2.2.2反证法
一、 教学目标
（1）了解反证法的基本原理；
（2）掌握运用反证法的一般步骤；
（3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、教学重点和难点
教学重点和难点：用反证法证明一些典型问题.
三、教学过程：
例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα??，且||a b ，求证||a α。 解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；
证明：因为||a b ,
所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α?，而a β?，
所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?，
所以b αβ= .
下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈= ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：2不是有理数 解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n
（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ，
使得m n
=
，从而有m =, 因此，222m n =，
所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有
2242k n =，即
222n k =
所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．
点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
变式训练2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）
例3、设二次函数q px x x f ++=2)(， 求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1. 解析：直接证明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于
21.比较困难，我们应采用反证法 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2
1，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2)39()24(2)1()
3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。
变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于4
1
反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4结论为 “唯一”类命题；
课堂练习
1.
2．设233=+b a ，求证.2≤+b a
四、课堂小结
五、课后练习与提高
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设a b c ，，都是偶数
Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数
Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数
Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数
2．.三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 至少有1个大于或等于60 的反面为_______．
3．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．
2.2.2 反证法（陈昌杰） 一、教学目标 1．核心素养 培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力 2．学习目标 （1）理解反证法的概念 （2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤 （3）会用反证法证明简单的命题 3．学习重点 对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握． 4．学习难点 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据． 二、教学设计 （一）课前设计 【学习过程】 1．预习任务 任务1 预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？ 任务2 反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？ 2．预习自测 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（） ①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论 A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③ 答案：C 【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】 由反证法的定义可知应选C． 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（） A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．两个都是非负数 D．至少有一个是正数 答案：D 3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0 C．a，b，c不全是正数 D．abc<0 答案：C 4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（） A．有一个解 B．有两个解 C．至少有两个解 D．至少有三个解 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 王戎的论述运用了什么推理思想？ 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与
2.2.2反证法 一、 教学目标 （1）了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题. 二、教学重点和难点 教学重点和难点：用反证法证明一些典型问题. 三、教学过程： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα??，且||a b ，求证||a α。 解析：让学生理解反证法的严密性和合理性； 证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?，而a β?， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?， 所以b αβ= . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈= ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 点评：用反证法的基本步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利 变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：2不是有理数 解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n （,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ， 使得m n = ，从而有m =, 因此，222m n =， 所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有 2242k n =，即 222n k = 所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数． 点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 变式训练2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ） 例3、设二次函数q px x x f ++=2)(， 求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2 1. 解析：直接证明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于 21.比较困难，我们应采用反证法 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2 1，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 2)39()24(2)1() 3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
三 反证法与放缩法 ☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ????? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 . 12 ( ) n B B B B A ?????结步步寻求不等式已 论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例x y y x y x y x ++>+>. ,0,0,0.0.0,0 )(,0, 0,00,0)2(.0,0,0,0)1(. 00,0, ,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能 相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a
2．2.2反证法 教材分析 直接证明与间接证明是数学证明的两类基本方法，直接证明的两种方法：综合法和分析法；间接证明的一种基本方法：反证法． 反证法，可以说是一个难点．因为以前我们的证明所采用的方法均为直接证明法，由已知到结论，顺理成章．而对于间接证明的反证法，许多同学难以走出直接证明的局限，从而不能深刻或正确地理解反证法思想．其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证明法不可替代的作用． 课时分配 1课时． 教学目标 1．知识与技能目标 (1)使学生初步掌握反证法的概念及反证法证明的基本方法； (2)培养学生用反证法简单推理的技能，发展学生的思维能力． 2．过程与方法目标 (1)从两则故事入手，体会反证法的威力，领会反证法的含义． (2)引导学生掌握反证法证题的基本方法，训练学生的思维能力． 3．情感、态度与价值观 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满了探索性和创造性，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想． 重点难点 重点：(1)理解反证法的概念； (2)体会反证法证明命题的思路方法及掌握反证法证明的步骤； (3)用反证法证明简单的命题． 难点：理解“反证法”证明如何得出“矛盾的所在”． 教学过程 引入新课 事例一：诸葛亮的“空城计”与反证法：三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异于以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也．”于是急令退兵．这就是家喻户晓的“空城计”． 提出问题： 1．诸葛亮面临的问题是什么？ 2．从正面考虑该如何解决这个问题？ 3．诸葛亮是如何考虑的？ 事例二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
2.3反证法与放缩法班级：姓名：小组： 学习目标1.掌握反证法和放缩法证明数学问题； 2.掌握反证法和放缩法在证明不等式中的应用. 学习重点难点重点：反证法和放缩法的应用；难点：综合题型的解决. 学法 指导 本节课通过例题让学生体会反证法和放缩法的思想，通过练习掌握反证法的应用. 课前预习1.反证法的定义：假设不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下的出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾或与矛盾或与事实矛盾等. 3.放缩法：将所需证明的不等式的值适当（或）使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值，反之，把分母缩小，则分式的值 预习评价1.否定“自然数c b a, ,中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A.c b a, ,都是奇数 B.c b a, ,都是偶数 C.c b a, ,中至少有两个偶数 D.c b a, ,中都是奇数或至少两个偶数 2.若两个实数之和为正数，则这两个数（） A.一个是正数，一个是负数 B.都是正数 C.至少有一个是正数 D.都是负数 课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题） 一、用反证法证明 例1.已知0 ≠ a，证明x的方程b ax=有且只有一个根.小结：用反证法证明的过程包括下面三个步骤： （1） （2）这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料，写起文章来还用乱翻参考书吗?反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； （3）归谬：由“反设”作为条件出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾； （4）存真：由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立. 二、用放缩法证明 例2.已知R d c b a∈ ,,,，求证：2 1< + + + + + + + + + + + < c a d d d b c c a c b b d b a a 小结：放缩法是不等式证明中最重要的变形之一.放缩时必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等. 当 堂 检 测 （备注：本节课重、难点知识的检测） 1.已知三个正数c b a, ,成等比数列，但不成等差数列，求证：c b a, ,不成等差数列. 2.设()1 3 2 2 1+ +???+ ? + ? =n n S n ，求证：不等式 () 2 1 2 )1 (2 + < < +n S n n n 对所有的正整数n都成立.