第二十三章旋转
本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质．
【本章重点】
平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质．
【本章难点】
旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用．
【本章思想方法】
1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力．
2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题．
3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答．
23.1图形的旋转1课时
23.2中心对称3课时
23.3课题学习图案设计1课时
23.1图形的旋转
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质．
3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．
【过程与方法】
通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．【情感态度与价值观】
1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．
2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
二、重难点目标
【教学重点】
旋转及对应点的有关概念及其应用．
【教学难点】
旋转的基本性质．
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．观察教材P59“思考”，回答问题．
(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？
解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．
(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？
解：形状、大小不变，位置发生变化．
(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.
(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。
2．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的__旋转__，点O叫做__旋转中心__，转动的角叫做__旋转角__.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的__对应点__.
3．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离__相等__；对应点与旋转中心所连线段的夹角__等于__旋转角；旋转前、后的图形__全等__.
4．如图，△OAB绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中，旋转中心是__点O__，经过旋转，点A转到__点E__，点B转到__点F__，线段OA、OB、AB分别转到__OE、OF、EF__，∠A的对应角是__∠E__，∠B的对应角是__∠F__，∠AOB的对应角是__∠EOF__.
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE ＝1
4，△ABF 是△ADE 的旋
转图形．
(1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF 的长度是多少？
(4)如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？
【互动探索】(引发学生思考)已知旋转前后的两个图形，确定旋转中心、旋转角度的关键是什么？旋转的性质有哪些？
【解答】(1)旋转中心是A 点． (2)∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的，
∴点B 与点D 是对应点， ∴∠DAB ＝90°就是旋转角． (3)∵AD ＝1，DE ＝14，
∴AE ＝
12＋????142＝174
. ∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点， ∴AF ＝AE ＝
17
4
. (4)∵∠EAF ＝90°(与旋转角相等)且AF ＝AE ， ∴△EAF 是等腰直角三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转中心是“定点”，只有一个；旋转角有多个，对应点(比如点F 和点E )与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；旋转不改变图形的大小和形状．
【例2】如图，△ABC 绕点C 旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B 的对应点的位置，以及旋转后的三角形．
【互动探索】(引发学生思考)旋转作图要满足的三要素是？ 【解答】(1)连结CD ；
(2)以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE ＝∠ACD ；
(3)在射线CE 上截取CB ′＝CB ，则B ′即为所求的B 的对应点； (4)连结DB ′，则△DB ′C 就是△ABC 绕点C 旋转后的图形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转作图时，首先必须确定旋转中心、旋转方向和旋转角，并根据对应点到旋转中心的距离相等找到对应点．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是(B)
A B C D
2．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是(C)
A．35°B．45°
C．55°D．65°
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．
(1)求旋转角的大小；
(2)若AB＝10，AC＝8，求BE的长．
解：(1)∵△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC ＝AB2－AC2＝6.∵△ABC绕着点C旋转得到△EDC，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC＋CE＝6＋8＝14.
【活动3】拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段
AE ，连结CD 、BE .
(1)求证：∠AEB ＝∠ADC ；
(2)连结DE ，若∠ADC ＝105°，求∠BED 的度数．
【互动探索】(引发学生思考)(1)证明角相等，可以转换为证明三角形全等；(2)要求∠BED 的度数，由∠DAE ＝60°，AE ＝AD 知△EAD 为等边三角形，即∠AED ＝60°，继而由∠AEB ＝∠ADC ＝105°可得．
【解答】(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC .
∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ， ∴∠DAE ＝60°，AE ＝AD ，
∴∠BAD ＋∠EAB ＝∠BAD ＋∠DAC ， ∴∠EAB ＝∠DAC . 在△EAB 和△DAC 中， ∵????
?
AB ＝AC ，∠EAB ＝∠DAC ，AE ＝AD ，
∴△EAB ≌△DAC ，∴∠AEB ＝∠ADC . (2)∵∠DAE ＝60°，AE ＝AD ，
∴△EAD 为等边三角形，∴∠AED ＝60°. 又∵∠AEB ＝∠ADC ＝105°， ∴∠BED ＝∠AEB －∠AED ＝45°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明角相等和求解角的度数，利用等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，即可得解，熟练掌握旋转的性质证得三角形
全等是解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
图形的
旋转?????
概念
性质??
???
任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角对应线段相等，对应角相等对应点到旋转中心的距离相等旋转作图
请完成本课时对应练习！
23.2中心对称
23.2.1中心对称(第1课时)
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解中心对称、对称中心的概念．
2．掌握中心对称图形的性质．
3．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．
【过程与方法】
通过研究旋转及其性质，转化到一类特殊的旋转——中心对称及其性质．
【情感态度与价值观】
通过对旋转及其性质的了解，体会“中心对称”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
二、重难点目标
【教学重点】
中心对称的概念及性质．
【教学难点】
中心对称性质的推导及理解．
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P64～P66的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把一个图形绕着某一个点旋转__180°__，如果它能够与另一个图形__重合__，那么就说这两个图形关于这个点__对称或中心对称__，这个点叫做__对称中心__.
2．两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的__对称点__.
3．对称中心的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__对称中心__，而且被对称中心所__平分__.(2)关于中心对称的两个图形是__全等__图形．4．如图，四边形ABCD绕点D旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由；
(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心对称的对称点是哪些点．
解：如图，(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是点D.
(2)点A、B、C、D关于中心D的对称点分别是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．
环节2合作探究，解决问题
【活动1】小组讨论(师生对学)
【例1】如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形．
【互动探索】(引发学生思考)作出某个图形关于某个点成中心对称图形的关键是什么？按照怎样的步骤作图？
【解答】(1)延长AD，且使AD＝DA′.因为点C关于点D的中心对称点是B(C′)，点B关于中心点D的对称点为C(B′)；
(2)连结A′B′、A′C′.
则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．
【互动总结】(学生总结，老师点评)作一个图形关于某点的中心对称图形，关键是正确作出特殊点(关键点)的对称点．
【活动2】巩固练习(学生独学)
1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有(C)
A．1组B．2组
C．3组D．4组
2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(A)
A．O1B．O2
C．O3D．O4
3．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是(D)
A．AO＝BO
B．BO＝EO
C．点A关于点O的对称点是点D
D．点D在BO的延长线上
4．如图，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心．
解：如图所示，点O即为所求作的对称中心．
【活动3】拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，D是△ABC边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结BE.
(1)哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【互动探索】(引发学生思考)(1)两个图形成中心对称，满足什么样的条件？(2)成中心对称的两个图形有什么性质？(3)要求线段的取值范围，一般是根据三角形三边关系解题．
【解答】(1)图中△ADC 和△EDB 成中心对称．
(2)∵△ADC 和△EDB 成中心对称，△ADC 的面积为4，∴△EDB 的面积也为4. ∵D 为BC 的中点，∴△ABD 的面积也为4， ∴△ABE 的面积为8.
(3)连结CE .在△ABD 和△ECD 中， ∵????
?
AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，
∴△ABD ≌△ECD (SAS)，∴AB ＝CE . ∵△ACE 中，AB －AC ＜AE ＜AC ＋AB ， ∴2＜AE ＜8，
∵AD ＝DE ，∴1＜AD ＜4.
【互动总结】(1)直接利用中心对称的定义写出答案即可；(2)根据成中心对称的两个图形全等确定△BDE 的面积，根据等底同高确定△ABD 的面积，从而确定△ABE 的面积；(3)可证△ABD ≌△ECD ，可得AB ＝CE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
中心对称?????
中心对称和对称中心的概念
中心对称的两条基本性质????? 中心对称的两个图形对称点所连所段都经过对称中心，并且被对称中心所平分
成中心对称的两个图形是全等图形
请完成本课时对应练习！
23.2.2中心对称图形(第2课时)
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握中心对称图形的定义．
2．能准确判断某图形是否为中心对称图形．
【过程与方法】
通过研究旋转及其性质，转化到中心对称图形的判断及其性质．
【情感态度与价值观】
通过对中心对称图形的了解，能够判断某个图形是否为中心对称图形，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
二、重难点目标
【教学重点】
中心对称图形的判断．
【教学难点】
两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．
旋转 章末小结 ※教学目标※ 【知识与技能】 掌握本章重要的知识点，能用相关函数知识解决实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，回顾解决实际问题中所涉及的数形结合思想、方程思想、分类思想的过程，加深对本章知识的理解. 【情感态度】 在这用本章知识解决实际问题的过程中，进一步增强数学应用知识，感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣. 【教学重点】 本章知识结构梳理及其应用. 【教学难点】 灵活运用二次函数性质解决问题. ※教学过程※ 一、整体把握 二、加深理解 1.旋转的性质有哪些？你能举出旋转的实例吗？ 2.在现实生活中，存在着大量的中心对称现象，你能举出一些例子吗？成中心对称的图形有什么特点？ 3.请列举学过的中心对称图形，说说如何判别一个图形是否是中心对称图形. 4.关于原点对称的点的坐标有什么特征？ 5.用平移、轴对称和旋转的组合进行图案设计的关键是什么？你能进行简单的图案设计吗？ 三、复习新知 例1 如图,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt△AB′ C′, 点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则∠BB′C′= .
分析：根据旋转的性质可得AB =AB ′，∠BAB ′=40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB ′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 答案：20° 例2 如图,在平面直角坐标系中,将线段AB 绕点A 按逆时针方向 旋转90°后,得到线段AB ′,则点B ′的坐标为 . 分析：抓住旋转的三要素：旋转中心A ，旋转方向逆时针，旋转角 度90°，通过画图得B ′坐标. 答案：（4，2） 例3 在方格纸上按以下要求作图,不用写作法: (1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案. (2)作出“小旗子”绕O 点按逆时针方向旋转90°后的图案. 分析：（1）先把旗杆的两个端点向右平移6格，再把旗横的边 的另一端点向右移6格，最后照原图形的形状连点；（2）先把旗杆 绕O 点按逆时针方向旋转90°，原来旗杆是竖着，绕O 点按逆时针方向旋转90°后是横着，旗的横边是坚着，再照原图形的形状连线. 答案： 例4 一财主有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘．财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间的池塘也要平分，但不知怎么做，你能帮忙想个办法吗？ 分析：根据平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的中心，所以井和平行四边形对角线的交 点所在的直线把地平分. 解：井和平行四边形对角线交点所在的直线把地平分.理由如下：平行 四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，所以四边形AEFD 绕点 O 逆时针旋转180°可与四边形CFEB 重合，故四边形AEFD 的面积与四边形CFEB 面积相等. 例5 如图①，在四边形ABCO 中，∠A =∠C =90°，OA =1，AB =3，把四边形ABCO 绕点O 每次旋转120°，连续旋转两次后得到图②的等边三角形12BB B .求： （1）∠B ，∠AOC 的度数；（2）等边三角形12BB B 的面积． ① ② 分析：（1）根据图形旋转的性质，可得∠AOC 与∠11A OC 与∠22A OC 的关系，可得∠AOC 的大小，根据四边形的内角和，可得∠B 的大小；（2）根据旋转图形的性质，可得∠B 与∠1B 与∠2B ，可得三角形12BB B 的形状，根据三角形的面积公式，可得答案. 解：（1）把四边形ABCO 绕点O 每次旋转120°，连续旋转两次后得到图②的等边△12BB B ，∴∠AOC =∠11A OC =∠22A OC =120°.由四边形的内角和公式,得∠B =360°-∠A -∠C -∠AOC =360°-90°-90°-120°=60°. （2）由旋转的性质，得∠B =∠1B =∠2B =60°，OC =OA ，AB =AC ，∴B 1B =2AB =23. ∴等边三角形12BB B 的面积=12332 ??=33. 四、巩固练习 1.如图，已知△AOB 和△DOC 成中心对称，△AOB 的面积是12，AB =3， 则△DOC 中CD 边上的高是（ ） A.3 B.6 C.8 D.12 2.如图，在△ABC 中，∠BAC =15°,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°
P ′C D B A 《图形的旋转》导学案设计 23.1图形的旋转（一） 一、简介： 《图形的旋转》是人教版九年级上册第二十三章的内容。在教学设计的过程中，是以省级课题《构建初中数学高效课堂模式》的《五步教学》为蓝本来设计的。“五步教学法”以“导学——自学——助学——强化——评价”五步组成，就是将“先讲后练”的传统教学模式转换成"先学后讲"的教学模式。 二、教学过程 《一》导学 1、引入新课：运用课件欣赏日常生活中一些物体的旋转现象，如旋转的风车、旋转的钟面、飞驰的车轮等，然后让学生根据上述现象用一个动词进行概括引入新课。 （设计说明：借助课件，用生活中常见的事例引入新课，既可以激发学生的学习兴趣，把学生迅速的的引入课堂中，又能引导学生用数学的眼光看待生活中的事物，认识到生活中处处都有数学） 2、学习目标： （1）、了解生活中广泛存在的旋转现象； （2）、掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换； （3）、知道旋转的性质，会运用旋转的性质解决实际问题。 （设计说明：学习目标的展示，是为了让学生对这节课所学的知识有个整体认识，知道这节课即将学习哪些内容，要掌握哪些知识，让学生做到心中有数，不至于无的放矢。学习目标是属于课前预设性目标，是学生对这堂课的一个浅性认识阶段。） 3、重点：旋转的有关概念 难点：理解并运用旋转的性质 （设计说明：这节内容是在学生学了平移、轴对称这两种图形的基本变换之后学习的，学生已经有一定的认知基础，所以确定旋转的概念是本节课的重点，难点是性质的运用。在“五步教学”中，明确学习的重难点，是为了让学生进一步明确学习目标，知道这些是我们学习的最终目标。在教学中，重难点的突破是随着教学活动的展开而逐步实现的，就这要求教师必须具备高度的应变能力。） 《二》分层学习 第一层次学习 1、自学指导： （1）、自学内容：预习p56——57页归纳之前的内容（2）、自学时间：约4分钟 （3）、自学方法：观察生活中物体的旋转现象，体会旋转过程，形成旋转概念的感性认识。 （4）、自学参考提纲： ①、旋转的概念____________________________。②、从课文中的思考实例可以看出：图形的旋转三要素是 ________,_________,______。③、如图，点P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 旋转到 △CBP ′的位置时，其旋转中心是______，旋转角为________，旋转方向为_______。
第二十三章旋转 单元要点分析 教学内容 1．主要内容： 图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计． 2．本单元在教材中的地位与作用： 学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用． 教学目标 1．知识与技能 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质． 了解中心对称的概念并理解它的基本性质． 了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法． 2．过程与方法 （1）让学生感受生活中的几何，?通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题． （2）?通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题． （3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，?不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类． （4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，?通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．
中考一轮：旋转和旋转变换 教学目标 1．掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角； 2．会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题； 3．能利用旋转性质进行开放探究。 经典例题 【例１】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点， 且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB， 连接EF，下列结论：①△AED≌AEF；②△ABE∽△ACD；③ BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（） A．②④B．①④C．②③ D. ①③ 【解法指导】本题解题可利用旋转的性质切入 解：由旋转性质知，∠FAD=∠FBC=900，且AF=AD，∵∠DAE=450，∴∠FAE=450，由AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AD，得△AED≌△AEF，①正确；由勾股定理得BF2+BE2=FE2，将BF=DC，FE=DE 代入得，BE2+DC2=DE2，④正确；且知③不正确；若∠AFB≠∠ADC，则②不正确，故本题选B 【变式题组】 1．如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而改变
【例２】 如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转900 ，得△A 1OB 1。已知∠AOB=900，∠B=900，AB=1，则B 1 点的坐标为（ ） A ． )2 3,23( B ．)2 3 , 23( C ．)2 3 , 21( D ．)2 1,23( 【解法指导】 根据旋转的性质得∠A 1 OB 1 =300 ，OB 1 =OB=3，过B 1 作B 1 H 垂直Y 轴于H 。 可得B 1 H= 23，OH=2 3，则B 1 点的坐标为)23,23( ，本题选A 。 【变式题组】 1．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿X 轴正方向连续翻转2019次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…P 2019的位置，则点P 2019的横坐标为_________ ． 【例３】如图将Rt △ABC(其中∠B=340，∠C=900 )绕点A 按顺时针方向旋转到△A 1B 1C 1的位置，使得点C 、A 1，B 1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） 【解法指导】 可以选择∠BAB 1为旋转角，由三角形外角和定理得∠BAB 1=340+900=1240 ，应选B 。 【变式题组】 3．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800得到△OCD ，若∠A=1100，∠D=400 ，则∠а的度数是（ ） A ． 300 B ． 400 C ． 500 D ．600 4．如图，∠AOB=900 ，∠B=300 ，△A 1 OB 1 可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转а角度得 到的，若点A 1 在AB 上，则旋转角а的大小可以是（ ） A ． 300 B ． 450 C ． 600 D ． 900
第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？ 问题：这些关系式有什么共同点？ 二、合作探究 探究点一：反比例函数的定义 【类型一】反比例函数的识别 下列函数中：①y＝ 3 2x；②3xy＝1；③y＝ 1－2 x；④y＝ x 2.反比例函数有() A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：①y＝ 3 2x是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝ 1 3x，是反比例函数，正确； ③y＝ 1－2 x是反比例函数，正确；④y＝ x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝ k x(k为常数，k≠0)，y＝kx －1(k为常数，k ≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值 已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．
教学设计（教案）模板
教学过程 （一）创设情景，引入新知 1、向学生展示有关的图片： (1)时钟上的秒针在不停的转动；(2)大风车的转动； (3)飞速转动的电风扇叶片；（4）正在荡秋千的小孩； (5)汽车上的雨刮器工作时。 【 设计意图】通过这些画面的展示，让学生切身感受到我们身边除了平移、轴对称变换外,生活中还广泛存在着转动现象，从而产生对这种变换作进一步探究的强烈欲望；同时为本节课探究的问题作好准备。 2、问题: 这些情景中的转动现象,有什么共同特征? 方法是：先鼓励学生通过观察、思考和讨论，用自己的语言来描述这些转动的共同特征，然后，让学生再举一些类似的例子，并揭示本节的研究课题-----图形的旋转。 【设计意图】让学生初步感受转动的本质是绕着某一点，旋转一定的角度，为旋转概念的形成积累了感性认识。 （二）抽象归纳，形成概念
1.建立旋转的概念 (1) 试一试,请同学们尝试 用自己的语言来描述以下旋转.单摆上小球位 置由A 转到B ，它绕着哪一个点旋转转动？沿着什么方向(顺时针或逆时 针)？表示旋转的角度是哪个角？转动的角度是什么? 从小孩荡秋千抽象出点的旋转，自然引出旋转的概念，即把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation ）.点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 【设计意图】重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角。 （2）①请同学们观察图2，点A ，点B ，线段AB 分别转到了什么位置？ ②请找出图2中的对应点、对应线段，并指出旋转中心和旋转角。 【设计意图】让学生进一步理解旋转的概念，找准旋转过程中的对应点，对应线段，并为下面探究旋转的性质作好准备。 2．应用旋转的概念解决问题 （1） 如图，香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5个相同的花瓣组成,它是由其中的一瓣经过几次旋转得到的? 旋转角∠ AOB 多少度？你知道∠COD 等于多少度吗？ 【设计意图】主要体现了从点的旋转到线的旋转再到图形的旋转的探究过程（由简单到复杂），符合学生的认知规律。更重要的是引导学生思考为什么旋转角∠ · · A B O D C 抽象出点的旋 A B （图1） O A B A B 0
山东省枣庄市第四十二中学八年级数学第三章《简单的旋转作图》教 案北师大版 践的良好学风，生生互动、师生互动气氛较浓。 一.回顾与思考 1.作平移后的图形的方法与步骤： （1）找出要平移图形的关键点；（2）作出这些点平移后的对应点；（3）将所作的对应 2上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？ 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．旋转不改变图形的大小和形状． 旋转有什么性质呢？
旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角，旋转角彼此相等． 二、巧设情景问题，引入课题 1.合作探究：请同学们思考并讨论：如图，如何作出线段AB绕点B顺时针旋转60?后的图形？ A B 2.大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？分析：在原图上找了四个点，即O点、A点、B点、C点，如图这四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕O点按顺时针旋转90°.我在方格中找到点A、B、C的对应点A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图形. 同学们在作图过程中，基本掌握了作图的一个要点：找图形的关键点。 这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？ 这节课我们就来研究：简单的旋转作图. 三.讲授新课，例题解析 （一）例题解析 我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法 例1如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形. A 。D B C 分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作. 假设顶点B的对应点分别为点E、点F则∠BCE、∠ACD都是旋转角. △DCE就是△ABC绕点C旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BCE=∠ACD，CE=CB，这样即可求作出旋转后的图形. 通过分析知道如何作出△DCE，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，要注意把痕迹保留下来. (教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图)
新人教版初中数学九年级上册第23章《图形的旋转》教案 23.1图形的旋转（1） 学校主备人时间 设计理念让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，发展学生的空间观念，培养运动几何的观点，增强审美意识，让学生通过独立思考、自主探究和合作交流体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣． 教学目标1、知识与技能: 了解旋转及对应点的有关概念，并能应用它们解决一些问题． 2、过程与方法: 让学生感受生活中的几何，?通过不同的情境设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题． 3、情感态度与价值观: 经历图形旋转的探索活动，发展空间观念，培养运动几何的观点，增强审美意识． 重点旋转及对应点的有关概念及其应用． 难点从活生生的数学中抽象出概念． 方法体验、探究式教学法课型新授课 教学过程 教学环节教学内容师生活动设计意图 一、创 设 情 境1.向学生展示有关的图片： (1)时钟上的秒针在不停的转 动；（并介绍顺时针方向和逆 时针方向） (2)大风车的转动； (3)飞速转动的电风扇叶片； （4）汽车上的括水器 (5)由平面图形转动而产生 的奇妙图案。 用课件展示图片并显示 现实生活中部分物体的 旋转现象 学生观察图片 通过这些画面的展 示让学生切身感受 到我们身边除了平 移、轴对称变换等图 形变换之外,生产、 生活中广泛存在着 转动现象，从而产生 对这种变换进一步 探究的强烈欲望,为 本节课探究问题作 好铺垫。
2、提出问题: 这些情境中的转动现象,有什么共同特征? 学生思考，归纳它们的 共同特征。 让学生再举一些类似的 例子 初步感受转动的本 质是绕着某一点，旋 转一定的角度这两 点，引导学生寻找、 认识生活中的旋转 现象，并揭示本节的 研究课题-----图形 的旋转。 二、自 主 探 究1.建立旋转的概念 请同学们尝试用自己的语言 来描述上述图形的运动现象. 2、给出旋转的定义： 把一个图形绕着某一点O转 动一个角度的图形变换叫做 旋转（rotation）.点O叫做 旋转中心，转动的角叫做旋转 角。 重点突出旋转的三个要素：旋 转中心、旋转方向和旋转角 度。 3、结合图形理解对应点、对 应线段、对应角、旋转中心、 旋转角的意义。 学生先独立尝试，再同 学之间讨论交流、总结， 在此过程中以培养学生 的抽象概括能力，同时 让学生体会到合作交流 的必要性， 教师及时观察学生的学 习情况和学习进度，碰 到学生中的普遍性问 题，在进行适当的探讨 后，利用谈话讨论的形 式进行解决。 完成本节课的两个 学习目标：①点明图 形旋转中对应点、对 应线段及对应角的 概念；②让学生及时 巩固并理解旋转及 其相关概念，并为下 面探究旋转的性质 作好物质与精神上 的准备。 三、尝 试 应 用1、如图，△ABO绕点O旋转 得到△CDO，则： 点B的对应点是点_____；线 段OB的对应线段是线段 ______；线段AB的对应线段 是线段______；∠A的对应角 是______；∠B的对应角是 ______；旋转中心是点 ______；旋转的角是 ______ 。 2、如图，如果正方形CDEF与 学生独立思考并解答， 学生讲解，相互评价。 及时巩固新知，使每 个学生都有收获. 感受成功的喜悦，肯 定探索活动的意义。 C A B O D
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册） 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点：正、负数的概念 重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。 结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。 注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。
三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？ 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点：正确理解有理数的概念 重点：有理数的分类 教学过程： 一、知识回顾，导入新课 什么是正数，什么是负数？ 问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。 先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。 （1）按定义分类：（2）按性质分类：
力，但尺规作图的意识和能力不强。一.回顾与思考 1.作平移后的图形的方法与步骤： （1）找出要平移图形的关键点；（2）作出这些点平移后的对应点；（3）将所作的对应 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 旋转不改变图形的大小和形状． 旋转有什么性质呢？ 旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心的连线所组成 的角都是旋转角，旋转角彼此相等． 二、巧设情景问题，引入课题 1.合作探究：请同学们思考并讨论：如图，如何作出线段AB 绕点B 顺时针旋转60?后的图形？ A
B 2.大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？分析：在原图上找了四个点，即O点、A点、B点、C点，如图这四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕O点按顺时针旋转90°.我在方格中找到点A、B、C的对应点A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图形. 同学们在作图过程中，基本掌握了作图的一个要点：找图形的关键点。 这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？ 这节课我们就来研究：简单的旋转作图. 三.讲授新课，例题解析 （一）例题解析 我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法 例1如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形. A 。D B C 分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作. 假设顶点B的对应点分别为点E、点F则∠BCE、∠ACD都是旋转角. △DCE就是△ABC 绕点C旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BCE=∠ACD，CE=CB，这样即可求作出旋转后的图形. 通过分析知道如何作出△DCE，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，要注意把痕迹保留下来. (教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图) 解：（1）连接CD；. （2）以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE=∠ACD； （3）在射线CE上截取CE=CB； （4）连接DE 。 △DCE 就是△ABC绕 O点旋转后的图形。
九年级数学第二十三章旋转全章教案单元要点分析 教学内容 1．主要内容： 图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计． 2．本单元在教材中的地位与作用： 学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用． 教学目标 1．知识与技能 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质． 了解中心对称的概念并理解它的基本性质． 了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法． 2．过程与方法 （1）让学生感受生活中的几何，?通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题． （2）?通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题． （3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，?不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类． （4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，?通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．
第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些
第二十三章旋转 本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质． 【本章重点】 平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质． 【本章难点】 旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用．
【本章思想方法】 1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力． 2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题． 3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答． 23.1图形的旋转1课时 23.2中心对称3课时 23.3课题学习图案设计1课时
23.1图形的旋转 一、基本目标 【知识与技能】 1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质． 3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形． 【过程与方法】 通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．【情感态度与价值观】 1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣． 2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 旋转及对应点的有关概念及其应用． 【教学难点】 旋转的基本性质．
【人教版】初中数学九年级知识点总结：23旋转 【编者按】学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。 一、目标与要求 1.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质。 2.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题。 3.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.理解旋转前、后的图形全等，掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用。 5.了解中心对称的概念并理解它的基本性质。 6.运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案，并运用它解决一些实际问题。 7.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。 二、知识框架 三、重点 1.图形旋转的基本性质 2.中心对称的基本性质 3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系 4.图形的旋转的基本性质及其应用 5.用旋转的有关知识画图 6.利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题 四、难点
1.图形旋转的基本性质的归纳与运用 2.中心对称的基本性质的归纳与运用 3.运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质 4.根据需要设计美丽图案 5.从一般旋转中导入中心对称 五、知识点、概念总结 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 如下图所示： 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
第二十三章旋转 基础知识通关 23.1图形的旋转 1.旋转：在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一定点O 按某个方向转动一个角度，这样的运 动叫做图形的旋转。这个定点叫做，转动的角度叫做，如果图形上的某点P 经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋 转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于 0°，小于360°）。 3.旋转的性质： 1）对应点到旋转中心的距离。 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3）旋转前、后的图形全等。 23.2中心对称 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。这个点就是它的。 5.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形是全等形。 成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 成中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 6.坐标系中对称点的特征: 1）关于原点对称：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（） 2）关于x 轴对称：两个点关于x 轴对称时，x 相等，y 的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P’（） 3）关于y 轴对称：两个点关于y 轴对称时，y 相等，x 的符号相反，即点P（x，y）关于y 轴的对称点为P’（） 23.3课题学习图案设计 7.利用平移、旋转、轴对称的组合设计图案 \ 1 /
最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实． （二）能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． （三）德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实． 2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？ 2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？ 3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？
4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？ 前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来． 通过四个例子引出课题． （二）整体感知 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值． 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长． 2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成． 2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：
23.1图形的旋转（2）——旋转作图 【教学目标】 1、会运用旋转的知作出简单的平面图形旋转后的图形。 2、能在方格纸和直角坐标系中作出简单的平面图形绕原点旋转90°后的图形。 【教学重难点】 重点：会运用旋转的知作出简单的平面图形旋转后的图形。 难点：能在方格纸和直角坐标系中作出简单的平面图形绕原点旋转90°后的图形。 【教学过程】 一、复习回顾 1、如图，△OAB 绕O 点，顺时针旋转80°得到△OEF ，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是 ；∠AOE= ； （2）经过旋转，点A 、B 的对应点分别是 2、如图，△ABC 绕点O 顺时针旋转后得到△A 'B 'C ' ，则 （1）旋转中心 ； （2）点A 、B 、C 的对应点分别是 ； （3）OA 与OA '有什么关系？ （4）∠AO A '与∠BO B '有什么关系？ 。 （5）△ABC 与△A 'B 'C '有什么关系？ 【设计意图】通过两道填空题，让同学们回忆旋转的基本概念，从而为后面旋转作图的学习与探究作铺垫。 二、自主探究：按要求画出旋转图形 1、 如图，画出线段AB 绕点O 顺时针旋转60 0 后的图形. 2、如图，画出△ABC 绕O 点逆时针旋转80°后的图形△A ’B ’C ’. F A O A' B O B C O
旋转作图步骤： 1、连：连接图形中每一个关键点与旋转中心。 2、转：把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（旋转角）。 3、截：在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点。 4、连：连接所得到的各点。 【设计意图】让学生自主探究简单的旋转作图，从而发现并归纳出旋转作图的基本步骤，老师只作适当的补充。 三、例1、如图， （1）画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90 0后的图形。 （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180 0后的图形。 变式1、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC ?的三个顶点都在格点上，请画出ABC ?绕点O 顺时针旋转90o 后的 222C B A ?，并求点A 旋转到2A 所经过的路线长． 【设计意图】通过一道例题和一道变式训练，让学生掌握格点图中的旋转变换，巩固所学的知识。 例2、如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心，画出把△ADE 顺时针旋转90 0后的图形. E