第 11 章（之1）（总第59次）
教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：
**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ??????? ． 答：x y 221+>
**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=?
??
?
?22
2222000
， 则（ ）
(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续
(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ）
**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）=
u y x -；
解：定义域为：{
}
x y y x ≤)
,(，见图示阴影部分：
（2）)1ln(
),(xy y x f +=； 解：{}
1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包
括
边
界
，
双
曲
线
1
-=xy 用虚线表
示）． （3）y
x y x z +-=
． 解
：
．
***3. 求出满足2
2,
y x x y y x f -=??
? ??+的函数()y x f ,. 解：令??
?
??=+=x y
t y x s ， ∴??
???+=+=t st y t s x 11
∴()()
()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22
222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：
()()
2
2
0,0,11lim
y
x xy y x +-+→．
解：()(
)(
)
(
)(
)
2
222
2
22
2
112111110y
x xy y x y
x xy xy
y
x xy ++++≤
+++=
+-+≤
()
01
122
2→+++=
xy y x （()()0,0,→y x ） ∴
()()
011lim
2
2
0,0,=+-+→y
x xy y x ．
**5. 说明极限()()2
22
20,0, lim y x y x y x +-→不存在．
解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．
首先，0=x 时，极限为()()1lim 22
22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，
其次，0=y 时，极限为()()1lim 22
22220,0,0==+-→=x x y
x y x y x y ，
故极限()()2
22
20,0,y y lim +-→x x y x 不存在．
**6. 设1
12sin ),(-+=
xy x y y x f ，试问极限
),(lim )
0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？
解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数
1
12sin ),(-+=
xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．
***7. 试讨论函数z x y
xy
=+-arctan
1的连续性． 解：由于arctan x y
xy
+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．
**8. 试求函数f x y xy
x y
(,)sin sin =
+22ππ的间断点．
解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续． 又f x y xy
x y
(,)sin sin =
+22
ππ是初等函数． 所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．
第 11 章（之2） （总第60次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]
**1.解下列各题： （1）函数3
2),(y x y x f +=
在)0,0(点处 （ ）
（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在； （B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在； （C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在； （D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在． 答：（D ）．
（2） 设z x y x
y =+-()arcsin
2，那么
??z y (!,)
2= （ ）
(A) 0 ； (B) 1； (C)
π
2
； (D)
π4
． 答：(D)．
（3）设()xy y x f =
,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．
解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴
x f ，同理 0)0,0('=y f ．
**2. 设z x y x y e xy
=-+++2322ln ， 求 z z x y ,．
解：z x x y ye x xy
=+++1322， z y x y
xe y xy =-+++2322
．
**3. 求函数x
y
z arctan =对各自变量的偏导数. 解：2
222,y x x
z y x y z y
x +=+-=．
**4. 设f x y x x y x y x y (,)ln()
=++≠+=??
?222222200
，求f f x y (,),(,)0000．
解：f x x x x x (,)lim
ln 000022==→， f y
y y (,)lim 0000
00=-=→．
***5. 求曲线?
??=+-=12
2x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．
解：由于曲线在平面1=x 内，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，
得切线与y 轴的夹角为 4
1arctan π
=
．[也可求出切向量为{}1,1,0]
∴夹角={}{}4
22arccos
12
110,1,01,1,0arccos 22π
==+．
***6. 设函数?(,)x y 在点)0,0(连续，已知函数f x y x y x y (,)(,)=-?在点)0,0(偏导数
)0,0(x f '存在，
（1）证明?(,)000=； （2）证明)0,0(y f '也一定存在．
解：（1）lim
(,)(,)
lim (,)???????x x f x f x x x x
→→-=0
00000?， 因为)0,0(x f '存在，所以 lim (,)lim (,)
????????x x x x x x x x
→+→-?=-?0000??
即 ??(,)(,)0000=-， 故 ?(,)000=．
（2）由于?(,)x y 在点)0,0(连续，且?(,)000=，所以0→?y 时，),0(y ??是无穷小量，
而y
y ??是有界量，所以0),0(lim )
0,0(),0(lim
00
=???=?-?→?→?y
y y y f y f x y ?，即0)0,0(='y f ．
第 11 章（之3） （总第61次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]
**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．
解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=
()zdz
x xdy dx x y z xdx y xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=
∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=
， ()()?
?????=?0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xy
y
x z -+=1arctan
的全微分： 解：xy
y
x d dz -+=1arctan
)arctan (arctan y x d +=
2
211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d ++
+=
+=
**3. 设z xy xy =-sec ()ln()
21，求d z ．
解：2
22)]
1[ln()]
1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z
)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]
1[ln(122
2
y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )
1(ln )(cos )1()
d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=
xy xy xy y x x y xy xy xy ．
**4. 利用df f ≈?，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+， 并利用上式计算
()()2
203.498.2+的近似值．
解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+， 设()22,y x y x f +=
，03.0,02.0,4,3=?-=?==y x y x ，
于是 ()2
2
2
2
,y
x y y x x y
x ydy xdx y x df +?+?=
++=
，
()()2
2
,,y
x y y x x y x f y y x x f +?+?+
≈?+?+，
∴
()()()()
012.54
303.0402.034303.498.22
2
222
2=++-+
+≈+．
***5．已知圆扇形的中心角为
60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了 1，r 减少了1cm ，
试用全微分计算面积改变量的近似值． 解：180
212πα
r S =
， ))(2(360
2ααπ
d r dr dS +=
，
∴ )(4533.17)360
1
)20(360)1(60202(22cm dS S -=?+-???=≈?π．
***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向 k j i l
-+=2
的方向导数P
l
f
??．
解：z
y x f z
y x f z
y x f z y x 323
,
322
,
321
++=
++=
++=
，
??????-=61,6
1
,62l e ，
∴ 65161,6
1
,6253,52,51=
??????-???????=??=??l P
e f l
f
．
***7. 函数z x
y
=++arctan 11在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值． 解：
??z x
x y y
(,)
(,)
002
0011111112
=
+++?? ??
??
+=
， ??z y
x y x y (,)
(,)
()0022001
1111112=
+++?? ??
??-++?????
?=-， {}{}??αααα?z l =+-=-?=1212121122
cos ()sin ,cos ,sin cos ， 其中?为{} l =cos ,sin αα与 g =-????
??
1212,的夹角，
所以?=0时，即
l 与
g 同向时，方向导数取最大值??z l =
2
2
．
**8. 对函数 xyz
e z y x
f =),,( 求出 ),,(z y x f ? 以及 )3,2,1(f ?.
解： {
}
xyz xyz xyz
xye xze yze f ,,=?，{}2,3,6)3,2,1(6e f =?．
**9. 求函数z
y x z y x f 1)(),,(+=在点)2
1,21,21(
-+=e e P 处的梯度． 解：??
?
???????++-++=?--)ln()(,)(1,)(12
1
1111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}
24,2,2)2
1,21,21(
e e e e e
f -=-+?．
***10. 讨论函数?????=+≠+++=0
,
00,1sin ),(22222
22
2y x y x y
x y x y x f 在点（0，0）处的连
续性，可导性和可微性．
解：因为 lim (,)lim sin
(,)x y x y f x y x y x y f →→→→=++==00
00
22
22
1
000，
所以f x y (,)在点（0，0）连续．
因为 lim
(,)(,)lim sin
()???????x x f x f x x x x →→+-=0
02
00001
， 极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．
第 11 章（之4）（总第62次）
教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法
**1.解下列各题：
（1） 若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3
422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则
),(2 x x f v '= ( )
(A) 1222
++x x
(B) x
x x 21322
+
+ (C) 1222
+-x x
(D) 1322
++x x
答：(A)
（2）设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则
??z
y
=_________． 答： 21
12
xyz xy
-- ．
（3）方程
y
z
x z ??=??3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______. 答：0=??u
z
．
**2. 设u x y z x r y r z r =++===222
,cos sin ,sin sin ,cos θ?θ??求
????θ???
u r u u ,,．
解：
()??θ?θ??u
r
x y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，
0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=?θθ??θ
?r y r x u
，
0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=??θ?θ??
?r z r y r x u
．
**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率． 解：h r V 2
3
1π=
， s cm h r dt
dV
dt
dh
r dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /112525
15313232πππ===+=???+???=
*4. 设,3y e z x -=而4
,sin t y t x ==，求
dt
dz
． 解：3
2334cos y t t e dt
dy z dt dx z dt dz x
y x -=+=．
**5. 若)
(2
2y x f xy z -=
，证明：z y z x y z y x x z xy 2
222+=??+??． 解：2
2222,2f
f xy xf z f f y x yf z y x '
+='-=， 则 z y z x f
y x xy yz x z xy y x 22222
2
)
(+=+=+．
**6. 设 )cos ,,(2
x xy ye xe f u x y =，求
du y
u
x u ,,????． 解：
3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e x
u
x y -++=?? ， 3221cos xf x f e f xe y
u
x y ++=??， [][]
dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．
**7. 求由方程
y
z
z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数． 解：z x z
yz y z
x z
Fz Fx z x +=
-
--=-=21
，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211
． **8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求
dz y
z
x z ,,????． 解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ， 解得 3
23
1xF F zF yF z x ++-
=，
两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ． 解得3221xF F F xF z y ++-
= ，所以dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 3
22
13231++-++-=．
***9. 函数z z x y =(,)由方程F x x y z z xy (,,)+++=1所确定，其中F 具有连续一阶偏导数，F F 230+≠，求
??z x 和??z y
． 解：F x x y z F z y x x y F 1230d (d d d )(d d d )++++++=，
d ()d ()d z F F yF x F xF y
F F =-
+++++1232323
，
??z x F F yF F F =-+++12323， ??z
y F xF F F =-++2
323
． ***10. 求由方程z xyz a
a 3
3
30-=≠()所确定的隐函数z z x y =(,)在坐标原点处沿由向
量{}
a =--12,所确定的方向的方向导数． 解：当x y ==00,时，z a 00=≠．
0,
0)
0,0(2
)0.0()
0,0(2)0.0(=-=
=-=
xy z xz
y z
xy z yz x
z ????，0=??∴a z ．
***11. 设)0(,1,022≠+=+=-y x xv yu yv xu 求
y
v y u x v x u ????????,,,． 解： ???????=??+??+=??-??+00x v x x u y v x
v y x u x u ???????+--=??++-=???2222y x yu xv x v y x yv xu x u
类似地 ???????=??+??+=??--??00y v x y u y u y v y v y u
x ????
??
?++-=??+--=???2222y x yv xu y
v y x xv yu y u
第 11 章 （之5）（总第63次）
教材内容：§11.5 多元函数微分法在几何上的应用
**1. 曲面x y z xyz x z 2222426-+--+=在点)2,1,0(=A 处的切平面方程为 （ ） （A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）
03
2213=--+-+z y x （D ）x y z 31223=-=--
答：(A)．
**2.设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点)0,1,2(-=M ，且
F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点M 作曲面的一个法向量，已
知与x 轴正向的夹角为钝角，则与z 轴正向的夹角γ=______ ． 答：π3
．
***3. 设曲线x t y t z t =+=-=+213122
3
,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点
)1,4,2(-=P 到S 的距离d =______ ．
答：2．
**4. 求曲线ct z t b y t a x L ===,sin ,cos :在点)2,0,(0c a M π=处的切线和法平面方程． 解：
,0sin 00=
-=
==t t t
a dt dx
,cos 00b t b dt
dy t t =-===
c
dt
dz t ==0．
∴切线方程为：??
?
??-==?-=-=-c c z b y a
x c c z b y a x ππ2200，
法平面方程为：0)2(=-+c z c by π．
***5. 求曲线6,11
:==++xyz zx yz xy L 在点)3,2,1(0=M 处的切线和法平面方程．
解：设 11),,(-++=zx yz xy z y x F ，6),,(-=xyz z y x G ，
)()()(),(),(2x y z z x yz z y xz xz
yz z
x z
y y x G F +-=+-+=++=
??， )()()(),(),(2z y x y x xz z x xy xy
zx x
y z x z y G F -=+-+=++=??， )()()()
,(),(2x z y z y xy y x zy zy
xy z
y y x x z G F -=+-+=++=
??． ∴
8)
,(),(,
1)
,(),(,
9)
,(),(0
00
=??-=??-=??M M M x z G F z y G F y x G F ，
∴切线方程为
9
3
8211--=-=--z y x ， 法平面方程为 ()()()()()0948211=--+-+--z y x ，
即 01298=-+-z y x ．
***6. 求曲面4416222
x y z ++=在点1,22,1(-=P )处的法线在yOz 平面上投影方程． 解：曲面在点1,22,1(-=P 处的法线方向向量
{}{}
2,2,248,24,8-=-=→
n ，
法线方程为：
x y z -=-=
+-12222
1
2．
法线在yOz 平面上投影方程为21
2
220-+=
-=z y x ．
***7.求曲线x t y t z t ===3223,,上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面
x y z +-=21．
解：设所求的点对应于t t =0，则对应的切线方向向量为： {
}
3,4,302
0t t s =→
．
因为→
s 垂直于平面法向量{}1,2,1-=→n ，所以0383020=-+=?→
→t t n s ，
解得：t 013=和t 03=-．所求点为：127291,,?? ?
?
?和(,,)--27189．
**8．求曲面xy
z 6
=
上平行于平面.06236=+--z y x 的切平面方程． 解：
26
,6
xy
y z xy
x z -=??-=??， ∴由条件，得：??
?
??-=-==???
??
?????
-=--=-=-
3
21
213666
22z y x k k x y k y
x
∴切平面方程为：,0)3(2)2(3)1(6=+-+--z y x 即 018236=---z y x ．
***9.求函数2
2y x e
z +=在点),(000y x M =沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．
解：等值线方程为x y x y 2
2
02
02
+=+, 在),(000y x M =处的法线斜率为 00x y k =
，即法线方向向量为 },1{0
0x y n =
或},{00y x ，
方向余弦为：cos cos αβ=
+=
+x x y
y x y
00
20
200
20
2,
??z
n e x x x y e y y x y x y x y =??++??
+++020202022200020200020
2=?++20202
0202
e x y x y ．
***10. 求函数z y x =
+sin 在??
?
??=1,2πP 点沿 a 方向的方向导数，其中 a 为曲线
x t y t ==22sin ,
cos π在t =
π
6
处的切向量（指向t 增大的方向）． 解：tan d d sin cos αππππ=
=-=-=
=y x
t t
t t 6
6
222，
1
sin 1
1
cos 2
2
+-=
+=
ππ
απα，，
2
21sin 210sin 2cos 1,21,21,21,2=
+=
=+=
??
? ????
? ????
? ????
? ??ππππ????x
y y
z x
y x x
z ，
，
所以 ??πππz a =?++?-+011122122()()1
222+-
=ππ
．
***11. 设f y z g z (,),()都是可微函数，求曲线x f y z y g z ==???
(,)
()在对应于z z =0点处的切线方
程和法平面方程．
解：z z =0对应点()f g z z g z z [(),],(),0000， 对应的切线方向向量：
{}
f g z z g z f g z z g z y z ='+'[(),]()[(),],(),0000001．
切线方程：
x f g z z f g z z g z f g z z y g z g z z z y z -'+=-'=-[(),][(),]()[(),]()()
0000000000，
法平面方程： {}
{}f g z z g z f g z z x f g z z y z [(),]()[(),][(),]0000000'+-
+'-+-=g z y g z z z ()[()]()0000．
****12. 在函数y
x u 1
1+=
的等值线中哪些曲线与椭圆16822=+y x 相切？
解：对等值线 y x u 1
10+= 两边微分得 022
=--y dy x dx ， 即 22x
y dx dy -=，
同样对16822=+y x 两边微分，有
y
x
dx dy 8-
=， 令y x
x
y 822-=-，得 y x 2=，
代入16822=+y x ，得 3
2,3
4±
=±
=y x ，
∴ 4
3
3110±
=+=y x u ．
***13. 试证明曲面3a xyz =上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．
解：由3
a xyz =， 得 xy
a z 3
=，
∴在点),,(000z y x 处法向量为：??
?
???????-1,,0
20302
03x y a y x a
， ∴切平面为：
0)()(002
0300
2
03=-+-+
-z z y y y x a x x y x a ，
又 ∵3000a z y x =， ∴ 切平面方程化为：
13330
00=++z z
y y x x ， ∴ 截距之积为： 30002727a z y x =（定值）．
***14. 证明曲面0,=??
?
??----c z b y c z a x F 的所有切平面都通过一个定点，这里F u v (,)具有一
阶连续偏导数．
解：曲面上点(,,)x y z 000处的切平面法向量：
[]F z c F z c z c x a F y b F =-----+-??????
10200201021,,()()()
[]{}=
-----+-1
020
1020102()
(),(),()()z c z c F z c F x a F y b F ． 切平面方程为： ()()()()z c F x x z c F y y 010020--+--
[]0)()()(02010=--+--z z F b y F a x ．
易知x a y b z c ===,,满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点(,,)a b c ．
第 11 章 （之6）（总第64次）
教学内容：§11.6泰勒展开
1．填空：
*（1）设u xy y x =+，则??22u
x
=________ ．
答：
32x
y ． *（2）设u x xy =ln ，则???2u
x y
= _________．
答：
y
1． *（3）设u x y y x =+2
2
sin cos ，则???2u
x y
= _________ ．
答： x y y x sin 2cos 2-．
*（4）设u x y xy =+-arctan 1，则???2u
x y
=_______ ．
答：0 ．
**（5）设z e y e y x
x
=+-sin cos ，则????2222
z x z
y
+= _________． 答：0．
**2．设z f x u =(,)具有连续的二阶偏导数，而u xy =，求??22z
x
．
解:z f yf x x u =+， z f yf y f xx xx xu uu =++22．
**3．设z x xy =ln()，求???32z
x y
．
解一： z x y
y =
， z y
yx =
1
， z yx 20=．
解二： z xy x =+ln()1，
z x
x 21
=， z yx 20=．
**4．设)2,2
1
(),
()(4
3
2
2
xy z y x xf xy f y z 求+=．
解：)(3)()('43434324y x f y x y x f xy f y z x ++=，
,
4)("3)('124)('2)(")('43
3
4
3
4
3
4
3
3
3
3
3432423y x y x f y x y x f y x x y y x f yx xy f y xy f y z xy ?++?+?+=
∴)2("24)2('12)2('4)2("32)2('32)2,2
1(f f f f f z xy ++++= )2("56)2('48f f +=．
**5．函数y y x =()由方程x xy y 2
2
21+-=所确定，求2
2d d x
y
． 解：
x
y y
x y x y x x y -+=-+-=2222d d ，
2
22)
()
)(1())(1(d d x y y x y x y y x y -+-'--'+= 3
22)
()
2(2x y y xy x --+-=3)(2y x -=. ***6．求方程 z
y e
z x +=+ 所确定的函数),(y x z z =z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.
解：x
z e x z z y ???=??+
+1， ∴ 11
-=??+z y e x z ．
3
222
)1()1(--=-???
-=
??++++z y z
y z
y z y e e e x z
e x z
， 因为 )1(y z e y z z
y ??+=??+， ∴z
y z y z y e e e y z +++-+
-=-=??1111． 则 3
222)
1()1()
1(
z y z y z y z y e e e y
z
e y z ++++-=-+??=??， 3
22)
1()1()
1(
z y z y z y z y e e e y
z
e y
x z ++++--=-+??-=???， 3
22)1()1(-=-??=???++++z y z y z y z
y e e e x z
e x y z ．
***7．对于由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z =，试求 22x
z ??．
解：由公式
z
x F F x z
-=??两边对x 求偏导数，得
。
一般约定)()()(2)()()()()()(3
223
222
22
2zx xz z
xx
z zz x xz z x z
z
x xz xx z x zz zx z x z
z z
x
xz xx z x zz
zx x z zz zx x z xz
xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F x
z
F F F F x z F F x z
=--=
+--=-+--+=??+-??+-=??
***8．设xx tt u a u at x at x u 2
),()(=-++=验证ψ?． 解：)(')('at x at x u x -++=ψ?,
2
2
2
)](')("[))((')("))((')(')
('')(''a at x at x a at x a at x u a at x a at x u at x at x u tt t xx -++=--+?+=--+?+=-++=ψ?ψ?ψ?ψ?
∴ xx tt u a u 2=．
第 11 章 （之7）（总第65次）
教学内容：§11.7.1 多元函数的极值
1．选择题： *(1) 设函数z x y =-
+122，则点(,)00是函数z 的 ( )
（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；
（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点．
答：(B)
**(2) 设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在点),(000y x P =处，有 f P f P f P f P f P f P x y xx yy xy yx (),(),()(),()()0000000002======，则( ) （A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点； （C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定．
答：(C)
**（3）“),(00y x f 同时是一元函数),(0y x f 与),(0y x f 的极大值”是“),(00y x f 是二元函数),(y x f 的极大值”的 （ ） （A ）充分条件，非必要条件； （B ）必要条件，非充分条件；
（C ）充分必要条件； （D ）既非必要条件，又非充分条件． 解：（B ）
**2. 设函数z z x y =(,)由方程
12
355242
2x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z 的驻点是 ________ ． 答：（115-，11
20
）
**3.求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值．
答：由??
?=-+-==+-=03430
434y x z y x z y x ，得驻点 )0,1(-．
74
3
34=--==
yy
yx
xy xx z z z z D 0>，
04)0,1(>=-xx z ．
所以函数在点)0,1(-处取极小值1)0,1(-=-z ．
***4. 求函数 2222224),(y x xy y x xy y x f -+-= 的极值． 解：
222244xy y xy y x f -+-=??， y x xy x x y
f
222424-+-=??， 2
2
224y y x
f
--=??， xy y x y x f 44442-+-=???， 22
224x x y f -=??．
令?????=-+-=-+-0
24240
22442
222y x xy x x xy y xy y ，解得驻点：()()()()()2,2,2,0,0,2,0,0,1,1---．
()02,042
00
21,1>=>==
-A H ，∴()1,1-为极小值点，()11,1-=-f ． 类似可求其他各点处的H 值：
()()()
()
。016,016,016,0162,22,00,20,0<-=<-=<-=<-=--H
H
H H
∴ ()()()()2,2,2,0,0,2,0,0-- 为鞍点．
华东理工大学继续教育学院成人教育 《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案） 一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法） 因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ） （A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系） 由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）. 4、 设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ） （A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1
第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-2 2 1连续区域是 ． 答：x y 2 2 1+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解： ()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．
***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．
第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．
第8章 数列与无穷级数 （一） 数列 1． 数列极限的定义 若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限， 或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2． 数列极限的运算法则 若 ()1 lim L a n n =∞ →，2 lim L b n n =∞ →，c 是常数，则 ()1 lim cL ca n n =∞ →； ()21lim L L b a n n n ±=±∞→； ()2 1lim L L b a n n n =∞ →； ()0,lim 221 ≠=∞→L L L b a n n n 。 3． 数列极限的性质 (1)若L a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: L b L c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞ →∞ →∞ →lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有 界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 数列极限与函数极限的联系
对于数列{} n a，若存在定义域包含[)∞ ， 1的函数()x f，使()n f n a=，且()L x f x = +∞ → lim ， 且 L a n n = ∞ → lim 。 6．数列与数列的关系 （1）若 L a n n = ∞ → lim ， {} k n a是{}n a的一个子数列，则L a k n k = ∞ → lim 。 （2）若 L a a k k k k = = + ∞ → ∞ → 1 2 2 lim lim ，则 L a n n = ∞ → lim 。 （二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义 称 ∑ = = n k k n u s 1为级数 ∑∞ =1 n n u 的前n项部分和 () ,2,1=n，而称数列{} n s为级数 ∑∞ =1 n n u 的部 分和数列。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s收敛，即s s n n = ∞ → lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称s为该级 数的和，记为 s u n n = ∑∞ =1，同时称 ∑∞ + = = - = 1 n k k n n u s s r 为级数 ∑∞ =1 n n u 的余和。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散。 2．级数的基本性质 （１）若 s u n n = ∑∞ =1，c是常数，则 cs cu n n = ∑∞ =1。 （2）若∑∞ =1 n n u =s， σ = ∑∞ =1 n n v ，则 ()σ+ = + ∑∞ = s v u n n n 1。 （3）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ + =1 m n n u 也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。
高等数学作业 AⅠ 吉林大学数学中心 2017年8月
第一次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．下列结论正确的是( A )． （A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数； （D ）4 -22arccos π =． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )． （A ）x x x x e e e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2 x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )． （A ）π； （B ）π3 2 ； （C ）π2； （D ）π6． 4．. ??? ??-??? ??-??? ? ? -∞→22211311211lim n n Λ=（ C ） （A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2． 5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件 （A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1 =+∞→n n n a a 则( D )． （A ）{}n a 的敛散性不定； （B ）0lim ≠=∞ →c a n n ； （C ）n n a ∞ →lim 不存在； （D ）0lim =∞ →n n a ． 二、填空题
1．=???? ??-+ +-+-∞→n n n n n 2 2241 2 411 41 lim Λ 0. 5 ． 2．设? ? ?<+≥+=,0,2, 0,12)(2 x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ? ??<+-≥-2,181642, 742x x x x x ． 3．函数1 )(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x ． 4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要 条件. 5. =++--+++∞ →])2()11(1sin [lim 1 n n n n n n n n n 22e + ． 三、计算题 1．设6 331 34)11(x x x f ++=+ ，求)(x f ． 解：令31 1x t +=，则3 1 1-=t x 代入已知的式子中得， 2)1)1(34)(-+-+=t t f t 即有 22)(t t f ++=t 2．求n n n x 13)|1(lim | +∞ →， 解：(1)当1||>x 时 由于311 33||2)||1(|| x x x n n n <+< 以及 331||||2lim x x n n =∞ → 所以有 313||)|1(lim x x n n n =+∞ →| （2）当1||≤x 时
高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY
第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+
第12次作业 教学内容：§3.1微分 **1. ． 求，设 dy x x x x y x ),4 0(2tan )(cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-= . **2. 设 求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则 令 dx e e x x 4212--+-= . **3. 设 且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ??0 解: )() (ln x x u ??= 记， 则du u x x d )()()(ln ????'=??????dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ??????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2?????? . **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由 033 3=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴.
**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由 得 dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin(). **6. .26 3 的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003 -=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令 959.2271 3263 =- ≈. **7. .151cos ,0 的值计算用微分代替增量 解: f x x x x ()cos === ==．，000150561180ππ ?, 8747.036023180 )150(sin 150cos )151(000-≈-- =? -≈π π f . **8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀 外半径为在一个内半径为 量。 个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7, 解: ， ．．，86.72.0534 1113==?==ρπr r r V )(6.4932086.7486.712 11g r r m ≈?=???≈ππ， ，，，9.18005.02.5222==?=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =??≈π. **9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g l T π
高等数学（下）期终考试卷(华东理工) 222222{0,0,6},{2,2,1}_______;2 25(0),________; 4 )___a L a b xyz yz zx xy L x y R y yds x y z y y z ==-==??++=?+=≥=?++=?=??b 00 一、试解下列各题（每题4分，共16分） 1、向量在向量上的投影Prj 、曲线在(2,1,1)点的切线方程是____________; 3、(1)设是上半圆周则(2过曲线母线平行于轴的柱面方程是0 00 0(4)_______; 41(,,)(,,),:__________; )(,)(,),:0_________; (3)4'''3''0__________; L L x x x y z u x y z L y y I D x y u x y D L Ax By C I y y y y =?ΩΩ? =?++=-+==0、（）立体上点处的密度为则对直线的转动惯量用三重积分可表示为(2平板上点处的密度为则对于直线的转动惯量用二中积分表示为微分方程的通解为 33001002(1)8(1)(1)8 121 8(2,3,2)101(2){1)}6241(,)ln(1)0n n n n y x x x y x n x y z M x dx e dy n y z z x y x ze z ∞ =--++--==-=--+=∑??0 二、（分）求幂级数的收敛域（包括收敛的端点）。三、（分）求点到直线的距离。 四、（1）计算二次积分求数列的极限。 五、试解下列各题（每题分，共分） 、设函数由方程 所确定，试求此函数1 1 2222232sin()()sin ,(0,0)(1,0)1 (0,0,1)(0,0,2),2 n n n L dz a x x y dx x y x dy L y x x MA M A B M MB ∞ ∞ ==+--=--=∑?00 的全微分。、设是收敛的正项级数，试证明级数、（1）计算曲线积分其中是自点沿至的一段有向曲线。 （2）动点到两定点及的两个距离之比为 求动点的轨迹。00101 41()012 2()ln ()x f x x f x x x e ≤
华东理工大学 复变函数与积分变换作业（第1册） 班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________ 第一次作业 教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念 1．填空题： （1）3 5arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i （3）)31(2 1i +- (4) 13,1=-=y x 。 2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 (1)31i +; 解：32)3sin 3(cos 2)2321(231π ππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1π???≤≤+-i 解：)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1? π??π?π???-=-+-=+-i e i i
(3)32 ) 3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i + 3．求复数1 1+-z z 的实部与虚部 解：2| 1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 2 22|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-= z z z w ，2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(331 ==-=+k e z k i π 即原方程有如下三个解： 31,2,31i i --+ 5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则 23 2232223221|||(|2||z z z z z z z --+=+= 得22323||a z z =-221|)||(|z z -=，同样， 22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=- 6. 设2,1z z 是两个复数，试证明.
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 向量及其线性运算 必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题： 1、 求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标. 解：（1） xoy 面（a,b,-c ）,yoz 面（-a,b,c ）, xoz 面（a,-b,c ）; (2）ox 轴（a,-b,-c ）, oy 轴（-a,b,-c ）, oz 轴（-a,-b,c ）; (2）关于原点（-a,-b,-c ）。 2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的 位置 (3,4,0),(0,4,3),(3,0,0),(0,1,0).A B C D - 解：xoy 面：z=0， yoz 面：x=0， xoz 面：y=0. ox 轴：y=0,z=0， oy 轴：x=0,z=0， oz 轴：x=0,y=0， A 在xoy 面上，B 在yoz 面上， C 在x 轴上， D 在y 轴上。 3、 在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标. 解：设C （0，0，z ），有|AC|=|BC|，解得：z= 149，所求点为(0,0, 149 ). 4、 设2,3,u a b c v a b c =-+=-+- 试用,,a b c 表示23.u v - 解：235117u v a b c -=-+ . 5、已知两点1M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模，方向余弦和方 向角. 解：{} 121,M M =- ，122M M = ，方向余弦为1c o s 2 α=-， cos 2β=- ，1cos 2γ=，方向角23πα=，34πβ=，3 πγ=.
《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；
《高等数学》入学考试大纲 一.考核目标: 1.了解函数, 极限, 连续, 导数, 微分, 不定积分, 定积分等 基本概念及基本理论. 2.熟练掌握极限, 导数, 积分等基本运算, 并能应用于实际问题. 二.考试内容: (一)函数 1.函数的概念: 函数定义, 分段函数 2.函数的简单性质:单调性, 奇偶性, 有界性, 周期性. 3.反函数 4.函数的四则运算与复合运算 5.基本初等函数及初等函数 (二)极限 1.数列极限的概念 2.数列极限的性质:唯一性, 有界性, 四则运算定理,夹逼定理, 单调有界数列极限存在定理. 3.函数极限的概念 4.函数极限的定理: 唯一性, 夹逼定理, 四则运算定理. 5.无穷小量和无穷大量 6.两个重要极限 (三)连续 1.函数连续的概念, 函数的间断点. 2.函数在一点处连续的性质. 3.闭区间上连续函数的性质. 4.初等函数的连续性 (四)导数与微分 1.导数的概念: 导数定义, 左导数与右导数, 导数的几何意义, 导数与连续的关系. 2.导数的四则运算法则与导数的基本公式. 3.求导法则, 复合函数的求导法, 隐函数的求导法, 对数求导法. 4.高阶导数的概念: 高阶导数的定义, 二阶导数的计算. 5.微分: 微分的定义, 微分与导数的关系, 微分法则 (五)中值定理及导数的应用 1.中值定理: 罗尔中值定理, 拉格朗日中值定理. 2.洛比达法则 3.函数增减性的判定法 4.函数极值及极值点, 最大值与最小值 5.曲线的凸凹性, 拐点 (六)不定积分 1.不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义,不定积分的性质. 2.基本积分公式 3.换元积分法, 第一类换元法, 第二类换元法 4.分部积分法 5.一些简单有理函数的积分
第2章 （之1） 第2次作业 教学内容: §2.1 导数概念 **1. 设，试用导数定义求)(x f '. 解： . **2. 试用导数定义计算下列函数的导数： （1）x x f 1)(=， 求)1(f '； （2）()3 8t t g -=，求()2g '； （3）()t t t -=2 3?，求()1-'?. 解：（1） . （2） ()()()t t g t t g t g t ?-?+='→?0lim ()[][ ] ()() t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ??+?+?+-=??+-=?--?+-=→?→?→?3223303 3033033lim lim 88lim () 2 20 33lim t t t t t ?-?--=→?23t -=， 即 ()2 3t t g -='， ()122-='∴g . （3） ()()() t t t t t t ?-?+='→????0 lim ()()[][ ] t t t t t t t t ?--?+-?+=→?22 033lim t t t t t t ??-?+?=→?2036lim ()16136lim 0-=-?+=→?t t t t ， ()16-='∴t t ?， ()71-=-'?. **3. 求曲线2 2x y = 在点 ()2,1=P 处的切线方程. 解：曲线在点P 处切线的斜率为 41 2 2lim 21=--→x x x ， 所以切线方程为 ()214+-=x y . **4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有一化学反应，反应物浓度C 与反应开始后的时间 t 之间有如下关系：()t f C =.
第 11章（之1）（总第59次） 教材内容：§11. 1 多元函数 1．解下列各题： ** （ 1） . 函数 f (x, y) ln( x2 y 2 ) ． 1 连续区域是 答： x2 y 2 1 函数 f (x, y) xy y2 x2 y 2 0 ** （ 2） . x 2 x 2 y 2 ，则（） 0 0 (A) 处处连续(B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（ 0,0 ）点连续(D) 除（ 0,0 ）点外处处连续 答：（ A） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）u x y ； 解：定义域为：( x, y) y x ，见图示阴影部分： （2）f ( x, y)ln(1 xy) ； 解： (x, y) xy 1 ，第二象限双曲线xy 1 的上方，第四象限双曲线x y 1 的下方（不包括边界，双曲线xy 1 用虚线表示）． （3）z x y x ． y 解：x y 0 x y x y 0 x y ．x y x y 0 xy
*** 3. 求出满足 f x y, y x 2 y 2 的函数 f x, y . x s x y x s 1 t 解：令 y ， ∴ st t x y 1 t ∴ f s,t s 2 s 2t 2 s 2 1 t ， 即 f x, y x 2 1 y ． 1 t 2 1 t 1 y *** 4. 求极限： lim 0 ,0 1 xy 2 1 ． x, y x 2 y 1 xy 1 xy 1 x 2 y 2 解： 0 2 x 2 y 2 1 xy 1 x 2 y 2 1 xy 1 x 2 y 2 x 2 y 2 （ x, y 0,0 ） 2 1 xy 1 ∴ lim 1 xy 1 0 ． 2 2 x, y 0,0 x y ** 5. 说明极限 lim x 2 y 2 不存在． x 2 y 2 x, y 0, 0 解：我们证明 x, y 沿不同的路径趋于 0,0 时，极限不同． 首先， x 0 时，极限为 lim x 2 y 2 y 2 1， x 2 y 2 y 2 x x, y 0,0 其次， y 0 时，极限为 lim x 2 y 2 x 2 1 ， x 2 y 2 x 2 y x, y 0,0 故极限 lim x 2 y 2 不存在． x, y 0, 0 x 2 y 2 ** 6. 设 f ( x, y) ysin 2x ，试问极限 lim f (x, y) 是否存在？为什么？ xy 1 1 ( x, y) ( 0,0) 解 ： 不 存 在 ， 因 为 不 符 合 极 限 存 在 的 前 提 ， 在 (0,0) 点 的 任 一 去 心 邻 域 内 函 数 ysin 2x 并不总有定义的， x 轴与 y 轴上的点处函数 f ( x, y) 就没有定义． f ( x, y) xy 1 1
华东理工大学2008–2009学年第一学期 《 高等数学(上)11学分》期末考试试卷 2009.1 B 开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟 考生姓名： 学号： 班级： 任课老师 ： 注意：本试卷共三大张，七大题 一、（本题8分） 求2 2 sin 2d 3sin 4cos x x x x +? 二、 (本题8分) 求sin 3 (cos ) 1 lim x x x x →-
三（本题8分）判别级数 12! n n n n n ∞ = ∑的敛散性. 四、(本题8分) 求1 d. x x ?
五．填空题.(每小题4分，共40分) 1、设3 (cos ) ()a x b x f x x ++=有可去间断点0,x =则__________.b = 2、设()f x 在0x 的某邻域内有(1)n -阶导数,在0x 处有n 阶导数 (1) 000 '()''()()0,n f x f x f x -==== 则0 00()()lim ____________.() n x x f x f x x x →-=- 3、设sin ()cos(sin )x y x e x π=?，则0 ___________.x dy == 4、 2 cos sin ___________.x xdx π π - =? 5、设cos ,sinx y x x =+则'()___________.y π= 6、 设曲线方程为22 2sin x t sin t y t t ?=++?=+?,则此曲线在(2,0)处的切线方程为 ____________.y = 7、 设 0 2 ()0()0 x tf t dt x F x x a x ??≠=?? =??， ， ，其中()f x 是连续函数，且(0)1,f =则当()F x 在 0x =处连续时，___________.a = 8 、函数ln y =x 的幂级数 。 9、计算sin y x =在2 x π =处的曲率为 。 10、幂级数() 2 1n n x n n ∞ =-∑ 在收敛区间(1,1)-上的和函数 。
第3章 （之1） 第13次作业 教学内容：§3.1微分 **1. ． 求，设 dy x x x x y x ),4 0(2tan ) (cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-= . **2. 设 求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则 令 dx e e x x 4212--+-= . **3. 设 且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ? ? 0 解: ) () (ln x x u ??= 记， 则du u x x d )()()(ln ????'=?? ?? ??dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ?? ????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2?????? . **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由033 3 =-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 32 2 =+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴. **5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由 得 dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin() . **6. .263的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003-=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令
华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案
第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§9.1微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数， 这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （ D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但
经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数 C 及 k ，但当令 kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切 于坐标原点的曲线． 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21 ， x x e c e c y --='21，可得1 ,02121 =-=+c c c c ， 故21,2121 -== c c ，这样就得到所求曲线为) (2 1x x e e y --=， 即x y sinh =． *4．证明：函数 y e x x =-2333 2 1 2sin 是初值问题 ??? ??? ?===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 证明 '=-+--y e x e x x x 33323 2 1 21 2sin cos ， ''=----y e x e x x x 33323 2 1 21 2sin cos ，
第4章 （之5） 第23次作业 教学内容：§4 .4 .5函数图形的的描绘 §4.5 相关变化率 **1. 曲线 x x x y --= 331的渐近线的条数为 （ ） （A ） 2条； （B ）3条； （C ）4条； （D ）5条. 答：（C ） 2．画出下列函数的图形 **（1）21x x y += . 解：y 的定义域为()+∞∞-,，且为奇函数. () () 2 22 2 2211121x x x x x x y +-= +?-+= ', 令0='y ，可知1±=x 为驻点. ( )()()()4 22 2 2 2 111412x x x x x x y +-+-+-= '' () () ( )() () 3 23 23 3 23 313 3212614422x x x x x x x x x x x x ++-= ++-= ++---= ∴令0=''y ，拐点为()0,0， ???? ??±±43,3.
又 1lim 2 =+∞→x x x ， ∴有水平渐近线0=y . 如图示： 3 x **（2） x x y 12+ =. 解：2 321212x x x x y -=-='， 333) 1(222x x x y +=+=''， x )1,(--∞ -1 )0,1(- ) 21 ,0(3 3 21 ) ,2 1(3 +∞ y ' - - - 0 +
y '' + 0 - + + + y 单调减少凸函数 拐点 )0,1(- 单调减少凹函数 垂直渐近线 单调减少凸函数 极小值 3 43 单调增加凸函数 y ∞ =→y x 0 lim 0=x 为垂直渐近线 *3* 求曲线 x x x y ++=2 4的斜渐近线. 解：+∞→x 时， -∞→=-===+∞ →+∞→x x y h x y k x x ;2)5(lim ,5lim 时， 2)3(lim ,3lim -=+=-==∞ -→∞-→x y h x y k x x , 所以斜渐近线有两条 25+=x y 和 23--=x y . *4* 求曲线??? ????+=+=32 31313t t y t t x 的斜渐近线.