5.3
隐函数与参数方程求导法则
一、隐函数求导法则
表示函数f （对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x 与因变量y 的对应关系f 是由二元方程F （x ，y ）=0所确定。
定义 设有两个非空数集A 与B.若A x ∈?，F （x ，y)=0对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f （或写为y=f （x))是二元方程F(x ，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x ，y)=0确定的隐函数y=f （x)（A x ∈，B y ∈）必是二元方程F(x ，y)=0的解，因此，A x ∈，有
F[x ，f(x)]=0 (或F[x ，f(x)]≡0 ）.
例如，二元方程F(x ，y)=2x-3y-1=0在R 确定（从中解得）一个隐函数。
事实上，R x ∈?，由二元方程对应唯一一个312-=
x y R ∈,且 F （x , 312-x )=2x-33
12-x -1≡0. 二元方程F(x ，y)=x 2+y 2-a 2=0(a>0)在A=[-a ，a]确定两个连续的（B 1=[0 ，+∞)与
B 2=（-∞ ，0])隐函数。
事实上，],[a a x -∈?，由二元方程对应唯一一个1y =],0[122+∞=∈-B x a ,且 0),(),(221≡--=x a x F y x F 与]0,(2222-∞=∈--=B x a y ，且
0),(),(222≡--=x a x F y x F
于是，二元方程F(x ，y)=x 2+y 2-a 2=0在A=[-a ，a]确定了两个连续的隐函数。 ],0[221a x a y ∈-= 与]0,[222a x a y -∈--=。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a 为半径的在区间],[a a -的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系f 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来
说，对应关系f “明显”的函数，例如，
53-+=x x y ， )ln(sin x y =，2arctan +=
x x y ，等等，就是显函数。在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。
值得注意的是，有些二元方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x f y =并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
由于二元方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x f y =，有
0)](,[≡x f x F .
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
例1 求方程07532=--+y x xy 确定的隐函数)(x f y =的导数。
解 方程两端对x 求导数，由复合函数的求导法则（注意，y 是x 的函数），有 0)753('2=--+y x xy ，
0)7()(5)(3)('''2'=--+y x xy ，
056''=-++y x y xy ， 解得隐函数的导数x
y x y -+=56'. 例2 求方程xy e y =确定的隐函数)(x f y =的导数。
解 方程两端对x 求导数，由复合函数的求导法则（注意，y 是x 的函数），有 ''xy y y e y +=，
解得隐函数的导数
)
1('-=-=-=y x y x xy y x e y y y . 例3 证明过双曲线122
22=-b
y a x 上一点),(00y x 的切线方程是 12020=-b
y y a x x . （1） 证明 首先求过点 ),(00y x )0(0≠y 的切线斜率 k ,即求双曲线确定的隐函数
)(x f y =的导数在点),(00y x 的值.
''22
22)1()(=-b y a x ，0222'
2=-b
yy a x . 解得y a x b y 22'
=.在点),(00y x 的切线斜率0202y a x b k =.从而，切线方程是 )(00
2020x x y a x b y y -=- 或
2202202020b
y a x b y y a x x -=-. 因为点),(00y x 在双曲线上，所以1220220=-b
y a x .于是，所求得切线方程是
12020=-b
y y a x x . 当00=y 时，有a x ±=0.过双曲线122
22=-b
y a x 上点)0,(a ±的切线方程是a x ±=，也满足（1）式.
例4 证明抛物线a y x =+
)0(a x <<上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于a .
证明 在抛物线上任取一点),(00y x ，即a y x =+
00.求抛物线在点),(00y x 的切线斜率k .由隐函数求导法则，有
021
21
'=+y y x 或x
y y -='. 从而斜率0
0x y k -=.在点),(00y x 的切线方程是 )(0000x x x y y y --
=-. 它在x 轴与y 轴上的截距分别是000y x x +与000y x x +.于是，二截距之和是 （ 000y x x +）+（000y x x +）
=00002y y x x ++=200)(y x +=2)(a =a .
求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下：
例5 求函数32a
x x y -=的导数。 解 等号两端取绝对值的对数，有
a x x a x x y --=-=ln 3
1ln 32ln ln 32. 由隐函数的求导法则，有
)
(321.311.32'a x x a x a x x y y --=--=， 即
32'
)(32a x x a x x a x y ---=. 例6 求幂指函数)()(x v x u y =)0)((>x u 的导数。
解 将幂指函数等号两端取对数，有
[])(ln )(ln x u x v y =.
按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有
[])
()()()(ln )('''x u x u x v x u x v y y +=， 由此得到
[]??????+=)()()()(ln )('''
x u x u x v x u x v y y []????
??+=)()()()(ln )()('')(x u x u x v x u x v x u x v . 例7 求函数()()()322131x x x y -+-=的导数.
解 等号两端取绝对值的对数，有
()()()32
2131ln x x x y -+-= x x x -+++
-=2ln 3
113ln 321ln 由求导数法则，有
x
x x y y --++-=21.31133.3211'， 即
()??????--++-=x x x y y 23113211'
()()()()??
????--++--+-=x x x x x x 23113211213132.
二、参数方程求导法则
参数方程的一般形式是
???==)
()(t y t x ψ? βα≤≤t 若()t x ?=与()t y ψ=都可导，且()0'≠t ?，又 ()t x ?=存在反函数()x t 1-=?，则y 是x 的复合函数，即
()t y ψ=， ()x t 1-=?.
由复合函数与反函数的求导法则，有
()()[]
'1'x t dx dt dt dy dx dy -==?ψ ()()()()t t t t ''''
1?ψ?ψ==. 这就是参数方程的求导公式。
例8 求椭圆12222=+b y a x 上一点??
? ??2,2b a 的切线斜率k . 解法一 点 ??
? ??2,2b a 在上半椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是 22x a a b y -=
， 22'x a a bx y --=. 则
.2'a
b y
k a x -=== 解法二 由隐函数求导法，有
022'22=+y b y a x 或 y
a x
b y 22'-=， 则
a
b y k b y a
x -====22'
. 解法三 将椭圆化为参数方程
?
??==,sin ,cos t b y t a x π20≤≤t . 点??
? ??2,2b a 对应的参数4π=t .由参数方程求导法，有 ()(),cot sin cos cos sin '''t a b t a t b t a t b y
-=-== 则
a
b y k t -===4'
π
. 例9 设炮弹的弹头初速度是0v ，沿着与地面成α角的方向抛射出去，求在时刻0t 时弹头的运动方向（忽略空气阻力，风向等因素）.
解 已知弹头关于时间t 的弹道曲线的参数方程是
??
???-==,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα 其中g 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有 .cos tan cos sin 000ααααv gt v gt v dx dy -=-= 设在时刻0t 弹头的运动方向与地面的夹角为?，有 αα?cos tan tan 00v gt -
= 或
.cos tan arctan 00???? ??-=αα?v gt
5.3 隐函数与参数方程求导法则 一、隐函数求导法则 表示函数f （对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x 与因变量y 的对应关系f 是由二元方程F （x ，y ）=0所确定。 定义 设有两个非空数集A 与B.若A x ∈?，F （x ，y)=0对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f （或写为y=f （x))是二元方程F(x ，y)=0确定的隐函数。 由隐函数的定义看到，二元方程F(x ，y)=0确定的隐函数y=f （x)（A x ∈，B y ∈）必是二元方程F(x ，y)=0的解，因此，A x ∈，有 F[x ，f(x)]=0 (或F[x ，f(x)]≡0 ）. 例如，二元方程F(x ，y)=2x-3y-1=0在R 确定（从中解得）一个隐函数。 事实上，R x ∈?，由二元方程对应唯一一个312-= x y R ∈,且 F （x , 312-x )=2x-33 12-x -1≡0. 二元方程F(x ，y)=x 2+y 2-a 2=0(a>0)在A=[-a ，a]确定两个连续的（B 1=[0 ，+∞)与 B 2=（-∞ ，0])隐函数。 事实上，],[a a x -∈?，由二元方程对应唯一一个1y =],0[122+∞=∈-B x a ,且 0),(),(221≡--=x a x F y x F 与]0,(2222-∞=∈--=B x a y ，且 0),(),(222≡--=x a x F y x F 于是，二元方程F(x ，y)=x 2+y 2-a 2=0在A=[-a ，a]确定了两个连续的隐函数。 ],0[221a x a y ∈-= 与]0,[222a x a y -∈--=。 这两个隐函数的图像是以原点为心以a 为半径的在区间],[a a -的上半圆周与下半圆周，如图5.5 由此可见，所谓隐函数就是对应关系f 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来
1、填空题 1）设函数()x y y =由方程() x y x y x sin ln 3 2 +=+确定，则()= '0y 1 2）设()()???-=-=13t e f y t f x π，其中()t f 可导，且()00≠'f ，则= =0 t dx dy 3 3）设()0,0>>? ? ? ????? ????? ??=b a a x x b a b y b a x ，则=dx dy ()??? ? ????? ??-+??? ??---1ln a b x a b x b a x a b a b a b x a b a b 2、求下列方程所确定的隐函数()x y 的导数 1）xy x y e += 解：方程两边关于x 求导得：()1 11xy xy xy ye y e y xy y xe -'''+=+?=-。 2）()tan cos y x x y =+ 解：方程两边关于x 求导得：()()2 tan sec 1sin y x y x y x y ''+=-++?。 ()()2sin sec sin tan x y y x y x y x -+-'=++ 3 ()0a =>上任意一点处的切线在坐标轴上的截距和为常数 a 。 证明：方程两边关于x 0y y ''+=?=()00,x y 为曲线上 任意一点，此点处切线方程为)00y y x x -=-，其对应截距式方程为 1= a == 4、求下列函数的导数dx dy 1） y xe =
解：方法一、 22cos 1x x e x y e xe -'= 方法二、y xe = ()21 ln ln ln sin 12 y x x x =++- 两边关于x 求导得：()() 22 cos 111 1sin 1x x y y x x -'=+ +- ()()2 2 cos 111sin 1x x y xe x x ?-'?=++?-? 2）()()x y y x sin cos = 解：()()x y y x sin cos =两边取对数得： y x x y sin ln cos ln = 两边关于x 求导得：y y x y x y x y '?+=-'cot sin ln tan cos ln y x x y x y y cot cos ln sin ln tan -+= ' 5、求下列参数方程所确定函数的导数 dx dy 1）()32 ln 1x t t y t t ?=-+??=+?? 解： () ()()()()322323211ln 111t t dy t t t t dx t t t '++===++'-+-+ 2）()?? ?=-=θ θθθcos sin 1y x 解：()()()θ θθθθθθθθθcos sin 1sin cos sin 1cos ---='-'=dx dy 6、求三叶玫瑰线()()03sin >=a a r θ上对应于4 π θ=点处的切线方程（直角坐标形式）。 解：?? ?====θ θθθθθsin 3sin sin cos 3sin cos a r y a r x ，θθθθθ θθθsin 3sin cos 3cos 3cos 3sin sin 3cos 3a a a a dx dy -+=
授课教师：古向伟 课题 导数的运算 课时 2 授课班级 11数控4,5 11软件 11化工（2） 11焊接3 授课时间 月 日 节 月 日 节 月 日 节 月 日 节 教学目标 掌握参数方程，隐函数的求导法则 培养学生分析问题，解决问题的能力 教 材 分 析 重点 概 参数方程的求导法则 难点 概 参数方程的求导法则 教学方法：启发，分组讨论 课 型 新授课 复习提问 作业 课后练习 教学过程： 新授课： 一：参数方程所表示函数的求导法 设函数 )(x y y =由参数方程?? ?==) () (t y t x ψ?确定，其中t 是参数，则 '()'()/'()y x y t x t =. 例：求?? ?==t y t x sin cos 所确定的函数)(x y y =在2π= t 时的导数。 例：求下面由参数方程所确定的函数的导数dx dy ，dy dx 。 3141t x t t y t ?=??+? -?=?+? 在0>t 处。 注 分清求导的对象，即到底是关于哪个变量求导。 复习提问 引导学生推出参数方程求导法则 练习
例 设cos sin x t t y t =-?? =?， ， 求 2 2 d d x y . 解 d (sin )cos d 1sin (cos )y t t x t t t ' =='+- ， 2 2 d d d cos d cos d cos 1 ()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t x x x x t t t x t t ''===?=+++ 2 22 sin (1sin )cos 11 (1sin )1sin (1sin ) t t t t t t -+--=?=+++. 注 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分y d 、x d ，然后作比值x y d d ，即作微商.求二阶导数时，应 按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导。 二：隐函数求导法 设()0,=y x F ，y 为x 的函数，等式两边对x 求导，得 0'=+y F F y x 。 从而 y x F F y -='。 例：设122=+y x ，求dx dy 。 小结：参数方程求导法则 教学后记： 审批意见： 总结易出 错的地方 了解隐函 数求导法 则
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
显函数.隐函数.参数方程求导总结 我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。 如：()sin cos x x '=` ()x x e e ' =` ()2 1arcsin 1x x '= -等等。刚开始的时候是一 些很明显的函数。如：sin y x =. 2 455y x x =++ x y e =等。而后来的我 们又学习了一些复合函数。如 x y e = 1 sin y x =等。这时我们就必须 设()y f u =，而()u x ?=则复合函数()y f x ?=????的导数为dy dy du dx du dx =，或()( )()y x f u x ? '''=。 等到了大学我们就碰到了像 3 10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。这样就可以用显函 数的求导方法了。例如310x y =-=可以化为3 1y x =-。但实际问题中， 有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 方程0y e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx 。 解 方程两边分别对x 求导
( )()0y d e xy e dx '+-= y dy dy e y x dx dx ++= 从而y dy y dx x e =-+ y x e +=() 例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22 d y dx 。 解 方程两边对x 求导 ()1cos 02x y y '??' -+= ??? 11cos 02dy dy y dx dx -+= 22cos dy dx y = - 方程两边再对x 求导 ()()223 22sin 4sin 2cos 2cos dy dx d y y y dx y y --== -- 之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法： 例 已知参数方程为sin cos x t y t =?? =?（t 为参数），求dy dx 。 解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt t t dy dy dt t dx dt dx t t '=== =- ' 例 已知参数方程2 21t x y t ?=?=-?（t 为参数），求2 2 d y dx 。 解 由公式 ()()2 2 11dy dt dx t dt t dy dy dt dx dt dx t '-====- '
§3.2 求导法则（一） 教学内容 1.函数的和、差、积、商的求导法则； 2.反函数的求导法则； 3.复合函数的求导法则. 教学重点与难点 导数的运算法则及导数基本公式. 简要复习上节内容 1.导数的定义； 2.导数的定义的几种形式； 3.可导的充要条件； 4.函数可导与连续的关系； 5.导数的几何意义、物理意义. 一、导数的四则运算法则 设),(x u u =)(x v v =都在x 处可导，则有 ①v u v u '±'='±)(； ②v u v u uv '+'=')(； u c cu '=')(； ③2 )(v v u u v v u '-'='. 我们现在只证明②. 证 设=)(x f )()(x v x u 则 h x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→=h x v x u h x v h x u h ) ()()()(lim 0-++→ =h x v x u x v h x u x v h x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++→ =h x v h x v h x u h )()()(lim 0-++→+=-+→h x u h x u x v h ) ()() (lim 0=v u v u '+' 例1 2sin cos 4)(3π -+=x x x f ，求)(x f '，)2(π f '. 解 )(x f '=x x sin 432-， )2(πf '=443 2-π. 例2 求21 log 3tan sin a y x x x x =++的导数. 解 x x x a x x x x y a 2 22sin cos sec 3ln log 2-+++='.
第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得
.y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??- ??+???? ??-??=22 . 23 2 222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由 定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、 当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22 dx y d =,1)(332222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程 F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
1、填空题 1）已知x+y-3xy=0，则 3 3 dydx = x-yx-y 2 2 。 2） 已知x+2y+z-=0，则 ?x? y xz = 3）已知z=y，则dz= xz zy z-1 dy-zlnzdx x-1 xz-ylny 。 4）已知cos2x+cos2y+cos2z=1，则dz=- sin2xsin2z dx- sin2ysin2z dy。
5）已知z=f(xz,z-y)，其中f具有一阶连续偏导数，则 dz= zf1'dx-f2'dy1-xf1'-f2' 。 分析：dz=f1'd(xz)+f2'd(z-y)=zf1'dx+xf1'dz+f2'dz-f2'dy 2、设F(y+z,xy+yz)=0，其中F具有二阶连续的偏导数，求解：方法一、 F(y+z,xy+yz)=0两边关于x求偏导得 F' ?z?x 2 2 。 -yF2'?z??z?'+F2 y+y= ?=0? ?x?x?x''??F1+yF2?z F1' ?z?? +F2' y+y?=0两边再关于x求偏导得?x?x?? 2 2 ?z ??z?z???z?z??z?z????z??z''''?y+y'''''?y+y'yF+F+F+F+Fy+y+F=012 122 2????? 11 2122?x?x?x?x?x?x?x?x?????????? ( ?z??z??z??z? ''?''''?y+yF1'+yF2'=-F-2Fy+y-F11 1222 ??? 2 ?x?x??x??x???x?? ) ?z 2 22 ?z?x 2 2 =- (
F1'+yF2' ) 3 ?' yF2? () 2 2 F11''-2yF1'F2'F12''+yF1' ()() 2 ?F22''? ? 方法二、F(y+z,xy+yz)=0两边微分得 F1'(dy+dz)+F2'(ydx+xdy+zdy+ydz)=0 dz= ?F1'?x?F2'?x -yF2'F1'+yF2' ?z dx+ -(x+z)F2'-F1' F1'+yF2' dy? ?z?x = -yF2'F1'+yF2' =F11'' ?z?y? +F12'' y+y=-F2'F11''+F1'F12'' ??x?x?F'+yF'?12 () =F21'' ?z?y? +F22'' y+y=-F2'F12''+F1'F22'' ??x?x?F'+yF'?12 ?z ()
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数F(X, y)在点P(X 0, y o )的某一邻域内具有连续偏 导数，F(x °,y °) 0，F y (X 0, y 。) 0 ,则方程F(x,y) 0在点X 。的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y f(x)，它满足条件y o f(x o )， 并有 dy Fx dx F y ' 说明：1) 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将 y f(x)代入 F(x,y) 0 ,得恒等式 F(x,f(x)) 0， 等式两边对X 求导得 F _Fdy X y dx 由于F y 0于是得 dy Fx dx F y 导数： 2 d y I _ Fx . dy dx X F y y F y dx FF 2 2F F F F F 2 XX y XyXy y y X F y 例1验证方程Siny e x Xy 1 0在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个 2)若F(x, y)的二阶偏导数也都连续 则按上述方法还可求隐函数的二阶 F XX F y F yX F X F Xy F y F y y F X FX F y
解设 F(X l y) Siny e x Xy 1，则 1) F X e X y ， F y CoSy X 连续； 2) F(Q I Q) 0 ； 3) F y (Q I Q) 1 Q . 一个单值可导的隐函数y f(X). 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一般地一个二元方程 F(x, y) Q 可 以确定一个一元隐函数，而一个三元方程F(x,y,z) Q 可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2设函数F(x, y, z)在点P(X Q ) y o , Z Q )的某一邻域内具有连续 的偏导数，且 F(X Q ) y o ,Z o ) Q , F Z (X Q , y o ,Z o ) Q ,则方程 F(X ) y, Z) Q 在点(X Q l y Q ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 Z f (x, y),它 满足条件Z Q f (X Q ,y o ),并有 Z F X Z F y X F Z ， y F Z . 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将Z f(x,y)代入 单值可导的隐函数y f(X) ，并求 dy x d 2y 0 , dx 2 x 因此由定理1可知，方程Siny e X Xy 1 Q 在点(Q,Q)的某一邻域内能唯一确定 dy dx X F X F y X cosy X X Q,y d 2y dx 2 X dx cosy X X 0, y Q,y (e X y )(cos y X ) (e y)( (cosy x )2 Sinyy 1)
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (6) 1.公式法 (6) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (7) 参考文献 (9)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，
第五节 隐函数求导法则 教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 教学重点：隐函数的偏导数 教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 教学时数：2 教学内容： 一、一个方程的情形 1、 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数, 0000(,)0,(,)0y F x y F x y '=≠, 则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定 一个连续且具有连续导数的函数()y f x =, 它满足条件()00y f x =, 并有 y x F F dx dy -=. 证明: 将()y f x =代入(,)0,F x y =得恒等式()(,)0,F x f x ≡ 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于y F '连续, 且00(,)0y F x y '≠, 所以存在00(,)x y 的一个邻域, 在这个邻域同0y F '≠, 于是得 y x F F dx dy -=. 例1： 验证方程22 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数(),y f x =并求这函数的一阶与二阶导数在0x =的值. 解： 设22 (,)1F x y x y =+-, 则2x F x '=、2y F y '=、 F (0,1)0=, F (0,1)20.y '=≠因此由定理1可知, 方程2 2 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数()y f x =.
·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得
隐函数极其求导法则 隐函数及其求导法则 我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式. 若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数 大多都是显函数. 一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就 说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y. 把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。 注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？ 下面让我们来解决这个问题！ 隐函数的求导 若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解： a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导； b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数 ， 用复合函数求导法则进行。 例题：已知，求 解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.
两边对x进行求导， 故= 注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。 例题：求隐函数，在x=0处的导数 解答：两边对x求导 故 当x=0时，y=0.故 有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？ 下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法
积分 黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和 ζ(f；p,ζ):=Σ f(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-ζ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。 微积分 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。 其中：[F(x) + C]' = f(x) 一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。 积分integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y＝F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）＝f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。例如，定积分是以平面图形的面积问题引出的。y＝f（x）为定义在[a，b］上的函数，为求由x＝a，x＝b ，y＝0和y＝f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b］分成n 等分：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，取ζi∈[xi-1，xi］，记Δxi＝xi－xi-1，，则pn为S的近似值，当n→＋∞时，pn的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在[a，b］上的函数y＝f（x），作分划a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，若存在一个与分划及ζi∈[xi-1，xi］的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为f（x）在[a，b］上的定积分，表为即称[a，b］为积分区间，f（x）为被积函数，a，b分别称为积分的上限和下限。当f（x）的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式。 以上讲的是传统意义上的积分也即黎曼积分。 微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
河北地质大学 课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2 x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1
高等数学--隐函数的 求导法则 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 3 2x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ．
例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单 值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0 cos x y x y y x -=-=-==-， 22 d 0d y x x = d e ()0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点 00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 (,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?．
河北地质大学课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数偏导数方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一