第9章（之1） （总第44次）
教学内容:§微分方程基本概念
*1． 微分方程7
3
59)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）
解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．
*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）
解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；
（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；
（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了
x C x C y 2sin 12cos 2
++=，实质上只有一个任意常数；
（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．
*3．在曲线族 x
x
e
c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．
解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x
x
e c e c y -+=21， x
x e
c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，
故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2
1
x x e e y --=，即x y sinh =．
*4．证明：函数y e x x =-233321
2
sin 是初值问题???
????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y
x y 的解．
证明 '=-+--y e x e x x x 33323
2
1
21
2sin cos ，
''=----y e x e x x x 33323
2
121
2sin cos ，
代入方程得 ''+'+=y y y 0， 此外
，
，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-23332
1
2sin 是初始值问题的解．
*5．验证y e e t Ce x t x
x
=+?20
d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y y
e x x 2
的通解．
证明 '=+?+?
y e
e t e e Ce x
t x
x x x 220
d =++y
e x x 2， 即 2
x x e y y +=-'，说明函数确实
给定方程的解．
另一方面函数y e
e t Ce x
t x x
=+?
2
d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．
**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；
解 将等式31+=Cx y 改写为13
+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='2
3，
代入上式，即可得到所求之微分方程为133
2-='y y xy ． （2）x
C x C y 2
1+
=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得
221x C C y -
='，3
2
2x
C y =''． 从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为
02=-'+''y y x y x ．
**7．建立共焦抛物线族)(42
C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．
解 在方程)(42
C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．
**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．
解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dx
dy ． 所以过点),(y x 的法线斜率为
y '-1， 法线方程为y Y -=y '
-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '
-1
)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．
第9章（之2）（总第45次）
教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； § .2一阶线性方程
**1．求下列微分方程的通解：
（1）2
1)
1(x y x y +-=
'；
解： 分离变量
2
1d 1d x x x y y +=-，两边积分??+=-21d 1d x x
x y y ， 得C x y ln )1ln(21
)1ln(2-+=
--，即211x
C y +-
=． （2）2
22y x e y
x y -=
'； 解：分离变量x xe y ye x y d d 222
=，两边积分就得到了通解
)d (21222x e xe e x x y ?
-=c e xe x x +-=)21
(2122．
（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．
解： 12d 4
2d +-=-x x
e y e y y ，
C x e y ln 2
1
)12ln(21)2ln(21++-=-， 即 ()()e x C y
-+=221．
**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．
解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，)1)(1(y x y --='，
x x y y d )1(1d -=-，并积分 x x y y
d )1(1d -=-?
? 得c x x y +-=--2
2
1)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=221
1．
解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．
对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=2
2
1．
代入原非齐次方程得x e C x x -='
-122
1，解得○2C e
C x x +=-2
2
1
，○2代入○1即可得原
方程的通解
x
x Ce
y -+=22
1
1．
*3．求解下列初值问题：
（1）2
1x y
y -='，6)21
(π
e y -=．
解：Θy '=
2
1x
y -，∴
21d d x
x y y -= (0≠y )， 2
1d d x
x y y -=??，
∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，
Θπ6
)2
1(e y -=，∴2
1
arcsin 6Ce e =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．
（2）2
2x e xy y -=+'，1)0(=y ；
解: Θ2
2x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2
)(x e x q -=，
=∴)(x y ?
-x
x e
d 2
??????+??-C dx e e x x x d 222x e -=??
????+??-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， Θ 1)0(=y ， 101=?+=∴c c ， 2
)1(x e x y -+=∴．
（3）x
e
x y y cos cot =+'，1)2
(=π
y ；
解： Θ x
e
x y y cos cot =+'， ∴x x P cot )(=，x
e
x Q cos )(=．
∴ ??
???
??+?
=?
-x C y x
x x x x d e e e d cot cos d cot )d e e (e sin ln cos sin ln ?
+=-x C x x x
)d sin e (csc cos ?
+=x x C x x x C x
csc )e
(cos -=，
由1)2
(=π
y ， 可确定 2=C ，所以
x y x csc )e 2(cos -=．
（4）0d )12(d 2
=+-+x x xy y x ，01
==x y ．
解： 方程变形为 21
12x
x y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为
??
????
?-+?=?
-dx e
x x c e y dx x dx x 2
22)11( ??????-+=
?
dx x x x c x 222
)11(1
???
???-+=x x c x
22211x x
c 1212-+= 由 0)1(=y ， 得 21=c ， 所以特解为：x x
y 1
21212-+=．
**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）． 解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为
y
x y y dy dx 1
ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中y
y Q y y y P 1
)( ,ln 1)(==
代入一阶线性方程求解公式，得通解 1
e 1)ln(ln )ln(ln ln 1
ln 1??????+=???
??????+?=??--
dy e y c dy e
y c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21
ln ln ln 1+=??
????+=?．
**5．求满足关系式
)(d )(22
x y x u u uy x +=?
的可导函数)(x y ．
解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x y x
()d d =+
2，即
d d y
x
xy x -=-2，分离变量得
d d y y x x -=2，积分得y C
e x =+2
2
2，
在原方程两边以2=
x 代入，可得初试条件22
-==x y
．据此可得14--=e C ，所
以原方程的解为 2412
2
+-=-x e y ．
**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有kv mg t
v
m -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得
--=+1k mg kv t
m
C ln()． 由初始条件0)0(=v ， 得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e k
m
t =-?? ??
?-1．
**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ． 解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '
-
1
，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．
只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．
据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+2
2
)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 22
11+-=()．
***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程． 解：在给定曲线2
cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20=
'=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程x
y
y 2='． 设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要
求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程y
x y 2-
='． 这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2
2
2
1，即椭圆族c x y =+
2
2
2
1． ***9．作适当变换，求微分方程 1
22
4+-
='-x e y y
的通解． 解 原方程可化为4122=++
'y y
e x y e ，在换元y e z =下方程可化为41
22=++'x z
z ，这是一个一阶线性方程，其通解为
??????+=?+?
+-?x e
C e
z x x
x x
d 41
2d 21
2d 2}44{1
212x x C x +++=．
***10．作适当变换，求微分方程 d d tan y x y x y y x =+?? ??
?21
22的通解．
解：令ux y =2
，代入方程整理得 x
x
u u d tan d =
，积分得 Cx u =sin ，以 x y u 2= 代入上式，即得原方程的通解： Cx x
y =2sin ．
第9章 （之3） （总第46次）
教学内容：§9.2 .3齐次型方程；伯努利方程．
**1．求下列微分方程的通解：
(1) )ln ln 1(d d x y x
y
x y -+=； 解： Θ )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+x
y
ln )，这是一个一阶齐次型方程．
令 x
y
u =
，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．
分离变量x dx u u du =ln ，并积分??=x
dx
u u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =． 以 x
y u =
代入，得所求的通解为cx
xe y =．
（2）()arctan xy y y
x
x '-=． 解：方程可化为x
y x
y y arctan
1+=
'，这是一个一阶齐次型方程．
令 x y u =
，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u
x u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．
分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．
以 x
y u =代入上式得原方程的通解：x y Ce
y x y
x 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：
（1）0d )2(d 2
2
=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解． 解: Θ 0d )2(d 2
2
=+-y y x x xy ，
dy dx =
x y y x +2， 令 y
x
u = ， 则 u u dy du y
u 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴?+
u
u du 1=?y dy
，
c y u ln ln )1ln(2
1
2+=+∴， cy u =+∴12， 即 2221y c u =+ ， 代回即得22y x +1=22y c ， 1)2(=y Θ， ∴52
=c ， 因此 22y x +=54y ．
（2）??
?==-++=.
0,0d )(d )(0x y y y x x y x
解：原方程可表为
1
1d d -+
=-+=x y x y
x y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='， 代入方程，有 1
1-+='+u u
u x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ， 分离变量
x x u u
u u d 1d 2112
=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ?通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．
所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．
***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程
)(
2
221
11c y b x a c y b x a f y ++++='
在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程
)(d d 2211s
b t a s b t a f t s
++=． 并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．
证明：令???+=+++=++s b t a c y b x a s
b t a
c y b x a 22222
11111 1221b a b a ≠Θ，
∴可解得：???????---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：???
?
??
?
--=--=1
221122112212
112b a b a c b c b h b a b a c a c a k
解：0)32()12(=++++dy y x dx y x Θ，令???-=+=32x t y s ?
??==?x t y
s d d d d
[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，
t
s t s
dt ds dt
ds
t s t s 32210)32(21++
-
=?=+++
?， 令dt du
t
u dt ds t s u +=?=
， 2
3)
1)(13(3221+++-
=?++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ， ??-=??
????+++∴-=+++?
t dt
du u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(2
1
+-=++即，
c t
s
t s t c
t u u =++?
=?++∴
)13)(1()13)(1(，
c x xy x y c x y x y x 243)3
6
31)(321()3(22=+++?=-++-++
-∴
．
**4．求下列微分方程的通解
（1）0ln 2
=+-'x y y y x ；
解： 0ln '2=+-x y y xy Θ x
x
y x y y ln 1'12
-
=-
∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11
=+?=-， ,
ln )Q( ,1)(x
x x x x P ==∴
ln 1 d ln )(d 1
d 1?????
??+=??????
?+?=∴??-
xdx x x C x x e x x C e x t x x x x
1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．
（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．
解： Θ 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x
， y y '-21+21
1y x =
x 2， 2
1
y u =，
x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，x
x Q 1)(．
∴??
????
?+?=?-
x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121
-=x ??
?
???+?x x x C d 121
[]x C x +=-21， ∴ []x C x
y +=-2
12
1
， ∴
x
C x y +
=．
（3）'=-y y xy x 3
222()
解一：令u y =2
，原方程化为： d d u x u x u x =
?? ????? ?
?
?-2
1，解此方程得 u Ce u x =， 以u y =2
代入上式，原方程通解为 y Ce y x
22=．
解二：原方程写成
d d x y y x y
x -=-22
32， 令x z -=1，则方程化为：
32
2d d y
z y y z =+， 则通解 z e
C y e y y
y y y =+????????-?
??2
32
2d d d ]ln 2[12y C y
+= ， 故原方程通解：
11
22x y
C y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：y
x
y y 2-
='，1)0(=y ． 解：x y yy', xy y y 22'2
1-=-∴-=-Θ，
令 x t dx
dt
y t 42 2
-=-?
=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []
1
20
10211)0(121
2 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=?++?=∴=++=∴++=++=-=??
?????-+?
=∴----??x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e x
xe C e x e x C e x t x
x x x x x x x x
，Θ
****6．作适当的变换求方程 12222212
+?'=++x y y x y e x sin sin 的通解．
解：原方程化为：
122
222
12
+=++x y
x
x y e x d sin d sin ，
令z y =sin 2
，得
d d z x x x z
e x x -+=++2112
2122
，
故 ??
???
??
???
++=?
?
+-+?
+x e
x
e
C e
z x
x x x x x x d 1d 122
12d 122
2
2
)1ln(212122
2
x x e
Ce
x x +++=++
原方程的通解为 sin ln()2212
122
2
1y Ce e x x x x =+++++．
***7．已知)(2d )(1)(2
20
2x y x y y x
+='+?
ξξξ，求y x ()．
解：两边关于x 求导得
212
yy y '-=-， 解得 y Ce x 21=+， 由y
x ==0
0，求得
C =-1，
故原方程的解为：y e x
2
1=-．
***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：
x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212
yy x
y x '-
=- 令y z 2
=，解得
z y x C x ==-2()
由y ()11=， 得 C =2， 曲线方程为： x y x 2
2
2+=．
***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？
解：设在时刻t 时， 容器中液面高度)(t h ，则经过t ?后液面高度为)(t t h ?+， 于是有
t t gh A t t h t h r ?=?+-)(2))()((2απ，
即 2
2)()(r
gh
A t t h t t h πα=?-?+-
， 令0→?t ， 得
??
???==-200)0(2d d 2
h gh r A
t h πα
解得 200222
+=
t g r
A
h πα， 代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4
π
=
A ， 62.0=α， 得10304=t （秒）．
第9章 （之4）（总第47次）
教学内容：§可降阶的高阶微分方程
**1．解下列问题：
（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是 （ ） （A ）y x =-()12
（B ）y x =+-
()1221
42
（C ）
y x =
-+1211
2
2() （D ）y x =--()125
4
2
解：（C ）
（2）．微分方程''-'=y yy 203
满足条件'=-=y y (),()0101的解是 （ ）
（A ）y x 331
3
=+
（B ）x y 3
3
1=- （C ）y x 3313
=-+
（D ）x y 3
3
1=-+ 解：（C ）
**2．求下列微分方程的通解． （1）0='+''y y x ；
解： Θ 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程， 令 y p '= ? y ''x p d d =
∴0=+'p p x ， ?p p d =x
x
d -，
?
??-=x x
p p d d ? 1ln ln ln C x p +-= ?x
C p 1=， ∴
=x
y d d x C 1
， x x C y d d 1=， ??=x x C y d d 1 ，21ln C x C y +=． （2）()1212
+''+'=x y xy ； 解：''+
+'=+y x x y x 211122， '
=++y x x C 1
121()， y x C x C =+++1
2
1212ln()arctan
．
（3）()02
='+''y y y ；
解：∵()02
='+''y y y ， 令 y p '=， 则 y
p
p
y d d =''，代入方程有 0d d 2=+?
?p y
p
p y ， 0)d d (=+?
?p y
p
y p ， 因为求通解，所以 p 满足 0d d =+?
p y
p
y ． 由
??-=?
-=y y
p p y y p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=?+-=?， ?
?'=?
'=?
'
=?x C y y x C y y y
C x y d d d d d d 111 212
C x C y +=?． ∴ 通解：212
C x C y +=． （4）()122
2
+''='y y yy
解：令：'=''='y p y y pp (),，得
()1222+?'=y p p p y ， 即
d d p p y
y y =+212
， 得 p C y =+121()，
所以 d d y
y
C x 12
1+=，通解为：arctan y C x C =+12．
第9章 （之5）（总第48次）
教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构
**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．
证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解． 所以成立下式：
)
2()()()()1()()()(222
111
x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''
将 (1)、(2) 两式相减，得
)3(0))(())(()(212121
=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y
(3 式可写为
0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，
所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．
***2．已知2
3211,1,1x y x y y +=+==是方程222
22x
y x y x y =+'-
''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．
解：按（1）证明可知 21312,
x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程
02
22=+'-
''y x
y x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解． 所以原方程的通解可以表示为：12
21++=x C x C y ．
*3．验证：2
2,t t e e -是微分方程''-'-=x t
x t x 1
402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．
证明：因为
()()
222241t t t e t e t e -'-"0421********=-?-+=t t t t e t te t
e t e ，
()()
222
2"
41t t t e t e t e ----'-=-+-?--=--241240222222e t e t
te t e t t t t ()， 故2
2
,t t e e -是方程的解，且
≠=-2
2
2
2t t t e e
e 常数．
于是2
2
,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为
2
221t t e C e C x -+=，
其中21,C C 为任意常数．
*4．已知函数 x y e y x
==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足
初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．
解：方程的通解为 x c e c y x
21+=，将初始条件代入，有：
，
，
0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x
解得21,c c 为： 1,121-==c c ，
所以特解为：
x e y x -=．
**5．设x t 1()是非齐次线性方程
''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()
()1211
的解．x t 2()是方程
''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()
()1222
的解．试证明 x x t x t =+12()()
是方程
''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()
()12123
的解．
解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以
)1()()()()()()(112111
'≡+'+''t f t x t a t x t a t x
''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()
()()12'+'得：
()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +=
'++'++"+
即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．
第9章 （之6）（总第49次）
教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法
**1．解下列问题：
（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．
解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．
（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________． 解：)4sin 4cos (213x c x c e y x
+=-．
（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________． 解：x x
C C y 5231e e +=．
（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________． 解：)(215
15C x C e y x +=-
．
（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx
+=，则=p ___，
=k _____． 解：11，3-．
**2．求解下列初值问题：
（1）0)1(,
)1(,
01684='==+'-''y e y y y y ；
解：∵0)4(1682
2
=-=+-λλλ， ∴421=，λ， 通解为：x
e x c c y 421)(+=．
将初始条件代入，有 4
421)()1(e e c c y =+=，
04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x
得到：45
21-==c c ， 所以特解为：x e x y 4)45(-=．
（2）3)2
(,1)2(,
0294='==+'+''π
πy y y y y ； 解：02942
=++λλ， i i
522
1042116164±-=±-=-±-=
λ，
通解为：)5sin 5cos (212x c x c e
y x
+=-．
代入初始条件有： ππ
π
e c c e
y =?=+=-221)0()2
(，
)5cos 55sin 5()5sin 5cos (2)2
(212212x c x c e x c x c e
y x x
+-++-='--π
，
得：π
e c -=1． 特解为：)5sin 5cos (2x x e y x
+-=-π．
（3）10)0(,6)0(,
034='==+'+''y y y y y ；
解： 0342
=++λλ， 0)3)(1(=++λλ， 所以通解为 x x
e c e c y 321--+=．
代入初始条件有：
6)0(21=+=c c y ，
1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，
特解为：x x
e e
y 3814---=．
**3．求解初值问题
'++==??
??
?≥?y y y x y x x
21
0100d ()
解：将原方程对x 求导得 ''+'+=y y y 20
1()
且有
'=-=-y y ()()01201
微分方程（1）的通解为：
y e C x C x =+-()12，
代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ， 故所求问题的解为：x
e y -=．
***4．设函数)(x ?二阶连续可微，且满足方程?
-+=x
u u u x x 0
d )()(1)(??，求函数?()x ．
解：原方程关于x 求导得
?
?
=-+='x
x
u u x x x x u u x 0
d )()()(d )()(?????,0)0(='?，
再求导得： )()(x x ??=''， 且由原方程还有：1)0(=?，
微分方程的通解为： x
x
e
C e C x -+=21)(?，
代入条件0)0(,1)0(='=??，得2
121==C C ， 故所求函数为：
x e e x x x ch )(2
1)(=+=-?．
***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．
解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：
gx dt x d ρρ=22100， 即 01002
2=-x g
dt
x d ． 又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：
??
???='==-
0)0(20)0(0100
22x x x g
dt x d ， 解得方程的通解为：t
g t
g
e
c e
c x 10
210
1-
+=．
又因为有初始条件： ()()??
?==????==1010
020021'c c x x 所以 t
g t g
e
e x 10
101010-
+=．
又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：t
g t
g e e 10101010100-+=，
即： 510
=t g
ch
， 510arch g
t =
．
***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛
顿第二定律：
22222d d ()x
t
g g x gx =-+=- ， 其中g =980厘米/秒
2
其解为：
x C g t C g t =+1222
cos
sin ， 振动周期为 T g ==≈222490
028π
π
.．
第9章 （之7）（总第50次）
教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式 （ ）
（A ）()sin Ax B x +
（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）
**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式 （ ）
（A ）Ax B C x ++cos
（B ）Ax B C x D x +++cos sin
（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）
**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）122+=-'-''x y y y ；
解：∵ 022
=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0Θ
不是特征根．
设 01b x b y p +=， 代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，
有：1,010-=b b ，
特解为：x y -=．
（2）x
e
y y y -=+'+''2．
解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y x
p -=， 0202b e x b xe y x
x
p ---='，
02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p
----+--=''， 代入 x
e y y y -=++'2''， 解得：2
1
0=
b ，
特解为：x
e x y -=
22
1．
华东理工大学继续教育学院成人教育 《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案） 一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法） 因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ） （A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系） 由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）. 4、 设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ） （A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．
8.1（A ） 1、（1）{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(；（2）{}1),(2>-x y y x ； （3）{ }1),(22>+y x y x ； （4）{}0,0,0),,(>>>z y x z y x 。 2、（1）0；（2）6 1-；（3）e ；（4）1；（5）0. （B ） 1、提示：令kx y =。 8.2（A ） 1、（1）223y y x x z -=??；xy x y z 23-=??。（2）2x y y x z -=??；x x y z 1+=??。 （3）]1)1[ln()1(xy xy xy xy x z x ++++=??；12)1(-+=??x xy x y z 。 （4）22y x y x z +-=??；22y x x y z +=??。 （5） )sin()cos(y x x y x x z +-+=??；)sin(y x x y z +-=??。 （6）21y x x z +=??；2 2y x y y z +=??。 （7）1-=??z y x z y x u ；x z x y u z y ln =??；x z yx z u z y ln 2-=??。 （8）x y x y x z 2csc 22-=??；x y x y z 2csc 2=??。 2、（1）222)(2y x y x x z --=??；2 2)(y x y y x z -=???。 （2）2222222)(y x x y x z +-=??；2222) (2y x xy y x z +-=???。 （3）222)1(--=??y x y y x z ；222)(ln x x y z y =??。 3、2)1,0,0(=xx f ；0)0,1,0(=yz f 。 （B ）
第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ??????? ． 答：x y 221+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln( ),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包 括 边 界 ， 双 曲 线 1 -=xy 用虚线表 示）． （3）y x y x z +-= ． 解 ： ．
***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
第8章 数列与无穷级数 （一） 数列 1． 数列极限的定义 若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限， 或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2． 数列极限的运算法则 若 ()1 lim L a n n =∞ →，2 lim L b n n =∞ →，c 是常数，则 ()1 lim cL ca n n =∞ →； ()21lim L L b a n n n ±=±∞→； ()2 1lim L L b a n n n =∞ →； ()0,lim 221 ≠=∞→L L L b a n n n 。 3． 数列极限的性质 (1)若L a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: L b L c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞ →∞ →∞ →lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有 界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 数列极限与函数极限的联系
对于数列{} n a，若存在定义域包含[)∞ ， 1的函数()x f，使()n f n a=，且()L x f x = +∞ → lim ， 且 L a n n = ∞ → lim 。 6．数列与数列的关系 （1）若 L a n n = ∞ → lim ， {} k n a是{}n a的一个子数列，则L a k n k = ∞ → lim 。 （2）若 L a a k k k k = = + ∞ → ∞ → 1 2 2 lim lim ，则 L a n n = ∞ → lim 。 （二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义 称 ∑ = = n k k n u s 1为级数 ∑∞ =1 n n u 的前n项部分和 () ,2,1=n，而称数列{} n s为级数 ∑∞ =1 n n u 的部 分和数列。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s收敛，即s s n n = ∞ → lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称s为该级 数的和，记为 s u n n = ∑∞ =1，同时称 ∑∞ + = = - = 1 n k k n n u s s r 为级数 ∑∞ =1 n n u 的余和。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散。 2．级数的基本性质 （１）若 s u n n = ∑∞ =1，c是常数，则 cs cu n n = ∑∞ =1。 （2）若∑∞ =1 n n u =s， σ = ∑∞ =1 n n v ，则 ()σ+ = + ∑∞ = s v u n n n 1。 （3）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ + =1 m n n u 也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。
高等数学作业 AⅠ 吉林大学数学中心 2017年8月
第一次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．下列结论正确的是( A )． （A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数； （D ）4 -22arccos π =． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )． （A ）x x x x e e e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2 x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )． （A ）π； （B ）π3 2 ； （C ）π2； （D ）π6． 4．. ??? ??-??? ??-??? ? ? -∞→22211311211lim n n Λ=（ C ） （A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2． 5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件 （A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1 =+∞→n n n a a 则( D )． （A ）{}n a 的敛散性不定； （B ）0lim ≠=∞ →c a n n ； （C ）n n a ∞ →lim 不存在； （D ）0lim =∞ →n n a ． 二、填空题
1．=???? ??-+ +-+-∞→n n n n n 2 2241 2 411 41 lim Λ 0. 5 ． 2．设? ? ?<+≥+=,0,2, 0,12)(2 x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ? ??<+-≥-2,181642, 742x x x x x ． 3．函数1 )(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x ． 4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要 条件. 5. =++--+++∞ →])2()11(1sin [lim 1 n n n n n n n n n 22e + ． 三、计算题 1．设6 331 34)11(x x x f ++=+ ，求)(x f ． 解：令31 1x t +=，则3 1 1-=t x 代入已知的式子中得， 2)1)1(34)(-+-+=t t f t 即有 22)(t t f ++=t 2．求n n n x 13)|1(lim | +∞ →， 解：(1)当1||>x 时 由于311 33||2)||1(|| x x x n n n <+< 以及 331||||2lim x x n n =∞ → 所以有 313||)|1(lim x x n n n =+∞ →| （2）当1||≤x 时
第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件．
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案 ： 一、填空题 1. 点 M x, y, z 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 M 1 x, y, z ; 关 于 xOy 平 面 的 对 称 点 为 M 2 x, y, z ；关于原点的对称点为 M 3 x, y, z . 2. 平行于 a ={1，1，1}的单位向量为 1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行， 为 1 . 5 3. 已知两点 M 1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量 M 1 M 2 在三个坐标轴上的投影分别是 1 – 2 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是 i 、 2 j 、 k , M 1 M 2 2 , 方向余弦 cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角 1200 、 2 2 2 1350 、 60 0 , 与 M 1 M 2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量 6 4 j 10 k ， b 3i 4 j 9k , 则 a 2b 12i 4 j 8k ， ai 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在 oz 轴上的投影为 48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线 y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1. 向量 a 与 b 的数量积 a b =（ C ）. A a rj b a ； B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b ． 2. 非零向量 a, b 满足 a b 0 ，则有（ C ）． A a ∥ b ; B a b ( 为实数 )； C a b ； D a b 0． 3. 设 a 与 b 为非零向量，则 a b 0 是（ A ）． A a ∥ b 的充要条件； B a ⊥ b 的充要条件 ; C a b 的充要条件； Da ∥ b 的必要但不充分的条件．
高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY
第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+
第12次作业 教学内容：§3.1微分 **1. ． 求，设 dy x x x x y x ),4 0(2tan )(cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-= . **2. 设 求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则 令 dx e e x x 4212--+-= . **3. 设 且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ??0 解: )() (ln x x u ??= 记， 则du u x x d )()()(ln ????'=??????dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ??????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2?????? . **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由 033 3=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴.
**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由 得 dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin(). **6. .26 3 的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003 -=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令 959.2271 3263 =- ≈. **7. .151cos ,0 的值计算用微分代替增量 解: f x x x x ()cos === ==．，000150561180ππ ?, 8747.036023180 )150(sin 150cos )151(000-≈-- =? -≈π π f . **8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀 外半径为在一个内半径为 量。 个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7, 解: ， ．．，86.72.0534 1113==?==ρπr r r V )(6.4932086.7486.712 11g r r m ≈?=???≈ππ， ，，，9.18005.02.5222==?=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =??≈π. **9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g l T π
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
1、党在过渡时期的总路线提出的主要任务是解决所有制问题 参考答案：错误。 党在这个过渡时期的总路线和总任务，是要在一个相当长的时期内，逐步实现国家的社会主义工业化，并逐步现实国家对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造。过渡时期总路线构想出了一条经济文化落后国家发展社会主义的新思路，这就是建设与改造并举、发展与变革同行，把国家工业化和社会主义改造紧密结合起来，在变革生产关系中促进社会生产力发展的新思路。其中，社会主义工业化是目的，社会主义改造是不可或缺的条件和手段。 2、中国的民族资产阶级在社会主义革命阶段仍然具有两面性 参考答案：正确。 中国的民族资产阶级，不仅在民主革命阶段具有两面性，曾经是中国共产党的同盟者。在社会主义革命阶段仍然具有两面性，它有剥削工人阶级取得利润的一面，又有拥护宪法、愿意接受社会主义改造的一面。中国共产党正是根据中国民族资产阶级这一基本特点，制定了利用、限制、改造的政策，用和平赎买的方式完成了对资本主义工商业的社会主义改造。 3、对资本主义工商业的社会主义改造就是指的对生产资料所有制的改造 参考答案：错误。 国家对资本主义工商业的社会主义改造是把对所有制的改造和对人的改造结合起来进行的，在把生产资料私有制改造成为社会主义公有制的同时，把资本家由剥削者改造成为自食其力的劳动者。对资本主义工商业的和平改造在内容上包括两个方面：一方面是企业的、制度的改造，包括企业所有制和企业管理制度等，最终把资本主义私营工商企业改造为由工人当家作主，实行社会主义企业管理的全民所有制企业；另一方面是对人即对资本家的改造。对资本主义工商业的社会主义改造，是一场深刻的社会变革。如何在改造过程中，实施团结教育的功能，化解他们的消极甚至抵抗的情绪，使他们成为自食其力的劳动者，这同样十分重要。 4、社会主义改造的完成，标志着中国完全建成了社会主义社会 参考答案：错误。 社会主义改造完成后，中国进入社会主义社会初级阶段，不经过生产力的巨大发展，中国无法超越初级阶段这个现实。只有生产力高度发展了，物质精神成果丰富，我们才能完成建成社会主义社会。
高等数学（下）期终考试卷(华东理工) 222222{0,0,6},{2,2,1}_______;2 25(0),________; 4 )___a L a b xyz yz zx xy L x y R y yds x y z y y z ==-==??++=?+=≥=?++=?=??b 00 一、试解下列各题（每题4分，共16分） 1、向量在向量上的投影Prj 、曲线在(2,1,1)点的切线方程是____________; 3、(1)设是上半圆周则(2过曲线母线平行于轴的柱面方程是0 00 0(4)_______; 41(,,)(,,),:__________; )(,)(,),:0_________; (3)4'''3''0__________; L L x x x y z u x y z L y y I D x y u x y D L Ax By C I y y y y =?ΩΩ? =?++=-+==0、（）立体上点处的密度为则对直线的转动惯量用三重积分可表示为(2平板上点处的密度为则对于直线的转动惯量用二中积分表示为微分方程的通解为 33001002(1)8(1)(1)8 121 8(2,3,2)101(2){1)}6241(,)ln(1)0n n n n y x x x y x n x y z M x dx e dy n y z z x y x ze z ∞ =--++--==-=--+=∑??0 二、（分）求幂级数的收敛域（包括收敛的端点）。三、（分）求点到直线的距离。 四、（1）计算二次积分求数列的极限。 五、试解下列各题（每题分，共分） 、设函数由方程 所确定，试求此函数1 1 2222232sin()()sin ,(0,0)(1,0)1 (0,0,1)(0,0,2),2 n n n L dz a x x y dx x y x dy L y x x MA M A B M MB ∞ ∞ ==+--=--=∑?00 的全微分。、设是收敛的正项级数，试证明级数、（1）计算曲线积分其中是自点沿至的一段有向曲线。 （2）动点到两定点及的两个距离之比为 求动点的轨迹。00101 41()012 2()ln ()x f x x f x x x e ≤
习题8.1 1. 解 2. 解 3.解 4.解设 则 5. 解 A: Ⅴ B : Ⅳ C: Ⅶ D : Ⅲ 6. A点在XOY 面上，点 B在 YOZ 面上， C点在 Z轴上，点D 在Y轴上。 7. (1) A点关于 xOy 平面的对称点是（2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（a，b，-c） A点关于 yOz 平面的对称点是（-2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（-a，b，c） A点关于 xOz 平面的对称点是（2，3，-1） B点关于 xOz 平面的对称点是（a，-b，c） A点关于x轴、y轴、z轴的对称点分别是（2,3,1）（-2，-3,1）（-2,3，-1） B点关于 x轴、y轴、z轴的对称点分别是（a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) A点关于原点的对称点为（-2,3-1） B点关于原点的对称点为（-a,-b,-c) 8. 9.解 所以△M1M2M3为等腰三角形。 10.解
11. 解 12. 解 13. 解 14. 解 15. 解（1） 16. 解 17. 解 18 解 19. 解 习题8.2 1. 解（1）
（2） （3） 2. 解（1）（2）（3） (4) (5) 3. 解 4. 解 5. 解 6. 解利用向量积的几何意义 7. 解（1） （2） 8. 解 (1)
(2) (3) 10. 解（1） （2） 13. 解 习题8.3 1. 解 2. 解 3. 解（1）（2） 4~8见课本P317
9. 10. 解习题 8.4 1. 解
2. 解（1）平面中表示点（-6，-8），空间中表示一条直线； （2）平面中表示点（2,0），空间中表示一条直线； （3）平面中表示点（1,0），（0,1），空间中表示两条直线； 3. 解 4. （1）解 （2）解 （3） 解 5. （1）解 （2） 解 6. 解由参数方程得于是 于是得到在xOy坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为
高数第八章
第八章 第一节 向量及其线性运算 重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影 典型题目： 例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。 解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2）， |21M M |= 2 222)(-(1)(-1)++= 2 211=++; COS α=-21,COS β=21 ,COS γ=-2 2 ; α=π32,β=3π,γ=4 3π. 例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求. P OM OA OA rj 方向上的投影在 解：记∠MOA=θ，有COS θ=3 1| || |=OM OA ， θθ 于是OA rj P =|3 a θ||= COS ．
θ 马云赵振 第二节数量积向量积混合积 1.两向量的数量积 a·b=│a││b│cos θ θ为两向量间的角度 （1）a·a=│a│2 （2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率 结合律如下时才成立 (Λa)·b=Λ（a·b） 2.向量积 a·b=│a││b│sin θ （1）b×a=-a×b a×b=0的充分必要条件是a平行于b
（2）满足分配率 结合律如下时才成立 （3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示 i j k a×b= │ a x a y a z │ b x b y b z 例题 1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积 解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA =1∕2│c ×b │ i j k c ×b= │ 2 2 2 │ =4i-6j+2k 1 2 4 S ABC =1∕2│4i-6j+2k │= 2222)6(4+-+=14 2.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求
华东理工大学 复变函数与积分变换作业（第1册） 班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________ 第一次作业 教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念 1．填空题： （1）3 5arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i （3）)31(2 1i +- (4) 13,1=-=y x 。 2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 (1)31i +; 解：32)3sin 3(cos 2)2321(231π ππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1π???≤≤+-i 解：)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1? π??π?π???-=-+-=+-i e i i
(3)32 ) 3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i + 3．求复数1 1+-z z 的实部与虚部 解：2| 1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 2 22|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-= z z z w ，2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(331 ==-=+k e z k i π 即原方程有如下三个解： 31,2,31i i --+ 5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则 23 2232223221|||(|2||z z z z z z z --+=+= 得22323||a z z =-221|)||(|z z -=，同样， 22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=- 6. 设2,1z z 是两个复数，试证明.