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(完整word版)高中数学七大数学基本

第一：函数与方程思想

（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。

（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。

第二：数形结合思想

（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。

第三：分类与整合思想

（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。

（2）从具体出发，选取适当的分类标准。

（3）划分只是手段，分类研究才是目的。

（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。

（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。

第四：化归与转化思想

（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。

（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。

（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。

第五：特殊与一般思想

（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。

（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。

（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。

（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。

第六：有限与无限的思想

（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。

（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。

（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。

（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。

第七：或然与必然的思想

（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。

（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然。独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

极限思想在高中数学及应用

极限思想在高中解题中的运用宜宾县一中雷勇极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。例1、过抛物线 )0(2 >=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,则q p 1 1+等于（） (A)a 2 (B) a 21 (C) a 4 (D) a 4 分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为 a OF p QF 41 = ==，而+∞→=q PF ，所以 a q p 41 1→+，故选择（C ）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（） A （ 2,n n ππ-） B （1 ,n n ππ-） C （0,2 π ） D （ 21 ,n n n n ππ--） x y F P Q O H A n A 1 A 2 A 3 S

高中数学集合典型例题

-- -- 集合 1．集合概念元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算全集Ｕ：如U ＝Ｒ交集:}{B x A x x B A ∈∈=且并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或补集:}{A x U x x A C U ?∈=且３.集合关系空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8．若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１．设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.

(推荐)高中数学七大数学基本思想方法

高中数学七大数学基本思想方法第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。（2）从具体出发，选取适当的分类标准。（3）划分只是手段，分类研究才是目的。（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。第七：或然与必然的思想

高中数学四大思想

高中数学四大思想 1.数形结合思想数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.

3.函数与方程思想函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。（2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程；化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）极值的求法与极值的性质（2）由导数求最值（3）单调区间零点驻点拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间零点驻点拐点————草图（2）草图——讨论题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=．（1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明：3()2 f x ≥．解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围解：讨论点x=1/e 1/e

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法方法一函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 【例1】设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><. （1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由. 【分析】（1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】（1）由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ，所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0， 13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0. 解得：2437 d -<<-. （2）解法一：（函数的思想） n S ＝21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- ＝22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <，故212452n d ????-- ???????最小时，n S 最大.

高中数学解题的21个典型方法与技巧

高中数学解题的21个典型方法与技巧 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有： ①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有： ①()2222a ab b a b ±+=± ②()2 222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ③()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ??+++++=+++++? ? ④222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ??-????++=++=+??++-=++ ? ? ??????? 4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是：①设②列③解④写 6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。 ①因式分解型：()()0---?---=，两种情况为或型。 ②配成平方型：()()22 0---+---=，两种情况为且型。 7、数学中两个最伟大的解题思路： ①求值的思路?????→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ②求取值范围的思路 ??????→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组 8m 化成完全平方式。

2020年高中数学教学中数学思想方法的渗透

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段。为大家整理的相关的高中数学教学中数学思想方法的渗透，供大家参考选择。高中数学教学中数学思想方法的渗透摘要现阶段很多高中学生学不明白高中数学, 大部分学生能看明白教材中的内容, 对于教师讲解的知识也基本都能听明白, 但是一进入考场解题时就会出现很多问题, 其中最主要的原因就是缺乏必要的数学思想方法, 导致学生在考场没有解题思路, 因此, 要求学生灵活掌握数学思想方法是必要的。高中数学思想方法是分析、处理和解决问题的策略, 是高中数学知识体系的精髓与灵魂, 同时也是对高中数学知识最高层次的概括与提炼。在高中数学教学中对思想方法的教学渗透意义重大。关键词高中数学; 思想方法; 教学; 渗透; 高中数学教学的重要任务是让学生能够准确理解数学知识, 并且能够将所学的知识灵活应用, 这就需要高中数学教师在日常教学中要注重数学思想方法的渗透。一、高中数学七大基本思想方法函数与方程思想第一, 函数思想是用变化的观点解决实际问题中的数量关系, 根据具体问题建立相应的函数关系式, 再结合相关的函数知识解决问题的思想。在研究方程、不等式、数列和解析几何等内容时, 把函数思想应用于其中。第二, 方程思想是分析高中数学问题中变量间的相等关系, 解决相关计算问题的基本思想, 高考将函数与方程思想作为重点来考查。数形结合思想数学研究的对象就是数与形两个方面, 数形结合的数学思想方法就是根据数与形之间的相互关系, 在处理数学问题时运用数与形之间的彼此互换来解决问题的思想方法。在初中学习的一维空间中, 将实数与数轴上的点建立了一一对应关系;而在学习二维空间中, 又将这种一一对应的关系创立在实数对 (x, y) 与坐标平面上的点;在高中阶段学习了三维空间, 又将数对 (x, y, z) 与空间中的点建立了一一对应的关系。在高考数形结合思想方法应用中, 对数到形的转化的考察主要体现在选择、填空题上, 而对学生推理论证是否严密的考察则是在解答题中体现的, 并且突出形到数的转化考察。分类与整合思想分类与整合的思想方法是解决高中数学问题的基本逻辑方法, 对如何选择适合的分类标准, 要根据题目而定。分类与整合思想的本质属性是先分再合, 当教师侧重检查学生数学思维是否严谨与周密时, 就可把分类与整合思想的研究运用在含字母参数的数学题目上。

重点高中数学思想方法

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目录前言 (1) 第一章高中数学解题基本方法 (2) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法....................................十一、类比与归纳法..............................十二、观察与实验法..............................第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77)

前言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题 4

数学七大思想方法

数学七大思想方法 1 函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 2 数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 3 分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。（2）从具体出发，选取适当的分类标准。（3）划分只是手段，分类研究才是目的。（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 4 化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 5 特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 6 有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 7 或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然。（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

高中数学解题四大思想方法(数学)

思想方法一、函数与方程思想方法1 构造函数关系，利用函数性质解题根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有方法2 选择主从变量，揭示函数关系含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????

(完整版)高中数学七大数学思想

高中数学七大数学思想第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想

（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用

高中数学典型题型与解析

高中数学典型题型与解析一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中正确的结论是（） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1）（3，＋∞） D ．（-∞，-3）（1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα

高一数学思维导图

高一数学思维导图 (0)＝01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商）； 3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数、幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义函数表示方法换元法求解析式分段函数注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数→f (T)＝f ()＝f (0)＝0复合函数的单调性：同增异减一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换必修二立体几何点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90]范围：[0，90]范围：[0，180]点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化空间的距

离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积长对正高平齐宽相等必修二解析几何倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直A1B2－A2B1＝0A1B2－A2B1≠0A1A2＋B1B2＝0点斜式：y－y0＝k(x－x0)斜截式：y＝kx＋b两点式：＝截距式：＋＝1一般式：Ax＋By＋C＝0注意各种形式的转化和运用范围、两直线的交点距离点到线的距离：d＝，平行线间距离：d＝圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交D＜0，或d＞rD＝0，或d＝rD＞0，或d＜r截距注意：截距可正、可负，也可为0、必修三统计、概率、算法统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(`A)＝1－P(A)概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性顺序结构条件结构循环结构算法语言算法的特征程序框图基本算法语言算法案例辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制必修四

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