11.2.1三角形的内角和
基础知识 选择题
1.下列说法正确的是（）
A.三角形的内角中最多有一个锐角；
B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角；
D.三角形的内角都大于60° 答案：C
2. （2012广东省梅州市）如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △ ABC 纸片，
点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A 重合，若 / A = 75^，贝1 + / 2=（ ）
答案：A
3. （2012山东省滨州市）一个三角形的三个内角的度数之比为
：：7，则这个
三角形一定是（
（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形
（C ）锐角三角形
（D ）钝
角 三角形 答案：D
△ ABC 的角平分线，贝U ZCAD 的度数为（
）
答案：A
5. （2012福建省漳州市）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中 /
的度数是（ ） （A ） 45° （B ） 60°
（C ） 75° （D 90°
答案：C
四川省绵阳市）如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后,
7. （2012 广西来宾市）如图，在厶 ABC 中,已知/ A = 80°, / B =
60°, DE// BC ， 那么/ CED 的大小是 （ ）
答案：D
(A) 150°
(B) 210°
° °
(C ) 105 (D ) 75 4. (2012 云南省昆明市）如图，在△ ABC 中，/ B 67。，/ C
33°, AD 是
(A ) 40° (B ) 45° ( C ) 50
(D )
55
235 D .与虚线的位置有关
A. 40°
B. 60
C. 120°
D. 140
6. (2012 =( )
8. （2012山东省聊城市）将一副三角板按如图所示摆放，图中的度数是
（A）75°（B）90°（C）105°（D）120°
答案：C
9.如图，ABCD是封闭折线，则/ A+Z B+Z C+Z D+/E为（）度.
A. 180 B . 270 C. 360 D . 540
答案：A
10.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（）
A. 100°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
答案：C
11.如图，Rt△ ABC中, Z ACB=90 , Z A=50° ,将其折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD贝UZ A DB=（）
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10°
答案：D
12.具备下列条件的△ ABC中，不是直角三角形的是（）
A.ZA- Z B=ZC
B.Z A=3/ C,Z B=2ZC
C.Z A=Z B=2ZC
D.Z A=Z B=1 Z C
2
答案：C
13.如图，在三角形ABC中，已知Z ABC=70oZACB=60o,BElAC于E,CF丄AB于F,H 是BE和CF的交点，则Z EHF=（）
100o B.110o C.120o D.130o
答案：D
14.如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图
中Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 6 的度数和是（）
A. 180° B . 270° C . 360° D .无法确定答案：C
填空题
三角形中，若最大内角等于最小内角的2倍，最大内角又比另一个内角大20° ,则此三角形的最小内角的度数是________ .
答案：40°
2.在厶ABC中,若Z A+Z B=Z C,则此三角形为______ 角形；若Z A+Z B 答案：直角；钝角 3.在厶ABC中, Z B, ZC的平分线交于点O,若Z BOC=132 ,则Z A= ______ 度. 答案：84° 4.如图所示,已知Z仁20° , Z 2=25° , Z A=35 ,则Z BDC的度数为_____ . 答案：80° 5.（2013?上海）当三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三 8. （2012山东省聊城市）将一副三角板按如图所示摆放，图中的度数是角形为“特征三角形”，其中a称为“特征角”.如果一 个“特征三角形”的“特征角”为100。，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 答案：30o 6.（2012内蒙古呼和浩特市）如图，在△ ABC中，/ B 47°，三角形的外角 / DAC和/ ACF的平分线交于点E，则/ AEC = ________________ : 答案：66.5。 7.（2012江苏省徐州市）将一副直角三角板如图放置：若AE// BC，贝U / AFD ______ 0 : 答案：75。 8.女口图，AB// CD, / A=32O，/ AEB=100 ,则/ C 的度数是_______________ 度: 答案：48o 9.△ ABC 中，/ A=Z B+Z C，则 / A= _________ 度： 答案：90 10 :在厶ABC 中，已知Z A=1 Z B=1 Z C， 则三角形的形状是三角 2 3 形： 答案：直角三角形 11 :已知△ ABC 中，Z A=2 (Z B+Z C)，则Z A的度数为度： 答案：120 8 :如图，在△ ABC中，/ 1 = Z 2，Z 3= Z 4，Z BOC=120，则Z A= _________ . 答案：60o 12 .如图，AD AE分别是△ ABC的高和角平分线，Z B=58°，Z C=36， Z EAD= 答案：11o 13.如图所示,在厶ABC中, Z B=Z C,FD丄BC,DEL AB,Z AFD=150 ,贝U Z EDF= _______ . 答案：60° 14.如图，Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F= . 答案：360 ° 解答题 1.在厶ABC中,已知ZB- Z A=5 , ZC- Z B=20° ,求三角形各内角的度数 设Z A=x ,则Z B=(x+5)° , Z C=(x+25)° 可列方程 X+x+5+x+25=180 解得：x=50° 所以Z A=50° , Z B=55 , Z C=75 2.已知：女口图，AB// CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,/ BEF的平分线与/ DFE的平分线相交于点P.求证：/ P=90 . 证明：T AB / CD, /?/ BEF+/ DFE=180 . 又T / BEF的平分线与/ DFE的平分线相交于点P, /?/ PEF=L / BEF, / PFE=1 / DFE, 2 2 /?/ PEF+/ PFE=1( / BEF+/ DFE) =90°. 2 T/ PEF+/ PFE+/ P=180° , ???/ P=90° . 3.如图，△ ABC中, CD是/ ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若/ A=40° , / B=72° . (1)求/ DCE的度数； (2)试写出/ DCE与/ A、/ B的之间的关系式.(不必证明) 答案：(1)在/ABC中,/ ACB=180o/A- / B=68o, T CD是/ ACB的角平分线 ???/ BCD= / ACB=34o 2 T CEL AB,/ B=72o ???/ BCE=18o ???/ DCE/ BCD / BCE=34o18o=16o. (2) / DCE=L( /B- / A). 2 4.如图，已知在三角形ABC中，/ C=/ ABC=2/ A, BD是AC边上的高，求/ DBC的度数. 解: T/ C=/ ABC=2/ A, ???/ C+/ ABC+/ A=5 / A=180° , ???/ A=36° . 则/ C=/ ABC=2/ A=72° . 又BD是AC边上的高, 贝U/ DBC=90 - / C=18 . 5.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C. △ ABC中,/ A=40° ,求/ XBA+/ XCA 的度数? 解：T/ A=40° , ???/ ABC+/ ACB=180 -40 ° =1400, T/ X=90° , ???/ XBC+/ XCB=180 -90 ° =90° , ???/ XBA+/ XCA= ( / ABC+Z ACE) - ( / XBC+/ XCB =1400 -90 ° =50° . 6.如图，△ ABC中，/ ABC / ACB的平分线相交于点O. (1)若/ ABC=45O,Z ACB=55°,则/ BOC 的度数是____________________ ; 2)若/ A=80°,求/ BOC的度数； 2 (3) 若/ A=a , / BOC 节，请猜想a 与B 之间的数量关系，并说明 理由? 解：(1) v Z ABC 和/ ACB 的平分线BD , CE 相交于点O, 1 1 ???Z DBC= Z ABC, Z ECB= Z ACB,又 Z ABC=45°, Z ACB=55°, 2 2 ? Z DBC=22.5 ° , Z ECB=27.5 ° , ? Z BOC=180 - Z DBC-Z ECB=180 -22.5 ° -27.5 ° =130 ° , 故答案为：130 ° ; (2) vZ A=80°, ? Z ABC+Z ACB=180 -80 ° =100 ° , 又Z ABC 和Z ACB 的平分线BD, CE 相交 于点O, 1 1 ? Z DBC= Z ABC, Z ECB= Z ACB, 2 2 1 ? Z DBC+Z ECB= (Z ABC+Z ACB) =50°, 2 则 Z BOC=180 - ( Z DBC+Z ECB) =180° -50 ° =130 ° ; 1 (3) B =90+ — a , 2 理由如下：v Z ABC Z ACB 的平分线相交于点O, 1 1 ? Z OBC= Z ABC Z 0CB= Z ACB, 2 2 1 1 1 1 ? Z OBC+Z 0CB= Z ABC+ Z ACB= ( 180° - a) =90° - a, 2 2 2 2 1 1 ? B =180° - ( Z OBC+Z 0CB) =180° - ( 90° - a) =90°+ a. 2 2 如图，在△ ABC 中,Z B=40°, Z C=60°, AD 丄 BC 于 D , AE 平分 Z BAC 交BC 于 E , D F 丄AE 于F ,求Z ADF 的度数. 解：vZ B=40 °, Z C=60°, ? Z BAC=80°. v AE 平分Z BAC 交BC 于E , 1 ?Z BAE= Z BAC=40°, ? Z AED=Z B+Z BAE=80°v AD丄BC, 2 ???/ DAE=90 -80° =10° ??? DF丄AE, ???/ ADF=90° -10 ° =80. 能力提升 1.如图，已知：/ 仁/ 2, / 3= Z 4, / C=32 Z D=28° ,求Z P的度数 答案： ??/ AEDM BEP ??/ 1+Z D=Z 3+/P ??ZD-/ P=Z3 - Z1 ??/ AFPZ BFC ?? Z 2+Z P=Z 4+ZC ?? ZP- Z C=Z4- Z2 ??Z 仁Z 2, Z 3=Z 4 ??ZD-Z P=ZP- ZC ???Z P=1 ( Z C+Z D)=30o 2 2.如图所示，将厶ABC沿EF折叠，使点C落到点C处，试探求Z 1, Z2与ZC的关系. 解:vZ 1= 180° -2Z CEF,Z 2=180° -2Z CFE, ?Z 1+Z 2=360° -2( Z CEF+ Z CFE) =360° -2(180 ° - Z C) =360° -360° +2Z C=2/ C. 将一块直角三角板DEF放置在△ ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C. (1)女口图1 , 当Z A=45 时,Z ABC+Z ACB= 度, Z DBC+Z DCB= 度；(2)如图2,改变直角三角板DEF的位置，使该三角板的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C,那么Z ABD+Z ACD的大小是否发生变化？若变化，请举例说明；若没有变化，请探究Z ABD+Z ACD与Z A的关系. 解：(1)在厶ABC 中，vZ A=45 , ?Z ABC+Z ACB=180 -45° =135°, 在厶DBC中,v Z DBC=90 , ?Z DBC+Z DCB=180 -90° =90°; 故答案135 , 90. (2)不变.理由如下： v 90° + ( Z ABD+Z ACD) +Z A=180° , ?( Z ABD+Z ACD +Z A=90° , ?Z ABD+Z ACD=90 - Z A. 11.2.2三角形的外角 基础知识 一、选择题 1.(2013?襄阳)如图，在△ ABC中, D是BC延长线上一点，Z B=40° , Z ACD=120 , 则ZA等于( ) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 答案：C 2. （2013?湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中/ C=90，/ B=45，/ E=30° ,则/ BFD的度数是（）A. 15° B . 25° C . 30° D . 10° 答案：A 3.设a , B , 丫是某三角形的三个内角,则a + B , B +Y , a + 丫中（） A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D. 三个都可能是锐角 答案：C 4.（2012江苏省南通市）如图，△ ABC中, / C= 70°，若沿图中虚线截去/ C,则/ 1 + /2 等于（） A. 360° B . 250° C . 180° D . 140° 答案：B 5.已知△ ABC （1）如图1,若P点是/ ABC和/ ACB的角平分线的交点, 1 则/ P=90° + / A; 2 （2）如图2，若P点是/ ABC和外角/ ACE的角平分线的交点，贝U / P=90° - / A; （3）如图3，若P点是外角/ CBF和/BCE的角平分线的交点，贝U 1 / P=90° - / A. 2 上述说法正确的个数是（） A. 0个B . 1个C . 2个D . 3个 答案：C 6.（2012?漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中/a 的 度数是（） A. 45° B . 60° C . 75° D . 90° 答案：C 7.如图，Z BDC=98，Z r C=38 , Z B=23° ,ZA的度数是（） A. 61° B . 60° C .37° D .39° 答案：C 8.如图，在Rt△ ADB 中, Z D=90 ,C为AD上一点，则x可能是（A. 10° B . 20° C .30° D .40° 答案：B 9.如图, Z A=34O , ,Z B=45 , Z :C=36，则Z DFE的度数为（ A. 120°B . 115°C . 110° D. 105° 答案：B 10.如图，/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+/F 的度数为（） A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 答案：B 11.如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE勺外部时，则ZA 与Z1和Z2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（） A.Z A=Z1- Z2 B . 2Z A=Z1 - Z2 C. 3Z A=2Z1- Z2 D . 3Z A=2(Z1- Z2) 答案：B 12.如图，则Z A+Z B+Z C+Z D+Z E=( ) A. 90 B . 180 C . 200 D . 360 答案：B 13. 如图，BD CD分别平分Z ABC和Z ACE Z A=40°，则ZD的度数是( ) A. 20° B . 30° C . 40° D . 60° 答案：A 14.如图，等边三角形ABC P为BC上一点，且Z 1=Z2,则Z3为（) A. 50° B . 60° C.75 °D .无法确定 答案：B 二、填空题 2.如图，已知△ ABC中, Z ABC和外角Z ACE的平分线相交于点D,若Z D=4（J, 则 Z BAC的度数为. 1.如图，BP、CP是任意△ ABC中/ B / C的角平分线，可知 1 / BPC=90 + - / A,把图中的厶ABC变成图中的四边形ABCD BP, CP仍 2 然是/ B, ZC的平分线，猜想/ BPC与/ A / D的数量关系是________________ 答案：/ BPC=丄（/ BAD# ADC . 2 6.已知：如图，在直角坐标系中，点A, B分别是x轴，y轴上的任意两点，BE是/ ABy的平分线，BE的反向延长线与/ OAB的角平分线交于点C，则/ ACB= . 答案：45° 三、解答题 4.下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：| 探究1:如图（1），在△ ABC中，0是/ ABC与/ ACB的平分线B0和CO 的交点，通过分析发现：/ BOC=90 + 1/ A （不要求证明）. 2 探究2:如图（2）中，O是/ ABC与外角/ ACD的平分线BO和CO的交点，试分析/ BOC与/ A有怎样的数量关系？请说明理由. 探究3:如图（3）中，O是外角/ DBC与外角/ ECB的平分线BO和CO 的交点，则/ BOC与/ A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）.结论： 解：（1）探究2结论：/ BOC=1/ A, 2 理由如下： ??? BO和CO分别是/ ABC和/ ACD的角平分线, ???/ 1= 1/ ABC / 2= 1/ ACD 2 2 又??? / ACD是厶ABC的一外角, ???/ ACD# A+Z ABC ???/2= 1（Z A+Z ABC =丄# A+Z 1, 2 2 ???# 2是厶BOC的一外角, ???Z BOCZ 2 - Z 1= 1 Z A+Zl- Z 1= 1 Z A; 2 2 ⑵探究3结论Z BOC=90 - 1 Z A. 2
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