第周第学时教案授课教师：贾其鑫
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第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量
定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()
y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为
∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞
→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函
数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作
∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞
→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有
|f (x )|>M .
正无穷大与负无穷大:
+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )
( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1
1lim 1x x . 证 因为?M >0, ?M 1=
δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|
, 所以∞=-→1
1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|
1|1|11|
, 只要M x 1|1|<-.
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:
如果∞=→)(lim 0
x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.
例如, 直线x =1是函数1
1-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)
在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,
则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.
简要证明:
如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ?δ>0, 当
0<|x -0x |<δ时,
有M x f 1|)(|=
<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|
, 所以)
(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε
1
=M , ?δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)
(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:
如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则?ε >0, ?δ>0,
当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则?M >0, ?δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,
有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).
1.3.3无穷小量的性质
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，
性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
例：求01lim sin x x x
→ 1.3.4无穷小量的阶（阶：理解为无穷小量趋近于零的速度） 定义1.14：设,αβ是同一变化过程中的两个无穷小量
如果lim 0βα
=，就说β是比α高阶的无穷小量，记作0()βα=
如果lim
βα
=∞，就说β是比α低阶的无穷小量， 如果lim 0c βα
=≠，就说β是比α同阶的无穷小量， 如果lim 0,0k c k βα
=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小量， 如果lim 1βα=，就说β是比α等价无穷小量，记作αβ:
补充：常见的等价无穷小量 当0x →时
sin ~x x sin ~arc x x tan ~x x tan ~arc x x
(1)~lin x x + -1~x
e x 21(1cos )~2x x - 11(1)~n x x n +
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第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 1 1<-， 也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 1 1<-时，有： E x >-11。 定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。 如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别； 例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法
若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时 必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。 ∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。 4.无穷大运算的结论： (1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。 二、无穷小量： 1.概念： 定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。 例如：021lim =∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 n n y 21 =是无穷小量。 注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。 2.两个重要结论： 结论1 定理2.9 A y =lim ，?α+=A y ，0lim =α。 例如： ?56lim =+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴65 6lim =+∞→x x x 。 结论2 定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，?0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α?0lim =αC 。 例如：?1 sin lim 0=→x x x 0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01 sin lim 0=→x x x 。 三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，? 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα?∞=α 1 lim 。 例如：∞=+∞ →x x e lim ，? 01 lim =+∞→x x e 。 注 无穷大、无穷小与极限过程有关。 四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念： 定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，α β lim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim =α β ，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；
§５ 无穷小量与无穷大量 教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。 教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞ =. 我们称之为无穷小数 列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如： limsin 0,x x →= 20 lim 0,x x →= 我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。 一、无穷小量 1．定义１：设f 在某0 0()U x 内有定义。若0 lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。记作： 0()0(1)()f x x x =→. （类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x + - →→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。 例：(1,2,),sin ,1cos k x k x x =- 都是当0x →时的无穷小量；是当1x - →时的无穷小量； 21sin , x x x 是x →∞时的无穷小量。 2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念 定义２（有界量）若函数g 在某0 0()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作： 0()(1)()g x O x x =→. 例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1 sin x 是当0x →时的有界量，即1 sin (1)(0) O x x =→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。 （２）性质 性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。
§５ 无穷小量与无穷大量 教学目的 ：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。 教学要求 ：作为函数极限的特殊情形， 要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征： lim a n 0 . 我们称之为无穷小数 n 列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如： limsin x 0, lim x 2 0,L x 0 x 0 我们给这类函数一个名称——“无穷小量” 。 既然有“无穷小量” ，与之对应的也应有“无穷大量” ，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量 ” 有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。 一、无穷小量 1．定义１ ：设 f 在某 U 0 (x 0 ) 内有定义。若 lim f ( x) 0 ，则称 f 为当 x x 0 时的无穷小量。记作： x x 0 f (x) 0(1)(x x 0 ) . （类似地可以定义当 x x 0 , x x 0 , x , x , x 时的无穷小量） 。 例： x k ( k 1,2, ),sin x ,1 cos x 都是当 x 0 时的无穷小量； 1 x 是当 x 1 时的无穷小量； L 1 sin x , 是 x 时的无穷小量。 x 2 x 2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念 定义２ （有界量 ）若函数 g 在某 U 0 (x 0 ) 内有界，则称 g 为当 x x 0 时的有界量，记作： g( x) O (1)(x x 0 ) . 例如： sin x 是当 x 时的有界量，即 sin x O (1)(x ) ; sin 1 是当 x 0 时的有界量，即 1 x O(1)(x 0) . sin x 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性） ，即若 f (x) 0(1)(x x 0 ) ，则 f ( x) O (1)(x x 0 ) . 区别 ：“ 有界量 ”与“ 有界函数 ”。一般在谈到函数 f 是有界函数或函数 f 是有界的，意味着存在Ｍ >０， f 在定义域内每一点 x ，都有 | f (x) | M 。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关” ，是在某点 的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。 （２）性质 性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。
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第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量 定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1() y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函 数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有 |f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大: +∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim ) ( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1 1lim 1x x . 证 因为?M >0, ?M 1= δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11| , 所以∞=-→1 1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-| 1|1|11| , 只要M x 1|1|<-.
§1.3 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量与无穷大量的概念 在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量。例单摆离开铅直位置并摆动, 由于受到空气阻力和机械摩擦力作用, 它的振幅随时间增加而逐渐减少并趋近于零; 又如在电容器放电时, 电压也是随时间的增加而逐渐减少趋近于零. 还有一些变量在变化过程中, 绝对值无限增大. 下面我们给出这两种变量的定义: 【定义1】如果lim ()0x X f x →=，则称函数()f x 是当x X →时的无穷小量，简称无穷小． 若lim ()x X f x →=∞，则称()f x 为当x X →时的无穷大量，简称无穷大． 也就是说, 无穷小是以0为极限的函数,无穷大是绝对值无限增大的函数. 例如, 当0x →时，2 ,sin x x , 当1x →时，2(1),ln x x -是无穷小,当x →∞时， 1x 是无穷小. 当0x →时，1x 是无穷大, 当x →∞时，2 x 是无穷大. “x X →”表示自变量的某个变化过程，可以是“x →∞、x →-∞、x →+∞、 0x x →、0x x -→、0x x +→”中的任何一种． 在自变量的同一变化过程中的无穷小具有如下性质: 【性质1】有限个无穷小的代数和是无穷小. 【性质2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 由以上两个性质立得以下两性质: 【性质3】常数与无穷小的乘积是无穷小. 【性质4】有限个无穷小的乘积是无穷小.
【例1】求 0 1lim sin .x x x → 【分析】当0x →时, 1x →∞, 1 sin x 的取值在区间[1,1]-上波动, 无极限, 不能用积的极限法则计算, 应考虑无穷小的性质. 【解】当0x →时，x 是无穷小量, 又因为1 sin 1x ≤，所以1sin x 是有界变量； ．根据性质2有0 1 lim sin 0.x x x →= 二、无穷大量与无穷小量的关系 无穷小与无穷大有如下关系: 【定理1】在自变量的同一变化过程中, 如果()f x 为无穷大, 则 1 () f x 为无穷小；反之, 如果()f x 为无穷小, 且()0f x ≠, 则 1 () f x 为无穷大. 简言之, 同一过程中的无穷大的倒数为无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大. 【例2】求 1 1 lim 1 x x x →+-. 【解】当1x →时, 10x -→, 12x +→, 不能用商的极限法则. 考虑其倒数的极限, 有1 1lim 01x x x →-=+, 即当1x →时, 11x x -+是无穷小, 由定理1， 1 1 x x +-是无穷大, 因此 1 1 lim 1 x x x →+=∞-. 三、无穷小量的比较 我们通常用速度来描述及比较物体运动的快慢, 那么, 怎样描述及比较无穷小量收敛速度的快慢呢? 例如，当0x →时，3x 、2x 、2 x 都是无穷小，而它们的比值的极限有各种不同情况： 2200003333lim lim ,lim 0,lim 2223x x x x x x x x x x →→→→====∞
无穷小量与无穷大量之间关系的应用 【摘要】结合教学中的体会，从无穷小量与无穷大量之间的相互关系入手，进一步认识无穷小量与无穷大量.学会利用二者之间的关系，解决一些实际问题，达到提高教学质量的目的. 【关键词】无穷大量；无穷小量 【基金项目】中国矿业大学2012年青年教师校级教学改革资助项目（2001245）. 一、前言 不论是在《高等数学》还是在《数学分析》中，都把无穷小量与无穷大量当作重点内容介绍，这是因为此部分内容为后续课程的学习提供了基础，例如用等价无穷小替换求极限、判定级数的收敛性等.从教材的编排上看，《高等数学》和《数学分析》中都是先讲无穷小量，后讲无穷大量.但是对无穷的概念的认识过程看，人类是先认识无穷大，后认识无穷小.所以在文献[1]中，作者按照人们认识无穷的进程，提出了自己的观点，认为先认识清楚无穷大，再认识无穷小.教材中这样安排，主要都是考虑教学的目的. 相对于无穷小与无穷大的比较，一般的教材中都讲无穷小的比较，在求极限时可以用等价无穷小代替等.在文献[2]
中，作者给出了无穷大的比较.在求极限的过程中，同样可以用等价无穷大相互之间替换求函数的极限.在文献[3]中，作者阐述了无穷小的哲学问题，指出了人们对无穷小认识的一些错误，提出了正确的观点，证明了认识无穷小的过程是符合实践――认识――再实践――再认识的自然辩证法. 从教科书和一些文献中，我们能很清楚地认识无穷大量和无穷小量及其性质，也能解决一些实际问题.但我们不能把二者割裂开来独立地去认识.现有的教材中只轻描淡写地说无穷大量和无穷小量符合倒数关系，先讲无穷小量，无穷大量的所有结论利用二者之间的倒数关系可以得到.这就使得学生产生一种误解，认为认识了无穷小量，就等于认识了无穷大量，而不会利用二者之间的关系灵活解决实际问题.本论文正是从解决上述问题出发，利用无穷大量和无穷小量之间的关系进一步认识二者，从而能更好地解决在实际应用中的一些问题.目的是改正教学过程中出现的错误和打消学生的疑惑，提高教学质量，这也符合人们认识自然的实践、认识、再实践、再认识的自然辩证法.
§1-3 无穷小量和无穷大量 牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当 时说的“无穷小数”由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为．．．0的变量．．． ，即称变量y 为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y 小于预先给出的任何正数。例如， 数列1,) n n →∞和当0x →时的函数,sin ,tan n x x x 等 都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量 [0)(≡x α是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（∞→n 或x →?）中的无穷小量就简记成)1(o [读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o ”是牛顿当初用过的记号.定理1-1→? =x f x C lim ()??1()()()f x C o x =+→?. (充分必要条件) 特别， 函数()f x 在点c 连续??()()(1)()f x f c o x c =+→（※） 证若lim ()x f x C →?=，则lim[()]0x f x C →? -=，即 ()(1)()-=→?f x C o x 或 ()(1)()f x C o x =+→? 反之，若()(1)()f x C o x =+→?，则 特别，当函数)(x f 在点c 连续时，因为lim ()()x c f x f c →=，所以有结论(※).例如，当x c →时， (1)=+n n x c o ， sin sin (1)=+x c o ， cos cos (1)=+x c o 1.无穷小量的运算规则利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若)1(o 是某一个极限过程(n →∞或x →?)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有⑴11()()O o o ?[其中O 是有界变量（*），特别它可以是常数]； ⑵111()()()o o o ±=，111()()()o o o ?=. 它们与常量的运算规则是不同的．．．．．．．．．．．．．． ！ 2.无穷小量的比较在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量α看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量β与基本无穷小量α相比较.若有极限 （*） 记号O 读作“大欧”，也不能读作“零”。
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 543 32-+, (x →0，x →∞)； (2) u (x ) = x x x x 524 3 23+- (x →0，x →∞)； (3) u (x ) = x 3 + x 2 3 (x →0+，x →+∞)； (4) u (x ) = x x x ++ (x →0+，x →+∞)； (5) u (x ) = 13+x - 123 +x (x →0，x →+∞)； (6) u (x ) = x 2 1+ - x (x →+∞)； (7) u (x ) = - 3 2 x (x →0+)； (8) u (x ) = 1+x x - e 2x (x →0+)； (9) u (x ) = ln cos x - arc tan x 2 (x →0)； (10) u (x ) = x tan 1+ - 1-sin x (x →0)。 解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。 （2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～ ) (3 1∞→x x 。 （3）)(x u ～)0(3 2 +→x x ；)(x u ～)(2 3 +∞→x x 。 （4）)(x u ～)0(81 +→x x ；) (x u ～)(21 +∞→x x 。 （5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～ )(321 +∞→x x 。 （6）)(x u ～ )(2 11 +∞→-x x 。 （7）)(x u ～)0(21 +→x x 。 （8）)(x u ～)0(2+→-x x 。
第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 11<-， 也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 11<-时，有：E x >-1 1 。 定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。 如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+ →x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别； 例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(, ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠ 时，)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法 若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时
§5 无穷小量与无穷大量的比较 先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． 考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ， 这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。 定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ， 使得当n N >时， 有 0?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α， 这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更 高阶的无穷小量 还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤|| §1-3 无穷小量和无穷大量 17 §1-3 无穷小量和无穷大量 牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当 时说的“无穷小数”由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为．．．0的变量．．．，即称变量y 为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y 小于预先给出的任何正数。例如， 数列 1,) n n →∞和当0x →时的函数,sin ,tan n x x x 等 都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量[0)(≡x α是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（∞→n 或x →?）中的无穷小量就简记成)1(o [读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o ”是牛顿当初用过的记号. 定理1-1 →? =x f x C lim ()??1()()()f x C o x =+→?. (充分必要条件) 特别， 函数()f x 在点c 连续??()()(1)()f x f c o x c =+→ （※） 证 若lim ()x f x C →? =，则lim[()]0x f x C →? -=，即 ()(1)()-=→?f x C o x 或 ()(1)()f x C o x =+→? 反之，若()(1)()f x C o x =+→?，则 []lim ()lim (1)0x x f x C o C C →? →? =+=+= 特别，当函数)(x f 在点c 连续时，因为lim ()()x c f x f c →=，所以有结论(※).例如，当 x c →时， (1)=+n n x c o ， sin sin (1)=+x c o ， cos cos (1)=+x c o 1.无穷小量的运算规则 利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若 )1(o 是某一个极限过程(n →∞或x →?)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有 ⑴ 11() ()O o o ?[其中O 是有界变量（*），特别它可以是常数]； ⑵ 111()()()o o o ±=，111()()()o o o ?=. 它们与常量的运算规则是不同的．．．．．．．．．．．．．． ！ 2.无穷小量的比较 在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量α看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量β与基本无穷小量α相比较.若有极限 （*） 记号O 读作“大欧”，也不能读作“零”。§1-3-无穷小量和无穷大量
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