第 11 章（之1）（总第59次）
教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：
**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ??????? ． 答：x y 221+>
**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=?
??
?
?22
2222000
， 则（ ）
(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续
(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ）
**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）=
u y x -；
解：定义域为：{
}
x y y x ≤)
,(，见图示阴影部分：
（2）)1ln(
),(xy y x f +=； 解：{}
1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．
（3）y
x y x z +-=
． 解：()()?
?
?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y
x y x y x y x y x y x 000．
***3. 求出满足2
2,
y x x y y x f -=??
? ??+的函数()y x f ,. 解：令??
?
??=+=x y
t y x s ， ∴??
???+=+=t st y t s x 11
∴()()
()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22
222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：
()()
2
2
0,0,11lim
y
x xy y x +-+→．
解：()(
)(
)
(
)(
)
2
222
2
22
2
112111110y
x xy y x y
x xy xy
y
x xy ++++≤
+++=
+-+≤
()
01
122
2→+++=
xy y x （()()0,0,→y x ） ∴
()()
011lim
2
2
0,0,=+-+→y
x xy y x ．
**5. 说明极限()()2
22
20,0, lim y x y x y x +-→不存在．
解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．
首先，0=x 时，极限为()()1lim 22
22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，
其次，0=y 时，极限为()()1lim 22
22220,0,0==+-→=x x y
x y x y x y ，
故极限()()2
22
20,0,y y lim +-→x x y x 不存在．
**6. 设1
12sin ),(-+=
xy x y y x f ，试问极限
),(lim )
0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？
解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数
1
12sin ),(-+=
xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．
***7. 试讨论函数z x y
xy
=+-arctan
1的连续性． 解：由于arctan x y
xy
+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．
**8. 试求函数f x y xy
x y
(,)sin sin =
+22ππ的间断点．
解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续． 又f x y xy
x y
(,)sin sin =
+22
ππ是初等函数． 所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．
第 11 章（之2） （总第60次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]
**1.解下列各题： （1）函数3
2),(y x y x f +=
在)0,0(点处 （ ）
（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在； （B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在； （C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在； （D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在． 答：（D ）．
（2） 设z x y x
y =+-()arcsin
2，那么
??z y (!,)
2= （ ）
(A) 0 ； (B) 1； (C)
π
2
； (D)
π4
． 答：(D)．
（3）设()xy y x f =
,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．
解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴
x f ，同理 0)0,0('=y f ．
**2. 设z x y x y e xy
=-+++2322ln ， 求 z z x y ,．
解：z x x y ye x xy
=+++1322， z y x y
xe y xy =-+++2322
．
**3. 求函数x
y
z arctan =对各自变量的偏导数. 解：2
222,y x x
z y x y z y
x +=+-=．
**4. 设f x y x x y x y x y (,)ln()
=++≠+=??
?222222200
，求f f x y (,),(,)0000．
解：f x x x x x (,)lim
ln 000022==→， f y
y y (,)lim 0000
00=-=→．
***5. 求曲线?
??=+-=12
2x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．
解：由于曲线在平面1=x 内，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，
得切线与y 轴的夹角为 4
1arctan π
=
．[也可求出切向量为{}1,1,0]
∴夹角={}{}4
22arccos
12
110,1,01,1,0arccos 22π
==+．
***6. 设函数?(,)x y 在点)0,0(连续，已知函数f x y x y x y (,)(,)=-?在点)0,0(偏导数
)0,0(x f '存在，
（1）证明?(,)000=； （2）证明)0,0(y f '也一定存在．
解：（1）lim
(,)(,)
lim (,)???????x x f x f x x x x
→→-=0
00000?， 因为)0,0(x f '存在，所以 lim (,)lim (,)
????????x x x x x x x x
→+→-?=-?0000??
即 ??(,)(,)0000=-， 故 ?(,)000=．
（2）由于?(,)x y 在点)0,0(连续，且?(,)000=，所以0→?y 时，),0(y ??是无穷小量，
而y
y ??是有界量，所以0),0(lim )
0,0(),0(lim
00
=???=?-?→?→?y
y y y f y f x y ?，即0)0,0(='y f ．
第 11 章（之3） （总第61次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]
**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．
解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=
()zdz
x xdy dx x y z xdx y xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=
∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=
， ()()?
?????=?0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xy
y
x z -+=1arctan
的全微分： 解：xy
y
x d dz -+=1arctan
)arctan (arctan y x d +=
2
211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d ++
+=
+=
**3. 设z xy xy =-sec ()ln()
21，求d z ．
解：2
22)]
1[ln()]
1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z
)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]
1[ln(122
2
y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )
1(ln )(cos )1()
d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=
xy xy xy y x x y xy xy xy ．
**4. 利用df f ≈?，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+， 并利用上式计算
()()2
203.498.2+的近似值．
解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+， 设()22,y x y x f +=
，03.0,02.0,4,3=?-=?==y x y x ，
于是 ()2
2
2
2
,y
x y y x x y
x ydy xdx y x df +?+?=
++=
，
()()2
2
,,y
x y y x x y x f y y x x f +?+?+
≈?+?+，
∴
()()()()
012.54
303.0402.034303.498.22
2
222
2=++-+
+≈+．
***5．已知圆扇形的中心角为
60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了 1，r 减少了1cm ，
试用全微分计算面积改变量的近似值． 解：180
212πα
r S =
， ))(2(360
2ααπ
d r dr dS +=
，
∴ )(4533.17)360
1
)20(360)1(60202(22cm dS S -=?+-???=≈?π．
***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向 k j i l
-+=2
的方向导数P
l
f
??．
解：z
y x f z
y x f z
y x f z y x 323
,
322
,
321
++=
++=
++=
，
??????-=61,6
1
,62l e ，
∴ 65161,6
1
,6253,52,51=
??????-???????=??=??l P
e f l
f
．
***7. 函数z x
y
=++arctan 11在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值． 解：
??z x
x y y
(,)
(,)
002
0011111112
=
+++?? ??
??
+=
， ??z y
x y x y (,)
(,)
()0022001
1111112=
+++?? ??
??-++?????
?=-， {}{}??αααα?z l =+-=-?=1212121122
cos ()sin ,cos ,sin cos ， 其中?为{} l =cos ,sin αα与 g =-????
??
1212,的夹角，
所以?=0时，即
l 与
g 同向时，方向导数取最大值??z l =
2
2
．
**8. 对函数 xyz
e z y x
f =),,( 求出 ),,(z y x f ? 以及 )3,2,1(f ?.
解： {
}
xyz xyz xyz
xye xze yze f ,,=?，{}2,3,6)3,2,1(6e f =?．
**9. 求函数z
y x z y x f 1)(),,(+=在点)2
1,21,21(
-+=e e P 处的梯度． 解：??
?
???????++-++=?--)ln()(,)(1,)(12
1
1111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}
24,2,2)2
1,21,21(
e e e e e
f -=-+?．
***10. 讨论函数?????=+≠+++=0
,
00,1sin ),(22222
22
2y x y x y
x y x y x f 在点（0，0）处的连
续性，可导性和可微性．
解：因为 lim (,)lim sin
(,)x y x y f x y x y x y f →→→→=++==00
00
22
22
1
000，
所以f x y (,)在点（0，0）连续．
因为 lim
(,)(,)lim sin
()???????x x f x f x x x x →→+-=0
02
00001
， 极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．
第 11 章（之4）（总第62次）
教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法
**1.解下列各题：
（1） 若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3
422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则
),(2 x x f v '= ( )
(A) 1222
++x x
(B) x
x x 21322
+
+ (C) 1222
+-x x
(D) 1322
++x x
答：(A)
（2）设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则
??z
y
=_________． 答： 21
12
xyz xy
-- ．
（3）方程
y
z
x z ??=??3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______. 答：0=??u
z
．
**2. 设u x y z x r y r z r =++===222
,cos sin ,sin sin ,cos θ?θ??求
????θ???
u r u u ,,．
解：
()??θ?θ??u
r
x y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，
0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=?θθ??θ
?r y r x u
，
0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=??θ?θ??
?r z r y r x u
．
**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率． 解：h r V 2
3
1π=
， s cm h r dt
dV
dt
dh
r dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /112525
15313232πππ===+=???+???=
*4. 设,3y e z x -=而4
,sin t y t x ==，求
dt
dz
． 解：3
2334cos y t t e dt
dy z dt dx z dt dz x
y x -=+=．
**5. 若)
(2
2y x f xy z -=
，证明：z y z x y z y x x z xy 2
222+=??+??． 解：2
2222,2f
f xy xf z f f y x yf z y x '
+='-=， 则 z y z x f
y x xy yz x z xy y x 22222
2
)
(+=+=+．
**6. 设 )cos ,,(2
x xy ye xe f u x y =，求
du y
u
x u ,,????． 解：
3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e x
u
x y -++=?? ， 3221cos xf x f e f xe y
u
x y ++=??， [][]
dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．
**7. 求由方程
y
z z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数y z x z ????,．
解：z x z
yz y z
x z
Fz Fx z x +=
-
--=-=21
，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211
． **8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求
dz y
z
x z ,,????． 解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ， 解得 3
23
1xF F zF yF z x ++-
=，
两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ． 解得3221xF F F xF z y ++-
= ，所以dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 3
22
13231++-++-=．
***9. 函数z z x y =(,)由方程F x x y z z xy (,,)+++=1所确定，其中F 具有连续一阶偏导数，F F 230+≠，求
??z x 和??z y
． 解：F x x y z F z y x x y F 1230d (d d d )(d d d )++++++=，
d ()d ()d z F F yF x F xF y
F F =-
+++++1232323
，
??z x F F yF F F =-+++12323， ??z
y F xF F F =-++2
323
． ***10. 求由方程z xyz a
a 3
3
30-=≠()所确定的隐函数z z x y =(,)在坐标原点处沿由向
量{}
a =--12,所确定的方向的方向导数． 解：当x y ==00,时，z a 00=≠．
0,
0)
0,0(2
)0.0()
0,0(2)0.0(=-=
=-=
xy z xz
y z
xy z yz x
z ????，0=??∴a z ．
***11. 设)0(,1,022≠+=+=-y x xv yu yv xu 求
y
v y u x v x u ????????,,,． 解： ???????=??+??+=??-??+00x v x x u y v x
v y x u x u ???????+--=??++-=???2222y x yu xv x v y x yv xu x u
类似地 ???????=??+??+=??--??00y v x y u y u y v y v y u
x ????
??
?++-=??+--=???2222y x yv xu y
v y x xv yu y u
第 11 章 （之5）（总第63次）
教材内容：§11.5 多元函数微分法在几何上的应用
**1. 曲面x y z xyz x z 2222426-+--+=在点)2,1,0(=A 处的切平面方程为 （ ） （A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）
03
2213=--+-+z y x （D ）x y z 31223=-=--
答：(A)．
**2.设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点)0,1,2(-=M ，且
F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点M 作曲面的一个法向量，已
知与x 轴正向的夹角为钝角，则与z 轴正向的夹角γ=______ ． 答：π3
．
***3. 设曲线x t y t z t =+=-=+213122
3
,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点
)1,4,2(-=P 到S 的距离d =______ ．
答：2．
**4. 求曲线ct z t b y t a x L ===,sin ,cos :在点)2,0,(0c a M π=处的切线和法平面方程． 解：
,0sin 00=
-=
==t t t
a dt dx
,cos 00b t b dt
dy t t =-===
c
dt
dz t ==0．
∴切线方程为：??
?
??-==?-=-=-c c z b y a
x c c z b y a x ππ2200，
法平面方程为：0)2(=-+c z c by π．
***5. 求曲线6,11
:==++xyz zx yz xy L 在点)3,2,1(0=M 处的切线和法平面方程．
解：设 11),,(-++=zx yz xy z y x F ，6),,(-=xyz z y x G ，
)()()(),(),(2x y z z x yz z y xz xz
yz z
x z
y y x G F +-=+-+=++=
??， )()()(),(),(2z y x y x xz z x xy xy
zx x
y z x z y G F -=+-+=++=??， )()()()
,(),(2x z y z y xy y x zy zy
xy z
y y x x z G F -=+-+=++=
??． ∴
8)
,(),(,
1)
,(),(,
9)
,(),(0
00
=??-=??-=??M M M x z G F z y G F y x G F ，
∴切线方程为
9
3
8211--=-=--z y x ， 法平面方程为 ()()()()()0948211=--+-+--z y x ，
即 01298=-+-z y x ．
***6. 求曲面4416222
x y z ++=在点1,22,1(-=P )处的法线在yOz 平面上投影方程． 解：曲面在点1,22,1(-=P ）处的法线方向向量
{}{}
2,2,248,24,8-=-=→
n ，
法线方程为：
x y z -=-=
+-12222
1
2．
法线在yOz 平面上投影方程为21
2
220-+=
-=z y x ．
***7.求曲线x t y t z t ===3223,,上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面
x y z +-=21．
解：设所求的点对应于t t =0，则对应的切线方向向量为： {
}
3,4,302
0t t s =→
．
因为→
s 垂直于平面法向量{}1,2,1-=→n ，所以0383020=-+=?→
→t t n s ，
解得：t 013=和t 03=-．所求点为：127291,,?? ?
?
?和(,,)--27189．
**8．求曲面xy
z 6
=
上平行于平面.06236=+--z y x 的切平面方程． 解：
26
,6
xy
y z xy
x z -=??-=??， ∴由条件，得：??
?
??-=-==???
??
?????
-=--=-=-
3
21
213666
22z y x k k x y k y
x
∴切平面方程为：,0)3(2)2(3)1(6=+-+--z y x 即 018236=---z y x ．
***9.求函数2
2y x e
z +=在点),(000y x M =沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．
解：等值线方程为x y x y 2
2
02
02
+=+, 在),(000y x M =处的法线斜率为 00x y k =
，即法线方向向量为 },1{0
0x y n =
或},{00y x ，
方向余弦为：cos cos αβ=
+=
+x x y
y x y
00
20
200
20
2,
??z
n e x x x y e y y x y x y x y =??++??
+++020202022200020200020
2=?++20202
0202
e x y x y ．
***10. 求函数z y x =
+sin 在??
?
??=1,2πP 点沿 a 方向的方向导数，其中 a 为曲线
x t y t ==22sin ,
cos π在t =
π
6
处的切向量（指向t 增大的方向）． 解：tan d d sin cos αππππ=
=-=-=
=y x
t t
t t 6
6
222，
1
sin 1
1
cos 2
2
+-=
+=
ππ
απα，，
2
21sin 210sin 2cos 1,21,21,21,2=
+=
=+=
??
? ????
? ????
? ????
? ??ππππ????x
y y
z x
y x x
z ，
，
所以 ??πππz a =?++?-+011122122()()1
222+-
=ππ
．
***11. 设f y z g z (,),()都是可微函数，求曲线x f y z y g z ==???
(,)
()在对应于z z =0点处的切线方
程和法平面方程．
解：z z =0对应点()f g z z g z z [(),],(),0000， 对应的切线方向向量：
{}
f g z z g z f g z z g z y z ='+'[(),]()[(),],(),0000001．
切线方程：
x f g z z f g z z g z f g z z y g z g z z z y z -'+=-'=-[(),][(),]()[(),]()()
0000000000，
法平面方程： {}
{}f g z z g z f g z z x f g z z y z [(),]()[(),][(),]0000000'+-
+'-+-=g z y g z z z ()[()]()0000．
****12. 在函数y
x u 1
1+=
的等值线中哪些曲线与椭圆16822=+y x 相切？
解：对等值线 y x u 1
10+= 两边微分得 022
=--y dy x dx ， 即 22x
y dx dy -=，
同样对16822=+y x 两边微分，有
y
x
dx dy 8-
=， 令y x
x
y 822-=-，得 y x 2=，
代入16822=+y x ，得 3
2,3
4±
=±
=y x ，
∴ 4
3
3110±
=+=y x u ．
***13. 试证明曲面3a xyz =上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．
解：由3
a xyz =， 得 xy
a z 3
=，
∴在点),,(000z y x 处法向量为：??
?
???????-1,,0
20302
03x y a y x a
， ∴切平面为：
0)()(002
0300
2
03=-+-+
-z z y y y x a x x y x a ，
又 ∵3000a z y x =， ∴ 切平面方程化为：
13330
00=++z z
y y x x ， ∴ 截距之积为： 30002727a z y x =（定值）．
***14. 证明曲面0,=??
?
??----c z b y c z a x F 的所有切平面都通过一个定点，这里F u v (,)具有一
阶连续偏导数．
解：曲面上点(,,)x y z 000处的切平面法向量：
[]F z c F z c z c x a F y b F =-----+-??????
10200201021,,()()()
[]{}=
-----+-1
020
1020102()
(),(),()()z c z c F z c F x a F y b F ． 切平面方程为： ()()()()z c F x x z c F y y 010020--+--
[]0)()()(02010=--+--z z F b y F a x ．
易知x a y b z c ===,,满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点(,,)a b c ．
第 11 章 （之6）（总第64次）
教学内容：§11.6泰勒展开
1．填空：
*（1）设u xy y x =+，则??22u
x
=________ ．
答：
32x
y ． *（2）设u x xy =ln ，则???2u
x y
= _________．
答：
y
1． *（3）设u x y y x =+2
2
sin cos ，则???2u
x y
= _________ ．
答： x y y x sin 2cos 2-．
*（4）设u x y xy =+-arctan 1，则???2u
x y
=_______ ．
答：0 ．
**（5）设z e y e y x
x
=+-sin cos ，则????2222
z x z
y
+= _________． 答：0．
**2．设z f x u =(,)具有连续的二阶偏导数，而u xy =，求??22z
x
．
解:z f yf x x u =+， z f yf y f xx xx xu uu =++22．
**3．设z x xy =ln()，求???32z
x y
．
解一： z x y
y =
， z y
yx =
1
， z yx 20=．
解二： z xy x =+ln()1，
z x
x 21
=， z yx 20=．
**4．设)2,2
1
(),
()(4
3
2
2
xy z y x xf xy f y z 求+=．
解：)(3)()('43434324y x f y x y x f xy f y z x ++=，
,
4)("3)('124)('2)(")('43
3
4
3
4
3
4
3
3
3
3
3432423y x y x f y x y x f y x x y y x f yx xy f y xy f y z xy ?++?+?+=
∴)2("24)2('12)2('4)2("32)2('32)2,2
1(f f f f f z xy ++++= )2("56)2('48f f +=．
**5．函数y y x =()由方程x xy y 2
2
21+-=所确定，求2
2d d x
y
． 解：
x
y y
x y x y x x y -+=-+-=2222d d ，
2
22)
()
)(1())(1(d d x y y x y x y y x y -+-'--'+= 3
22)
()
2(2x y y xy x --+-=3)(2y x -=. ***6．求方程 z
y e
z x +=+ 所确定的函数),(y x z z =z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.
解：x
z e x z z y ???=??+
+1， ∴ 11
-=??+z y e x z ．
3
222
)1()1(--=-???
-=
??++++z y z
y z
y z y e e e x z
e x z
， 因为 )1(y z e y z z
y ??+=??+， ∴z
y z y z y e e e y z +++-+
-=-=??1111． 则 3
222)
1()1()
1(
z y z y z y z y e e e y
z
e y z ++++-=-+??=??， 3
22)
1()1()
1(
z y z y z y z y e e e y
z
e y
x z ++++--=-+??-=???， 3
22)1()1(-=-??=???++++z y z y z y z
y e e e x z
e x y z ．
***7．对于由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z =，试求 22x
z ??．
解：由公式
z
x F F x z
-=??两边对x 求偏导数，得
。
一般约定)()()(2)()()()()()(3
223
222
22
2zx xz z
xx
z zz x xz z x z
z
x xz xx z x zz zx z x z
z z
x
xz xx z x zz
zx x z zz zx x z xz
xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F x
z
F F F F x z F F x z
=--=
+--=-+--+=??+-??+-=??
***8．设xx tt u a u at x at x u 2
),()(=-++=验证ψ?． 解：)(')('at x at x u x -++=ψ?,
2
2
2
)](')("[))((')("))((')(')
('')(''a at x at x a at x a at x u a at x a at x u at x at x u tt t xx -++=--+?+=--+?+=-++=ψ?ψ?ψ?ψ?
∴ xx tt u a u 2=．
第 11 章 （之7）（总第65次）
教学内容：§11.7.1 多元函数的极值
1．选择题： *(1) 设函数z x y =-
+122，则点(,)00是函数z 的 ( )
（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；
（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点．
答：(B)
**(2) 设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在点),(000y x P =处，有 f P f P f P f P f P f P x y xx yy xy yx (),(),()(),()()0000000002======，则( ) （A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点； （C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定．
答：(C)
**（3）“),(00y x f 同时是一元函数),(0y x f 与),(0y x f 的极大值”是“),(00y x f 是二元函数),(y x f 的极大值”的 （ ） （A ）充分条件，非必要条件； （B ）必要条件，非充分条件；
（C ）充分必要条件； （D ）既非必要条件，又非充分条件． 解：（B ）
**2. 设函数z z x y =(,)由方程
12
355242
2x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z 的驻点是 ________ ． 答：（115-，11
20
）
**3.求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值．
答：由??
?=-+-==+-=03430
434y x z y x z y x ，得驻点 )0,1(-．
74
3
34=--==
yy
yx
xy xx z z z z D 0>，
04)0,1(>=-xx z ．
所以函数在点)0,1(-处取极小值1)0,1(-=-z ．
***4. 求函数 2222224),(y x xy y x xy y x f -+-= 的极值． 解：
222244xy y xy y x f -+-=??， y x xy x x y
f
222424-+-=??， 2
2
224y y x
f
--=??， xy y x y x f 44442-+-=???， 22
224x x y f -=??．
令?????=-+-=-+-0
24240
22442
222y x xy x x xy y xy y ，解得驻点：()()()()()2,2,2,0,0,2,0,0,1,1---．
()02,042
00
21,1>=>==
-A H ，∴()1,1-为极小值点，()11,1-=-f ． 类似可求其他各点处的H 值：
()()()
()
。016,016,016,0162,22,00,20,0<-=<-=<-=<-=--H
H
H H
∴ ()()()()2,2,2,0,0,2,0,0-- 为鞍点．
华东理工大学继续教育学院成人教育 《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案） 一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法） 因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ） （A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系） 由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）. 4、 设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ） （A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．
高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ??????? ． 答：x y 221+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln( ),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包 括 边 界 ， 双 曲 线 1 -=xy 用虚线表 示）． （3）y x y x z +-= ． 解 ： ．
***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．
第8章 数列与无穷级数 （一） 数列 1． 数列极限的定义 若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限， 或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2． 数列极限的运算法则 若 ()1 lim L a n n =∞ →，2 lim L b n n =∞ →，c 是常数，则 ()1 lim cL ca n n =∞ →； ()21lim L L b a n n n ±=±∞→； ()2 1lim L L b a n n n =∞ →； ()0,lim 221 ≠=∞→L L L b a n n n 。 3． 数列极限的性质 (1)若L a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: L b L c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞ →∞ →∞ →lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有 界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 数列极限与函数极限的联系
对于数列{} n a，若存在定义域包含[)∞ ， 1的函数()x f，使()n f n a=，且()L x f x = +∞ → lim ， 且 L a n n = ∞ → lim 。 6．数列与数列的关系 （1）若 L a n n = ∞ → lim ， {} k n a是{}n a的一个子数列，则L a k n k = ∞ → lim 。 （2）若 L a a k k k k = = + ∞ → ∞ → 1 2 2 lim lim ，则 L a n n = ∞ → lim 。 （二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义 称 ∑ = = n k k n u s 1为级数 ∑∞ =1 n n u 的前n项部分和 () ,2,1=n，而称数列{} n s为级数 ∑∞ =1 n n u 的部 分和数列。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s收敛，即s s n n = ∞ → lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称s为该级 数的和，记为 s u n n = ∑∞ =1，同时称 ∑∞ + = = - = 1 n k k n n u s s r 为级数 ∑∞ =1 n n u 的余和。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散。 2．级数的基本性质 （１）若 s u n n = ∑∞ =1，c是常数，则 cs cu n n = ∑∞ =1。 （2）若∑∞ =1 n n u =s， σ = ∑∞ =1 n n v ，则 ()σ+ = + ∑∞ = s v u n n n 1。 （3）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ + =1 m n n u 也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。
高等数学作业 AⅠ 吉林大学数学中心 2017年8月
第一次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．下列结论正确的是( A )． （A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数； （D ）4 -22arccos π =． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )． （A ）x x x x e e e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2 x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )． （A ）π； （B ）π3 2 ； （C ）π2； （D ）π6． 4．. ??? ??-??? ??-??? ? ? -∞→22211311211lim n n Λ=（ C ） （A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2． 5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件 （A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1 =+∞→n n n a a 则( D )． （A ）{}n a 的敛散性不定； （B ）0lim ≠=∞ →c a n n ； （C ）n n a ∞ →lim 不存在； （D ）0lim =∞ →n n a ． 二、填空题
1．=???? ??-+ +-+-∞→n n n n n 2 2241 2 411 41 lim Λ 0. 5 ． 2．设? ? ?<+≥+=,0,2, 0,12)(2 x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ? ??<+-≥-2,181642, 742x x x x x ． 3．函数1 )(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x ． 4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要 条件. 5. =++--+++∞ →])2()11(1sin [lim 1 n n n n n n n n n 22e + ． 三、计算题 1．设6 331 34)11(x x x f ++=+ ，求)(x f ． 解：令31 1x t +=，则3 1 1-=t x 代入已知的式子中得， 2)1)1(34)(-+-+=t t f t 即有 22)(t t f ++=t 2．求n n n x 13)|1(lim | +∞ →， 解：(1)当1||>x 时 由于311 33||2)||1(|| x x x n n n <+< 以及 331||||2lim x x n n =∞ → 所以有 313||)|1(lim x x n n n =+∞ →| （2）当1||≤x 时
习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -
一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY
第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+
第12次作业 教学内容：§3.1微分 **1. ． 求，设 dy x x x x y x ),4 0(2tan )(cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-= . **2. 设 求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则 令 dx e e x x 4212--+-= . **3. 设 且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ??0 解: )() (ln x x u ??= 记， 则du u x x d )()()(ln ????'=??????dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ??????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2?????? . **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由 033 3=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴.
**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由 得 dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin(). **6. .26 3 的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003 -=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令 959.2271 3263 =- ≈. **7. .151cos ,0 的值计算用微分代替增量 解: f x x x x ()cos === ==．，000150561180ππ ?, 8747.036023180 )150(sin 150cos )151(000-≈-- =? -≈π π f . **8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀 外半径为在一个内半径为 量。 个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7, 解: ， ．．，86.72.0534 1113==?==ρπr r r V )(6.4932086.7486.712 11g r r m ≈?=???≈ππ， ，，，9.18005.02.5222==?=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =??≈π. **9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g l T π
第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为 。 解 填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。 解 填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=??
2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ） 。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导 数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。 解 填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在 且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（ ） 。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ）
河北工程大学高等数学同步练习 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1. 求定义域 (1){(x,y ) 1 xy e e ≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}. 2.求极限 (1)00 1)2x y →→+=; (2)0 ; (3)22 2 2200 2sin 2lim 0()xy x y x y x y e →→+=+; (4)20 sin cos lim .2x y xy xy x xy →→=. 3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值 (1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222 2222 01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y ,极限为0，不存在 ; (3)2222222211 00x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≤+≤+=+→+++.极限为0 . 4.因当220x y +≠时， 22 2 2220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0 lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.
第二节 偏导数 1. 求下列函数的偏导数 (1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2 2() 1()x y x y --+-. 2. 6 π. 3.11(11x y =+-==. 4. 1 2 2222 2222222222 2222222222 2222 1 ln() ln(), 2 12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y - =+=-+?=-=-?++?+--=-=?++?-=?+ 5. 22 2202 01 0sin , lim (,)0(0,0),1sin 00lim 1 0sin 0 0(0,0)lim 0x y x y x x x y f x y f x f x x x f y y y →→?→?→≤≤+==?-??+=??-?+?==??因为所以连续. （0，0），不存在， .
第一章 答案 习题1.1 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）? ?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤ 时，为,当φ时，为2 1 >a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2 ∈-=x x x y ； 4）? ??≤<-≤≤-+=10,1 1,1x x x x y . 5.? ??≠==1,01,1))((x x x g f ;1,21 ,1))((>≤???=x x x f g . 习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0 =- →x f x ,1)(lim 0 =+ →x f x ,1)(lim 0 =→x f x ; 1)(lim 0 -=?- →x x ,1)(lim 0 =?- →x x ,)(lim 0 x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2 )1cot 1(arctan lim 0 π=+→x arc x x . 3. 略 习题1.4 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5 1.1)1；2） 21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2 1 ；4）6. 3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2） 2 5 1+； 2.1）2 e ；2）4 -e 3.1）2；2） 32；3）2 2-；4）e ；5）e 1；6）6π.