复变函数论
复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域
令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有：
),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iy
x z +==??
??
+==+=
初等复变函数：
指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 三角函数： ()
iz iz e e i z --=
21sin , z z z cos sin tan =
, z
z
z sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。
3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z μ=±
212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 1cos sin 22=+z z 双曲线函数：()
z z e e shz --=
21 ， ()
z z e e chz -+=21 ， chz
shz
thz =
对数函数： iArgz z Lnz iv u w +==+=ln 幂函数：为复常数）
（αααααArgz
i z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数）
（ααα
ααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限z
z f z z f z w z z ?-?+=??→?→?)()(lim lim
00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作
函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为:
)()
()()(lim lim
00z f dz
z df z z f z z f z w z z '==?-?+=??→?→?
复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数
x y x u ??),(，y y x u ??),(，x
y x v ??),(，y y x v ??)
,(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：
y y x v x y x u ??=??),(),(，x
y x v y y x u ??-=??)
,(),( 解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(z f 在0z 点及其邻域内处处可导，那么称)(z f 在0z 点解析。如果)(z f 在区域E 内每一点都解析，那么称)(z f 在E 内解析，或称()f z 为E 内的一个解析函数。
注：)(z f 在某点0z 解析?在该点可导?该点连续?该点有极限
区域解析?区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数. ● 设给定二元调和函数),(y x u ，作为解析函数iv u z f +=)(的实部，由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。 设二元函数),(y x v 的全微分式为：dy y
v
dx x v dv ??+??= 考虑柯西-黎曼条件可得：dy x
u dx y u dv ??+??-
= ),(y x v 的三种计算方法：
（1） 曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求
出
（2） 凑全微分显式法：把dy x
u
dx y u dv ??+??-=凑成全微分的显式，求出),(y x v 。 （3） 不定积分法
例题. 已知解析函数)(z f 的实部22),(y x y x u -=，求虚部和这个解析函数
容易验证2
2
),(y x y x u -=为调和函数：022)
,(),(2
222=-=??+??y
y x u x y x u 由柯西-黎曼条件可得：y y y x u x y x v 2),(),(=??-=?? x x
y x u y y x v 2)
,(),(=??=?? 所以有：xdy ydx dy y
v
dx x v dv 22+=??+??=
(1) 曲线积分法：
图1
取如图1所示的积分路径，可求出积分
C xy C xdy ydx C xdy ydx xdy ydx v y x x y x x x +=++=++++=
???2222222)
,()
0,()
,()
0,()
0,()
0,0(
其中C 为积分常数。 (2) 凑全微分显式法：)2(22xy d xdy ydx dy y
v
dx x v dv =+=??+??= 所以有; C xy v +=2 (3) 不定积分法： x y y x v 2),(=??，y x
y x v 2)
,(=?? 把x 视为参数，
x y
y x v 2)
,(=??对y 积分可得：)(2)(2x xy x xdy v ??+=+=? 对)(2x xy v ?+=求偏导数)(2x y v x
?'+=??
与
y x
y x v 2)
,(=??向比较可得：C x x =?=')(0)(?? 所以由)(2)(2x xy x xdy v ??+=+=?可得：C xy v +=2
所以有：iC z C xy i y x y x iv y x u z f +=++-=+=222)2()(),(),()(
可把2
*
+=z z x ,i z z y 2*-=代入上式求出
复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：
????++-=++=l
l
l
l
dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u idy dx y x iv y x u dz z f ),(),(),(),())](,(),([)(
若曲线l 由参数方程)(t x x =，)(t y y =，21t t t ≤≤给出
则有dt t y i dt t x dt t z idy dx dz )()()('+'='=+=，可得积分的计算公式
dt
t y t y t x u t x t y t x v i dt t y t y t x v t x t y t x u dt
t y i t x t y t x iv t y t x u dt
t z t y t x iv t y t x u idy dx y x iv y x u dz z f t t t t t t t t l
l
})()](),([)()](),([{)}()](),([)()](),([{)]()()]}[(),([)](),([{)()]}(),([)](),([{))](,(),([)(2
1
2
1
2
1
2
1
??
????
'+'+'-'='+'+='+=++=高阶导数公式
设)(z f 在区域E 内是解析的，在闭区域E 上是连续的，l 为E 的边界，对于区域E 内的任一点z ，)(z f 可以求导任意多次，第n 阶导数可表示为：
ζζζπ
d z f i n z f l n n ?+-=
1)()()
(2!)(
上式可看作在柯西公式?-=
l d z
f i z f ζζζπ)
(21)(对z 求n 次导，其中等式右边在积分号内对
z
f -ζζ)
(关于z 求n 次导。 幂级数： ΛΛ+-+-+=-∑∞
=n n n n n z z c z z c c z z c )()()(001000
其中：系数n c 和固定点0z 都是复常数，z 是一个复变量 幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）： R c c n n n =+∞
→1
lim
幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）： [
]1
lim
-∞
→=n
n
n c R
奇点法：幂级数中心0z 到最近奇点的距离即为收敛圆的半径R 收敛圆：R z z =-0
泰勒级数：定理：设函数)(z f 在区域E 上是解析的，0z 为区域E 内任一点，在区域E 内的圆R z z C <-0:中，)(z f 可以展开为泰勒级数：
∑
∑∞
=∞
=-=-=000)
(00))((!
1)()(n n n n n
n z z z f n z z c z f 泰勒级数的收敛半径R 为0z 到区域E 的边界的最短距离 将函数展开为泰勒级数的方法 1．直接计算系数)(!
10)
(z f n c n n =
：例题. 以00=z 为中心，将z e z f =)(展开为泰勒级数。
解：z e z f =)(的各阶导数为z n e z f =)()(，!
1
!
1)0(!10
0)(0n e n z f n c z z z n n =
===
== 所以：∑∞
==+++++=02!
!!21n n
n z
n z n z z z e ΛΛ 2. 换元法：例题. 试分别以00=z 及10=z 为中心将函数1
1
)(+-=
z z z f 展开成Taylor 级数，并指出其收敛半径.
解：利用级数
∑∞
==-0
11
n n z z ，1 112111)(0 <--=---=+-+=+-= ∑∞ =z z z z z z z z f n n )(z f 的奇点是1-=z ，从中心00=z 到1-=z 的距离为1，所以收敛半径1=R 。 3. 在收敛圆内逐项求导法(求积分法) 例题. 以00=z 为中心， 将函数2 ) 1(1 )(z z f -= 展开为Taylor 级数 解：已知 ∑∞ ==-0 11 n n z z ，1 =∞=-+==-='-0 112)1()1(1)11(n n n n z n nz z z ，1 z 展开为罗朗级数，其形式为：n n n z z c z f )()(0-= ∑∞ -∞ = 其中展开系数为： ?+-= l n n d z f i c ζζζπ 10)() (21 积分路径l 为环形区域内绕0z 的任一简单闭合曲线。 罗朗级数中n n n z z c z f )()(001-=∑∞ =称为展开式的正则部分，n n n z z c z f )()(0 1 2-= ∑--∞ =称为主要部分。罗朗级数n n n z z c z f )()(0-= ∑∞ -∞ =在环形区域201R z z R <-<内绝对且一致收敛 罗朗级数展开方法举例 例题. 将函数2)(z e z f z =在以00=z 为中心的环形区域∞< 解：∑∑∞ =-∞ ====02 02 2!!1 )(n n n n z n z n z z z e z f 在上式中令l n =-2，再把l 写成n 可得：∑∞ -=+==22)! 2()(n n z n z z e z f 例题. 已知函数1 1 )(2-=z z f ，以10=z 为中心将函数()f z 展开成罗朗级数 解：已知1 1 21112111)(2 +--=-= z z z z f 上式中的第二项1 1 21+- z 有一个奇点1-=z ，所以在10=z 为圆心的圆周21<-z 内，1 1 21+- z 可以展开为泰勒级数：n n n z z z )21()1(41) 2 1(1141211210---=----=+--∑∞= 所以有：n n n n z z z z z z f )1(2 1 )1(11211121112111)(202 ----=+--=-=+∞ =∑，210<- (1) 可去奇点：若极限)(lim 0 z f z z →存在，则称0z 为)(z f 的可去奇点。 (2) 极点. 零点：不恒为零的解析函数)(z f 如果能表示成)()()(0z z z z f m ?-= 其中m 为正整数，)(z ?在点0z 点解析，且0)(0≠z ?，那么0z 为)(z f 的m 阶零点。 零点判定定理：如果函数)(z f 在0z 点解析，那么0z 为)(z f 的m 阶零点? 0)(,0)()()(0) (0)1(00≠=='=-z f z f z f z f m m Λ 例如：1=z 为1)(3-=z z f 的一阶零点 极点：如果函数)(z f 在其孤立奇点0z 邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项 Λ ΛΛ+-++-++-++-+-= -= -----∞ -=∑n n m m m m m n n n z z c z z c c z z c z z c z z c z z c z f )()()()()()()(001001 1 0)1(00 则称0z 为函数)(z f 的m 阶极点。上式也可表示为m z z z P z f ) () ()(0-= ，其中 ΛΛ+-+-+-+=-----m m m m z z c z z c z z c c z P )()()()(001010)1( 对于)(z P ，有0)(0≠z P 且为0z 邻域内的解析函数 (3)本性奇点：函数)(z f 在其孤立奇点0z 邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项 留数概念(Residue)： 若点0z 是函数)(z f 的一个孤立奇点，函数)(z f 在环形区域R z z <-<00内解析，则在此环形区域内，)(z f 可展开成罗朗级数 Λ ΛΛΛ+-++-++-+-+=-= ----∞ -∞ =∑n n n n n n n z z c z z c c z z c z z c z z c z f )()()()()()(010*******罗朗级数n n n z z c z f )()(0-= ∑∞ -∞ =的10)(--z z 项的系数dz z f i c C ? = -)(211π 叫作函数)(z f 在0z 点 的留数（或残数），记作]),([Re 0z z f s 。 留数定理：设函数)(z f 在简单闭合曲线C 所围区域E 内除有限个孤立奇点n z z z Λ,,21外处处解析，在闭区域E 上除n z z z Λ,,21外连续，则有：∑?==n k k C z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π 其中沿曲线C 的积分方向为逆时针方向。 留数的计算 (1) 若0z 为)(z f 的可去奇点，0z 为中心的罗朗级数中不含负幂次项，则：0]),([Re 0=z z f s (2). 若点0z 为)(z f 的一阶极点：)]()[(lim ]),([Re 0100 z f z z c z z f s z z -==→- 若函数)(z f 可以表示为) () ()(z Q z P z f = 的特殊形式，其中函数)(z P 和)(z Q 都在0z 点解析，点0z 为)(z Q 的一阶零点（0)(0=z Q ），且0)(0≠z P ，点0z 必为) () ()(z Q z P z f = 的一阶极点，则有公式：)()(])()() ([ lim )]()[(lim ]),([Re 000 0000 z Q z P z z z Q z Q z P z f z z z z f s z z z z '= --=-=→→ (3). 若0z 为)(z f 的m 阶极点，则函数)(z f 在环形区域R z z <-<00内的罗朗级数展开式为：ΛΛ+-++-++-+-= --+--)()() ()()(01001 1 010z z c c z z c z z c z z c z f m m m m 可容易得到计算)(z f 在点0z 的留数的公式： )]()[(lim )!1(1]),([Re 011 100z f z z dz d m c z z f s m m m z z --==--→- (4). 若0z 为)(z f 的本性奇点，求留数采用罗朗级数展开法或直接计算围道积分。 ● 复数形式的傅里叶级数：∑∞ -∞ == k l x k i k e c x S π)(， dx e x f l c l l l x k i k ?--=π)(21， 对于复数形式的傅里叶级数，尽管)(x f 是实变函数，但其傅立叶系数k c 却可能是复数。 容易证明：在区间],[l l -上的函数系},2,1,0:{Λ±±=k e l x k i π有如下性质： ?? ?=≠==?? --* -m k l m k dx e e dx e e l l l x m i l x k i l l l x m i l x k i 20)(ππππ δ函数：如果一个函数在),(∞-∞∈x 上满足下列条件： (1) ? ??=∞≠=-00 0,,0)(x x x x x x δ (2) ? ??<<><=-?)1) ,(,0)(0000b x a x x b a dx x x b a （，，或都都δ 这样的函数)(0x x -δ称为δ函数。 δ函数等价的泛函定义：若对于任意一个定义在),(∞-∞上的连续函数)(x f 总有： dx x f x x x f )()()(00?∞ ∞--=δ 数理方程 分离变量法解题的一般步骤 (1) 代入试探解)()(),(t T x X t x u =，将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化 为常微分 方程的定解问题。 (2) 依据齐次边界条件，确定本征值n λλ=和本征函数)(x X n 。 (3) 求解关于)(t T 的常微分方程的通解)(t T n ，把得到的通解与本征函数相乘得到本征解 )()(),(t T x X t x u n n n =，这时本征解),(t x u n 中还包含着任意常数。 (4) 利用叠加原理，求出定解问题的解∑∞ ==1 ),(),(n n t x u t x u 。 (5) 应用本征函数的正交性以及初始条件确定任意常数。 例题：求细杆的导热问题，杆长为l ，两端保持为摄氏零度，初始温度分布为： 2 ) (l x l x u t -= =。 解：本题的定解问题为： ??? ? ???<<-=>==>< (),()0(,0),(,0),()0,0(,2 002 2 2l x l x l x t x u t t x u t x u t l x x u a t u t l x x 应用分离变量法，设)()(),(t T x X t x u =，代入到泛定方程和边界条件可得： ① ???===+''0)(,0)0(0 )()(l X X x X x X λ ② 0)()(2=+'t T a t T λ ① 式的本征值),2,1,0(,)( 2Λ===n l n n πλλ，本征解为x l n A x X n n πsin )(= ② 式的解为：2 )()(l a n n n e B t T π-= 则本题的本征解为x l n e C t T x X t x u t l a n n n n n ππsin )()(),(2 )(-== 其中待定常数n n n B A C =。 本题的解),(t x u 表示为本征解),(t x u n 的线性叠加： ∑∑∞ =-∞===1 )( 1 sin ),(),(2 n t l n n n n x l n e C t x u t x u ππ 代入初始条件可得： ∑∞==-=1 2sin )()0,(n n x l n C l x l x x u π 展开系数为：),2,1,0()12(80sin )(233122202Λ=?? ??? +==?-=++?k k C C xdx l n l x l x l C k k l n ππ 所以问题的解为：∑∞ =+- ++=0 )12(3 3 2 2 22)12(sin )12(8),(k t l a k xe l k k t x u ππ π 用本征函数展开法求解非齐次方程 ●齐次边界条件和零初始条件（齐次定解条件）下的非齐次方程的定解问题 例．设有如下定解问题 ??? ? ?? ?<<=??=>==><<+??=??====)0(, 0)0(0)0,0(,),(00022 222l x t V V t V V t l x t x f x V a t V t t l x x 则用本征函数展开法求解的步骤如下： 第一步. 求解相应齐次边界条件的齐次方程的本征解 ?????>==>< 0(0)0,0(,022 222t V V t l x x V a t V l x x 由分离变量法（参考例1）可得本征解系? ?? ???==),2,1(,sin )(Λn x l n x X n π 第二步. 设非齐次方程的本征解为x l n t T t X t T t x V n n n n π sin )()()(),(==，非齐次方程的解可表示为本征解的线性叠加： ∑∑∞ =∞ ===1 1 sin )(),(),(n n n n x l n t T t x V t x V π 第三步. 把非齐次方程中的自由项用本征解系? ?? ???=),2,1(,sin Λn x l n π展开 x l n t f t x f n n ∑∞ ==1sin )(),(π 其中展开系数)(t f n 由本征解x l n π sin 的正交性求出如下 xdx l n t x f l t f l n ?= 0sin ),(2)(π 第四步. 把非齐次方程的解∑∞ ==1sin )(),(n n x l n t T t x V π和x l n t f t x f n n ∑∞ ==1 sin )(),(π代入到定解问题中的泛定方程可得： x l n t f x l n t T l n a x l n t T t x f x V a t V n n n n n n ∑∑∑∞ =∞=∞=+-=''?+??=??1 2 12122 222sin )(sin )()(sin )(),(ππππ 考虑到本征解x l n π sin 的正交性，由上式可得： )()()( )(2 2t f t T l n a t T n n n =+''π 同理，把非齐次方程的解∑∞ ==1 sin )(),(n n x l n t T t x V π 代入到初始条件可得： 0 )0()0(0sin )0(sin )0(01 100='=?='=?=??=∑∑∞ =∞===n n n n n n t t T T x l n T x l n T t V V π π 则可得关于)(t T n 的定解问题： ?? ??? ='==+''0)0()0() ()()()(22n n n n n T T t f t T l n a t T π 上式可由拉普拉斯变换来求解，所得的解如下： ττπ τπ ππd t l an f an l t l an an l t f t T t n n n )(sin )(sin )()(0 -=* =? 第五步. 把)(t T n 代入∑∑∞ =∞ ===1 1 sin )(),(),(n n n n x l n t T t x V t x V π 得到非齐次方程的定解问题的解为： ∑? ∞ =-=10 sin ])(sin )([ ),(n t n x l n d t l an f an l t x V π ττπτπ 由上面的推导可知解满足泛定方程，齐次边界条件和零初始条件。 对于齐次边界条件和非零初始条件的非齐次方程的定解问题的求解，可由叠加定理化为齐次边界条件和非零初始条件的齐次方程，以及齐次边界条件和零初始条件的非齐次方程的定解问题的线性叠加。 例． 已知如下的齐次边界条件和非零初始条件的非齐次方程的定解问题 ??? ??? ?<<=??=>==><<+??=??====)0(, )(),()0(0)0,0(,),(0002 2 222l x x t U x U t U U t l x t x f x U a t U t t l x x ψ? 令),(),(),(t x W t x V t x U +=，由叠加定理可得如下两个关于),(t x V 和),(t x W 的定解问题： ??? ? ?? ?<<=??=>==><<+??=??====)0(, 0)0(0)0,0(,),(00022 222l x t V V t V V t l x t x f x V a t V t t l x x ??? ? ?? ?<<=??=>==>< )(),()0(0)0,0(,0002 2 222l x x t W x W t W W t l x x W a t W t t l x x ψ? 关于),(t x V 和),(t x W 的定解问题的线性叠加即为原来的定解问题。它们的求解可用前面介绍的特征函数展开法以及分离变量法求解。 二阶线性常微分方程的标准形式为： 0)()()()()(2 2=++x y x q dx x dy x p dx x y d 例如：勒让德方程： 0) 1()1(120 )1(2)1(2222 222 =Θ-++Θ--Θ?=Θ++Θ -Θ-x n n dx d x x dx d n n dx d x dx d x 例如：贝塞尔方程： 0)()(1)(0 )()()()(2 2 2222=-+'+''?=-+'+''x y x n x x y x x y x y n x x y x x y x 二阶线性常微分方程中的函数)(x y ，)(x p 和)(x q 在某个区间],[b a 内为实函数，而对方程级数解法的讨论需要在复数z 平面上进行。 不失一般性，我们讨论复变函数)(z w 的二阶线性常微分方程 0)()()()()(2 2=++z w z q dz z dw z p dz z w d (1) 在满足初始条件00)(C z w =，10)(C z w ='下的级数解，其中0C ，1C 为任意给定的复常数。 施图姆－刘维尔(SL)本征值问题 施图姆－刘维尔(SL)型方程：形式为 )(,0)()(])([b x a y x y x q dx dy x p dx d ≤≤=+-λρ的二阶常微分方程称为施图姆－刘维尔(SL)型方程，其中：)(x p 为核函数，)(x ρ为权函数，λ为分离变量过程中引入的参数。 注：一般的二阶常微分方程0)()()(=++'+''y x c y x b y x a y λ，乘上函数?dx x a e )(就可以化成施 图姆－刘维尔(SL)型方程： 0])([])([][)()()(=?+?+'?y e x c y e x b y e dx d dx x a dx x a dx x a λ 施图姆－刘维尔(SL)本征值问题：在一定的边界条件下，求解施图姆－刘维尔(SL)型方程的λ值(本征值)以及相应的非零解(本征函数)。 如：在施图姆－刘维尔(SL)方程中： (1) 取21)(x x p -=，0)(=x q ，1)(=x ρ，两边界点1-=a ，1=b ，以及自然边界条件) 1(-y 和)1(y 为有限值，则可构成如下的勒让德方程本征值问题 ?? ???-=+--?=+-有限有限，自然边界条件：)1()1(0 2)1(0])1[(22 22y y y dx dy x dx y d x y dx dy x dx d λλ (2) 取2 1)(x x p -=，2 2 1)(x m x q -=，1)(=x ρ，两边界点1-=a ，1=b ，以及自然边界条件)1(-y 和)1(y 为有限值，则可构成如下的连带勒让德方程本征值问题 ?? ???-=--+--?=+---有限有限，自然边界条件：)1()1(0)1(2)1(01])1[(2222 2222y y y x m dx dy x dx y d x y y x m dx dy x dx d λλ (3) 取x x p =)(，x n x q 2)(=，x x =)(ρ，两边界点0=a ，R b =，以及边界条件)0(y 有限， 0)(=R y ，则可构成如下的贝塞尔方程本征值问题 ?? ???==+-+?=+-0)()0(0 0][2222R y y xy y x n dx dy dx y d x xy y x n dx dy x dx d 有限，λλ 方程的常点：如果方程(1)的系数函数)(z p 和)(z q 在选定的0z 点的邻域内都是解析的，则称点0z 为方程(1)的常点。 ● 方程常点邻域内的级数解： 定理：如果)(z p 和)(z q 在圆R z z <-0内是单值解析的，则方程(1)在这圆内存在唯一的解析解)(z w 满足初始条件00)(C z w =，10)(C z w ='，其中0C ，1C 为任意给定的复常数。 既然方程(1)在常点0z 的邻域R z z <-0内存在唯一的解析解)(z w ，则)(z w 可表示为此邻域 上的泰勒级数：)(,)()(00 0R z z z z a z w n n n <--=∑∞ = 其中系数ΛΛ,,,210a a a 待定。 例如：勒让德方程01) 1(122 222=-++-- y x n n dx dy x x dx y d 其中212)(x x x p -- =，2 1)1()(x n n x p -+=，则0=x 为其常点，根据常点邻域内级数解的定理，勒让德方程在0=x 的邻域内具有泰勒级数形式的解∑∞ ==0 )(k k k x a x y 。 ● 勒让德(Legendre)方程的导出 勒让德方程来源于在球坐标系下用分离变量法求解偏微分方程。 图8-1 如图8-1为球坐标系的示意图，球坐标与直角坐标的关系为： ?θcos sin r x =， ?θsin sin r y =， θcos r z = 三维拉普拉斯方程在球坐标系下的表达式为： 0sin 1)(sin sin 1)(102 2222222 =??+????+?????=??θθθθθu r u r r u r r r u 应用分离变量法求解，令)()()(),,(?θ?θΦΘ=r R r u ，代入方程可得： 0sin 1)(sin sin 1)(12 222222=Φ Θ+ΘΦ+?ΘΦ? θθθθθd d r R d d d d r R r dR r dr d r 用ΘΦ R r 2 乘以上式可得： 2 2 222 2221sin 1)(sin 1sin 1)(101sin 1)(sin 1sin 1)(1?θθθθθ?θθθθθd d d d d d r dR r dr d R d d d d d d r dR r dr d R Φ Φ-ΘΘ-=?? =Φ Φ+ΘΘ+? 等式左端只与r 有关，右端只与θ，?有关，要使等式成立只有左右两端都等于一个常数，令这一常数为)1(+n n ，则可得： ① 0)1(2)1()(122 22=+-+?+=?R n n dr dR r dr R d r n n r dR r dr d R ② 2 2 22221sin )1()(sin sin )1(1sin 1)(sin 1sin 1?θθθθθ?θθθθθd d n n d d d d n n d d d d d d Φ Φ-=++ΘΘ? +=ΦΦ-ΘΘ- 其中①式为欧拉型方程，令t e r =，参考第七章例4可得其通解解为： )1(21)(+-+=n n r A r A r R ②式中等式左端只与θ有关，右端只与?有关，由周期性条件)()2(?π?Φ=+Φ可令等式两端都等于常数),2,1,0(2Λ=m m ，则可得： ???? ?m B m B m d d m d d sin cos )(01212222 22+=Φ?=Φ+Φ?=ΦΦ- ③ 0]sin )1([)(sin sin 1sin )1()(sin sin 22 2 2=Θ-++Θ?=++Θ Θθ θθθθθθθθθm n n d d d d m n n d d d d 上式③称为n 阶连带勒让德方程。 在③式中作变量替换，令θcos =x ，有1≤x ，令)()(x y =Θθ，则可得： dx dy d dx dx dy d d θθθsin -==Θ ])1[()sin (sin 1)(sin sin 122dx dy x dx d d dx dx dy dx d d d d d -=-=Θθθθθθθθ 则③式的n 阶连带勒让德方程可化为： 0]1)1([])1[(2 22=--++-y x m n n dx dy x dx d 亦即： 0]1)1([2)1(2 2 222 =--++--y x m n n dx dy x dx y d x 其值为有限的解是连带勒让德多项式)(x P m n 。 当0=m 时，在这种条件下),,(?θr u 与?无关，则n 阶连带勒让德方程可进一步简化为勒让德方程： 0)1(2)1(222 =++--y n n dx dy x dx y d x 总结：球坐标系中三维拉普拉斯方程的解为： ? θ?θ?θ?θm P r D r C m P r B r A r R r u m m n m n n m n n m n m m n m n n m n n m n m m n sin )(cos )(cos )(cos )() ()()(),,(0)1(,,0)1(,,0∑∑∑∑∑∑∞=∞ =+-∞=∞=+-∞ =∞ =+++=ΦΘ= ● 勒让德方程和自然边界条件构成的本征值问题 在球坐标系中分离变量已得勒让德方程： 01) 1(120)1(2)1(2 222222 =-++--?=++--y x n n dx dy x x dx y d y n n dx dy x dx y d x 勒让德方程的解在边界1,1-+=x 为有限值的自然边界条件 勒让德多项式的微分表示（罗德里格斯公式）： n n n n n x dx d n x P )1(!21)(2-= 勒让德多项式为勒让德方程0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-n n dx d x dx d x 满足自然边界条件，即 在两端点1±=x 处为有限值的本征解。 勒让德多项式的积分表示（拉普拉斯积分）：由复变函数中解析函数的高阶导数公式，可把勒让德多项式的微分式表示为如下的围道积分： dz x z z i x dx d n x P C n n n n n n n n ?+--= -=122)()1(2121)1(!21)(π 其中C 为复数z 平面上围绕x z =的任一闭合围道。 勒让德多项式的母函数（生成函数）公式： 1,1, )(2110 2 <≤=+-∑∞ =z x z x P z xz n n n 函数 2 211z xz +-称为勒让德多项式)(x P n 的母函数。 勒让德多项式的正交性：作为SL 本征值问题的正交关系的例子，勒让德多项式在区间[]1,1-上满足如下正交关系： n m dx x P x P m n ≠=? -,0)()(1 1 ， 1 22 )()(2 1 1 += =? -n N dx x P x P n n n 把x 变回到变量θcos =x ，则可得正交关系： n m d P P m n ≠=? ,0sin )(cos )(cos 0 θθθθπ 1 22 sin )(cos )(cos 2 += =? n N d P P n n n θθθθπ 傅里叶—勒让德级数 定理：，若任意函数)(x f 在区间]1,1[-内分段光滑，则)(x f 可展开为傅里叶—勒让德级数： ∑∞ ==0)()(n n n x P a x f 其中展开系数： ?-+= 1 1 )()(212dx x P x f n a n n 当x 为)(x f 的连续点时，则级数收敛于)(x f ；当x 为)(x f 的间断点时，则级数收敛于 )]0()0([2 1 -++x f x f 。 例题. 求半径为1=r 的球外静电势分布。已知球外静电势u 满足拉普拉斯方程，设u 只是r ， θ的函数。已知定解问题为： ?? ???==????+????=θθθθ θ212 22cos 0)(sin sin 1)(1r u u r r u r r r 解：应用分离变量法，设)()(),(θθΘ=r R r u ，代入泛定方程可得： )1()(sin 1sin 1)(10)(sin 1sin 1)(122+=Θ Θ-=??=ΘΘ+?n n d d d d r dR r dr d R d d d d r dR r dr d R θ θθθθθθθ所以可得： ① 0)1(22 2 2=+-+R n n dr dR r dr R d r ② 0)1()(sin sin 1=Θ++Θn n d d d d θ θθθ 其中①式为欧拉型方程，其通解为：)1()(+-+=n n n n n r B r A r R ；②式为勒让德方程，其在两 个端点为有限值，即∞<Θ=Θ)1()0(cos ，∞<-Θ=Θ)1()(cos π的本征解为勒让德多项式 )(cos )(θθn n P =Θ。 本例题的本征解可表示为：)(cos ][),()1(θθn n n n n n P r B r A r u +-+= 通常选取无穷远处为零电势点，即0),(lim =∞ →θr u n r ，所以应当取0=n A 本例题的解可表示为本征解的线性叠加： ∑∑∞ =+∞ ===0 1 )(cos 1),(),(n n n n n n P r B r u r u θθθ 其中展开系数n B 可由边界条件θ21cos ==r u 确定。代入边界条件θ21cos ==r u 可得： ∑∞ ====0 2 1 )(cos cos ) ,(n n n r P B r u θθθ 应用比较系数法可得： 3 2,0,31)1cos 3(2 1 cos )(cos )(cos )(cos cos 21022102211002= ==?-++=++=B B B B B B P B P B P B θθθθθθ 本例题的解为：)3 1(cos 131)1cos 3(21132131),(2 323-+=-+= θθθr r r r r u 复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准 复变函数与积分变换期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是（Λ2,1,0,23 ±±=+-k k ππ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π+ ）；3. 211)(z z f += ， =)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 总分—=四五六七八 阅卷 复核 安徽建筑大学试卷（A卷）第1页共4页 （2013—2014学年第2学期）适用年级专业：电气、自动化、测控专业 考试课程：数字电子技术基础A 班级：学号： __________________________ 姓名： 一、填空题：（每空1分，共20 注 . 学 生 不 得 在 草 稿 纸 上 答 题， 答 题 不 得 超 出 框 体1 .十进制数3. 625的二进制数和8421 BCD码分别为（） （） 2.三态门输出的三种状态分别为：（）、（）和（）. 3.主从型JK触发器的特性方程. 4.用4个触发器可以存储（）位二进制数. 5.逻辑函数Y = + C的两种标准形式分别为（）、 和 （）. 6.将2015个“1”异或起来得到的结果是（）? 是脉冲的整形电路。 8.JK 触发器、当JK二10, Q*=（）,JK二11 旦Q二0,则Q*= （） 9.二进制负整数-1011011,反码表示为（）补码表示为（ ） 10.对500个符号进行二进制编码，则至少需要（）位二进制数。 11.SR触发器的特性方程为（）,（ ）。 12.如用OV表示逻辑1, -1OV表示逻辑0,这属于（）逻 辑。 二、选择题：（每题2分，共20分） :Q _ 勺 CP Q - Q I I AB C D （）2单稳态触发器的输出脉冲的宽度取决于（） A.触发脉冲的宽度 B.触发脉冲的幅度 C.电路本身的电容、电阻的参数 D.电源电压的数值 （）3.下图所示施密特触发器电路中，它的回差电压等于多少 A、2v B、5v C、4v D、3v ,I ----------- ZV 8 4 s—— 6 2 555 3 （1） 1 5 -L 1+4V （）4.请判断以下哪个电路不是时序逻辑电路： A、计数器 B、寄存器 C、数据比较器 D、触发器 （）5.某电路的输入波形Ui和输出波形赤如下图所示，贝IJ 操作系统复习题1 一、判断题 1.分时系统中，时间片设置得越小，则平均响应时间越短。（） 2.多个进程可以对应于同一个程序，且一个进程也可能会执行多个程序。（） 3.一个进程的状态发生变化总会引起其他一些进程的状态发生变化。（） 4.在引入线程的OS中，线程是资源分配和调度的基本单位。（） 5.信号量的初值不能为负数。（） 6.最佳适应算法比首次适应算法具有更好的内存利用率。（） 7.为提高对换空间的利用率，一般对其使用离散的分配方式。（） 8.设备独立性是指系统具有使用不同设备的能力。（） 9.隐式链接结构可以提高文件存储空间的利用率，但不适合文件的随即存取。（） 10.访问控制矩阵比访问控制表更节约空间。（） 二、选择题 1.在设计分时操作系统时，首先要考虑的是（A）；在设计实时操作系统时，首先要考虑的是（B）；在设计批处理系统时，首先要考虑的是（C）。 A,B,C ：（1）灵活性和适应性；（2）交互性和响应时间；（3）周转时间和系统吞吐量；（4）实时性和可靠性。 2.对一个正在执行的进程：如果因时间片完而被暂停执行，此时它应从执行状态转变为（D）状态；如果由于终端用户的请求而暂停下来，则它的状态应转变为（E）状态；如果由于得不到所申请的资源而暂停时下来，则它的状态应转变为（F）状态。D,E,F:（1）；静止阻塞（2）；活动阻塞（3）；静止就绪（4）；活动就绪（5）执行。 3.我们如果为每一个作业只建立一个进程，则为了照顾短作业用户，应采用（G）；为照顾紧急作业用户，应采用（H）；为能实现人机交互，应采用（I）；而能使短作业、长作业和交互作业用户满意时，应采用（J）。 G,H,I,J：（1）；FCFS调度算法（2）；短作业优先调度算法；（3）时间片轮转算法；（4）多级反馈队列调度算法；（5）基于优先权的剥夺调度算法。 4.由固定分区发展为分页存储管理方式的主要推动力是（K）；由分页系统发展为分段系统，进而发展为段页式系统的主要动力分别是(L)和(M)。 K,L,M:（1）提高内存利用率；（2）提高系统吞吐量；（3）满足用户需要；（4）更好地满足多道程序进行的需要；（5）既满足用户需求，又提高内存利用率。 5.在存储管理中，不会产生内部碎片的存储管理方式是（N）；支持虚拟存储器，但不能以自然的方式提供存储器的共享和存取保护机制的存储管理方式是（O）。 N：(1)分页式存储管理；(2)分段式存储管理；(3)固定分区式存储管理；(4)段页式存储管理。 O：（1）段页式存储管理；（2）请求分区页式存储管理；（3）请求分段式存储管理；（4）可变分区存储管理；（5）固定分区存储管理；（6）单一连续分区式存储管理。 6.磁盘调度主要是为了优化（P），下列算法中能避免磁盘粘着的现象的是（Q）。P：（1）寻道时间；（2）旋转延迟时间；（3）传输时间。 Q：（1）SSTF;（2）FCFS;（3）SCAN;（4）CSCAN;（5）FSCAN。 7.文件系统中，目录管理最基本的功能是（R），位示图的主要功能是（S），FAT 表的主要功能是（T）。 R，S，T：（1）实现按名存取；（2）提高文件存储空间利用率；（3）管理文件存储器的空闲空间；（4）指出分配给文件的盘块（首个盘块除外）的地址；（5）管理文件存储器的空闲空间，并指出分配给文件的盘块（首个盘块除外）的地址。 8.文件系统采用多级目录结构，可以（U）和（V）。 U,V：（1）缩短访问文件存储器时间；（2）节省主存空间；（3）解决不同用户文件的命名冲突；（4）方便用户读写文件；（5）提高检索目录的速度。9.计算机系统中信息资源的安全包括（W）、（X）和（Y）三个方面，其中程序被删除属于（W）方面的威胁，数据被非法截取属于（X）方面的威胁，消息被更改属于（Y）方面的威胁。 W,X,Y：（1）保密性；（2）完整性；（3）可用性；（4）方便性。 三、填空题 1.操作系统最基本的特征是（1）和（2），最主要的任务是（3）。 2.引入进程的主要目的是（4），进程存在的唯一标志是（5）。 3.（6）是指通过破坏死锁产生的必要条件来防止死锁的发生。引起死锁的四个必要条件中，（7）是不应该被破坏的，但对某些特殊的资源（如打印机），该条可通过（8）来破坏；而其他能被破坏的三个必要条件分别是（9）、（10）和（11）。 4.虚拟存储器管理的基础是（12）原理，在请求分页管理方式中，页表中的状态位用来只是对应页（13）修改位用来只是对应页（14），引用位则是供（15）使用；而在请求分段系统还增加了增补位，它用来指示（16）。 5.设备驱动程序是（17）与（18）之间的通信程序如果系统中有3台相同的单显和2台相同的彩显则必须为它们配置（19）种设备驱动程序 6.廉价磁盘冗余阵列可组成一个大容量磁盘系统，它利用（20）技术来提高磁盘系统的存取进度，而利用（21）技术来增加磁盘系统的可靠性 7.包过滤防火墙工作在（22）层，采用代理服务技术的防火墙则工作在（23）层 8.UNIX文件系统对文件存储空间采用（23）分配方式，它通过（24）来管理空闲的文件存储空间。 四、问答题 1.假设某多道程序设计系统中有供用户使用的内存100k，打印机1台。系统采用可变分区管理内存：对打印机采用静态分配，并假设输入输出操作的时间忽略不计：采用最短剩余时间优先的进程调度算法，进程剩余执行时间相同时采用先来先服务算法；进程调度时机在执行进程结束时或有新进程到达时。现有一进程序列如下： 假设系统优先分配内存的低地址区域，且不需移动已在主存中的进程，请：（1）给出进度调度算法选中进程的次序，并说明理由。 （2）全部进程执行结束所用的时间是多少？ 2.请用信号量解决以下的过独木桥问题：同一方向的行人可连续过桥，当某一方向的行人必须等待：另一方向的行人必须等待：当某一方向无人过桥是，另一方向的行人可以过桥。 3.提高内存利用率的途径有哪些？ 4.何谓脱机输入/输出技术？ 5. 将目录文件当作一般数据文件来处理有什么优缺点？ 操作系统复习题1答案 一、判断题 1、错 2、对 3、错 4、对 5、对 6、错 7、错 8、错 9、对10、错 二、选择题 1、A ：(2)；B：(4)；C：（3）。 2、D：（4）；E:(3)；F:(2)。 3、G：（2）；H:（5）；I:（3）；J：（4）。 4、K：（1）；L：（3）；M：（5）。 5、N：（2）；O：（2）。 6、P：（1）寻道时间；Q：（5）。 7、R：（1）；S：（3）；T：（5）。 8、U：（3）；V：（5）。 9、W：（3）；X：（1）；Y：（2）。 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 安 徽 建 筑 大学 试 卷（ A 卷） 第 1 页 共 6 页 （ 2014—2015学年第2 学期 ） 适用年级专业：电气、自动化、测控专业 注 ：学 生 不 得 在 草 稿 纸 上 答 题，答 题 不 得 超 出 框 （ ）3.下图所示施密特触发器电路中，它的回差电压等于多少 A.2v B.5v C.4v D.3v （ ）4.请判断以下哪个电路不是时序逻辑电路： A.计数器 B.寄存器 C.数据比较器 D.触发器 （ ）5.某电路的输入波形 Ui 和输出波形Uo 如下图所示，则该电路为： A.施密特触发器 B.反相器 C.单稳态触发器 D.JK 触发器 （ ）6.已知逻辑函数 C B C A AB Y '+'+= 与其相等的函数为： A.AB B. C A AB '+ C.C B AB '+ D.C AB + ( )7.下列触发器中上升沿触发的是（ ）。 A.主从RS 触发器； B.JK 触发器； C.T 触发器； D.D 触发器 （ ）8.下列几种A/D 转换器中，转换速度最快的是。 A.并行A/D 转换器 B.计数型A/D 转换器 C.逐次渐进型A/D 转换器 D.双积分A/D 转换器 （ ）9．单稳态触发器的输出脉冲的宽度取决于（ ） A ．触发脉冲的宽度 B ．触发脉冲的幅度 C ．电路本身的电容、电阻的参数 D ．电源电压的数值 （ ）10. 指出下列电路中能够把串行数据变成并行数据的电路是（ ）。 A ．JK 触发器 B ．3/8线译码器 C ．移位寄存器 D ．十进制计数器 三、逻辑函数化简及形式变换：（共15分,每题5分） 1.（代数法化简为最简与或式）CD ACD ABC C A F +++'='1 2.（卡诺图法化简逻辑函数） υ 一、选择题 1、在现代操作系统中引入了（），从而使并发和共享成为可能。 A.单道程序 B. 磁盘 C. 对象 D.多道程序 2、( )操作系统允许在一台主机上同时连接多台终端，多个用户可以通过各自的终端同时交互地使用计算机。 A.网络 B.分布式 C.分时 D.实时 3、从用户的观点看，操作系统是（）。 A. 用户与计算机硬件之间的接口 B.控制和管理计算机资源的软件 C. 合理组织计算机工作流程的软件 D.计算机资源的的管理者 4、当CPU处于管态时，它可以执行的指令是（）。 A. 计算机系统中的全部指令 B. 仅限于非特权指令 C. 仅限于访管指令 D. 仅限于特权指令 5、用户在程序中试图读取某文件的第100个逻辑块时，使用操作系统提供的（）接口。 A. 系统调用 B.图形用户接口 C.原语 D.键盘命令 6、下列几种关于进程的叙述，（）最不符合操作系统对进程的理解 A.进程是在多程序并行环境中的完整的程序。 B.进程可以由程序、数据和进程控制块描述。 C.线程是一种特殊的进程。 D.进程是程序在一个数据集合上运行的过程，它是系统进行资源分配和调度的一个独立单位。 7、当一个进程处于（）状态时，称其为等待（或阻塞）状态。 A. 它正等待中央处理机 B. 它正等待合作进程的一个消息 C. 它正等待分给它一个时间片 D. 它正等待进入内存 8、一个进程释放一种资源将有可能导致一个或几个进程（）。 A.由就绪变运行 B.由运行变就绪 C.由阻塞变运行 D.由阻塞变就绪 9、下面关于线程的叙述中，正确的是（）。 A.不论是系统支持线程还是用户级线程，其切换都需要内核的支持。 B.线程是资源的分配单位，进程是调度和分配的单位。 C.不管系统中是否有线程，进程都是拥有资源的独立单位。 D.在引入线程的系统中，进程仍是资源分配和调度分派的基本单位。 10、设有3个作业，它们同时到达，运行时间分别为T1、T2和T3,且T1≤T2≤T3，若它们在单处理机系统中按单道运行，采用短作业优先调度算法，则平均周转时间为（）。 A. T1+T2+T3 B. (T1+T2+T3)/3 C. T1+T2/3+2*T3/3 3+2*T2/3+T1 11、在下面的I/O控制方式中，需要CPU干预最少的方式是（）。 A．程序I/O方式 B．中断驱动I/O控制方式 C．直接存储器访问DMA控制方式D．I/O通道控制方式 12、有m个进程共享同一临界资源，若使用信号量机制实现对一临界资源的互斥访问，则信号量的变 - 1 - 一、填空题 1. PN 结具有单向导电性。正向偏置时，多子以扩散运动为主，形成正向电流；反向 偏置时，少子漂移运动，形成反向饱电流。 2. 双极型晶体三极管输出特性曲线的三个工作区是放大区、截止区、饱和区。 3. 已知三态与非门输出表达式C AB F ?=，则该三态门当控制信号C 为高电平时， 输出为高阻态。 4. 十进制数211转换成二进制数是(11010011)2；十六进制数是(D3)16。 5. 将若干片中规模集成电路计数器串联后，总的计数容量为每片计数容量的乘积。 6. 若用触发器组成某十一进制加法计数器，需要四个触发器，有五个无效状态。 7. 同步RS 触发器的特性方程为n 1n Q R S Q +=+；约束方程为RS=0 。 8. 下图所示电路中，Y 1 ＝B A Y 1=；Y 2 ＝ ；Y 3 ＝AB Y 3= 二、选择题 1. 下列函数中，是最小项表达式形式的是＿＿＿＿ c ＿＿＿＿＿。 A. Y=A+BC B. Y=ABC+ACD C. C B A C B A Y +?= D. BC A C B A Y +?= 2. 要实现n 1n Q Q =+,JK 触发器的J 、K 取值应为＿＿d ＿＿＿。 A ． J=0，K=0 B. J=0，K=1 C. J=1，K=0 D. J=1，K=1 3．数值[375]10与下列哪个数相等＿b ＿＿。 A ． [111011101]2 B. [567]8 C. [11101110]BCD D. [1F5]16 4．属于组合逻辑电路的是＿＿＿＿＿b ＿＿＿＿＿＿ A ． 触发器 B. 全加器 C. 移位寄存器 D. 计数器 5．M 进制计数器状态转换的特点是：设定初态后，每来＿c ＿＿个计数脉冲CP ，计数器重 新 B 2 B V CC Y 1 XX大学信息院《数字电子技术基础》 期终考试试题（110分钟）(第一套) 一、填空题：（每空1分，共15分） 1．逻辑函数Y AB C =+的两种标准形式分别为 （）、（）。 2．将2004个“1”异或起来得到的结果是（）。 3．半导体存储器的结构主要包含三个部分，分别是（）、（）、（）。 4．8位D/A转换器当输入数字量10000000为5v。若只有最低位为高电平，则输出电压为（）v；当输入为10001000，则输出电压为（）v。5．就逐次逼近型和双积分型两种A/D转换器而言，（）的抗干扰能力强，（）的转换速度快。 6．由555定时器构成的三种电路中，（）和（）是脉冲的整形电路。 7．与PAL相比，GAL器件有可编程的输出结构，它是通过对（）进行编程设定其（）的工作模式来实现的，而且由于采用了（）的工艺结构，可以重复编程，使它的通用性很好，使用更为方便灵活。 二、根据要求作题：（共15分） 1．将逻辑函数P=AB+AC写成“与或非”表达式，并用“集电极开路与非门” 来实现。 2．图1、2中电路均由CMOS门电路构成，写出P、Q 的表达式，并画出对应A、 B、C的P、Q波形。 三、分析图3所示电路：（10分） 1）试写出8选1数据选择器的输出函数式； 2）画出A2、A1、A0从000~111连续变化时，Y的波形图； 3）说明电路的逻辑功能。 四、设计“一位十进制数”的四舍五入电路（采用8421BCD码）。要求只设定一个输出，并画出用最少“与非门”实现的逻辑电路图。（15分） 五、已知电路及CP、A的波形如图4(a) (b)所示，设触发器的初态均为“0”，试画出输出端B和C的波形。（8分） 四、解答题(共20分) 1．什么是操作系统它的主要功能是什么(共8分) 操作系统是控制和管理计算机系统内各种硬件和软件资源、有效地组织多道程序运行的系统软件(或程序集合)，是用户与计算机之间的接口 操作系统的主要功能包括：存储器管理、处理机管理、设备管理、文件管理以及用户接口管理。 2．操作系统中存储器管理的主要功能是什么什么叫虚拟存储器(共8分) 存储器管理的主要功能是：内存分配，地址映射，内存保护，内存扩充。(4分) 虚拟存储器是用户能作为可编址内存对待的存储空间，在这种计算机系统中虚地址被映象成实地址。或者：简单地说，虚拟存储器是由操作系统提供的一个假想的特大存储器。(4分) 3．什么是文件的逻辑组织和物理组织(共4分) 文件的逻辑组织——用户对文件的观察和使用是从自身处理文件中数据时 采用的组织方式来看待文件组织形式。这种从用户观点出发所见到的文件组织形式称为文件的逻辑组织。 文件的物理组织——文件在存储设备上的存储组织形式称为文件的物理组织。 三、填空题(每空2分，共30分) 1．通常，进程实体是由程序段，相关的数据段和PCB 这三部分组成，其中PCB 是进程存在的惟一标志。 2．从用户的源程序进入系统到相应程序在机器上运行，所经历的主要处理阶段有编辑阶段，编译阶段，连接阶段，装入阶段和运行阶段。 3．在UNIX系统中，文件的类型主要包括普通文件，目录文件，特别文件。 4．虚拟设备是通过 SPOOLing 技术把独占设备变成能为若干用户共享的设备。 5. Windows NT是采用微内核结构的操作系统，它的进程的功能发 生了变化，它只是资源分配的单位，不是调度运行的单位，后者的功能由线程完成。 五、应用题(共20分) 5．进程所请求的一次打印输出结束后，将使进程状态从（ D） A、运行态变为就绪态 B、运行态变为等待态 C、就绪态变为运行态 D、等待态变为就绪态 6．采用动态重定位方式装入的作业，在执行中允许（C ）将其移动。 A、用户有条件地 B、用户无条件地 C、操作系统有条件地 D、操作系统无条件地 7．分页式存储管理中，地址转换工作是由（A ）完成的。 A、硬件 B、地址转换程序 C、用户程序 D、装入程序 9．对记录式文件，操作系统为用户存取文件信息的最小单位是（C ）。 、文件 D 、记录 C 、数据项 B 、字符A． 10．为了提高设备分配的灵活性，用户申请设备时应指定（A ）号。 A、设备类相对 B、设备类绝对 C、相对 D、绝对 11．通常把通道程序的执行情况记录在（D ）中。 A、PSW B、PCB C、CAW D、CSW 14．共享变量是指（D ）访问的变量。 A、只能被系统进程 B、只能被多个进程互斥 C、只能被用户进程 D、可被多个进程 15．临界区是指并发进程中访问共享变量的（ D）段。 A、管理信息 B、信息存储 C、数据 D、程序 16．若系统中有五台绘图仪，有多个进程均需要使用两台，规定每个进程一次仅允许申请一台，则至多允许（ D）个进程参于竞争，而不会发生死锁。 A、5 B、2 C、3 D、4 17．产生系统死锁的原因可能是由于（C ）。 A、进程释放资源 B、一个进程进入死循环 C、多个进程竞争，资源出现了循环等待 D、多个进程竞争共享型设备 21．引入多道程序设计的主要目的在于（BD ） A、提高实时响应速度 B、充分利用处理机，减少处理机空闲时间 、有利于代码共享C． 《数字电子技术》模拟题一 一、单项选择题（2×10分） 1．下列等式成立的是（ ） A 、 A ⊕1=A B 、 A ⊙0=A C 、A+AB=A D 、A+AB=B 2．函数F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+C+D)的标准与或表达式是（ ） A 、F=∑m(1,3,4,7,12) B 、F=∑m(0,4,7,12) C 、F=∑m(0,4,7,5,6,8,9,10,12,13,14,15) D 、F=∑m(1,2,3,5,6,8,9,10,11,13,14,15) 3．属于时序逻辑电路的是（ ）。 A 、寄存器 B 、ROM C 、加法器 D 、编码器 4．同步时序电路和异步时序电路比较，其差异在于后者（ ） A 、没有触发器 B 、没有统一的时钟脉冲控制 C 、没有稳定状态 D 、输出只与内部状态有关，与输入无关 5．将容量为256×4的RAM 扩展成1K ×8的RAM ，需（ ）片256×4的RAM 。 A 、 16 B 、2 C 、4 D 、8 6．在下图所示电路中，能完成01=+n Q 逻辑功能的电路有（ ） 。 A 、 B 、 C 、 D 、 7．函数F=A C+AB+B C ，无冒险的组合为（ ）。 A 、 B=C=1 B 、 A=0，B=0 C 、 A=1，C=0 D 、 B=C=O 8．存储器RAM 在运行时具有（ ）。 A 、读功能 B 、写功能 C 、读/写功能 D 、 无读/写功能 9．触发器的状态转换图如下，则它是： （ ） A 、T 触发器 B 、RS 触发器 C 、JK 触发器 D 、D 触发器 10．将三角波变换为矩形波，需选用 （ ） A 、多谐振荡器 B 、施密特触发器 C 、双稳态触发器 D 、单稳态触发器 二、判断题（1×10分） （ ）1、在二进制与十六进制的转换中，有下列关系： （1001110111110001）B =（9DF1）H （ ）2、8421码和8421BCD 码都是四位二进制代码。 （ ）3、二进制数1001和二进制代码1001都表示十进制数9。 （ ）4、TTL 与非门输入采用多发射极三极管，其目的是提高电路的开关速度。 （ ）5、OC 与非门的输出端可以并联运行，实现“线与”关系，即L=L 1+L 2 （ ）6、CMOS 门电路中输入端悬空作逻辑0使用。 （ ）7、数字电路中最基本的运算电路是加法器。 （ ）8、要改变触发器的状态，必须有CP 脉冲的配合。 复变函数论 复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域 令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有： ),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iy x z +==?? ?? +==+= 初等复变函数： 指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 三角函数： () iz iz e e i z --= 21sin , z z z cos sin tan = , z z z sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。 3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z μ=± 212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 1cos sin 22=+z z 双曲线函数：() z z e e shz --= 21 ， () z z e e chz -+=21 ， chz shz thz = 对数函数： iArgz z Lnz iv u w +==+=ln 幂函数：为复常数） （αααααArgz i z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数） （ααα ααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限z z f z z f z w z z ?-?+=??→?→?)()(lim lim 00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作 函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为: )() ()()(lim lim 00z f dz z df z z f z z f z w z z '==?-?+=??→?→? 复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数 《操 作 系 统》 期 末 试 卷 很好地解决了“碎片”问题的存储管理方法是（ A.页式存储管理 B.段式存储管理 C.静态分区管理 D.可变分区管理 多道程序设计是指（D ） A.在实时系统中并发运行多个程序 C.在一台处理机上同一时刻运行多个程序 D.在一台处理机上并发运行多个程序 设有3个进程共享同一程序段 而每次最多允许两个进程进入该程序， 若用PV 操作作同步机制，则信号量S 的取值范围为 （ A. 2, 1, 0, -1 B . 3, 2, 1, 0 C . 2, 1, 0, -1 , -2 10、在提供虚拟存储的系统中，用户的逻辑地址空间主要受（ C A.内存空闲块的大小 B .外存的大小 C.计算机编址范围 11、 采用时间片轮转法调度是为了 （ ） ° A.多个终端都能得到系统的及时响应 B ?先来先服务c 优先数高的进程先使用处理器 D ?紧急事件优先处理 12、 （） 必定会引起进程切换。 A. —个进程被创建后进入就绪态 B. 一个进程从运行态变成等待态 C. 一个进程从运行态变成就绪态 D ?一个进程从等待态变成就绪态 13、 操作系统根据（） 控制和管理进程，它是进程存在的标志。 A.程序状态字 B .进程控制块 C ?中断寄存器 D ?中断装置 14、 （ B ）存储管理方式提供二维地址结构。 A.固定分区 B.分段 C.分页 D.可变分区 15、 在进程管理中，当（ ）时，进程从阻塞状态变为就绪状态。 A ?进程被进程调度程序选中 B ?等待某一事件 C .等待的事件发生 D ?时间片用完 二、填空题（20*1分=20分） 1、 在单用户环境下，用户独占全机，此时程序的执行具有 _封闭性 _______ 和_可再现性_° 2、 对于信号量，在执行一次P 操作时信号量-1_ ;当其值为__<0__时，进程应阻塞。在执行V 操作时信号量的值应当_信号量+1 _;当 其值为_<=0__ 时，应唤醒阻塞队列中的进程。 3、 进程的三种基本状态分别是 、进程的三种基本状态分别是 __运行 _______ , _就绪_和_阻塞（等待）__° 4、 多道程序环境下的各道程序， 宏观上它们是—并行__运行，微观上是—串行_运行。 5、 在单CPU 系统中有 （n>1）个进程，在任一时刻处于就绪的进程最多是 _^1__个，最少是 __0 _______ 个。 6、 分区管理方案不能实现虚存的原因是 —作业地址空间不能大于存储空间 _ ° 7、 段页式存储管理中，是将作业分 _段__段___________ 内分—页 ______ 。分配以_页 _______ 为单位。在不考虑使用联想存储器快表的情况下， 每条访问内存的指令需要 _______ 3___访问内存。其中第_2_次是查作业的页表。 姓名 一、选择题（15*2分=30分） 在操作系统中，JCB 是指（A A .作业控制块B ?进程控制块 C ?文件控制块D ?程序控制块 并发进程之间（D ） A.彼此无关B.必须同步C.必须互斥 D.可能需要同步或互斥 运行时间最短的作业被优先调度，这种调度算法是（ A.优先级调度 B ?响应比高者优先 C )° C .短作业优先 D .先来先服务 某页式存储管理系统中，地址寄存器长度为 A. 210 B. 211 5、（ D ）是一种只能进行P 操作和V A ?调度B .进程C .同步D.信号量 在操作系统中，并发性是指若干事件（ A.在同一时刻 B .一定在不同时刻 24位，其中页号占 C. 214 操作的特殊变量 ° C .在某一时间间隔内 14位，则主存的分块大小是（C ）字节 D. 224 D ?依次在不同时间间隔内 B. 在分布系统中同一时刻运行多个程序 D . 1, 0, -1 , -2 )的限制。 D .页表大小 《复变函数》试卷 第 1 页 共 2 页 安徽大学2006—2007学年第二学期 《 复变函数 》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 一：填空题（每小题3分，共15分） 1．设vi u z f +=)(为复变函数，其中),(y x u u =，).(y x v v =，则)(z f 满足R C -条件，是指_____________。 2．设区域D 的边界为围线C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则解析函数)(z f 可有积分表达式为______________。 3．以无穷远点为n 阶极点的整函数的表达式为______________。 4．函数z w e =将区域0Im z π<<映照成区域___________。 5．若n n n z c z z z f )1()3)(1(1)(02-=-+=∑∞=，则)(z f 在1=z 处的泰勒级数展开的半径为________ 。 二、计算与解答（每小题15分，共45分） 1． 计算22sin (1)z z dz z z =-? 2、验证233),(xy x y x u u -==是复平面上的调和函数，并求一个以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ， 使得i f =)0(。 3．求出一个从上半单位圆盘到上半平面的保形变换。 三、证明题（每小题15分，共30分） 1．设)(z f 是单位圆盘D 上的解析函数，D D f ?)(，且?D a ∈，0)(=a f 。 试证：z a a z z f --≤ 1)(，D z ∈ 2．若)(z f 在围线C 内部除可能有极点外解析且连续到C ，在C 上1)( 《操作系统》期末试卷 姓名 一、选择题（15*2分=30分） 1、在操作系统中，JCB是指（A ） A．作业控制块B．进程控制块C．文件控制块D．程序控制块 2、并发进程之间(D) A.彼此无关 B.必须同步 C.必须互斥 D.可能需要同步或互斥 3 A 4 ?A 5、（D A 6 A 7 A. 8 A. C. 9、设有。 A．2 10 A. 11 A 12、() A C 13 A 14、(B A.固定分区 B.分段 C.分页 D.可变分区 15、在进程管理中，当（）时，进程从阻塞状态变为就绪状态。 A．进程被进程调度程序选中B．等待某一事件C．等待的事件发生D．时间片用完 二、填空题（20*1分=20分） 1、在单用户环境下，用户独占全机，此时程序的执行具有_封闭性______和_可再现性_。 2、对于信号量，在执行一次P操作时信号量-1_；当其值为__<0__时，进程应阻塞。在执行V操作时信号量的值应当_信号量+1_； 当其值为__<=0__时，应唤醒阻塞队列中的进程。 3、进程的三种基本状态分别是、进程的三种基本状态分别是__运行______，_就绪_和__阻塞（等待）__。 4、多道程序环境下的各道程序，宏观上它们是_并行__运行，微观上是_串行_运行。 5、在单CPU系统中有（n>1）个进程，在任一时刻处于就绪的进程最多是__n-1__个，最少是___0____个。 6、分区管理方案不能实现虚存的原因是_作业地址空间不能大于存储空间_。 7、段页式存储管理中，是将作业分_段__，__段_____内分___页____。分配以__页_____为单位。在不考虑使用联想存储器快表 的情况下，每条访问内存的指令需要____3___访问内存。其中第_2___次是查作业的页表。 三、简答题（4*5分=20分） （2） ????????????进程A???????????????????????????????进程B ???????????...??????????????????????????????????... ????????P(mutex)；????????????????????????????P(mutex)； 天津理工大学考试试卷 2013～2014学年度第一学期 《高频电子线路》 期末考试 答案 课程代码： 0562010 试卷编号： 5-A 命题日期： 2013 年 11 月 5 日 答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试 得分统计表： 大题号 总分 一 二 三 四 五 一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题1分，共10分） 得分 1. 下图所示抽头式并联谐振回路中，接入系数为p ，则把电容C1折合到LC 回路两端后的值为 A 。 A 12C p B 11 2C p C 1pC D 11C p 2. 某丙类高频功率放大器原工作于在欠压状态，现欲调整使它工作在临界状态，可采用办法 B 。 A CC V 增加、 bm V 减小、 p R 减小 B C C V 减小、bm V 增加、p R 增加 C CC V 减小、 bm V 减小、p R 减小 D CC V 增加、 bm V 增加、 p R 增加 3. 给一个振荡器附加AFC 系统，是为了 D 。 A 尽量保持输出电平恒定； B 使振荡器的输出与参考信号完全同步（同频同相）； C 使振荡器输出的频率与参考信号频率相等，但初相位相对于参考信号初相位有一定的剩余误差； D 使振荡频率比不加时稳定。 4. 为了保证调幅波的包络能够较好地反映调制信号， C 。 A 集电极被调功率放大器和基极被调功率放大器都应工作在欠压状态 B 它们都应工作在过压状态 C 集电极被调功率放大器应工作在过压状态，另一个则应工作在欠压状态 D 基极被调功率放大器应工作在过压状态，另一个则应工作在欠压状态 5. 下面属于非线性元件特性的是 C 。 A 只有直流电阻，且阻值随静态工作点的改变而改变 B 只有动态电阻，且阻值随静态工作点的改变而改变 C 具有频率变换的作用 D 满足叠加原理 6. 某一调谐放大器，假设输入信号的频率为2MHz 、5MHz 、10MHz ，12MHz ，当谐振回路的谐振频率为10MHz 时，频率为 C 的信号在输出信号中最强。 A 2MHz B 5MHz C 10MHz D 12MHz 7. 若调制信号的频率范围为n F F -1时，用来进行标准调幅，则形成已调波的带宽为 A 。 A n F 2 B ()12F F n - C 12F D ()n f F m 12+ 8. 多级单调谐回路谐振放大器与单级单调谐回路放大器比较，叙述正确的是 C 。 操作系统期末试题及答 案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） （答案在后面 ） 一、 填空题(每空1分,共10分) 1. 常见的I/O 控制方式有程序I/O 方式、 中断 I/O 控制方式、 DMA I/O 控制方式和 通道 I/O 控制方式四种。 2. 操作系统向用户提供的两个基本接口是 程序 接口和 用户 接口。 3. 若在一分页存储管理系统中，某作业的页表如下所示。已知页面大小为1024 字节，逻辑地址(3082)10转化得到的物理地址是 6154 。 4. 具有多路性、独立性、及时性和交互性特征的操作系统是 分时 操作系统。 5. 通道用于控制 设备控制器 与内存之间的信息 交换。 6. 事务的最基本特性是 。 7. 若盘块大小为4KB ，每个盘块号占4字节，在采用两级索引时允许的最大文件长度为 4GB 。 二、 单选题(每题2分,共20分) 1. 用磁带作为文件存贮介质时，文件只能组织成 ( )。 A. 顺序文件 B. 链接文件 C. 索引文件 D. 目录文件 2. 一作业8：00到达系统，估计运行时间为1小时，若10：00开始执行该作 业，则其响应比是( C )。 A. 2 B. 1 C. 3 D. 3. 文件系统采用多级目录结构后，对于不同用户的文件，其文件名( C )。 A. 应该相同 B. 应该不同 C. 可以相同，也可以不同 D. 受系统约束 4.死锁预防是保证系统不进入死锁状态的静态策略，其解决方法是破坏产生死锁 的四个必要条件之一。下列方法中破坏了“循环等待”条件的是 （ D ）。 A. 银行家算法 B. 一次性分配策略 C. 剥夺资源法 D. 资源 有序分配法 5.进程状态从就绪态到运行态的转化工作是由（ B ）完成的。 A. 作业调度 B. 进程调度 C. 页面调度 D. 设备 调度 6.采用缓冲技术的主要目的是（ C ）。 A. 改善用户编程环境 B. 提高CPU的处理速度 C. 提高CPU和设备间的并行程度 D. 实现与设备无关性 7.目录文件所存放的信息是（ D ）。 A. 该目录中所有数据文件目录 B. 某一文件存放的数据信息 C. 某一个文件的文件目录 D. 该目录中所有文件的目录 8.最容易形成很多小碎片的可变分区分配算法是（ D ）。 A. 首次适应算法 B. 循环首次适应算法 C. 最坏适应算法 D. 最佳适应算法 9.用户程序与实际使用的物理设备无关是由（ A ）功能实现的。 A. 设备独立性 B. 设备驱动 C. 虚拟设备 D. 设备分配 10.下面关于顺序文件、链接文件和索引文件的论述中不正确的是（ A ）。 A. 显示链接文件是在每个盘块中设置一个链接指针，用于将该文件所属的所有盘 块链接起来 B. 顺序文件必须采用连续分配方式，而链接文件和索引文件则都可采取离散 分配方式 C. 顺序文件适用于对诸记录进行批量存取时复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案
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