解析几何三角形面积问题答案
1、解: (Ⅰ)由题意知，曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆.
∴2,1,a c ==2
3b ∴= 故曲线C 的方程为：22
143
x y +
=. L L 3分 （Ⅱ）设直线l 与椭圆22
143
x y +=交点1122(,),(,)A x y B x y , 联立方程22
3412
y x b x y =-+??+=?得22
784120x bx b -+-= L L L L L L 4分 因为248(7)0b ?=->，解得2
7b <，且212128412,77
b b x x x x -+==5分 Q 点O 到直线l
的距离d = L L L L L L L L L L 6分
AB ==
L L L L L L L L 9分
∴12AOB
S ?=
= L L L L L L 10分
≤.
当且仅当2
2
7b b =-即2
7
7
b =
<时取到最大值. ∴AOB ? L L L L L L L L L L L L 12分
2、解：（1）依题意可得?????-=-+=+,
12,
12c a c a 解得.1,2==c a
从而.1,22
2
2
2
=-==c a b a 所求椭圆方程为.12
22
=+x y …………………4分 （2）直线l 的方程为.1+=kx y
由?????=++=,12
,122x y kx y 可得().012222=-++kx x k
该方程的判别式△=(
)2
2
2
88244k
k
k +=++＞0恒成立.
设()(),,,,2211y x Q y x P 则.2
1
,2222
1221+-=+-=+k x x k k x x ………………5分 可得().2
4222121+=
++=+k x x k y y 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为.22,22
2??
?
??++-k k k ………………6分
线段PQ 的垂直平分线方程为.21222
2??
?
??++-+=
k k x k k y 令0=x ，由题意.21
2
+=
k m ………………………………………………7分
又0≠k ，所以0＜m ＜.2
1
…………………………………………………8分
（3）点M ()m ,0到直线1:+=kx y l 的距离2
2
1111k
m k
m d +-=
+-=
()212212
212
411x x x x k x x k PQ -+?
+=-+=
2
422122
22
++??? ??+-?+=k k k k =28812
22
++?+k k k 于是2
8811121212
22
2++?+?+-?=??=?k k k k m PQ d S MPQ .2
8
82122++?-=k k m 由,212
+=k m 可得.212
-=m
k 代入上式，得(),123m m S MPQ -=? 即()(0123
m m S -=
＜m ＜??
?21.…………………………………………11分
设()(),13
m m m f -=则()()().4112
m m m f --=' 而()m f '＞0?0＜m ＜
()m f ',41＜041?＜m ＜,2
1 所以()m f 在??
? ??
41,0上单调递增，在??
?
??21,41上单调递减. 所以当4
1
=
m 时，()m f 有最大值.256
2741=??? ??f ……………………13分 所以当4
1
=
m 时，△MPQ 的面积S 有最大值.1663…………………14分 3、解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b
+=>>.圆F 的标准方程为22
(1)1x y -+=，圆
心为(1,0)F ，圆与x 轴的交点为（0，0）和（2，0）.………………………2分
由题意2a =，半焦距1c =.∴222413b a c =-=-=.
∴椭圆方程为22
143
x y +=.………………………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y 由22
143
10
x y x my ?+=???--=?得22
(34)690m y my ++-=. ∴121222
69
,3434
m y y y y m m --+=
=++.……………………………6分
122
||34
y y m -==+
. 1221||||234
AOB
S OF y y m =-=+V g g .…………………………8分
t =，则2
2
1,1,t m t ≥=-∴2
631
AOB t
S t =
+V 2222222
6(31)(6)6(13)
(31)(31)AOB t t t S t t +--'==++V
.……………………10分
∵1t ≥，∴0AOB S ' .∴AOB S V 在[1,)t ∈+∞上是减函数， ∴当1t =时，AOB S V 取得最大值，最大值为 3 2 .………………………12分 4、解：（1 ）∵22 1314c e a a b ?===??? ?+=?? …………………2分 ∴2,1a b == ∴椭圆的方程为2 214 y x += ………………4分 （2）依题意，设l 的方程为y kx =+ 由 222 2 (4)1014 y kx k x y x ?=+? ?++-=?+=?? 显然0?> 121222 1 ,44 x x x x k k --+= =++ ………………5分 由已知=?n m 0得： 22121212124(a x x b y y x x kx kx +=+ 21212(4)()3k x x x x =+++ 2 21(k 4)()30k 4=+- +=+ ……………7分 解得k =……………………8分 （3）①当直线AB 斜率不存在时，即2121,x x y y ==-， 由已知=?n m 0，得2222 1111404x y y x -=?= 又11(,)A x y 在椭圆上， 所以 22 11 1141||,||42 x x x y +=?== 1121111 ||||||2||122 S x y y x y = -== ,三角形的面积为定值.………9分 ②当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y kx t =+ 222 22 (4)24014 y kx t k x ktx t y x =+???+++-=?+=?? 必须0?> 即22 2 2 44(4)(4)0k t k t -+-> 得到12224 kt x x k -+=+，212244t x x k -=+ ………………10分 ∵n m ⊥，∴12121212404()()0x x y y x x kx t kx t +=?+++= 代入整理得：2 2 24t k -= …………………11分 1 ||||2 S AB t = =…………12分 2 ||142|| t k t ===+ 所以三角形的面积为定值. …………………14分 5、解：（1） 设椭圆方程为22 22x y a b +=1（a>b >0）,由焦点坐标可得c =1………1分 由PQ |=3，可得2 2b a =3，……………………………………………2分 解得a =2，b ，…………………………………………………３分 故椭圆方程为22 43 x y +=1……………………………………………4分 （2） 设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ,不妨1y >0, 2y <0,设△1F MN 的内切圆的径R ， 则△1F MN 的周长=4a =8，11 2 F MN S =V （MN +1F M +1F N ）R =4R 因此1F MN S V 最大，R 就最大，………………………………………6分 1212121 ()2 AMN S F F y y y y = -=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x =my +1， 由22114 3x my x y =+???+=? 得22(34)m y ++6my -9=0，………………………８分 得1 y =，2 y = 则1 2 AMN S = V AB （12y y -）=12y y - ，……………9分 令,则t ≥1, 则2 1212 1313AMN t S t t t ===++V ,………………………10分 令f （t ）=3t +1t ，则f ′(t ) =3-21 t ， 当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在［1,+∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)=4, AMN S V ≤ 12 3=3, 即当t =1,m =0时，AMN S V ≤123=3, AMN S V =4R ，∴max R =3 4 ， 这时所求内切圆面积的最大值为9 16π. 故直线l :x =1，△AMN 内切圆面积的最大值为9 16 π………………12分 6、解：（1）由222 1a b e -==41及14912 2=+b a 解得a 2=4， b 2=3， 椭圆方程为13 42 2=+y x ；…………………………………………………………2分 设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）， 由m =+得 （x 1+x 2-2，y 1+y 2-3）=m （1，23），即?? ? ??+=++=+m y y m x x 23322121 又1342121=+y x ，13422 22=+y x ，两式相减得 212 332434*********-=++?-=++?-=--=m m y y x x x x y y k AB ; ………………………6分 （2）设AB 的方程为 y =t x +-2 1 ，代入椭圆方程得：x 2-tx +t 2-3=0， △=3(4-t 2)，|AB |=2242 15)4(3411t t -?=-?+ ， 点P 到直线AB 的距离为d =5 | 24|t -， S △P AB = 24|2|23t t --=t)(2t)-3(22 13+ （-2 当-2 2 9 ； 根据韦达定理得 x 1+x 2=t =-1，而x 1+x 2=2+m ，所以2+m =-1，得m =-3， 于是x 1+x 2+1=3+m =0，y 1+y 2+ 23=3+23m +2 3=0， 因此△P AB 的重心坐标为(0，0)．……………………………………………………13分 7、解：（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意?? ? ??==336 a a c ∴ b ＝1．∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3， ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ．由已知|m |1＋k 2 ＝3 2 ， 得m 2＝34 （k 2 ＋1），把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得 （3k 2 ＋1）x 2 ＋6kmx ＋3m 2 －3＝0∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2 －1) 3k 2＋1 ． ∴|AB |2 ＝（1＋k 2 ）（x 2－x 1）2 ＝（1＋k 2 ）??????36 k 2m 2(3k 2＋1) 2－12(m 2 －1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2 ＋1) (3k 2＋1) 2 ＝3＋12k 2 9k 4＋6k 2 ＋1＝3＋129k 2 ＋1k 2＋6 （k ≠0）≤3＋12 2×3＋6＝4． 当且仅当9k 2 ＝1k 2，即k ＝±33时等号成立|AB |＝2．当k ＝0时，|AB |＝3， 综上所述，|AB |max ＝2． ∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值，S ＝12×|AB |max ×32＝3 2． 8、解：（1）∵|PA |+|PB |=2>3=|AB |， ∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a =2的椭圆．………………………………2分 ∴a =1， .2 1 ,2322=-== c a b c ………………………………4分 设P （x ，y ），∴点P 的轨迹方程为14 12 2 =+y x . ………………………………6分 （2）将)2 3 (+ =x k y l ：代入1422=+y x ， 消去x ，整理为.0413)14(22 =--+ y k y k …………………………………7分 设),(),(2211y x N y x M ，， 则21221214)(2 3 21y y y y y y AB S BMN -+=-?= ? ………………………………8分 =.2 131131) 1()3(13411322 2222 22≤ ++ += +++?=++?k k k k k k k k k k k ………………10分 当且仅当 k k k k 311322 += +，即22= k 时，△BMN 的最大面积为.2 1 此时直线l 的方程是4 6 22+= x y . …………………………………………12分 9、解：(Ⅰ)设点P 的坐标为（x ,y ）,则点Q 的坐标为（x ）. 依据题意，有AQ uuu r =(x ), BQ uuu r =(x ). ……2分 ∵AQ uuu r ·BQ uuu r =1，∴x 2-1+2 y 2=1.∴动点P 所在曲线C 的方程是22 x + y 2=1 …4分 (Ⅱ)因直线l 过点B ，且斜率为k =- 2，故有l ∶y =-2 （x -1）.……5分 联立方程组2 2121)2x y y x ?+=????=--??，消去y ,得2x 2 -2x -1=0. ………7分 设M （x 1,y 1）、N （x 2,y 2），可得12121, 12x x x x +=?? ?=-?? ，于是12121x x y y +=???+=??. …………8分 又OM u u u u r +ON uuu r +OH u u u r =0r ，得OH u u u r =（- x 1- x 2，- y 1- y 2），即H （-1， -2 ）………9分 ∴|MN = ……………………10分 又l +2y ，则H 到直线l 的距离为d |2(+?- -=故所求驻MNH 三角形的面积为S = 12= ………………12分 10、解（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为()x ， 依据题意，有(),().AQ x BQ x =+=-u u u r u u u r …………………1分 221,12 1.AQ BQ x y ?=∴-+=u u u r u u u r Q ∴动点P 所在曲线C 的方程是2 2 1.2 x y +=………………3分 （Ⅱ）因直线l 过点B ，且斜率为k = ，故有:1).l y x =-………5分 联立方程组2 212 1)x y y x ?+=????=-??，消去y ，得22210.x x --=………………6分 设11(,)M x y 、22(,)N x y ， 可得12121 12x x x x +=?? ?=-?? ，于是12121x x y y +=???+??.………………………7分 又0OM ON OH ++=u u u u r u u u r u u u r r ，得1212(,),OH x x y y =----u u u r 即(1,H - 而点G 与点H 关于原点对称， 于是，可得点(1, 2 G ……………………………8分 若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l ，GH k = 121 :),:.2 l y x l y =-=………………9分 联立方程组1 )42y x y ?- =-???=? ， 解得1l 和2l 的交点为11(,8O ………………………10分 因此，可算得1||O H 1||O M = 所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为11(,8O …12分 11、【解析】（I ）由题意知2 c e a = =，从而2a b = ，又a =，解得2,1a b ==。 故1C 、2C 的方程分别为2 221,14 x y y x +==-。 （II ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =. 由2 1 y kx y x =??=-?得2 10x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-。 又点M 的坐标为(0,1)-，所以 2221212121212121211(1)(1)()1111 MA MB y y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++?=?====-- 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥。 （ii ）设直线DM 的斜率为1k ，则直线DM 的方程为11y k x =-，由12 1 1 y k x y x =-??=-? 解得01x y =??=-?或12 11x k y k =??=-?，则点A 的坐标为2 11(,1)k k - 又直线MB 的斜率为11k - ，同理可得点B 的坐标为211 11 (,1)k k --. 于是 211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +=?=-= 由122 1440 y k x x y =-??+-=?得22 11(14)80k x k x +-=， 解得01x y =??=-?或1212 12181441 14k x k k y k ?=?+? ?-?=?+?，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++； 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标2 1122 1184(,)44k k k k --++ 于是211222 1132(1)||1 ||||2(14)(4)k k S MD ME k k +?=?=++ 因此 211221 11(417)64S k S k =++ 由题意知， 21211117(417)6432k k ++=解得214k = 或211 4 k =。 又由点,A B 的坐标可知，212111 11 1 1 1k k k k k k k - ==-+ ， 所以3 .2 k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x = 和3 2 y x =-。 12、解：（1）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2，令y =0得2 10x -=，即1x =±， 则F 1（-1，0），F 2（1，0），故c =1，所以2225a b c =+=， 故椭圆C 1的方程为22 154 x y +=； ………………………………………………………5分 （2）设N （2 ,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2 (1)2()y t t x t --=-， 即221y tx t =--，代入椭圆方程整理，得22222 4(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=， 222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ?=+-++-=4280(183)t t -++， 2122 5(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+，故 12PQ x =-= 2 15t =+，设 点M 到直线PQ 的距离为d ，则d = = 所以MPQ ?的面积S 12PQ d = ?221 1215t t + =+ = = 5≤=，当3t =±时取等号，经检验此时0?>，满足题意，综上可知MPQ ? 的面积的最大值为5 。………13分 13、解：（I ）由22414x y y x = =得，.2 1 x y ='∴∴直线l 的斜率为1|2='=x y ，………1分 故l 的方程为1-=x y ，∴点A 坐标为（1，0） ……………………………… 2分 设),(y x M 则),1(),,2(),0,1(y x AM y x -=-==， 由0||2=+ ?AM BM AB 得 .0)1(20)2(22=+-?+?+-y x y x 整理，得.12 22 =+y x ……………………………………………………4分 ∴点M 的轨迹为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆 … 5分 （II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k (x －2)(k ≠0)① 将①代入12 22 =+y x ，整理，得 0)28(8)12(2222=-+?-+k x k x k ， 由△>0得0 < 2 1 . 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2) 则??? ????+-=+=+.1228,12822 212221k k x x k k x x ② ………………………………………………………7分 令||| |,BF BE S S OBF OBE == ??λλ则，由此可得.10,2 2,21 <<--=?=λλλ且x x BF BE 由②知,1 24 )2()2(2 21+-= -+-k x x 121212222)(2)2()4.21 x x x x x x k -?-=-++= +（ 22 22 2141,(1)8(1)2 k k λλλλ+∴==-++即 …………………………10分 22 14110,0,32232 2. 2(1)22 01, k λλλλ<<∴<-<-<<++< 1223<<-∴λ.∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－22，1）…12分. 14、解：（Ⅰ）依题意，1122n n n n n S S a S ++-==-，即132n n n S S +=-， 由此得1123(2)n n n n S S ++-=-． 即13n n b b += ------------------4分 因此，所求通项公式为 1112(2)3(2)3n n n n n b S S a --=-=-?=-?，*n ∈N ．① -------------------6分 （Ⅱ）由①知1(2)32n n n S a -=-+，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时， 第3课时三角形的面积(1) 不夯实基础，难建成高楼。 1. 填一填。 (1)两个完全一样的( )可以拼成一个平行四边形，因此一个( )的面积是所拼平行四边形面积的( )，平行四边形的底与所拼三角形的底( )，平行四边形的高与所拼三角形的高( )，所以三角形的面积＝( )。 (2)平行四边形的面积是和它等底等高的三角形面积的( )倍。 (3)一个三角形底是6厘米，高1.5厘米，它的面积是( )平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 2. 计算下面各三角形的面积。(单位：cm) 3. 判一判。(对的在括号内打“”，错的打“”。) (1)一个三角形的底和高都是5厘米，它的面积是25平方厘米。( ) (2)两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。( ) (3)两个面积相等的三角形，它们的底和高一定相等。( ) (4)两个同底等高的三角形，形状相同，面积相等。( ) (5)三角形的面积的大小与它的底和高有关，与它的形状和位置无关。( ) (6)一个三角形的底扩大5倍，高不变，面积也扩大5倍。( ) 4. 比一比，谁的面积大？ 我认为 ________________ ___ 5. 计算三角形的面积。 底(分米) 16 25 19 44 高(分米) 12 18 14 32 面积(平方分米) 重点难点，一网打尽。 6. 填一填。 (1)三角形面积是23平方分米，高是4分米，底长是( )分米。 (2)一个三角形和一个平行四边形的面积相等，高也相等，已知平行四边形的底边长10厘米，三角形的底边长( )厘米。 7. 求图中阴影部分的面积。(单位：cm) 8. 一块三角形木板，底是26分米，比高少14分米。这块三角形木板的面积是多少平方分米？ 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 9. 将一块长为2.64米，宽为1.2米的三夹板(长方形)，裁成直角边分别是4.4分米和3.2分米的直角三角形，最多可以裁多少块？(不能拼凑。) 10. 一个三角形的底长6米，如果底边延长2米，那么面积就增加3平方米。原来三角形的面积是多少平方米？ 三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为（） A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高（） A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（） A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（） A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( ) A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE，AC=DF- B. AC=EF，BC=DF - C. AB=DE，BC=EF- D. ∠C=∠F，AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________． 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF. 第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β= 4 π 时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 解析： 设A （ 121 ,2y p y ），B （222 ,2y p y ），则 2 1 2tan , 2tan y p y p ==βα，代入1)tan(=+βα 得2 21214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则 022222 =+-????=+=pb py ky px y b kx y ∴k p y y k pb y y 2,22121= += ，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p 说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。 例2．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 2019-2020 年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题 抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。 一、顶点在抛物线y=ax2 +bx+c 的三角形面积的一般情况有： （1）、以抛物线与x 轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为： S = |x 1-x 2 | · ||=··|| （2）、以抛物线与 x 轴、 y 轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是 抛物线与 x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y 轴上的截距 ( 原点与 y 轴交点构成的线段长 ) 的绝对值。其面积为： S =· |x1-x2|· |c|＝··|c| （3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵 活运用几何和代数的有关知识。 二、1．求内接于抛物线的三角形面积。 例1．已知抛物线的顶点 C（2，），它与 x 轴两交点 A、B 的横坐标是方程x2-4x+3=0 的两根，求 ABC的面积。 解：由方程 x2 -4x+3=0，得 x1=1, x 2=3, ∴AB=|x 2-x 1|=|3-1|=2. ∴ S ABC × × = 2= . 例 2．已知二次函数 y= x2+3x+2 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于D点，顶点为 C，求四边形 ACBD的面积。 解：如图 1，S 四边形ACBD=S ABC+S ABD =×× | |+ ××|2|= . 例 3．如图：已知抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=2x B，抛物线与 y 轴相交于 C 点，求ABC的面积。 相交于A、 解：由 得点 A 的坐标为（ 1，2），点 B 的坐标为（ 3，6）；抛 物线与 y 轴交点 C 的坐标为 （ 0， 3）如图 2，由 A、B、C三点的坐标可知， AB= ＝2 ， BC= ＝3 ，AC= ＝。 2 2 2 ∵ AC +BC=AB， ∴ ABC为直角三角形，并且∠BCA=90， ∴ S ABC= ·× × 3 。 AC BC= =3 2．求抛物线的解析式 例4．已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B，其对称轴为直线 x=-2 ，顶点为 M，且 S AMB=8，求它的解析式。 解：∵对称轴为直线x=-2, ∴-=-2, ∴ b=4, ∴y=x 2+4x+c, ∵ S AMB ·· | |= · | |=8 ， = ∴c=0, ∴ y=x 2+4x. 例5．设二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，若AC=20， ∠ACB=90°， S ACB=150，求二次函数的解析式。 2019-2020年高考数学二轮复习难点2.9解析几何中的面积，共线，向量结合的 问题教学案文 圆锥曲线是解析几何部分的核心内容,以计算量大、方法灵活、技巧性强著称,既是中学数学的重点、难点,也是历年高考的热点,常以压轴题的形式出现.而直线与圆锥曲线的位置关系,集中交汇了解析几何中直线与圆锥曲线的内容, 特别是解析几何中的面积，共线，向量结合的问题是圆锥曲线综合题，解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 1解析几何中的面积问题 解析几何中某些问题,可以通过三角形面积的等量关系去解.研究方法:先选定一个易于计算面积的几何图形,再用不同方法计算同一图形面积,得到一个面积等式;或是用一图形面积等于其它图形面积的和或差.在教学时,适当讲解此法,是开拓学生思路,提高数学教学质量的有效手段之一. 例1【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知抛物线2 :8C y x =上的两个动点()11,A x y ， ()22,B x y 的横坐标12x x ≠，线段AB 的中点坐标为()2,M m ，直线:6l y x =-与线段AB 的垂直平分线相交于点Q . （1）求点Q 的坐标； （2）求AQB ?的面积的最大值. 思路分析：（1）根据题设条件可求出线段AB 的斜率，进而求出线段AB 的垂直平分线方程，联立直线 :6l y x =-与线段AB 的垂直平分线方程，即可求出点Q 的坐标； （2）联立直线AB 与抛物线C 的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长，再求出点Q 到直线AB 的距离，即可求出AQB S 的表达式，再构造新函数，即可求出最大值. 一．方法综述 解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下； （1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性； 一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果； 另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。 （2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 二．解题策略 类型一定值问题 【例1】（2020?青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（） A．B．C．2p D． 【答案】D 【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣）， 3 2 2 ?例题示范 三角形面积（习题） 例1：如图，在四边形ABCD 中，AD =，BC=6，∠C=45°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 的面积． 解：如图，延长BA，CD 交于点 E ∵∠B=90°，∠C=45° ∴∠E=45° ∵∠ADC=90° ∴∠ADE=90° 在Rt△ADE 中，∠E=45°，AD = ∴DE = 在Rt△BCE 中，∠C=45°，BC=6 ∴BE=6 ∴S 四边形ABCD =S △BCE -S △ADE = 1 BC ?BE - 1 AD ?DE 2 2 = 1 ? 6? 6 - 1 ? 3 2 ? 3 2 2 2 2 2 = 63 4 3 2 2 3 2 2 1 2 ?巩固练习 1. 如图，在△ABC 中，∠A=150°，AB=AC=2，则△ABC 的面积 为． 第1 题图第2 题图 2. 如图，在△ABC 中，∠BAC=135°，AB=1，AC= 2 ，则 △ABC 的面积为． 3. 如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=135°，BC=2，则AB 的 长为． 第3 题图第4 题图 4.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，若BC=2，则阴影 部分的面积为． 5.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD 分为四个部分，已知△AOB 的面积为1 平方千米，△BOC 的面积为2 平方千米，△COD 的面积为3 平方千米．若公园陆地的总面积是6.92 平方千米，则人工湖（阴影部分）的面积是平方千米． 第5 题图第6 题图 6.如图，每个小方格都是边长为1 的正方形，△ABC 的顶点均 在小方格的格点上，在这个7×7 的方格纸中，找出格点P（不与点C 重合），使得S △ABP =S△ABC，这样的点P 共有个． 中考数学考点三角形讲解_考点解析 考前我们要精神饱满，身强力壮。每天坚持课外身体锻炼，及时消除疲劳，及时给大脑补氧;大家知道中考数学考点三角形吗?下面我们就给大家详细介绍一下吧!我们积累了一些经验，在此拿出来与大家分享下，请大家互相指正。 三角形 易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。 易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。最短距离的方法。 易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。 易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。边边角两个三角形不一定全等。 易错点5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。 易错点6：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。 易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。(2012年25题考点) 易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。 易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。 易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高(特别是钝角三角形)易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。 相信大家已经了解中考数学考点三角形了吧!感谢大家对我们网站的支持! A ．() 1,2 B ． ( ) 2,2 C ．()1,2 D ． ( ) 2,+∞ 2．（2020·湖北高考模拟（理））设椭圆222 14 x y m +=与双曲线22 214x y a -=在第一象限的交点为12,,T F F 为其共同的左右的焦点，且14TF <，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则22 12e e +的取值范围为 A ．262, 9? ? ??? B ．527, 9?? ??? C ．261, 9?? ??? D ．50,9?? +∞ ??? 3.（2020六安市第一中学模拟）点在椭圆上， 的右焦点为，点在圆 上，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围 【例2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理））已知椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，F 为椭圆 C 的右焦点，圆22 4x y +=上有一动点P ，P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PB QF k k 的取 值范围是（ ） A ．33,0,44????-∞- ? ? ????? B ．()3,00,4??-∞? ??? C ．()(),10,1-∞-? D ．()(),00,1-∞ 【举一反三】 1.抛物线上一点 到抛物线准线的距离为 ，点关于轴的对称点为，为坐标原点， 的内切圆与 切于点，点为内切圆上任意一点，则 的取值范围为__________． 2.（2020哈尔滨师大附中模拟）已知直线 与椭圆： 相交于，两点，为坐标原点. 当的面积取得最大值时，（ ）A ． B ． C ． D ． 类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围 解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线 AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令440 x y -=?? =? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的 任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 22 0001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?= -+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 002221 21x y x y ?+=??+=?? ， 两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122202y y k k x x -?==-- 3、 过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-, 三角形的面积 【知识要点】 三角形的性质: 1．三角形任意两边的和大于第三边。 2．三角形的三个内角和等于。 3．等腰三角形的两个底角相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形。 4．等边三角形的每个角都是。 三角形的面积计算公式： 设三角形的面积是S表示，底和高分别用a和h表示，那么 1ah. 三角形的面积＝底×高÷2 S＝a×h÷2 S ＝ 2 【随堂练习】 1、求下面图形中的对应量。（单位：cm） 2、画两个三角形,一个和图中三角形面积相等,另一个是图中三角形面积的2倍。 3、如图有一个等腰三角形,这个三角形的面积是多少? 4、如图，已知正方形的周长是50厘米，求阴影部分的面积。 5、正方形的面积是64平方分米，如图求阴影部分的面积。 6、已知三角形EBC的面积是105平方厘米，AD=13厘米，BC=15厘米，求阴影部分的面积。 7、如下图是两个正方形组成的，已知大正方形边长12分米，小正方形的边长8分米，求阴影部分的面积。 8、已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，试求出这个四边形的面积是多少？（单位：厘米） 参考答案 1、求下面图形中的对应量。（单位：cm） S△=12×8÷2 a=32×2÷8 S△=6×8÷2=24cm2 =48cm2 =8cm S△=9×10÷2=45cm2 S△=15×8÷2=60cm2 S△=14×8÷2=56cm2 a=45×2÷6=15cm h=60×2÷20=6cm 2、画两个三角形,一个和图中三角形面积相等,另一个是图中三角形面积的2倍。 3、如图有一个等腰三角形,这个三角形的面积是多少? 解：4×4÷2=8平方分米 答：这个三角形的面积是8平方分米。 二次函数中三角形面积问题 教案 教学目标： 1. 掌握在平面直角坐标系中求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法，会用割补法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形； 2. 会把三角形面积问题转化为线段问题，把线段问题转化为点的坐标问题； 3. 提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，规范答题； 4. 体会数形结合、转化化归、函数建模等数学思想在解题中的应用。 教学重点：求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法及其应用。 教学难点：理解如何进行割补，并会进行有效的割（或补），把一般位置的三角形转化为特 殊位置的三角形，会表示所割（或补）三角形的底或高。 教学过程： 一、课前预习： 1、知识与方法回顾： 在平面直角坐标系中，求下列特殊位置三角形的面积: 高底三角形面积公式：??= ?2 1 ABC S 应用条件：有一条边在坐标轴上或者平行坐标轴（特殊位置三角形）。 解题方法：直接法，即以在坐标轴上或平行坐标轴的边为底边，过另一个顶点作高，然后用 三角形面积公式直接进行求解。 2、基础训练： 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴相交于点)0,1(),0,3(B A -，与y 轴相交于点)3,0(C ，过点C 作x CD //轴交抛物线于点D 。 （1）求该抛物线的解析式； A B C D y x 图1 O C B A y O x y O x B A C y O x B A C y O x B A C （2）连接AC 、BC ，求ABC ?的面积； 注意事项：利用点的坐标求线段（底、高）长度时，要用大的减去小的，即在x 轴上或平行x 轴的线段长度等于右边点的横坐标减去左边点的横坐标，在y 轴上或平行y 轴的线段长度等于上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标。 （3）如图2，点E （-4，-5）是抛物线上一点，求CDE ?的面积。 解题基本思路：点（坐标）——线段（底、高）——面积 二、专题复习，能力提升： 1、知识归纳提升： 在平面直角坐标系中，求一般位置三角形的面积: =?ACP S ； =?ACP S ； =?ACP S ；=?ACP S ； 教师引导学生完成，展示学生成果。 归纳小结： ①应用条件：三角形的边都不在坐标轴上，也不平行坐标轴。 ②方法：割补法，即用割（或补）的方法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形（预 习中有边在坐标轴上或平行坐标轴的三角形），然后用直接法求两个（或几个）三角形面积之和（或差）。 ③ 关键：怎么割，如何补，才能把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形。 2、提升训练（应用）： （4）如图3，若点M 是抛物线的顶点，求ACM ?的面积。 A B C D y x 图2 F E O D A C P y x O A C P y x O D A C P y x O D A C P O y x 解析几何三角形面积问题答案 1、解: (Ⅰ)由题意知，曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆. ∴2,1,a c ==2 3b ∴= 故曲线C 的方程为： 2 2 14 3 x y + =. 3分 （Ⅱ）设直线l 与椭圆 2 2 14 3 x y + =交点1122(,),(,)A x y B x y , 联立方程22 3412 y x b x y =-+??+=?得22 784120x bx b -+-= 4分 因为2 48(7)0b ?=->，解得2 7b <，且2 12128412 ,7 7 b b x x x x -+= = 5分 点O 到直线l 的距离d = 6分 AB = = 9分 ∴12 AO B S ?=? = 10分 ≤ 当且仅当227b b =-即2 772 b = <时取到最大值. ∴A O B ? . 12分 2、解：（1）依题意可得???? ?-= -+= +, 12,12c a c a 解得.1,2==c a 从而.1,22 2 2 2 =-==c a b a 所求椭圆方程为 .12 2 2 =+x y …………………4分 （2）直线l 的方程为.1+=kx y 由?????=++=,12 , 12 2x y kx y 可得() .01222 2=-++kx x k 该方程的判别式△=()2 2 2 88244k k k +=++＞0恒成立. 设()(),,,,2211y x Q y x P 则.2 1,222 212 21+- =+-=+k x x k k x x ………………5分 可得().2 4 22 2121+= ++=+k x x k y y 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为.22 , 22 2?? ? ??++-k k k ………………6分 第3课时三角形面积的计算(2) 不夯实基础，难建成高楼。 1. 填一填。 ⑴求三角形的面积，必须知道三角形的( )和( )。⑵一个直角三角形，它的两条直角边分别是6cm和8cm，它的面积是( )cm2。 ⑶一个三角形的面积是30平方厘米，它的高是6厘米,底是( )厘米。 2．选一选。 (1)右图这个直角三角形的面积是( )。 A. 5×13÷2 B. 12×13÷2 C. 5×12÷2 (2)下图中，三角形ABC的面积( )三角形BCD的面积。 A. 大于 B. 等于 C. 小于 (3)一个三角形的底不变，高扩大2倍，它的面积( )。 A. 不充数 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 3. 计算下面三角形的面积。 (1) (2) (3) 4. 有一种三角形锦旗的底是25厘米，高是30厘米，做36面这样的锦旗至少需要多少平方厘米的丝绸？ 重点难点，一网打尽。 5. 一块三角形钢板的底边长24厘米，高15厘米，如果每平方厘米钢板重20克，这块钢板重多少千克？ 6. 做一块底是12米，高是8米的三角形广告牌，共用720元铁皮，平均每平方米铁皮多少元？ 7. 下列三角形的面积各是多少？你发现了什么规律？(每个小方格为边长1厘米的正方形。) 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 8. 请你在下面的方格纸上画出三个面积都是15平方厘米且形状不同的三角形。(每个小方格表示1平方厘米。) 第3课时 1. ⑴底高⑵24 ⑶10 2. (1)C (2)B (3)B 3. (1)16×20÷2＝160(平方厘米) (2)52×8÷2＝208(平方分米) (3)28×41÷2＝574(平方分米) 4. 25×30÷2×36＝13500(平方厘米) 5. 20×(24×15÷2)＝3600(克)＝(千克) 6. 720÷(12×8÷2)＝15(元) 7. 6平方厘米6平方厘米6平方厘米6平方厘米 等底等高的三角形的面积相等。 8. 略 2021年中考数学九年级复习微专题专项课时练： 三角形的面积（选择题）（一） 1．已知坐标平面内三点D（5，4），E（2，4），F（4，2），那么△DEF的面积为（）A．3 B．5 C．6 D．7 2．如图，在正方形的网格中，若小正方形的边长为1，AB、BC、CD位置如图所示，则△ABC的面积为（） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．在△ABC中，D是BC上的点，且BD：DC＝2：1，S△ACD＝12，那么S△ABC等于（） A．30 B．36 C．72 D．24 4．三角形ABC中，A（﹣1，0），B（5，0），C（2，5），则三角形ABC的面积为（）A．30 B．15 C．20 D．10 5．如图，在△ABC中，AD，CH分别是高线和角平分线，交点为E，已知CA＝4，DE＝1，则△ACE的面积等于（） A．8 B．6 C．4 D．2 6．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（）A．6：4：3 B．3：4：6 C．2：3：4 D．1：2：3 7．已知：a，b，c是△ABC的三边，且a：b：c＝4：5：6，则它们的对应高h a：h b：h c 的比是（） A．4：5：6 B．6：5：4 C．15：12：10 D．10：12：15 8．如图，求出四边形ABCD的面积（） A．16.5 B．18.5．C．17 D．18 9．能把三角形的面积两等分的线段是三角形的（） A．高B．中线C．角平分线D．以上都不对10．如图，是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积为（） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 11．如图，△ABC的面积是12cm2，高AD为3cm，则BC的长是（） A．8cm B．4cm C．9cm D．6cm 12．如图，已知点A（3，2），B（6，0），C是中点，则三角形AOC面积为（） A．3 B．5 C．6 D．4 13．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 14．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA 至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2， 解析几何中的与三角形面积相关的问题 类型 对应典例 椭圆中有关三角形的面积最值 典例1 抛物线中有关三角形的面积最值 典例2 椭圆中有关三角形的面积的取值范围 典例3 抛物线中有关三角形的面积的取值范围 典例4 椭圆中由三角形面积问题求参数值或范围 典例5 抛物线中由三角形面积问题求参数值或范围 典例6 椭圆中由三角形面积问题求直线方程 典例7 抛物线中由三角形面积问题求直线方程 典例8 【典例1】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2 2 ，且与抛物线x y =2交于M ，N 两点，OMN ?（O 为坐标原点）的面积为22 （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ?面积的最大值． 【解析】（1）椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线x y =2交于M ，N 两点， 可设(M x x ，(,)N x x -， ∵OMN ?的面积为22 ∴22x x =2x =，∴2)M ，(2,2)N ， 由已知得222222 242 1c a a b a b c ?=? ??+=??=+??? ，解得22a =2b =，2c =， ∴椭圆C 的方程为22 184 x y +=. （2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ，(2,B ，(2,C -，故 1 42 ABC ?=?=； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立方程22(2)18 4y k x x y =-???+=??，化简得()2222 218880k x k x k +-+-=， 则()()()2222 64421883210k k k k ?=-+-=+>， 2122821k x x k +=+，212288 21 k x x k -?=+， ||AB = = 22121k k +=+， 点O 到直线02=-- k y kx 的距离d = = ， 因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d = ， ∴1 ||22ABC S AB d ?= ?2211221k k ??+=? ?+?? = ∵ () () ()()22222 2 2 2211211k k k k k k k ++= ?? +++??() () 222211 4 41k k k k += +，又221 k k ≠+ ，所以等号不成立. ∴ ABC S ?=< 综上，ABC ?面积的最大值为 【典例2】已知抛物线()02:2>=p py x C ，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ， 解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)① 人教版初中数学三角形基础测试题含答案 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23 D ．12 【答案】D 【解析】 【分析】 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长． 【详解】 ∵AD 是△ABC 角平分线，CG ⊥AD 于F ， ∴△AGC 是等腰三角形， ∴AG=AC=3，GF=CF ， ∵AB=4，AC=3， ∴BG=1， ∵AE 是△ABC 中线， ∴BE=CE ， ∴EF 为△CBG 的中位线， ∴EF= 12BG=12 ， 故选：D ． 【点睛】 此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2．如图，点O 是ABC ?的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM CB =，AN AB =，若100ABC ∠=?，则MON ∠=（ ） A ．60? B ．70? C ．80? D ．100? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，连接OA ，OB ，OC ，进而求得BOC MOC ???，AOB AON ???，即∠CBO =∠CMO ，∠OBA =∠ONA ，根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数. 【详解】 如图，连接OA ，OB ，OC ， ∵点O 是ABC ?的内心， ∴BCO MCO ∠=∠， ∵CM =CB ，OC =OC ， ∴()BOC MOC SAS ???， ∴CBO CMO ∠=∠， 同理可得：AOB AON ???， ∴ABO ANO ∠=∠， ∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=?， ∴100CMO ANO ∠+∠=?， ∴180()80MON CMO ANO ∠=?-∠+∠=?， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键. 3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（ ） A ．60 B ．48 C ．24 D ．96 【答案】D 【解析】 【分析】 2018 年中考数学真题汇编 : 三角形 ( 填空 +选择 =50 题) 一、选择题 1.(2018山东滨州 )在直角三角形中，若勾为3，股为 4，则弦为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 A 2.(2018江苏宿迁 )如图，点 D 在△ABC 的边 AB 的延长线上， DE∥BC，若∠A＝35 °,∠C＝24 °,则∠D 的度数是（）。 A.24 ° B. 59° C. 60 D.69° 【答案】 B 3. 一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30 °方向，继续向南航行30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15 °方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保 留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里 D. 6.21海里 【答案】 B 4. 若实数 m 、 n 满足，且 m 、 n 恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长是（）。 A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】 B 5.在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30 °角的三角板的一条直角边和含45 °角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。 A.45 ° B.60° C.75° D.85° 【答案】 C 7. 在平面直角坐标系中，过点（1,2 ）作直线l，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是（）。 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 8. 如图，在平面直角坐标系中， ，， 的顶点 ，直线 在第一象限，点交 轴于点，若 ，的坐标分别为 与关于点 、 成中 心对称，则点的坐标为（）5.3三角形的面积(1)练习题及答案
中考数学专题复习三角形专题训练
解析几何范围最值问题(教师)详解
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