第十二讲 矩阵特征值估计
特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。
一、 特征值界的估计
定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有
()
Im M
λ≤其中，ij ji
1i ,j n
a a M
m a x
2
≤≤-=
证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x
x
=λ，
H
x x 1=，
则 H
x A x
λ=
→
(
)
()
H
H
H
H H
x A x x
A x x A x
λ==
=
()
()()H
H
H
T
2jIm x
A
A
x
x
A
A
x λ-λ=λ=-=-
将x 写成[]
T
12n x
,,,=ξξξ
()()n
n
H
T
i ij ji j
i 1
j 1
x
A
A
x a a ==-=ξ-ξ∑∑
()
()()n n
i ij ji j
i 1j 1
n
n i ij ji j
i 1
j 1
2I m a a a a ====λ=
ξ-ξ≤
ξ-ξ∑∑
∑∑
n
'
i j ij ji
i ,j 1
a a ==
ξξ-∑
（'∑表示不含i ＝j ）
n
'
i j
i ,j 1
2M
=≤ξξ∑
()
2
n
2
2
'
i j i ,j 1
I m M
=?
?λ≤ξξ ?
?
?
∑
()
n
2
2
'
i j
i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑
()
n
2
2
2
'
i
j
i ,j 1M n n 1==-ξξ∑
n
n
n
n
n
2
2
2
2
4
2
4
'
i
j
i
j
i
i
i
i ,j 1
i ,j 1
i 1
i 1
i 1
=====ξξ=
ξξ-
ξ≤
ξ-
ξ∑
∑
∑
∑
∑
(
)n
2
2
i
i
i 11==
ξ-ξ∑
不妨写为： (
)
(
)
(
)n
2
222
2
2
1
1
2
2
i
i i 3
111==ξ-ξ
+ξ
-ξ
+
ξ
-ξ∑
(
)(
)(
)2
2
2
2
2
2
n
11
22
2
2
i
i
i 3
1112
2
=????ξ
+-ξξ
+-ξ ?
?
≤++
ξ-ξ ? ?
? ????
?
∑
12
≤
取等号的条件为2
2
1
2
12
ξ=ξ=
，但
2
x
1
=，所以其它2
i
ξ=
∴
()
Im M
λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ
()R e n λ≤τ ()
I m n s
λ≤
其中，ij
1i,j n
m a x a ≤≤ρ
=，ij ji
1i,j n
m a x a a ≤≤τ
=+，ij ji
1i,j n
s
m a x a a ≤≤=-
二、 盖尔圆法
定义：设()
n n
ij
n n
A
a C
??=
∈,由方程
n
ii i ij
j 1
i j
z a R a =≠-≤=
∑
所确定的圆称
为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
定理3：矩阵A 的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。 证明：设()
n n
ij
n n
A
a C
??=
∈，λ为A 的某一个特征值，x 为相应的特
征向量，将x 写成[]T
12n x
,,,=ξξξ ，设0
i
i
m a x ξ=ξ
由A x
x
=λ，考虑0i 行
n
i j j i
j 1
a =ξ=λξ∑
()00
n
'
i i i i j j j 1a a =λ-ξ
=
ξ∑
()0
j i ≠
00
n
n
j
j
'
'
i
i
i
j
i
j
i j 1
j 1
i
i
a a a R
==ξξλ-=
≤
≤ξξ∑
∑
对于A 的特征值λ，一定存在0i ()
01i n ≤
≤，使λ落在A 的第0i 个盖
尔圆中，对于每个特征值都有相同的结论。
定理4. 将矩阵A 的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集，（一个子集由完全连通的盖尔圆组成，不同子集没有相连通的部分），对每个子集，若它恰好由K 个盖尔圆组成，则该子集中恰好包含A 的K 个特征值。
说明：盖尔圆相互重叠时重复计算，特征值相重时也重复计算
证明：设111n n n n 1
n n a a A C a a ???
??=∈??????
，
令()
11
12131n 2122232n
31
32
333n n 1
n 2
n 3
n n a u a u a u a u a a u a u a B u u a u a a u a u a u a u a a ??
?
??
?=??
?
???????
0u 1
≤≤，()[]11
22
n n B 0d ia g a a a =
，()B 1A
=
()
B u 的特征多项式是u 的多项式，其特征值是u 的连续函数，
观察u （0
u 1
≤≤）变化的过程中()B u 特征值的变化，特征值只能在
盖尔圆连通的子集内变动，而不能跨出连通子集。
由此可见，由K 个盖尔圆组成的连通子集恰好包含K 个特征值。 应该注意到：连通的这些盖尔圆中，有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值，而其它盖尔圆中可能无特征值。 推论1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。
推论2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。
推论3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。（因为方阵转置后特
征值不变）
推论4. 盖尔圆半径变为n
'
i i
ij
j 1
j
R a =α=
α∑
，两个盖尔圆定理仍然成立。
说明如下：相似矩阵1P A P -与A 具有相同的特征值，取
[]1
2
n P d ia g =ααα
()
i 0α>
11
2
12
ij n n 1
01B P A P a 0
10-??
??α??α???
???α?
?
??α??==
??????????α????
????α?
?
i
ij j a ??
α=??
α????
根据推论4，选取适当的i α使盖尔圆变大或变小，可以对特征值
进行隔离。但有时这种隔离特征值的方法会失效，如对于那些对角线上由相同元素的矩阵，此时盖尔圆的圆心相同。
广义特征值与极小极大原理
一、 广义特征值问题
1、定义：设A 、B 为n 阶方阵，若存在数λ，使得方程A x
B x
=λ存
在非零解，则称λ为A 相对于B 的广义特征值，x 为A 相对于B 的属于广义特征值λ的特征向量。
● 是标准特征值问题的推广，当B ＝I （单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。 ● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解
()A
B x 0-λ= 或者 ()B A x 0λ-=
→
特征方程
()d e t A B 0
-λ=
求得λ后代回原方程A x
B x
=λ可求出x
本课程进一步考虑A 、B 厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述
（1） B 正定，1B -存在
→1
B
A x x
-=λ，广义特征值问题化为了标准
特征值问题，但一般来说，1B A -一般不再是厄米矩阵。 （2） B 厄米，存在Cholesky 分解，H
B G G
=，G 满秩
H
A x G G x
=λ 令H G x
y
=
则
(
)
1
1
H
G
A G
y y
--=λ 也成为标准特征值问题。
()1
1
H
G
A G
--为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序
排列1
2n
λ≤λ≤≤λ ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在
12n
y ,y ,y 满足
(
)
1
1
H
i i G
A G
y y --=λ
H
i j ij
1i j y y 0
i j
=?=δ=?≠?
还原为(
)
1
H
i
i x G
y -=
(i=1,2, ,n)，则
(
)()
H
H
H
H
i j i j i j ij
1i j y y x G
G
x x B x 0
i j
=?===δ=?≠? （带权正交）
二、 瑞利商
A 、
B 为n 阶厄米矩阵，且B 正定，称()()
H
H
x A x R x x 0x B x
=
≠为A
相对于B 的瑞利商。
12n x ,x ,x 线性无关，所以，n
x C
?∈，存在12n a ,a ,a C ∈ ，使
得
n
i i
i 1
x a x ==
∑
H
n
n
n n
2
H
H
i i i j j j i j i
i 1j 1
i ,j 1i 1x B x a x B a x a a x B x a ====????==
=
?
?
??
?
?
∑
∑
∑
∑
n
n
n
2
H
H
H
i i j i j j i i j i i
i ,j 1
i ,j 1
i 1
x A x a a x A x a a x B x a ====
=
λ=
λ∑
∑
∑
∴ ()
n
2
i i
i 1
n
2
i
i 1
a R
x a ==λ=
∑
∑
●()1x 0
m in R x ≠=λ
()n
x 0
m a x R x ≠=λ
证明：()
()()()
()
H
H
H
H
k x A k x x A x R x x B x
k x B k x =
=
k 为非零常数
可取1k
x
=
，
k x 1=
∴
()H
H
x 1
x A x R x x B x
==
（闭区域）
当1x
x =或()
i a 0i 2,3,,n == 时，()
1R x =λ
i 1
λ≥λ
()n
2
i i 11
1
n
2
i
i 1
a R x a ==≥λ=λ∑
∑
∴
()1x 0
m in R x ≠=λ
另一方面，i
n
λ≤λ
()n
2
i i 1n
n
n
2
i
i 1
a R x a ==≤λ=λ∑
∑
∴
()n
x 0
m a x R x ≠=λ
[证毕] 当B ＝I 时，标准特征值问题
A x x =λ （H
A A
=）
12n H
i j ij
x x λ≤λ≤≤λ??=δ?
则
()
H
1H
x 0x A x m in
x x
≠=λ
()
H
n
H x 0x A x m a x
x x
≠=λ
进一步分析可得
()
12x 0
a 0
m in R x ≠==λ
()
n n 1
x 0
a 0
m a x R x -≠==λ
()
12k k 1x 0
a a a 0
m in R x +≠=====λ
()
n n 1n k n k 1
x 0
a a a 0
m a x R x ----≠=====λ
定理1.设{}r r 1s L
sp a n x ,x ,,x += ()r r 1s +λ≤λ≤≤λ
,则
()r x 0x L
m in R x ≠∈=λ
()s x 0x L
m a x R x ≠∈=λ
这一结果不便于应用，希望对上述结果进行改造，改造成不依赖于i x 的一种表达方式。
1a 0
=和n
a 0
=的情况均对应于x 在（n-1）维的子空间内变动，
x 在L 中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。
一般的，x 在n C 的(n-1)维子空间n 1V -中变动时，
()n 1
2
x 0
x V m in R x -≠∈≤λ
()n 1
n 1x 0x V m a x R x --≠∈≥λ
即，对于不同的n 1V -，()R x 的最小值及最大值有可能不同，其中各个最小值中最大者为2λ，各个最大值中的最小者为n 1-λ
()n
n 1n 12
x 0V C x V m a x m in R x --≠∈∈??
=λ??????
()n n 1n 1n 1x 0V C x V m in m a x R x ---≠∈∈??
=λ??????
定理2. 设k V 是n C 的一个k 维子空间，则
()n
k k n k 1x 0V C
x V m a x m in R x -+≠∈∈??
=λ??????
()n k k k
x 0V C x V m in m a x R x ≠∈∈??
=λ??????
以上两式称为广义特征值的极小极大原理。 ● B ＝I 时，标准特征值问题同样存在上述关系。 ● 矩阵奇异值问题：()(
)2
H
A A A
??
σ=λ??
（非零）
()()
2H
H
22H
2
x
A
A x
A x R x x x
x
=
=
n
k k 2
n k 1
x 0V C x V 2A x
m a x m in
x -+≠∈∈??
σ=??????
n k k 2
k
x 0V C x V 2A x
m in m a x
x ≠∈∈??
σ=??????
作业：P262 2，3，4
《结构动力学》大作业 结构大型特征值问题的求解 0810020035 吴亮秦 1振动系统的特征值问题 1.1实特征值问题 n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为： []{}[]{}()M u K u F t += （1.1） 其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。 此系统的自由振动微分方程为 []{}[]{}0M u K u += （1.2） 设其主振型为： {}{}sin()u v t ω?=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，?为初相位。将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得： []{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2 λω=，(1.4)具有非零解的条件是 ()[][]det 0M K λ-= (1.5) 式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。 因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解： [][][]T M L L = (1.6) 其中，[]L 是下三角矩阵。引入向量{}x 满足：{}[]{}T x L v =，则： 1 {}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得： ([][]){}0I P x λ-= (1.8) 其中，( ) 1 1 [][][][] T P L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。 1.2复特征值问题 多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组： []{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。用分离变量法，设{()}{}t x t e λφ=，其中{}φ是与时间t 无关的常向量，λ为待定参数。将
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
有限元法，有限差分法和有限体积法的区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值
第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 () Im M λ≤其中，ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x x =λ， H x x 1=， 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ） n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑
() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为： ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ，但 2 x 1 =，所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中，ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =，ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+，ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义：设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
电磁学主要公式、定理、定律 一. 电场 1.库仑定律：212 q q F K r = 2.电场强度定义式：F E q = 3.点电荷电场强度决定式：2 Q E K r = 4.电势定义式：P E q ?= 5.两点间电势差：AB A B U ??=- 6.场强与电势差的关系式：AB U Ed = （只适用于匀强电场） 7.电场力移动电荷做功：AB W U q =? 8平行板电容器电容定义式：Q C U = (U 就是电势差AB U ) 9.平行板电容器电容决定式：4S C Kd επ= （ 式中，ε为介质的介电常数，S 为两板正对面积， K 为静电力恒量，d 为板间距离） 10.带电粒子在匀强电场中被加速：21 2mv qU = 11.带电粒子在匀强电场中偏转：2 2 02qL U y mv d = （U 为两板间电压） 二.恒定电流 1.电流强度定义式：q I t = 2.电流微观表达式：I nqSv = （其中n 为单位 体积内 的自由 电荷数，q 为每个电荷的电量值，S 为导体的横截面积，v 为 自由电荷定向移动速率。） 3.电动势定义式：W E q = （W 为非静电力移送电荷做的功，q 为被移送的电荷量） 4.导线电阻决定式：L R S ρ = ( 式中ρ为电阻率，由导线材料、温度决定，L 为导线长，S
为导线横截面积。) 5.欧姆定律：U I R = (只适用于金属导电和电解液导电的纯电阻电路，对含电动机、电解槽 的非纯电阻电路，气体导电和半导体导电不适用） 6.串联电路： （1） 总电阻 12......R R R =++总 （2） 电流关系 123.....I I I I === （3） 电压关系 123......U U U U =++总 7.并联电路： （1）总电阻 123 1111 ......R R R R =+++总 ①只有两个电阻并联时用 12 12 R R R R R = +总 更方便快捷； ②若是n 个相同的电阻并联。可用1= R R n 总 （2） 电流关系 123=......I I I I +++总 (3) 电压关系 123=......U U U U ===总 8.电功的定义式：W qU UIt == （ 在纯电阻电路中 ，2 2 U W UIt I Rt t R ===） 9.电功率定义式：W P UI t == （ 在纯电阻电路中 , 22 U P I R R ==） 10.焦耳定律(电热计算式)：2Q I Rt = 11.电热与电功的关系 ： （1）在纯电电路中，W Q = （2）在非纯电阻电路中 W qU UIt == ＞Q 2I Rt = 12.电功率定义式：W P t = 13.电功率通用式：W P t = 和 P UI = （对纯电阻电路，22 W U P UI I R t R ====） 14.闭合电路欧姆定律：E I R r =+ （变形：E U U =+外内 ；E IR Ir =+； E U Ir =+外） 三. 磁场
第8章特征值和特征向量 M A T L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在线性代数教学时很有用。注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。 8.1 特征值和特征向量的计算 假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解： 其中λ是一个标量，x是一个长度为n的列向量。标量λ是A的特征值，x是相对应的特征向量。对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。一个n×n的矩阵有n个特征值，表，λ2，. ..，λn。 示为λ 1 M A T L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。特征向量的规格化，就是每个特征向量的欧几里得范数为1；参见7 .6节。 命令e i g自动完成对矩阵A的平衡化。这就要求M A T L A B找出一个相似变换矩阵Q，满足 条件。求的特征值比求A的特征值条件更好些。万一A有一个和机器错误大小一样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。带有参数n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。 命令集7 9特征值和特征向量 e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。 [ X,D]=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵 X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。为了得到 有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。 [ X,D]=不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是 e i g(A,’n o b a l a n c e’)不进行平衡相似变换。 b a l a n c e(A)求平衡矩阵。 [ T,B]=b a l a n c e(A)找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。 B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。 e i g s(A)返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令e i g 一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计 算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵A的 秩不小于6，则计算出6个特征值来。 e i g s(f,n)求出矩阵A的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算 符时，字符串f中包含的是M文件的文件名，n指定问题的 阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快。
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
物理电磁学论文 现代人的生活已经离不开电，与此同时，电磁也充斥着我们生活中的每一个角落。随着电磁学，电磁技术的发展，我们已经离不开它了，在越来越多的领域，越来越多的角落，电磁学都在发挥着它的作用。1电磁对家庭输电的影响 现在人们越来越关注周围的生活环境了，所谓的污染已经不再是我们的眼睛所能看到的垃圾，耳朵听到的噪声，鼻子闻到的恶臭，还有我们看不见，摸不着的电磁辐射。随着科学技术的发展和信息社会的到来，我们的居室内不仅有冰箱，彩色电视机，洗衣机，微波炉和空调机等家用电器，而且不少家庭中还有计算机，传真机等多种信息交流的工具，相应地，进入每个家庭的输电线强磁场对人体也特别有害处。 摘要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、有限元法、时域有限差分方法以及复射线方法等。 关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法 1 引言 1864年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得到广泛地应用，相对于经典电磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视。 2 电磁场数值方法的分类 电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大类。频域技术主要有矩量法、有限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成熟。时域法主要有时域差分技术。时域法的引入是基于计算效率的考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量要小。例如求解目标对冲激脉冲的早期响应时，频域法必须在很大的带宽内进行多次采样计算，然后做傅里叶反变换才能求得解答，计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化，采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法，如GTD，UTD和射线理论。 从求解方程的形式看，可以分为积分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差限于求解区域的边界，故精度高；IE法适合求无限域问题，DE法此时会遇到网格截断问题；IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大；IE法难以处理非均匀、非线性和时变媒质问题，DE 法可直接用于这类问题〔1〕。 3 几种典型方法的介绍 有限元方法是在20世纪40年代被提出，在50年代用于飞机设计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元法已非常著名。
各种计算电磁学方法比较和仿真软件 各种计算电磁学方法比较和仿真软件微波EDA 仿真软件与电磁场的数值算法密切相关，在介绍微波EDA 软件之前先简要的介绍一下微波电磁场理论的数值算法。所有的数值算法都是建立在Maxwell 方程组之上的，了解Maxwell 方程是学习电磁场数值算法的基础。计算电磁学中有众多不同的算法，如时域有限差分法（FDTD ）、时域有限积分法（FITD ）、有限元法（FE）、矩量法（MoM ）、边界元法（BEM ）、谱域法（SM）、传输线法（TLM ）、模式匹配法（MM ）、横向谐振法（TRM ）、线方法（ML ）和解析法等等。在频域，数值算法有：有限元法（ FEM -- Finite Element Method）、矩量法（MoM -- Method of Moments ），差分法（ FDM -- Finite Difference Methods ），边界元法（ BEM --Boundary Element Method ），和传输线法 （ TLM -Transmission-Line-matrix Method ）。在时域，数值算法有：时域有限差分法（ FDTD - Finite Difference Time Domain ），和有限积分法（ FIT - Finite Integration Technology ）。这些方法中有解析法、半解析法和数值方法。数值方法中又分零阶、一阶、二阶和高阶方法。依照解析程度由低到高排列，依次是：时域有限差分法（FDTD ）、传输线法（TLM ）、时域有限积分法（FITD ）、有限元法（FEM ）、矩量法（MoM ）、线方法（ML ）、边界元法（BEM ）、谱域法（SM ）、模式匹配法
最近看了看matlab求特征值的函数，记下来备用。 eig求所有特征值和特征向量。 d = eigs(A) %求稀疏矩阵A的6个绝对值最大特征值d，d以向量形式存放。 d = eigs(A,B) %求稀疏矩阵的广义特征值问题。满足A V=BVD，其中D为特征值对角阵，V为特征向量矩阵，B必须是对称正定阵或Hermitian正定阵。 d = eigs(A,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,B,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,k,sigma) %sigma取值：'lm'表示绝对值最大的特征值；'sm'绝对值最小特征值；对实对称问题：'la'表示最大特征值；'sa'为最小特征值；对非对称和复数问题：'lr'表示最大实部；'sr'表示最小实部；'li'表示最大虚部；'si'表示最小虚部 d = eigs(A,B,k,sigma) %同上 d = eigs(A,k,sigma,opts) % opts为指定参数：参见eigs帮助文件。opts为一个向量 参数描述value opts.issym =1:如果A对称 =0：A不对称 {0|1} opts.isreal =1:A为实数 =0：otherwise {0|1} opts.tol 收敛？？？（没看懂）**估计 d = eigs(A,B,k,sigma,options) %同上。以下的参数k、sigma、options相同。 d = eigs(Afun,n) %用函数Afun代替A，n为A的阶数，D为特征值。 d = eigs(Afun,n,B) d = eigs(Afun,n,k) d = eigs(Afun,n,B,k) d = eigs(Afun,n,k,sigma) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma) d = eigs(Afun,n,k,sigma,options) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options) [V,D] = eigs(A,…) %D为6个最大特征值对角阵，V的列向量为对应特征向量。 [V,D] = eigs(Afun,n,…) [V,D,flag] = eigs(A,…) %flag表示特征值的收敛性，若flag=0，则所有特征值都收敛，否则，不是所有都收敛。 [V,D,flag] = eigs(Afun,n,…) 计算电磁学入门基础介绍 一. 计算电磁学的重要性 在现代科学研究中，“科学试验，理论分析，高性能计算”已经成为三种重要的研究手段。在电磁学领域中，经典电磁理论只能在11 种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的优点在于： ①可将解答表示为己知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果; ②可以作为近似解和数值解的检验标准; ③在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。 这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的数学技巧，甚至无法求得解析解。20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。近几年来,电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。 二. 电磁问题的分析过程 电磁工程问题分析时所经历的一般过程为： 三. 计算电磁学的分类 (1) 时域方法与谱域方法 电磁学的数值计算方法可以分为时域方法(Time Domain或TD)和频域方法(Frequeney Domain或FD)两大类。 时域方法对Maxwell方程按时间步进后求解有关场量。最著名的时域方法是时域有限差分法(Finite Difference Time Domain或FDTD)。这种方法通常适用于求解在外界激励下场 《计算电磁学》学习心得 姓名：桑dog 学号： 班级： 联系方式： 前言 计算电磁学是科技的重要领域它的研究涉及到应用计算机求解电磁方程它的重要性基于麦克斯韦方程——唯一的可以描述小到亚原子大到天体尺度的所有物理现象的方程, 。而且, 麦克斯韦方程式对于结果拥有很强的预测能力: 对于一个复杂问题的麦克斯韦方程的解通常可以准确的预知实验结果。因此, 麦克斯韦方程的解对于提高我们对复杂系统之物理现象的洞察力和设计复杂系统的能力均有极大帮助所以, 成功求解麦克斯韦方程式拥有广泛的应用前景: 例如纳米技术, 电脑微电子电路, 电脑芯片设计, 光学, 纳米光学, 微波工程, 遥感, 射电天文学, 生物医学工程, 逆散射和成象等等。 这篇文章的安排如下：第一章介绍了计算电磁学的重要意义以及发展状况。第二章介绍了计算电磁学中解决问题的方法分类。第三章对主要的数值方法进行了简介。第四章展望了计算电磁学的发展趋势。 第1章计算电磁学的重要性 在现代科学研究中，“科学试验，理论分析，高性能计算”已经成为三种重要的研究手段[1]。在电磁学领域中，经典电磁理论只能在11 种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的优点在于： ●可将解答表示为己知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果; ●可以作为近似解和数值解的检验标准; ●在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值 结果所起的作用。 这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题[2]。当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的数学技巧，甚至无法求得解析解。20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。近几年来,电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。[3] 第二十一讲 广义特征值与极小极大原理 一、 广义特征值问题 1、定义：设A 、B 为n 阶方阵，若存在数λ，使得方程Ax Bx =λ存在非零解，则称λ为A 相对于B 的广义特征值，x 为A 相对于B 的属于广义特征值λ的特征向量。 ● 是标准特征值问题的推广，当B ＝I （单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。 ● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解 ()A B x 0-λ= 或者 ()B A x 0λ-= → 特征方程 ()det A B 0-λ= 求得λ后代回原方程Ax Bx =λ可求出x 本课程进一步考虑A 、B 厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述 （1） B 正定，1B -存在 →1 B A x x -=λ，广义特征值问题化为了标准 特征值问题，但一般来说，1B A -一般不再是厄米矩阵。 （2） B 正定，存在Cholesky 分解，H B G G =，G 满秩 H A x G G x =λ 令H G x y = 则 () 1 1 H G A G y y --=λ 也成为标准特征值问题。 ( ) 1 1 H G A G --为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序 排列12n λ≤λ≤≤λ ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在 12n y ,y ,y 满足 () 1 1 H i i G A G y y --=λ H i j ij 1i j y y 0 i j =?=δ=?≠? 还原为()1 H i i x G y -= (i=1,2, ,n)，则 ()() H H H H i j i j i j ij 1 i j y y x G G x x Bx 0 i j =?===δ=? ≠? （带权正交） 二、 瑞利商 A 、 B 为n 阶厄米矩阵，且B 正定，称()()H H x A x R x x 0x Bx =≠为A 相对于B 的瑞利商。 12n x ,x ,x 线性无关，所以，n x C ?∈，存在12n a ,a ,a C ∈ ，使 得 n i i i 1 x a x == ∑ H n n n n 2 H H i i i j j j i j i i 1j 1i ,j 1 i 1 x Bx a x B a x a a x Bx a ====???? == = ? ????? ∑∑∑ ∑ n n n 2 H H H i i j i j j i i j i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 x A x a a x A x a a x Bx a ==== = λ= λ∑ ∑ ∑ ∴ ()n 2 i i i 1n 2 i i 1 a R x a ==λ= ∑ ∑ ●()1x 0 min R x ≠=λ ()n x 0 max R x ≠=λ 证明：()()()() () H H H H kx A kx x A x R x x Bx kx B kx = = k 为非零常数 可取1k x =， kx 1= 变分原理 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。 例如：实际上光的传播遵循最小能量原理： 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子（泛函） 变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l 计算电磁学数值方法的探究 13208-2 许嘉晨 摘要：本文介绍了计算电磁学数值求解方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，其中包括矩量法、有限元法以及时域有限差分方法。关键词：电磁学数值求解、矩量法、有限元法、时域有限差分法。 1引言 计算电磁学是指基于麦克斯韦方程组，建立逼近实际问题的连续型数学模型，合理地利用理想化或工程化假设，准确地给出问题的定解条件（初始条件、边界条件），然后采用相应的数值计算方法，经离散化处理，将连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型，应用有效的代数方程组解法，求解出该数学模型的数值解（离散解）。再经各种后处理过程，得出场域中任意点处的场强，或任意区域的能量、损耗分布，以及各类电磁参数值等，以达到理论分析、工程判断和优化设计等目的。对计算天线性能，电磁兼容，雷达散射截面和非自由空间的电波传播等问题具有深刻意义。本文将介绍计算电磁学的研究进展，并重点探究矩量法、有限元法以及时域有限差分方法的基本思路和特点。 2计算电磁学发展 1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell方程组。笼统而言，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell 方程组在各种边界条件下的求解问题。从整个电磁理论发展的过程来看，可以大概地把它分为2个阶段。20世纪60年代以前可以称为经典电磁学阶段。在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的方法进行处理，即在11种可分离变量的坐标系中求解Maxwell方程组或其退化形式，最后得到解析解。这种方法能够得到问题的准确解，而且计算效率比较高，但适用范围较窄，只能求解具有规则边界的简单问题，对任意形状的边界则无能为力或需要很高的数学技巧。20世纪60年代以后以基于积分方程的矩量法和基于微分方程的差分类方法为代表的数值计算方法的运用标志着计算电磁学阶段的到来，当然这也得益于电子计算机的迅速发展，使大型数值计算成为可能。相对于经典电磁学而言，数值方法几乎不再受限于边界的约束，能解决各种类型的复杂问题。经过几十年世界各国学者的研究和发展，计算电磁学已成为现阶段电磁理论的主要组成部分。当然这种划分也不是绝对的，经典电磁理论的研究也一直在进行着，它是计算电磁学的理论基础，没有它，计算电磁学也不可能得到蓬勃的发展。 计算电磁学之所以能取代经典电磁学而成为现代电磁理论研究的主流，主要得益于计算机硬件和软件的飞速发展以及计算数学的丰富成果。计算机内存容量不断增大，计算速度不断提高，软件功能不断强大，计算方法不断改进，再加上并行计算机的使用，使得我们能解决的电磁问题越来越大，越来越复杂，因此计算电磁学已经被广泛应用于诸如天线、雷达、电磁兼容等各种电磁领域，具有巨大的实用价值。 3 计算电磁学数值方法概述 当前电磁学研究领域十分广泛，电磁学问题的数值求解方法从求解方程的形式看，可以分为两大类，一类是以电磁场问题的积分方程为基础的数值方法——积分方程法（IE），如：矩量法、直接积分法、等效源法、边界元法等；另一类是以电磁场问题的微分方程为基础的数值方法——微分方程法（DE），如：有限差分法、有限元法等。 特征值法 对元素为实数或复数的n×n矩阵A，求数λ和n维非零向量x使A x=λx，这样的问题称为代数特征值问题，也称矩阵特征值问题，λ和x分别称为矩阵A的特征值和特征向量。代 数特征值问题的数值解法是计算数学的主要研究课题之一，它常出现于动力系统和结构系统的振动问题中。在常微分方程和偏微分方程的数值分析中确定连续问题的近似特征系，若用有限元方法或有限差分方法求解，最终也化成代数特征值问题。此外，其他数值方法的理论分析，例如确定某些迭代法的收敛性条件和初值问题差分法的稳定性条件，以及讨论计算过程对舍入误差的稳定性问题等都与特征值问题有密切联系。求解矩阵特征值问题已有不少有效而可靠的方法。 矩阵A的特征值是它的特征多项式P n(λ)det(λI-A)的根，其中I为单位矩阵。但阶数超过4的多项式一般不能用有限次运算求出根，因而特征值问题的计算方法本质上是迭代性质的，基本上可分为向量迭代法和变换方法两类。 向量迭代法是不破坏原矩阵A，而利用A对某些向量作运算产生迭代向量的求解方法，多 用来求矩阵的部分极端特征值和相应的特征向量，特别适用于高阶稀疏矩阵。乘幂法、反幂法都属此类，隆措什方法也常作为迭代法使用。 变换方法是利用一系列特殊的变换矩阵(初等下三角阵、豪斯霍尔德矩阵、平面旋转矩阵等)，从矩阵A出发逐次进行相似变换，使变换后的矩阵序列趋于容易求得特征值的特殊形式的矩阵(对角阵、三角阵、拟三角阵等)；多用于求解全部特征值问题，其优点是收敛速度快，计算结果可靠，但由于原矩阵A被破坏，当A是稀疏矩阵时，在计算过程中很难保持它的稀疏性，因而大多数变换方法只适于求解中小规模稠密矩阵的全部特征值问题。雅可比方法、吉文斯－豪斯霍尔德方法以及LR方法、QR方法等都属此类。 乘幂法计算矩阵的按模最大的特征值及对应特征向量的一种向量迭代法。设A为具有线性初等因子的矩阵，它的n个线性无关的特征向量是u i(i=1，2，…，n)，特征值排列 次序满足是一个n维非零向量，于是 若λ1>λ2，则当α1≠0，且k足够大时，A k z0除相差一个纯量因子外趋于λ1所对应的特征向量，这就是乘幂法的基本思想。实际计算中 电磁学计算方法的比较 | [<<] [>>]摘要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、有限元法、时域有限差分方法以及复射线方法等。 关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法 1 引言 1864 年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwel l方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得到广泛地应用，相对于经典电磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常 需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视。 本文综述了国内外计算电磁学的发展状况，对常用的电磁计算方法做了分类。 2 电磁场数值方法的分类 电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大类。频域技术主要有矩量法、有限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成熟。时域法主要有时域差分技术。时域法的引入是基于计算效率的考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量要小。例如求解目标对冲激脉冲的早期响应时，频域法必须在很大的带宽内进行多次采样计算，然后做傅里叶反变换才能求得解答，计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化，采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法，如GTD，UTD和射线理论。 从求解方程的形式看，可以分为积分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差限于求解区域的边界，故精度高；IE法适合求无限域问题，DE法此时会遇到网格截断问题；IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大；IE法难以处理非均匀、非线性和时变媒质问题，DE法可直接用于这类问题〔1〕。计算电磁学入门基础介绍
计算电磁学结课论文
广义特征值与极大极小原理
变分原理
计算电磁学数值方法的探究
特征值法
电磁学计算方法的比较
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