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则：
?=≤∑∑∑===n
i n i n
j F ij i A a 1
11
2
2
2
λA 为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——①
对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①?②得 H H H H T T U A U AU U ?=?)()(
H H H T T U AA U ?=?（为酉阵）
)()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ?==?
即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i n
j n
i n
i i ii ij n i n
j ij t t a 11
1
1
2
2
2
11
2
λ
设n
n C
A ?∈，令2
,2H
H A A C A A B -=+=， 则A =B +C ： 其中B 为Hermit 阵（即H B B =）实 C 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚
注：引入B ,C 的目的是为了研究A 的特征值的实部和虚部的估计。 Th 2.设A ,B ,C 如上所设，i λ为A 的特征值，则有：
① ij n
j i i a n ≤≤?≤,1max λ
② ij n
j i i b n ≤≤?≤,1max )Re(λ
③ ij n
j i i m c n I ≤≤?≤,1max )(λ
Proof :由T AU U H =, *T U A U H H =
2
2
2
2H
H H
H H H H
H
T T
U A A U CU U T T
U A A U
BU U -=-=?+=+=? ∑∑
∑∑∑∑
======≤≤+=+=n
i ij
j
i n
i n
i n
j ij
ii
ii n
i n
i i
i i
b n b t t 1
2
,21
11
2
2
1
1
2
2
max 2
2
)
Re(λλλ
ij i ij
i b n b n max )Re(max )Re(2
22
?≤?≤?λλ
同理可证：其它两个
注：该定理对A 特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A 特征值虚部估计更精确的一个定理。 Th 3.设n n R A ?∈
，则()m i I λ≤
其中ij c k max =，ij c 为上述C 的第i 行第j 列元素 Proof :（略）
eg 1.设???
?
? ??-=5.06.07.07.08.0112.01A
则 ????? ?
?--=+=5
.065.015.065
.08.06.015
.06.01)(21H
A A
B ????
? ?
?---=-=005.085.005
.004.085.04.00
)(21
H A A C 3max 3=?≤ij i a λ 3max 3)Re(=?≤ij i b λ
55.285.03max 3)(=?=?≤ij i m c I λ
由Th 3. 55.285.03max 2
2
3)(
ij i m c I λ 易见，Th 3.比Th 2.中③要精确。
据上述定理可得如下推论： 推论1：实对称矩阵的特征值均为实数。 推论2：Hermit 矩阵的特征值均为实数。 推论3：反Hermit 矩阵的特征值均为虚数或零。
Proof 1:A 为实对称，则A A A T
H
==，则02
=-=
H
A A C ，即0=ij c 由Th 2 0max )(=?≤ij i m c n I λ 即0)(=i m I λ
i λ∴为实数
Proof 2:A 为H —阵，则H
A A =，则02
=-=
H
A A C ，即0=ij c i λ∴为实数
Proof 3: A 为反H —阵，则A A H
-=，设i λ为特征值，02
=+=
H
A A
B 0=∴ij b
由Th 2. 0max )Re(=?≤ij i b n λ 0)R e (=i λ 即i λ为纯虚数或零。
Th 4.幂等阵)(2A A =的特征值为0或1
Proof:设λ为A 的特征值，X 为A 的对应于λ的非零特征向量。
即222(1)0AX X A X AX X X X X λλλλλλλ=?==?=?-=
0=∴λ或1.
Th 5.设A ,B 为n 阶实对称矩阵，矩阵B 半正定（B 的特征值非负），则),,2,1(n i i i =≥βα
其中i i βα,分别为A +B 和A 的特征值，且
n ααα≥≥≥ 21 n βββ≥≥≥ 21
即A +B 与A 的特征值按递减顺序排列。
第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 () Im M λ≤其中，ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x x =λ， H x x 1=， 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ） n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑
() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为： ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ，但 2 x 1 =，所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中，ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =，ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+，ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义：设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0)，误差eps； (2) k 1； (3)计算V(k)A(k 1)； (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1))； (5) (k)V(k)/m k； (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止； (7)k k 1, 转(3) 注：如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k