上海市03-08年高考数学试题汇编
崇明县教研室 龚为民 卢立臻
数列与极限
（一）填空题
1、计算：112323lim -+∞→+-n n n
n n =__________。（05上海理）
2、计算：∞→n lim 1
6)
1(32++n n n = .
3．计算=++∞→)
1(31
2lim
2n n n n .（07上海春） 4、 计算：=+-∞→342
3lim
n n n .(06上海春)
5、=++++∞→n
n n 212
lim . （05上海春）
6、计算：1
lim 33+∞→n C n
n ＝ ．（06上海理）
7、计算：1
31
lim 32n n n
n +→∞+=+ .（08上海春） 8、在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= . (03上海理) 9、已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = .（08上海春） 10、已知无穷数列{}n a 前n 项和1
13
n n S a =-，
则数列{}n a 的各项和为 . （08上海春）
11、若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项
a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= . (03上海理)
12、设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q ＝－21，且∞→n lim (a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n -1)＝3
8
，则a 1＝ .
（04上海理）
13、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组. (写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n
为大于1的整数， S n 为{a n }的前n 项和.（04上海理） 14、已知点),0,2
4(),2,0(),2,0(n
C n B n A +
-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面 积，则n n S ∞
→lim = . (03上海理)
15、在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线
03=--y x 上，则=+∞
→2
)
1(lim
n a n n _____________.（04上海春季）
16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!
n 行的数阵。（05上海理）对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n
i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，
!,,3,2,1n i =。
（05上海理）例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，14，5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________。（05上海理）
123123123123123
1
2
3
17、在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列。
然而在等比数列}{n a 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________.
（04上海春季）
18、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点. （04上海春季）
（1） （2） （3） （4） （5）
19、 设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题： （1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1
N ∈=+n a a n n ；
（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、
2，则{}n a 是等差数列； 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
。 。 。
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
。 。 。 。 。 。 。
（3）若()n
n S 11--=，则{}n a 是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是 . （05上海春）
20、 已知函数2()2log x
f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当
|()2005|n f a -取得最小值时，n = . （05上海春）
（二）选择题
21、设{})(N n a n ∈是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5S 8，则下列结论错误的是
（ ）(03上海春季)
(A)d<0 (B)a 7=0 (C)S 9>S 5 (D)S 6和S 7均为S n 的最大值.
22、（08上海理）若数列｛a n ｝是首项为l ，公比为a 2
3
-
的无穷等比数列，且｛a n ｝各项的和为a ，则a 的值是 [答]（ ）
（A ）1. (B)2. (C).21 (D).4
5
(三)解答题
23、(03上海理) 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.
（1）求和：;,3
34233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.
24、（07上海春）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
(1) 设第2行的数依次为n B B B ,,,21 ，试用q n ,表示n B B B +++ 21的值； (2) 设第3列的数依次为n c c c c ,,,,321 ，求证：对于任意非零实数q ，2312c c c >+； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.
① 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列n c c c c ,,,,321 的前m 项m c c c ,,,21 (3≥m ) 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由.
② 能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.
25、（08上海春）直角坐标平面xOy 上一列点()()11221
,,2,,
,
A a A a
(,),
n n A n a ，简记为
{}
n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列
{}
n b 满足
1,1,2,
n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.
（1） 判断()123111,1,2,,
3,,
,
23A A A ⎛
⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭1,,n A n n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，是否为T 点
列，并说明理由；
（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、
2k A +， 判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅.
26、 (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分, 第2小题满分7分. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n, a n + S n =4096. (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .对数列{T n },从第几项起T n <－509? （06上海文）
27、 (06上海春) 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.
（1）若4020=a ，求d ；
（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；
（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，
你能得到什么样的结论？
28、（06上海理）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1． （1）求证：数列{n a }是等比数列；
（2）若a ＝2
1
22
-k ，数列{n b }满足n b ＝
)(log 1
212n a a a n
⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ）
，求数列{n b }的通项公式；
（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －
23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －2
3
|＋|k b 2－2
3
|≤4，求k 的值． 29、 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01
30、（05上海理）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
31、（07上海理）若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即
1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项
（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差
为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，
21k S -取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得21
1,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S
32、(08上海理)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩
⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3 a n d ， a n ≥3
⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式；
⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100 ； ⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1
m
，a 6m+2
－1
m ，a 9m+2－1m
成等比数列当且仅当d ＝3m 。
上海市03-08年高考数学试题汇编 崇明县教研室 龚为民 卢立臻 数列与极限 （一）填空题 1、计算：112323lim -+∞→+-n n n n n =__________。（05上海理） 2、计算：∞→n lim 1 6) 1(32++n n n = . 3．计算=++∞→) 1(31 2lim 2n n n n .（07上海春） 4、 计算：=+-∞→342 3lim n n n .(06上海春) 5、=++++∞→n n n 212 lim . （05上海春） 6、计算：1 lim 33+∞→n C n n ＝ ．（06上海理） 7、计算：1 31 lim 32n n n n +→∞+=+ .（08上海春） 8、在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= . (03上海理) 9、已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = .（08上海春） 10、已知无穷数列{}n a 前n 项和1 13 n n S a =-， 则数列{}n a 的各项和为 . （08上海春） 11、若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项 a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= . (03上海理) 12、设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q ＝－21，且∞→n lim (a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n -1)＝3 8 ，则a 1＝ . （04上海理） 13、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组. (写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n
一．基础题组 1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{} n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________. 2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列 }{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________． 3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若 n n r r ?? ? ??+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．
4. 【虹口区 2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在 n n n C B A ?中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长 是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞ →n n C lim （ ）． . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】 221lim 2n n n n →∞+=-___________. 6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1 ) 1(2 2=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （* N n ∈）的距离为n d ，则=∞ →n n d lim .
【答案】1 【解析】 试题分析：圆心为(0,1)，2 1n d n = +，2 2lim lim 1111n n n n →∞ →∞ ==++． 考点：点到直线距离公式，极限． 7. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算： 2(1)(13) lim (2)(1) n n n n n n →∞+-=-++________． 8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已 知数列{}n a 中，11a =，* 13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________. 9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项 和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】 14 【解析】
2（2022松江一模）．计算：22 lim (1) →∞+=-n n n n ． 2（2022奉贤一模）. 计算74 lim 53n n n →∞+=- 3（2022青浦一模）. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n a 的前5项和520S =，56a =，则10a = 3（2022长宁一模）. 32lim 31 n n n n →∞-=+ 4（2022崇明一模）. 计算：2213lim[()]124 n n n n →∞-+=+ 4（2022虹口一模）. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项13a =，公比为q ，且 lim 2n n S →∞ =，则q = 6（2022宝山一模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(1)n a n d =+-，285a a =，则n S = 6（2022闵行一模）. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，927a =，则22S = 7（2022浦东一模）. 数列{}n a 的通项公式为21(110) 12(11)n n n a n n -≤≤⎧⎪ =⎨-≥⎪⎩ ，则lim n n a →∞= 8（2022宝山一模）. 计算：12122111lim ()2222n n n n -→∞++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅= 8（2022普陀一模）. 设无穷等比数列{}n a （*n ∈N ）的首项0a >，前两项的和为1 3 ，若所有奇数项的和比所有偶数项的和大3，则a = 8（2022嘉定一模）. 已知数列{}n a 的通项公式为1,11(),22 n n n a n =⎧⎪ =⎨≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞ = 8（2022奉贤一模）. 等差数列{}n a 满足328a a +=，4312a a +=，则数列{}n a 前n 项的和为 9（2022黄浦一模）. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且211a q =+，则该数列的各项和的最小值为 10（2022长宁一模）. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 、5S 、 7{10,0}S ∈-，则n S 的最小值为 11（2022徐汇一模）. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中n a =1.41421356237⋅⋅⋅的小数点后的第几位数字， (例如14a =，63a =)，若11b a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n b b a +=，
数列 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）在数列2，5，22，11，…中，如果52是这个数列中的一项，那么它的项数是（ ）． A ．6 B ．7 C ．10 D ．11 （2）数列0，2，0，2，…的通项为n a ，下列公式不能作为已知数列的通项公式的是（ ）． A ．n n a )1(1-+= B ． 2π )1(sin 22 -=n a n C ．π)1cos(1+-=n a n D ．1 )1(1--+=n n a （3）已知数列{n a }中，11=a ，32=a ，且 *)()1(1 221N ∈-=--++n a a a n n n n ，那么4a 等于（ ）． A ．365 B ．21 C ．17 D ．10 （4）n S 是数列}{n a 的前n 项和，且),3,2,1(log 3 ==n n S n ，那么数列}{n a （ ）． A ．是公比为3的等比数列 B ．是公差为3的等差数列 C ．是公比为31 的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列 （5）等差数列}{n a 中，81073=-+a a a ，4411=-a a ，那么它的前13项和为（ ）． A ．168 B ．156 C ．78 D ．152 （6）等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=+++a a a a a a ，则75a a +等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 （7）数列}{n a 中， n n a n ++= 11 ，若其前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）． A ．9 B ．10 C ．99 D ．100 （8）若a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 成等差数列，n 是b ，c 的等差中项，则n c m a + 的值为（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 （9）数列}{n a 中，已知n a n 211-=，记||||||||321n n a a a a S ++++= ，那么等
高考数学分类汇编：数列 高考数学分类汇编：数列 数列是数学中的一个重要概念，它是按照一定规律排列的一组数字序列。在高考数学中，数列也是一个重要的考查内容。下面我们就来梳理一下高考数学中数列的分类和相关知识点。 一、等差数列 等差数列是最常见的一种数列，它的规律是每一项与前一项的差相等。设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。 等差数列的前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2。 例1：已知等差数列{an}的公差为2，前4项之和为-12，求该数列的通项公式。 解：由已知得a1+a2+a3+a4=-12，又由等差数列的性质得a1+a4=2a2，因此a2=-4。又公差d=2，因此可求得a1=-6，所以该数列的通项公 式为an=-6+2(n-1)。 二、等比数列 等比数列的规律是每一项与前一项的比值相等。设首项为a1，公比 为q，则等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)。等比数列的前n项和公式需要根据公比是否为1分为两种情况，分别为Sn=na1和
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。 例2：已知等比数列{an}的公比为2，前4项之积为1632，求该数列的通项公式。 解：由已知得a1a2a3a4=1632，又由等比数列的性质得a1a4=a2a3，因此a1a4=48。又公比q=2，因此可求得a1=3，所以该数列的通项公式为an=3×2^(n-1)。 三、摆动数列 摆动数列是一种特殊的数列，它是指项数在一定范围内摆动的数列。通常用摆动点以及摆动范围来描述摆动规律。常见的摆动数列包括摆动幅度为定值的情况和摆动幅度为变量的情况。 四、复合数列 复合数列是由多个基本数列按照一定规律组合而成的数列。复合数列的特点是每个基本数列的变化趋势不同，但它们之间有一定的关联。求解复合数列的相关问题需要先分解出各个基本数列，再分别求解。例4：已知一个复合数列的前4项分别为1，3，7，15，求该数列的第5项和第6项。 解：观察前4项可以发现，每一项都是前一项的2倍加上1。因此可以分别求出奇数项和偶数项的基本规律，再根据规律求解第5项和第
2013年上海市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2013?上海）计算：=． =， 故答案为：． 2．（4分）（2013?上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2． 3．（4分）（2013?上海）若=，x+y=0． =
4．（4分）（2013?上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2 ﹣3c2=0，则角C的大小是． 变形为 ， = C= 故答案为 5．（4分）（2013?上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2． 的展开式的通项为（
6．（4分）（2013?上海）方程+=3x﹣1的实数解为log34． 化简方程=3 解：方程=3 7．（4分）（2013?上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离 为． 或 的公共点到极点的距离为 故答案为： 8．（4分）（2013?上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任 意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．
九个球中，任意取出两个球的取法种数为取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为 故答案为 9．（4分）（2013?上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4， BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为． 由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边 ， CBA=， ， ， =c= ． 故答案为：
高考试题中数列极限的类型及解法 数列极限是描述数列当项数 n 无限增大时的变化趋势。这是历年高考的必考内容，是中学数学的一个重点内容。本文通过历年数学高考试题说明数列极限的几种常见类型以及各种类型的解法。 1、分式型数列的极限 求解这类数列极限的一般方法是：将分子和分母同除以最高项，再利用数列极限四则运算法则求解。 例1、（1988年全国高考题）求 1 32322lim -++∞ →n n n n n = 解：原式3)131() 23(1312 32 lim lim 2lim =-++=-++∞→∞ →∞ →n n n n n n n n n 说明：若分子、分母的最高次数相同时，则极限等于最高项的系数之比。 例2、（1990年全国高考题）已知{a n}是公差不为零的等差数列，如果s n 是{a n}的前 n 项和，那么n n n s na lim ∞→等于 解：d n n na d n a n s na n n n n 2 )1(] )1([11lim lim -+-+=∞→∞ → =22 12121)(11lim ==-+-+∞ →d d d a dn d a nd n 2、无限项和或积的形式的数列的极限 求解这类数列极限的一般方法是：先求和或积，再求极限。 例3、（1989年上海高考题）=-++++∞→)2 3741( 2222lim n n n n n n
解：因为 222223741n n n n n -++++ =21 n 〔1+4+7 + …+（3n-2）〕 = 21n [n n n n 21 3]2)231(-=-+ 所以：原式= 2 3 213lim =-∞ →n n n 4、（1991年全国高考题）lim ∞ →n 〔n(1—）（））（2 11511411)(31+---n 〕的值等于 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 解：因为n(1-)21 1()511)(411)(3 1+- --n = n ．21 544332++⋅⋅n n =n ．2222+=+n n n 所以，原式= 22 2lim =+∞ →n n n 。 则 选C 例5、（2003年全国高考题） =+++++∞ →) (1 1 31 22 2322lim n n n c c c n c c c A 、3 B 、3 1 C 、61 D 、6 解：因为 c 6 ) 1(1(3122322-+==++++n n n c c c n n ） 12 )1(12111312-+= -=++++n n c c c c n n 所以：原式= 31]1)1(2 1[) 1()1(61 lim =-+-+∞→n n n n n n n , 故选B 3、运用0lim =∞→n n q （1||0，首项为1的等比数列的前n 项之和为s n ，又设T =n *)(1 N n s s n n ∈+ 求：Tn n lim ∞→
数列 1．（2021•浙江）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．记数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．＜S100＜3B．3＜S100＜4C．4＜S100＜D．＜S100＜5 2．（2021•甲卷）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（）A．7B．8C．9D．10 16．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么S k＝dm2． 17．（2021•上海）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝． 33．（2021•浙江）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣，且4S n+1＝3S n﹣9（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n}满足3b n+（n﹣4）a n＝0（n∈N*），记{b n}的前n项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立， 求实数λ的取值范围． 34．（2021•甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{a n}是等差数列． 35．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知+＝2．（1）证明：数列{b n}是等差数列； （2）求{a n}的通项公式． 36．（2021•甲卷）已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{a n}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
2023上海市高考数列压轴题 一、引言 2023年上海市高考即将到来，备受关注的数学科目将再次成为考生的关注焦点。数列作为数学中的重要概念和基础知识，在高考中也一直是考生们需要重点关注和掌握的内容。在此次高考中，数列题目作为数学试卷的压轴题备受瞩目，今天我们就来探讨一下2023上海市高考数列题目的可能性和考点。 二、数列的基本概念 数列作为数学中的一个重要概念，是由一系列数字按照一定规律排列组成的数学对象。在高中数学中，数列的研究主要包括等差数列、等比数列、递推数列等内容，其中等差数列和等比数列是最为常见和重要的两种数列类型。在备战高考的过程中，考生们需要掌握数列的基本概念、性质和常见的解题方法。 三、历年高考数列题目分析 通过对历年高考数学试卷中数列题目的分析可以发现，数列题目往往具有一定的难度和深度，涉及到数列的综合运用和推理能力的考察。尤其是压轴题，更是要求考生具有较高的数学思维和解题能力。从历年试题来看，数列题目涉及的知识点主要包括数列的通项公式推导、数列的性质和应用、数列求和等内容，这些都是考生备战高考数学中不可忽视的部分。
四、2023上海市高考数列题目的可能性 针对2023年上海市高考数列压轴题的可能性，我们可以从以下几个方面进行推测和预测： 1. 数列的综合运用：可能涉及到数列与数学中其他知识点的综合运用，如概率、函数、集合等内容，考查考生的数学综合能力。 2. 数列的发散思维：可能设置一些需要跳出常规思维的数列题目，考 察考生的发散思维能力和解题技巧。 3. 数列的实际应用：可能通过实际问题设置数列题目，考查考生数学 知识在实际问题中的运用能力。 五、备战策略建议 针对2023上海市高考数列题目的可能性，我们建议考生们在备战数学科目的过程中，要注重以下几个方面的策略： 1. 系统复习数列知识点：系统地复习数列的基本概念、性质和常见解 题方法，夯实基础知识。 2. 提高解题能力：通过大量的练习题和真题，提高数列题目的解题能 力和应试技巧。 3. 增强数学思维：培养数学思维和发散思维，提高解决数列题目的能力。 4. 多维度应用数列知识：结合其他数学知识点，增强数列知识的综合 应用能力。
全国高考数学试题分类汇编——极限 1.（全国卷Ⅲ理第5题）22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-= ⎪-+-+⎝⎭ ( ) A 12- B 12 C 16- D 1 6 2.(辽宁卷第2题)极限)(lim 0 x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 3．（浙江卷理第1题）lim n →∞2123n n ++++＝( ) (A) 2 (B) 4 (C) 2 1 (D)0 4．（广东卷第3题）233 lim 9 x x x →-+=-( ) （Ａ）16-（Ｂ）０（Ｃ）16（Ｄ）1 3 5. （湖北卷理第8题）若1)11( lim 2 1 =---→x b x a x ，则常数b a ,的值为 （ ） A ．4,2=-=b a B ．4,2-==b a C ．4,2-=-=b a D ．4,2==b a 6.（重庆卷理第14题）：321 3223lim 23n n n n n +→∞-+= _________。 7. （上海卷理第7题）计算：1 12323lim -+∞→+-n n n n n =__________。 8. （湖南卷理第3题）已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则 lim 2132 111 1 ( )n n n a a a a a a →∞ ++++ ---= （ ） A ．2 B ． 2 3 C ．1 D ． 2 1
9.（福建卷理第15题） 若常数b 满足|b|>1，则=++++-∞→n n n b b b b 1 21lim . 10. （山东卷理第13题）22 2 2lim __________(1)n n n n C C n -→∞+=+． 11.（江西卷理第8题） 1 1(1)1 lim 1,lim 1 (22)x x f x x x f x →→--==--若则 （ ） A ．－1 B ．1 C ．－ 21 D ． 2 1 12.（广东卷第10题） 已知数列{}n x 满足212x x =，)(2 121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ．若2lim =∞→n x x ，则=1x A ．2 3 B ．3 C ．4 D ．5 参考答案 1. A 2. B 3．C 4．A 5. C 6.－3 7. 3 8. C 9.1 1-b 10. 3 2 11. C 12. B 12. 解法一：特殊值法，当31=x 时，32 63 ,1633,815,49,2365432= ==== x x x x x 由此可推测2lim =∞ →n x x ，故选B ． 解法二：∵)(2121--+= n n n x x x ，∴)(2 1 211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n n x x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21 -为公比6的等比数列， 令n n n x x b -=+1，则1111121 1)2 1 ()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==--- +-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x +-+-+- +=121211)2 1()21()2(x x x x …11)21 (x n --+
第五部份 数列与极限 3五、等差数列{n a }中，通项b dn a n +=，前n 项和cn n d S n +=22 （d 为公差，N n ∈）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的概念加以证明，即证：n n a a -+1是常数)(N n ∈(1n n a a +=常数，)n N ∈，也可以证明持续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数n 有：n n n n a a a a -=-+++112（n n n n a a a a 112+++=）. ［举例］数列}{n a 知足：)(2 2,111N n a a a a n n n ∈+==+. （1）求证：数列}1{n a 是等差数列；（2）求}{n a 的通项公式. 分析：注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数.而n n n a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a .即数列}1{n a 是等差数列.又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n . 3六、等差数列前n 项和、次n 项和、再后n 项和（即持续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n 项和（和不为0）、次n 项和、再后n 项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n 项的积、次n 项的积、再后n 项的积仍成等比数列. ［举例1］已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，20,884==S S ，则=12S ＿； 分析：注意到812484,,S S S S S --是等差数列的持续4项的和，它们成等差数列.可以取得16812=-S S ，所以3612=S . ［举例2］已知数列}{n a 是等比数列，n T 是其前n 项的积，20,584==T T ，则=12T ＿. 分析：由812484,,T T T T T 成等比，则8124248)(T T T T T ⋅=，所以64)(34 812==T T T . 37、在等差数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+；在等比数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅等差（等比）数列中简化运算的技能多源于这条性质. ［举例］数列}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=⋅a a a a ，且公比q 为整数，则10a 的值为＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由8374a a a a ⋅=⋅得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=⋅=+41285121248 38383a a a a a a 或⎩⎨⎧=-=128483a a ，又此数列的公比为整数，所以⎩⎨⎧=-=128483a a 公比2-=q ，则5122810==q a a . 3八、等差数列当首项01>a 且公差0
2022年高考数学文试题分类汇编 数列 一、选择题 1、（2022年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且 *1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ， *1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N . (P ≠Q 表示点P 与Q 不重合) 若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ） A.{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{} 2 n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题学科网 1、（2022年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20. 2、（2022年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的* n N ，{23} n S ，则k 的最大值为 . 【答案】4 三、解答题 1、（2022年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列 {}n b 的公比 32933b q b = ==， 所以 2 11 b b q = =，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 由于 111a b ==， 14427 a b ==， 所以11327d +=，即2d =． 所以 21 n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）． （II ）由（I ）知，21 n a n =-， 1 3n n b -=． 因此 1 213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列 {}n c 的前n 项和 ()1 1321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ()12113213n n n +--=+-学科网 2 31 2n n -=+ ． 2、（2022年江苏省高考） 记{}1,2,100U =…， .对数列{}( )* n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若 {}12,,k T t t t =…，，定义1 2 +k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}() * n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；
数列真题汇编 ※含##卷2009-20##份,全国一、二卷2009-2015年份 <2009.##理数.T6>设等比数列{ }的前n 项和为,若 =3 ,则 =< B >. 〔A 〕 2 〔B 〕 〔C 〕〔D 〕3 <2009.##理数.T14> 等差数列的前项和为,且则 . 答案： <2010.##理数.T6>设{a n }是有正数组成的等比数列,n S 为其前n 项和.已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =< B > 〔A 〕 152 314
17．解：〔I 〕设等差数列{}n a 的公差为d,由已知条件可得110, 21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解 得11, 1. a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 〔II 〕设数列1 { }2n n n a n S -的前项和为,即2 1 11 ,122n n n a a S a S -=+++ =故,12 .224 2n n n S a a a =+++ 所以,当1n >时, 121 1111222211121()2422121(1)22 n n n n n n n n n n S a a a a a a n n ------=+++--=-+++--=--- =.2n n 所以1.2 n n n S -=综上,数列 11{ }.22 n n n n a n n S --=的前项和…………………….12分 <2012.##理数.T6>在等差数列{}n a 中,已知48+=16a a ,则该数列前11项和11=S < B > A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 <2012.##理数.T14>已知等比数列{}n a 为递增数列,且()2510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ,则数列{}n a 的通项公式=n a ____________． 答案：2n <2013.##理数.T4>下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；
2020年上海市高考数学试卷 一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.(2020·上海市·历年真题)下列等式恒成立的是() A. a2+b2≤2ab B. a2+b2≥−2ab C. a+b≥2√|ab| D. a2+b2≤−2ab 2.(2020·上海市·历年真题)已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是 () A. {x=1+3t y=−1−4t B. {x=1−4t y=−1+3t C. {x=1−3t y=−1+4t D. {x=1+4t y=1−3t 3.(2021·体验省·单元测试)在棱长为10的正方体 ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点， 已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2， 则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P,Q两点， 则Q点所在的平面是() A. AA1B1B B. BB1C1C C. CC1D1D D. ABCD 4.(2020·上海市·历年真题)命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f(x+ a)
6. (2020· 上海市·历年真题)计算：lim n→∞ n+1 3n−1= 7. (2020· 上海市·历年真题)已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ． 8. (2020· 上海市·历年真题)已知函数f(x)=x 3，f −1(x)是f(x)的反函数，则f −1(x)= 。 9. (2020· 上海市·历年真题)已知x 、y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0 ，则z =y −2x 的最大值为 10. (2020· 上海市·历年真题)已知行列式|1a b 2c d 30 |=6，则| a b c d |= 11. (2021· 安徽省·单元测试)已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ． 12. (2020· 上海市·历年真题)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则 a 1+a 2+⋯+a 9 a 10 = ． 13. (2021· 福建省·单元测试)从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况． 14. (2020· 上海市·历年真题)已知椭圆C:x 2 4+y 2 3 =1的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点(点P 在第二象限)，若点Q 关于x 轴对称点为Q′，且满足 ，求直线l 的方程是 ． 15. (2020· 上海市·历年真题)设a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f(x)同时满足下列两个条件： (1)对任意的x 0∈R ，f(x 0)的值为x 0或x 02； (2)关于x 的方程f(x)=a 无实数解， 则a 的取值范围是 ． 16. (2020·上海市·历年真题)已知a 1⃗⃗⃗⃗ ，a 2⃗⃗⃗⃗ ，b 1⃗⃗⃗ ，b 2⃗⃗⃗⃗ ，…，b k ⃗⃗⃗⃗ (k ∈N ∗)是平面内两两互不 相等的向量，满足|a 1⃗⃗⃗⃗ −a 2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i ⃗⃗⃗ −b j ⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i =1，2，j =1，2，…，k)，则k 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年上海市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•上海）计算：=． 考 数列的极限． 点： 计算题． 专 题： 分 由数列极限的意义即可求解． 析： 解 解：==， 答： 故答案为：． 本题考查数列极限的求法，属基础题． 点 评：
专 题： 常规题型． 分析：利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论． 解答：解：∵=， ∴x2+y2=﹣2xy ∴（x+y）2=0 ∴x+y=0 故答案为0 点评：本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题． 4．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是． 考 点： 余弦定理． 专 题： 解三角形． 分把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为
析： ，再利用余弦定理即 可得出． 解 答： 解：∵3a 2+2ab+3b 2﹣3c 2=0，∴ ， ∴ == ． ∴C=． 故答案为． 点评： 熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的 关键． 5．（4分）（2013•上海）设常数a ∈R ，若的二项展开式中x 7项的系数为﹣10，则a= ﹣2 ． 考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题． 分 析： 利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x 的指数为7求得x 7 的系数，列出方程求解即可．
20XX 年上海市各区高三数学二模试题分类汇编 第3部分:数列 一、选择题： 17．（上海市嘉定黄浦20XX 年4月高考模拟文科）已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和 *1 ()3n n S a n N = +∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和 是……………………………………………………………………………………（ D ） A ．13． B ．1 3- ． C ．1． D ．1-． 17. （20XX 年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟） [文科]若n n n a n 21 2111+⋅⋅⋅++++= （n 是正整数），则+=+n n a a 1（ C ）. (A) ) 1(21 +n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 2 21 121++ +n n 二、填空题： 13．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n ，联结原点O 与点(,3)n A n n +，若用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点个数，则(1)(2)(2010)f f f ++ +=______．1340 12．（上海市嘉定黄浦20XX 年4月高考模拟理科）已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和 * 1()3n n S a n N = +∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和 等于 (用数值作答)．1- 9、（上海市长宁区20XX 年高三第二次模拟理科）在等差数列{an}中，
满足3a4=7a7，且a1>0，Sn 是数列{an}前n 项的和，若Sn 取得最大值，则n= .9 13. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试文科)某企业投资72万元兴建一座环保建材厂. 第1年各种经营成本为12万元，以后每年的经营成本增加4万元，每年销售环保建材的收入为50万元. 则该厂获取的纯利润达到最大值时是在第 年. 10 14．(上海市松江区20XX 年4月高考模拟理科)已知数列{}n a 满足： m a =1（m 为正整数），1,2 31,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。若47a =，则m 所有可能的取 值为 ▲ ．56、9 11．(上海市松江区20XX 年4月高考模拟理科)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为 ▲ ．2500 3．（上海市徐汇区20XX 年4月高三第二次模拟理科） 若数列{}n a 满足： 111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）63 5．（上海市闸北区20XX 年4月高三第二次模拟理科）若无穷等比数列 {}n a 的各项和等于21a ，则1a 的取值范围是 . ) ,1()1,2 1 (+∞ 9．（上海市浦东新区20XX 年4月高考预测理科）在等比数列{}n a 中， 0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a + 的最小值为 22 . 14．（上海市浦东新区20XX 年4月高考预测理科）我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有
2020年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1,2,4}A =，集合{2,4,5}B =，则A B = ． 2．（4分）计算：1 lim 31 n n n →∞+=- ． 3．（4分）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z = ． 4．（4分）已知函数3()f x x =，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -= ． 5．（4分）已知x 、y 满足20 2300x y x y y +-⎧⎪ +-⎨⎪⎩ ，则2z y x =-的最大值为 ． 6．（4分）已知行列式126300 a b c d =，则 a b c d = ． 7．（5分）已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ． 8．（5分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则 129 10 a a a a ++⋯+= ． 9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况． 10．（5分）已知椭圆22:143 x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点 P 在第二象限） ，若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是 ． 11．（5分）设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件： （1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或2 0x ； （2）关于x 的方程()f x a =无实数解， 则a 的取值范围是 ． 12．（5分）已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈（其中1i =，2，1j =，2，⋯，k ），则k 的最大值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列不等式恒成立的是( ) A ．222a b ab + B ．222a b ab +- C ．2||a b ab + D ．222a b ab +- 14．（5分）已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是( )