三角形的面积问题（人教A版）
一、单选题(共12道，每道8分)
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积S=2，则b等于( )
A. B.
C.25
D.5
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
2.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，△ABC的面积为，则( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
3.在△ABC中，，，，则其面积等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，
，则a等于( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
5.△ABC中，，，，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C.或
D.或
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
6.在△ABC中，已知，且，若△ABC的面积为，则角B的对边b等于( )
A.1
B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
7.已知△ABC的面积是30，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的值是( )
A. B.
C. D.不确定
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
8.在△ABC中，，，当△ABC的面积等于时，( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
9.已知a，b，c为△ABC三内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，，，则( )
A. B.
C.或
D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积为，A=60°，则a等于( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
11.在△ABC中，，，△ABC的面积为，则( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解三角形
第3课时三角形的面积(1) 不夯实基础，难建成高楼。 1. 填一填。 (1)两个完全一样的( )可以拼成一个平行四边形，因此一个( )的面积是所拼平行四边形面积的( )，平行四边形的底与所拼三角形的底( )，平行四边形的高与所拼三角形的高( )，所以三角形的面积＝( )。 (2)平行四边形的面积是和它等底等高的三角形面积的( )倍。 (3)一个三角形底是6厘米，高1.5厘米，它的面积是( )平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 2. 计算下面各三角形的面积。(单位：cm) 3. 判一判。(对的在括号内打“”，错的打“”。) (1)一个三角形的底和高都是5厘米，它的面积是25平方厘米。( ) (2)两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。( ) (3)两个面积相等的三角形，它们的底和高一定相等。( ) (4)两个同底等高的三角形，形状相同，面积相等。( ) (5)三角形的面积的大小与它的底和高有关，与它的形状和位置无关。( ) (6)一个三角形的底扩大5倍，高不变，面积也扩大5倍。( ) 4. 比一比，谁的面积大？ 我认为 ________________ ___
5. 计算三角形的面积。 底(分米) 16 25 19 44 高(分米) 12 18 14 32 面积(平方分米) 重点难点，一网打尽。 6. 填一填。 (1)三角形面积是23平方分米，高是4分米，底长是( )分米。 (2)一个三角形和一个平行四边形的面积相等，高也相等，已知平行四边形的底边长10厘米，三角形的底边长( )厘米。 7. 求图中阴影部分的面积。(单位：cm) 8. 一块三角形木板，底是26分米，比高少14分米。这块三角形木板的面积是多少平方分米？ 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 9. 将一块长为2.64米，宽为1.2米的三夹板(长方形)，裁成直角边分别是4.4分米和3.2分米的直角三角形，最多可以裁多少块？(不能拼凑。) 10. 一个三角形的底长6米，如果底边延长2米，那么面积就增加3平方米。原来三角形的面积是多少平方米？
三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为（） A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高（） A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（） A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（） A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE，AC=DF- B. AC=EF，BC=DF - C. AB=DE，BC=EF- D. ∠C=∠F，AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________． 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.
2019-2020 年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题 抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。 一、顶点在抛物线y=ax2 +bx+c 的三角形面积的一般情况有： （1）、以抛物线与x 轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为： S = |x 1-x 2 | · ||=··|| （2）、以抛物线与 x 轴、 y 轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是 抛物线与 x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y 轴上的截距 ( 原点与 y 轴交点构成的线段长 ) 的绝对值。其面积为： S =· |x1-x2|· |c|＝··|c| （3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵 活运用几何和代数的有关知识。 二、1．求内接于抛物线的三角形面积。 例1．已知抛物线的顶点 C（2，），它与 x 轴两交点 A、B 的横坐标是方程x2-4x+3=0 的两根，求 ABC的面积。 解：由方程 x2 -4x+3=0，得 x1=1, x 2=3, ∴AB=|x 2-x 1|=|3-1|=2. ∴ S ABC × × = 2= . 例 2．已知二次函数 y= x2+3x+2 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于D点，顶点为 C，求四边形 ACBD的面积。 解：如图 1，S 四边形ACBD=S ABC+S ABD
=×× | |+ ××|2|= . 例 3．如图：已知抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=2x B，抛物线与 y 轴相交于 C 点，求ABC的面积。 相交于A、 解：由 得点 A 的坐标为（ 1，2），点 B 的坐标为（ 3，6）；抛 物线与 y 轴交点 C 的坐标为 （ 0， 3）如图 2，由 A、B、C三点的坐标可知， AB= ＝2 ， BC= ＝3 ，AC= ＝。 2 2 2 ∵ AC +BC=AB， ∴ ABC为直角三角形，并且∠BCA=90， ∴ S ABC= ·× × 3 。 AC BC= =3 2．求抛物线的解析式 例4．已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B，其对称轴为直线 x=-2 ，顶点为 M，且 S AMB=8，求它的解析式。 解：∵对称轴为直线x=-2, ∴-=-2, ∴ b=4, ∴y=x 2+4x+c, ∵ S AMB ·· | |= · | |=8 ， = ∴c=0, ∴ y=x 2+4x. 例5．设二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，若AC=20， ∠ACB=90°， S ACB=150，求二次函数的解析式。
应用三角形的面积巧解竞赛题 三角形是几何中最基本的多边形。在求其它多边形问题时，经常把多边形问题化归成三角形 问题来求解。特别是三角形的面积，在解题中更是应用广泛。下面就举例说明。 一、知识点回顾： 三角形的面积公式： 三角形的面积等于底乘以其边上的高的一半。 性质： 1、等底同高的两个三角形，面积相等。 2、同底等高的两个三角形，面积相等。 3、等底等高的两个三角形，面积相等。 请同学们仔细体会解题过程中的“设而不求”的奇妙。 二、应用举例 例1、如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩 形ABCD 内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG ＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积为5cm 2 ， 则四边形PFCG 的面积为_________cm 2 ．08年浙江省初中数学竞赛初赛试题 解法1、如图2所示，连接EH 、HG 、GF 、FE ， 在矩形ABCD 中， 因为，DH=BF ，BE=DG ，∠B=∠D ， 所以，△BEF ≌△DGH ， 所以，EF=GH ， 同理可证，△AEH ≌△CFG ， 所以，EH=GF ， 所以，四边形EFGH 是平行四边形， 因为， S △AEH = 21×AE ×AH=21 ×2×3=3= S △CFG ， S △DGH =21×DH ×GH=2 1 ×4×1=2 =S △DGH ， 所以, S 四边形EFGH =24-2(3+2)=14,
所以，S △EPH + S △PGF =7， 因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2 ， 所以，S △EPH =2， 所以，S △PGF =5， 所以，S △PGF + S △CFG =5+3=8， 即四边形PFCG 的面积为8cm 2 。 解法2、如图3所示，连接PA 、PC ， 过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ， 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形， 设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ， 因为， S △PAH = 21×PM ×AH=21 ×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2 3 y ， 因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2 ， 所以,x+2 3 y=5， S △PFC = 21×FC ×PN=21 ×2×(4-x)= 4-x ， S △PCG =21×CG ×PR=21×3×(6-y)=9-2 3 y ， 因为，四边形PFCG 的面积= S △PFC+ S △PCG =4-x+9-2 3 y =13-（x+ 2 3 y ）=13-5=8， 即四边形PFCG 的面积为8cm 2 。 解法2、如图3所示，连接PA 、PC ， 过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ， 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形， 设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ， 因为， S △PAH = 21×PM ×AH=21 ×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2 3 y ，
3 2 2 ?例题示范 三角形面积（习题） 例1：如图，在四边形ABCD 中，AD =，BC=6，∠C=45°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 的面积． 解：如图，延长BA，CD 交于点 E ∵∠B=90°，∠C=45° ∴∠E=45° ∵∠ADC=90° ∴∠ADE=90° 在Rt△ADE 中，∠E=45°，AD = ∴DE = 在Rt△BCE 中，∠C=45°，BC=6 ∴BE=6 ∴S 四边形ABCD =S △BCE -S △ADE = 1 BC ?BE - 1 AD ?DE 2 2 = 1 ? 6? 6 - 1 ? 3 2 ? 3 2 2 2 2 2 = 63 4 3 2 2 3 2 2
1
2 ?巩固练习 1. 如图，在△ABC 中，∠A=150°，AB=AC=2，则△ABC 的面积 为． 第1 题图第2 题图 2. 如图，在△ABC 中，∠BAC=135°，AB=1，AC= 2 ，则 △ABC 的面积为． 3. 如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=135°，BC=2，则AB 的 长为． 第3 题图第4 题图 4.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，若BC=2，则阴影 部分的面积为． 5.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD 分为四个部分，已知△AOB 的面积为1 平方千米，△BOC 的面积为2 平方千米，△COD 的面积为3 平方千米．若公园陆地的总面积是6.92 平方千米，则人工湖（阴影部分）的面积是平方千米． 第5 题图第6 题图 6.如图，每个小方格都是边长为1 的正方形，△ABC 的顶点均 在小方格的格点上，在这个7×7 的方格纸中，找出格点P（不与点C 重合），使得S △ABP =S△ABC，这样的点P 共有个．
中考数学考点三角形讲解_考点解析 考前我们要精神饱满，身强力壮。每天坚持课外身体锻炼，及时消除疲劳，及时给大脑补氧;大家知道中考数学考点三角形吗?下面我们就给大家详细介绍一下吧!我们积累了一些经验，在此拿出来与大家分享下，请大家互相指正。 三角形 易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。 易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。最短距离的方法。 易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。 易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。边边角两个三角形不一定全等。 易错点5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。 易错点6：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。
易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。(2012年25题考点) 易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。 易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。 易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高(特别是钝角三角形)易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。 相信大家已经了解中考数学考点三角形了吧!感谢大家对我们网站的支持!
三角形的面积 教学目标 知识与技能：创设学生自主探索三角形面积计算方法的学习情境，通过实践操作、猜想验证、交流讨论等学习形式，使学生推导出三角形面积的计算公式，并能运用公式计算三角形的面积，解决一些实际生活中的面积计算问题。 问题解决与数学思考：通过操作、交流、观察、比较，使学生发现三角形的面积与长方形、平行四边形的面积之间的联系，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的空间观念。情感与态度：激发学生探索问题、发现问题的兴趣，培养学生的创新意识、数学应用意识和实践能力。 教学重难点 重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。 教学过程 一、情境引入 教师：老师给大家带来了一件你们非常熟悉的物品，请看，（教师慢慢打开它）是什么？ 教师：大家都知道，红领巾是国旗的一角，是少先队员的象征。那么其实在红领巾当中，也包含着许多数学知识，比如说，红领巾是什么形状？有关三角形你还记得哪些知识？ 选2-3个学生
教师：大家的记忆力真不错，三角形与“3”很有缘，三角形有三条边，三个顶点，三个角。每条边都能记作底，然后画出他们对应的高。还记得怎么画高吗？我们回顾一下。 教师：那如果老师想做这么一条红领巾，需要多大的布，该怎么办？学生：求它的面积 揭题 教师：今天老师就和大家一起来探讨研究三角形面积的计算。 二、探究新知 1、复习平行四边形的计算公式 教师：回忆一下，平行四边形的面积计算公式是如何推导出来的？ 学生回答 教师：先通过剪拼法把它转化成长方形，然后找到平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，最后利用长方形的面积公式推导出平行四边形的面积。其实这个过程我们可以简单地概括成转化、找关系、推导（一边板书）。 教师：我们在研究三角形的面积计算公式时，能不能从平行四边形面积的推导过程中得到一点启发，把三角形的面积转换成学过的图形的面积呢？ 2、四人小组动手合作 教师：请同学们拿出自己的三角形，拼拼看，能拼出什么图形？ 学生四人合作 学生汇报
三角形的面积 【知识要点】 三角形的性质: 1．三角形任意两边的和大于第三边。 2．三角形的三个内角和等于。 3．等腰三角形的两个底角相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形。 4．等边三角形的每个角都是。 三角形的面积计算公式： 设三角形的面积是S表示，底和高分别用a和h表示，那么 1ah. 三角形的面积＝底×高÷2 S＝a×h÷2 S ＝ 2 【随堂练习】 1、求下面图形中的对应量。（单位：cm）
2、画两个三角形,一个和图中三角形面积相等,另一个是图中三角形面积的2倍。 3、如图有一个等腰三角形,这个三角形的面积是多少? 4、如图，已知正方形的周长是50厘米，求阴影部分的面积。 5、正方形的面积是64平方分米，如图求阴影部分的面积。
6、已知三角形EBC的面积是105平方厘米，AD=13厘米，BC=15厘米，求阴影部分的面积。 7、如下图是两个正方形组成的，已知大正方形边长12分米，小正方形的边长8分米，求阴影部分的面积。 8、已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，试求出这个四边形的面积是多少？（单位：厘米）
参考答案 1、求下面图形中的对应量。（单位：cm） S△=12×8÷2 a=32×2÷8 S△=6×8÷2=24cm2 =48cm2 =8cm S△=9×10÷2=45cm2 S△=15×8÷2=60cm2 S△=14×8÷2=56cm2 a=45×2÷6=15cm h=60×2÷20=6cm 2、画两个三角形,一个和图中三角形面积相等,另一个是图中三角形面积的2倍。 3、如图有一个等腰三角形,这个三角形的面积是多少? 解：4×4÷2=8平方分米 答：这个三角形的面积是8平方分米。
二次函数中三角形面积问题 教案 教学目标： 1. 掌握在平面直角坐标系中求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法，会用割补法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形； 2. 会把三角形面积问题转化为线段问题，把线段问题转化为点的坐标问题； 3. 提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，规范答题； 4. 体会数形结合、转化化归、函数建模等数学思想在解题中的应用。 教学重点：求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法及其应用。 教学难点：理解如何进行割补，并会进行有效的割（或补），把一般位置的三角形转化为特 殊位置的三角形，会表示所割（或补）三角形的底或高。 教学过程： 一、课前预习： 1、知识与方法回顾： 在平面直角坐标系中，求下列特殊位置三角形的面积: 高底三角形面积公式：??= ?2 1 ABC S 应用条件：有一条边在坐标轴上或者平行坐标轴（特殊位置三角形）。 解题方法：直接法，即以在坐标轴上或平行坐标轴的边为底边，过另一个顶点作高，然后用 三角形面积公式直接进行求解。 2、基础训练： 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴相交于点)0,1(),0,3(B A -，与y 轴相交于点)3,0(C ，过点C 作x CD //轴交抛物线于点D 。 （1）求该抛物线的解析式； A B C D y x 图1 O C B A y O x y O x B A C y O x B A C y O x B A C
（2）连接AC 、BC ，求ABC ?的面积； 注意事项：利用点的坐标求线段（底、高）长度时，要用大的减去小的，即在x 轴上或平行x 轴的线段长度等于右边点的横坐标减去左边点的横坐标，在y 轴上或平行y 轴的线段长度等于上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标。 （3）如图2，点E （-4，-5）是抛物线上一点，求CDE ?的面积。 解题基本思路：点（坐标）——线段（底、高）——面积 二、专题复习，能力提升： 1、知识归纳提升： 在平面直角坐标系中，求一般位置三角形的面积: =?ACP S ； =?ACP S ； =?ACP S ；=?ACP S ； 教师引导学生完成，展示学生成果。 归纳小结： ①应用条件：三角形的边都不在坐标轴上，也不平行坐标轴。 ②方法：割补法，即用割（或补）的方法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形（预 习中有边在坐标轴上或平行坐标轴的三角形），然后用直接法求两个（或几个）三角形面积之和（或差）。 ③ 关键：怎么割，如何补，才能把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形。 2、提升训练（应用）： （4）如图3，若点M 是抛物线的顶点，求ACM ?的面积。 A B C D y x 图2 F E O D A C P y x O A C P y x O D A C P y x O D A C P O y x
新人教版小学数学五年级上册《三角形的面积》教学设计教学内容： 人教版五年级数学上册91-92页《三角形的面积》 教材分析: 三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容,也是学生今后学习的重要基础。《数学课程标准》中明确指出:利用方格纸或割补等方法,探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。为落实这一目标,这部分教材均是以探索活动的形式出现的,加强了动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，自己得出结论。学生在学习三角形面积的计算方法之前,已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程,当学生亲身经历了三角形面积计算公式的推导过程时,不仅可以借鉴前面“转化”的思想,而且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础。 教学目标： 知识与能力：运用已有的知识、转化的数学思想，推导出三角形的面积公式并能正确计算三角形的面积。 过程与方法：1、经历三角形面积公式的推导过程，培养学生分析、归纳、交流、推理的能力和实际操作的能力。 2、通过动手操作和对图形的观察、比较，培养学生的形象思维和逻辑思维能力，发展学生空间观念。 情感态度与价值观：1、通过小组合作、交流，培养学生爱学数学，乐学数学的情感。
2、在解决实际问题的过程中体验数学与生活的联系。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式 教学难点：动手操作推导三角形面积计算公式的过程 教学用具：教师准备课件与三角形教具 学生准备同样大小的直角三角形两个、锐角三角形两个、钝角三角形两个 设计说明： 三角形面积是在学生学习了平行四边形面积的基础上学习的。我主要采用了提出问题——寻找思路——实验探究——解决问题的思路进行课堂教学的。首先，我创设了学生熟悉的红领巾的制作这一生活情境引出问题，激发学生学习的兴趣。然后从学生已有的知识和经验出发，利用三角形与学生熟知的平行四边形之间的联系，把学习的主动权交给学生，让学生通过小组合作动手操作，自主探究，发现新知识，解决新问题，在获得知识的过程中发展了能力。 教学过程： 一、创设情境，导入课题 师：老师遇到了一个问题，同学们愿意帮助老师解决吗？ 生：愿意 师：好，我们学校想在一年级新生中发展50名少先队员，需要做50条红领巾，要买多少布料呢？（电脑出示：红领巾）要解决这个问题？必须知道什么呢？ 生：一条红领巾的大小
第3课时三角形面积的计算(2) 不夯实基础，难建成高楼。 1. 填一填。 ⑴求三角形的面积，必须知道三角形的( )和( )。⑵一个直角三角形，它的两条直角边分别是6cm和8cm，它的面积是( )cm2。 ⑶一个三角形的面积是30平方厘米，它的高是6厘米,底是( )厘米。 2．选一选。 (1)右图这个直角三角形的面积是( )。 A. 5×13÷2 B. 12×13÷2 C. 5×12÷2 (2)下图中，三角形ABC的面积( )三角形BCD的面积。 A. 大于 B. 等于 C. 小于 (3)一个三角形的底不变，高扩大2倍，它的面积( )。 A. 不充数 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 3. 计算下面三角形的面积。 (1)
(2) (3) 4. 有一种三角形锦旗的底是25厘米，高是30厘米，做36面这样的锦旗至少需要多少平方厘米的丝绸？ 重点难点，一网打尽。 5. 一块三角形钢板的底边长24厘米，高15厘米，如果每平方厘米钢板重20克，这块钢板重多少千克？
6. 做一块底是12米，高是8米的三角形广告牌，共用720元铁皮，平均每平方米铁皮多少元？ 7. 下列三角形的面积各是多少？你发现了什么规律？(每个小方格为边长1厘米的正方形。) 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 8. 请你在下面的方格纸上画出三个面积都是15平方厘米且形状不同的三角形。(每个小方格表示1平方厘米。)
第3课时 1. ⑴底高⑵24 ⑶10 2. (1)C (2)B (3)B 3. (1)16×20÷2＝160(平方厘米) (2)52×8÷2＝208(平方分米) (3)28×41÷2＝574(平方分米) 4. 25×30÷2×36＝13500(平方厘米) 5. 20×(24×15÷2)＝3600(克)＝(千克) 6. 720÷(12×8÷2)＝15(元) 7. 6平方厘米6平方厘米6平方厘米6平方厘米 等底等高的三角形的面积相等。 8. 略
2021年中考数学九年级复习微专题专项课时练： 三角形的面积（选择题）（一） 1．已知坐标平面内三点D（5，4），E（2，4），F（4，2），那么△DEF的面积为（）A．3 B．5 C．6 D．7 2．如图，在正方形的网格中，若小正方形的边长为1，AB、BC、CD位置如图所示，则△ABC的面积为（） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．在△ABC中，D是BC上的点，且BD：DC＝2：1，S△ACD＝12，那么S△ABC等于（） A．30 B．36 C．72 D．24 4．三角形ABC中，A（﹣1，0），B（5，0），C（2，5），则三角形ABC的面积为（）A．30 B．15 C．20 D．10 5．如图，在△ABC中，AD，CH分别是高线和角平分线，交点为E，已知CA＝4，DE＝1，则△ACE的面积等于（）
A．8 B．6 C．4 D．2 6．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（）A．6：4：3 B．3：4：6 C．2：3：4 D．1：2：3 7．已知：a，b，c是△ABC的三边，且a：b：c＝4：5：6，则它们的对应高h a：h b：h c 的比是（） A．4：5：6 B．6：5：4 C．15：12：10 D．10：12：15 8．如图，求出四边形ABCD的面积（） A．16.5 B．18.5．C．17 D．18 9．能把三角形的面积两等分的线段是三角形的（） A．高B．中线C．角平分线D．以上都不对10．如图，是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积为（）
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 11．如图，△ABC的面积是12cm2，高AD为3cm，则BC的长是（） A．8cm B．4cm C．9cm D．6cm 12．如图，已知点A（3，2），B（6，0），C是中点，则三角形AOC面积为（） A．3 B．5 C．6 D．4 13．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 14．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA 至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，
人教版五年级上册《三角形的面积》第一课时 一、课题名称： 《三角形的面积》第一课时 二、教学目标： 1、知识技能目标：运用已有的知识、转化的数学思想，推导出三角形的面积公式，并能正确计算三角形的面积。 2、过程与方法：通过三角形面积公式的推导，培养学生的合作、观察、分析、归纳、交流的能力和创新精神。 3、情感态度与价值观：通过对图形的观察、比较、培养学生的形象思维和逻辑思维能力，发展学生空间观念。 三、教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式 教学难点：理解三角形面积计算公式的推导过程 四、教学准备：教师准备课件 教具：同样大小的直角三角形两个、钝角三角形两个、锐角三角形两个、三角板一块、尺子。 五、教学过程设计： （一）创设情境，引入课题 裁缝店的李阿姨接到一笔订货单：东风小学要在一年级新生中发展150名少先队员，需要做150条红领巾，要买多少布料呢？这可难坏了李阿姨，同学们，你们能帮她解决这个问题吗？怎么解决？
那么，做一条红领巾必须知道什么？（面积） 红领巾是什么形状的？（三角形） （二）探究教学 1、复习平行四边形和长方形的面积公式。 2、三角形面积公式的推导 3、学生分小组进行实践操作 请同学们拿出准备的三角形，仿照我们推导平行四边形面积的方法，试着拼一拼，看能不能推导出三角形的面积公式。动手前，注意老师提出的这几个问题： 拼出的图形的面积你会算吗？ 拼出的图形与原来的三角形有什么联系？ 拼法一：用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，三角形的一条直角边（底）相当于长方形的长，另一条直角边（高）相当于长方形的宽，长方形的面积相当于三角形面积的两倍，因为长方形的面积=长×宽， 拼法二：两个完全一样的锐角三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，平行四边形的面积相当于三角形的2倍，平行四边形的面积=底×高。 所以由拼法一和二可知：三角形的面积=底×高÷2。 六、课堂总结：
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复 习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一 点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
人教版初中数学三角形基础测试题含答案 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23 D ．12 【答案】D 【解析】 【分析】 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长． 【详解】 ∵AD 是△ABC 角平分线，CG ⊥AD 于F ， ∴△AGC 是等腰三角形， ∴AG=AC=3，GF=CF ， ∵AB=4，AC=3， ∴BG=1， ∵AE 是△ABC 中线， ∴BE=CE ， ∴EF 为△CBG 的中位线， ∴EF= 12BG=12 ， 故选：D ． 【点睛】 此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2．如图，点O 是ABC ?的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM CB =，AN AB =，若100ABC ∠=?，则MON ∠=（ ）
A ．60? B ．70? C ．80? D ．100? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，连接OA ，OB ，OC ，进而求得BOC MOC ???，AOB AON ???，即∠CBO =∠CMO ，∠OBA =∠ONA ，根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数. 【详解】 如图，连接OA ，OB ，OC ， ∵点O 是ABC ?的内心， ∴BCO MCO ∠=∠， ∵CM =CB ，OC =OC ， ∴()BOC MOC SAS ???， ∴CBO CMO ∠=∠， 同理可得：AOB AON ???， ∴ABO ANO ∠=∠， ∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=?， ∴100CMO ANO ∠+∠=?， ∴180()80MON CMO ANO ∠=?-∠+∠=?， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键. 3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（ ） A ．60 B ．48 C ．24 D ．96 【答案】D 【解析】 【分析】
2018 年中考数学真题汇编 : 三角形 ( 填空 +选择 =50 题) 一、选择题 1.(2018山东滨州 )在直角三角形中，若勾为3，股为 4，则弦为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 A 2.(2018江苏宿迁 )如图，点 D 在△ABC 的边 AB 的延长线上， DE∥BC，若∠A＝35 °,∠C＝24 °,则∠D 的度数是（）。 A.24 ° B. 59° C. 60 D.69° 【答案】 B 3. 一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30 °方向，继续向南航行30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15 °方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保 留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里 D. 6.21海里 【答案】 B 4. 若实数 m 、 n 满足，且 m 、 n 恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长是（）。 A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】 B
5.在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30 °角的三角板的一条直角边和含45 °角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。 A.45 ° B.60° C.75° D.85° 【答案】 C 7. 在平面直角坐标系中，过点（1,2 ）作直线l，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是（）。 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 8. 如图，在平面直角坐标系中， ，， 的顶点 ，直线 在第一象限，点交 轴于点，若 ，的坐标分别为 与关于点 、 成中 心对称，则点的坐标为（）
第4课时三角形的面积(2) 不夯实基础，难建成高楼。 1. 计算下列图形的面积。(单位：cm) 2. 下面的说法对吗(对的打“”，错的打“”。) (1)两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。( ) (2)等底等高的两个三角形的面积一定相等。( ) (3)三角形的面积等于平行四边形面积的一半。( ) (4)一个三角形的底扩大到原来的2倍，高缩小到原来的一半，它的面积不变。( ) (5)面积是90平方米的三角形，底是18米，高是5米。( ) 3. 小明家到学校有1506.5米，邮局到中间马路的最近距离是210.6米，商店到中间马路的最近距离是158.6米。 (1)小明家到邮局和学校的这块三角形地的面积是多少平方米 (2)小明家到商店和学校的这块三角形地的面积是多少平方米
4. 下图中，三角形①、②、③的面积相等吗阴影部分的面积是多少(单位：cm) 5. 一块三角形的高粱地，底是150米，高是40米，共收高梁吨。平均每公顷的产量是多少吨 重点难点，一网打尽。 6. 如右图，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点。 (1)三角形FBC的面积是正方形面积的( )。 (2)三角形EBC的面积是正方形面积的( )。 (3)三角形FEC的面积是正方形面积的( )。 7. 一块直角三角形草地，三条边的长分别是3米、4米和5米，这块草地斜边上的高是多少米 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 8. 下图大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分的面积。
第4课时 1. 6 cm 2 9.6 cm 2 15 cm 2 2. (1) (2) (3) (4) (5) 3. 略 4. 相等 50.4 cm 2 5. 20.6吨 6. (1)12 (2)14 (3)14 7. 2.4米 8. 平方厘米
2016中考数学复习-二次函数与三角形的面积问题
二次函数与三角形的面积问题 1.运用 2铅垂高 水平宽? = s； 2.运用y； 3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。 类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行 例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求: （1）抛物线解析式； （2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C； （3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ ABE、△OCD、△OCE。
一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法 求出图形的面积。 训练1.如图所示，已知抛物线() 02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于 两点A ()0,1 x ， B ()0,2 x ()2 1 x x <，与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线 顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 （1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。 类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀） 关于2 铅垂高 水平宽?= ? S 的知识点：如图1，过△ABC 的 三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”. x A B O C y B 铅垂高 水平宽 h a 图1
我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1= ?，即 三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？ 例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ； 铅垂高D C y y CD -=，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB 的上方还是下方? 图-2 x C O y A B D 1 1
正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学内容解析 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材内容 本节内容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学内容的知识类型 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择
二次函数与三角形的面积问题 1.运用2 铅垂高 水平宽?= s ； 2.运用y ； 3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。 类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行 例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式； （2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ； （3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适 方法求出图形的面积。 训练1.如图所示，已知抛物线()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <， 与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 （1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。 类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀） 关于2 铅垂高 水平宽?= ?S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的 三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1 =?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？ 例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；(3)是否存在一点P ，使S △P AB = 8 9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ； x A B O C y P B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 图-2 x C O y A B D 1 1