第一章集合与常用逻辑用语
1．集合
(1)集合的含义与表示
①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
2．常用逻辑用语
(1)理解命题的概念．
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
(5)理解全称量词和存在量词的意义．
(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．
1．1 集合及其运算
1．集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．
(2)集合中元素的三个特性：______，______，_________.
(3)集合常用的表示方法：________和________．
2
3.元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a 不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．
(2)集合与集合之间的关系：
相等集合A与集合B中的所有元素都
相同
__________
?A＝B
子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________
真子集
A中任意一个元素均为B中的元
素，且B中至少有一个元素不是A
中的元素
________或________
空集空集是任何集合的子集，是任何
______的真子集
??A，?B
(B≠?)
结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．
集合的并集集合的交集集合的补集
符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________
Venn图表示(阴影部分)
意义
5.集合运算中常用的结论
(1)①A∩B________A；②A∩B________B；
③A∩A＝________；④A∩?＝________；
⑤A∩B________B∩A.
(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；
③A∪A＝________；④A∪?＝________；
⑤A∪B________B∪A.
(3)①?U(?U A)＝________；
②?U U＝________；
③?U?＝________；
④A∩(?U A)＝________；
⑤A∪(?U A)＝________.
(4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B；
②A∩B＝A∪B?____________.
(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：
card(A∪B)＝____________________________；
card[?U(A∪B)]＝________________________.
自查自纠
1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性
(3)列举法描述法
2．N N*(N＋)Z Q R C
3．(1)属于a∈A不属于a?A
(2)A?B且B?A A?B B?A A B B A
非空集合2n2n－12n－2
4．A∪B A∩B?U A{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}
5．(1)①?②?③A④?⑤＝
(2)①?②?③A④A⑤＝
(3)①A②?③U④?⑤U
(4)①A?B②A＝B
(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)
(2017·北京)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
解：A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则()
A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝?
解：由3x＜1?x＜0，则B＝{x|x＜0}，故而A∩B＝B＝{x|x＜0}，A∪B＝A＝{x|x＜1}．故选A.
(2017·全国卷Ⅱ)设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝() A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
解：由Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.
(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
解：A 表示圆x 2＋y 2＝1上所有点的集合，B 表示直线y ＝x 上所有点的集合，故A ∩B 表示直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A ∩B 中元素的个数为2.故填2.
(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }, 则A ∩B ＝________. 解：因为A ＝{1，2，3，4}，所以B ＝{1，4，7，10}，则A ∩B ＝{1，4}．故填{1，4}．
类型一 集合及相关概念
(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9
(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则实数a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 解：(1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1； 当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.
根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个．故选C . (2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a ＝0时，x ＝2
3
，符合题意；
当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或9
8
.故选D .
【点拨】第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝?
??
?
??0，b a ，b ，则b －a ＝________.
(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝?，则实数a 的取值范围为________．
解：(1)因为{1，a ＋b ，a }＝???
?
??0，b a ，b ，a ≠0，
所以a ＋b ＝0，b
a ＝－1，从而
b ＝1，
所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.故填2. (2)由A ＝?知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，
当a ＝0时，x ＝2
3
不合题意，舍去；
当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，所以a <－9
8
.
故填?
???－∞，－9
8. 类型二 集合间的关系
已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．
(1)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ?B ，求实数m 的取值范围；
(2)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ?A ，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．
(1)若A ?B ，则????
?2m －1＞m －6，
m －6≤－2，
2m －1≥5，
解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．
(2)若B ?A ，则
①当B ＝?，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ?A ； ②当B ≠?，有????
?m ＋1≤2m －1，
m ＋1≥－2，
2m －1≤5，
解得2≤m ≤3.
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ?A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．
(1)已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则( ) A ．A ∩B ≠? B ．A ∪B ＝R C ．B ?A D ．A ?B
解：由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝R .故选B .
(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 018x －2 019≤0}，B ＝{x |x
类型三 集合的运算
(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
(2)(2016·浙江)设集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(?R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]
C ．[1，2)
D ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解：(1)集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．故选D .
(2)易知Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．所以?R Q ＝{x |－2 【点拨】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． (1)如果S ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，4}，B ＝{2，4，5}，那么(?S A )∩(?S B )等于( ) A ．? B ．{1，3} C ．{4} D ．{2，5} 解：因为?S A ＝{2，5}，?S B ＝{1，3}，所以(?S A )∩(?S B )＝?.故选A . (2)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，则P ∩(?U Q )等于( ) A ．{1，2} B ．{3，4，5} C ．{1，2，6，7} D ．{1，2，3，4，5} 解：因为?U Q ＝{1，2}，所以P ∩(?U Q )＝{1，2}．故选A . 类型四 韦恩(Venn)图 设全集为R ，集合M ＝? ?? ? ??y |y ＝2x ＋1，－12≤x ≤12，N ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x )}，则韦恩图中阴影部分表示的集 合在数轴上表示为( ) 解：因为－12≤x ≤1 2，y ＝2x ＋1，所以0≤y ≤2，所以M ＝{y |0≤y ≤2}．因为x 2＋3x >0，所以x >0或x <－3，所 以N ＝{x |x >0或x <－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(?R M )∩N ，又?R M ＝{x |x <0或x >2}，所以(?R M )∩N ＝{x |x <－3或x >2}．故选C . 【点拨】韦恩(V enn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算． 如图，全集I ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜3} C ．{x |x ＜3} D ．{x |x ＞0} 解：由韦恩(Venn)图可知，阴影部分表示的是集合A ∪B ＝{x |0＜x ＜3}．故选B . 1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的． 2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错． 3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用． 4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集． 5．五个关系式A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，?U B ??U A 以及A ∩(?U B )＝?是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． 6．正难则反原则 对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题． 例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围． 这个问题的反面即是三个集合全为空集， 即?????1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9， 解得5 8 ≤a ＜3， 从而所求a 的取值范围为?????? a |a ＜58或a ≥3. 1．(2016·北京)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |x ＜3或x ＞5}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |2＜x ＜5} B ．{x |x ＜4或x ＞5} C ．{x |2＜x ＜3} D ．{x |x ＜2或x ＞5} 解：易知A ∩B ＝(2，3)．故选C . 2．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解：由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C . 3．已知全集R ，集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩(?R B )为( ) A ．{1，2，－2} B ．{1，2} C ．{－2} D ．{－1，－2} 解：A ＝{1，2，－2}，而B 的补集是{y |y <0}，故两集合的交集是{－2}．故选C . 4．(2017·江苏)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为( ) A ．－ 2 B ．0 C ．1 D ．2 解：a 2＋3＞1，故只能有a ＝1.故选C . 5．集合P ＝{1，4，9，16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是( ) A ．除法 B ．加法 C ．乘法 D ．减法 解：当⊕为除法时，1 4?P ，所以排除A ； 当⊕为加法时，1＋4＝5?P ，所以排除B ； 当⊕为乘法时，m 2·n 2＝(mn )2∈P ，C 正确； 当⊕为减法时，1－4?P ，所以排除D.故选C . 6．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1 A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C . 7．(2017·天津)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝________. 解：A ∪B ＝{1，2，4，6}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故填{1，2，4}． 8．已知集合A ，B 与集合A @B 的对应关系如下表： A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8} B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2} A @B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8} 若A ＝{－2 019，0，2 018}，B ＝{－2 019，0，2 017}，试根据图表中的规律写出A @B ＝________. 解：由规律知，A @B 是由A ∪B 中元素去掉A ∩B 中元素构成的集合，故A @B ＝{2017，2018}．故填{2017，2018}． 9．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，且3∈A ，求m 的值． 解：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32 . 当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝??? ? ??－3，12，3满足题意．故m ＝ －32. 10．已知集合A ＝{2，3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ?A ，求实数m 的值． 解：当m ＝0时，B ＝??A ；当m ≠0时，由B ＝??????6m ?{2，3}可得6m ＝2或6 m ＝3，解得m ＝3或m ＝2，综上可 得实数m ＝0或2或3. 11．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(?R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)A ＝?????? x |12≤x ≤3， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}， A ∩B ＝???? ?? x |12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}． (2)?R A ＝?????? x |x ＜12或x ＞3， 当(?R A )∩B ＝B 时，B ??R A ，即A ∩B ＝?. ①当B ＝?，即a ≥0时，满足B ??R A ； ②当B ≠?，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }， 要使B ??R A ，只须－a ≤12，解得－1 4 ≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是??? ? ??a |a ≥－14. 设整数n ≥4，集合X ＝{1，2，3，…，n }．令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C．(y，z，w)?S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)?S，(x，y，w)?S 解：题目中x 第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 ．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2 ．设集合A ={x |1 高三数学专题练习1 集合的概念与运算 小题基础练① 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝() A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?R A＝() A．{x|－1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 答案：B 解析：因为A ＝{x |0 一、 集合的概念 1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合． 集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?； 2． 集合的性质： 确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内． 例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z 方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=} 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元 素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． 3． 常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作*N 或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ． 三、 集合之间的关系 1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 2． 简单性质：1）A ?A ；2）??A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； 3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ?且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作 A B ü（或B A Y） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且B A ? ，那么集合A 与B 相等，记作A B = 集合的概念及其关系 知识讲解 1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A C I ∪B C I =（ ） A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，1，4} D ．{0，1，2，3，4} 2．方程组3231x y x y -=?? -=?的解的集合是（ ） A ．｛x =8,y=5｝ B ．｛8, 5｝ C ．｛(8, 5)｝ D ．Φ 3．有下列四个命题： ①{}0是空集； ②若Z a ∈，则a N -?； ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x Q N x ??=∈∈???? 是有限集。 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 5．已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ） A ．M P = B ．M P ∈ C ．M ∩P =Φ D ． M ?P 6．设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（ ） A ．M =N B ． M ≠?N C ． N ≠?M D ．M ∩=N Φ 7．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠?B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞,2 B ．(]1,∞- C ．[)+∞,1 D ．(]2,∞- 8．满足{1，2，3} ≠?M ≠?{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 9．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 的子集。 则阴影部分所表示的集合为 A ．(M ∩P)∪S B ．(M ∩P)∩S C ．(M ∩P)∩(I S) D ．(M ∩P)∪(I S) 二、填空题： 1．已知{}2|1,R,R A y y x x y ==+∈∈，全集R U =，则() N U A =e ． 2．已知{},M a b =，{},,N b c d =，若集合P 满足P M 且P N ，则P 可是 ． 3．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e}，A ＝{a ，c ，d}，B ＝{b ，d ，e}， 则?UA∩?UB ＝________. 4．已知{}{}22|2013(2)400x x a x a +?++-==，则a = ． 三、解答题：(写出必要的计算步骤) 1．已知集合A ＝｛x ｜－1＜x ＜3}，A∩B＝Φ，A∪B＝R ，求集合B ． 第一章集合与常用逻辑用语 1．集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念． (2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词和存在量词的意义． (6)能正确地对含一个量词的命题进行否定． 1．1 集合及其运算 1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________． (2)集合中元素的三个特性：______，______，_________. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a 不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________． (2)集合与集合之间的关系： 相等集合A与集合B中的所有元素都 相同 __________ ?A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________ 真子集 A中任意一个元素均为B中的元 素，且B中至少有一个元素不是A 中的元素 ________或________ 空集空集是任何集合的子集，是任何 ______的真子集 ??A，?B (B≠?) 结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个． 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________ Venn图表示(阴影部分) 意义 5.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B________A；②A∩B________B； ③A∩A＝________；④A∩?＝________； ⑤A∩B________B∩A. (2)①A∪B________A; ②A∪B________B； ③A∪A＝________；④A∪?＝________； ⑤A∪B________B∪A. (3)①?U(?U A)＝________； ②?U U＝________； ③?U?＝________； ④A∩(?U A)＝________； ⑤A∪(?U A)＝________. (4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B； 高三数学一轮复习（集合、常用逻辑用语01） 【复习课题】集合的概念及运算(1) 【复习要求】 1．了解集合的概念，理解子集、交集、并集、补集的概念；明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系；弄清元素与集合、集合与集合的关系。 2．了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义。 3．掌握有关的术语和符号，会用它们正确表示一些简单的集合。 【复习过程】 (1)一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做，简称． (2)集合中的元素有三个特点：①；②；③． (3)集合中元素与集合的关系分为和两种，分别用和来表示． 集合有三种表示方法：、、。 注意：区分集合中元素的形式：如：A＝{x|y＝2x＋2x＋1}；B＝{y|y＝2x＋2x＋1}；C＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1}；D＝{x|x＝2x＋2x＋1}；E＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1，x∈Z，y∈Z}；F＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1} 2．集合间的基本关系 (1)一般地，对于两个集合A、B，如，我们就说这两个集合有 包含关系，称集合A为集合B的子集，记作. (2)对于两个集合A、B，若且，则称集合A与集合B相等． (3)如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的， 记作. 注意：条件为A?B，在讨论的时候不要遗漏了A＝φ的情况． (4)不含任何元素的集合叫做，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 思考：{0}与φ有什么区别？ (5)若A含有n个元素，则A的子集个数为个，A的非空子集个数为个，A的非 空真子集个数为个． 3．集合的基本运算 (1)一般地，由所有的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作A∪B，即：A∪B＝． (2)一般地，由的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 A∩B，即：A∩B＝． (3)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常 记作. (4)对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，记作?UA，即?UA＝． (5)A∩B＝A?，A∪B＝A?. 4．集合的运算性质 A∪φ＝，A∪A＝，A∪B＝， A∩φ＝， A∩A＝，A∩B＝， A∪(?UA)＝，A∩(?UA)＝，?U(?UA)＝. 1．由实数33 2, |, |, ,x x x x x- -组成的集合中，最多含有元素个 2．集合{x|x>1且x≤3，x∈N}中的元素有 3．已知集合S＝{x|x≤5 2}，又a＝3，则a与S的关系为 4．设集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，则集合A，B的关系是 5．已知集合M＝{x|－3 集 合、简易逻辑 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空 真子集. 集合的基本运算 1. 集合运算：交、并、补. 2. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C （3） 集合的运算律： 原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U ?C U U =φ ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 高三数学集合复习资料大全 第1讲集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn二．【命题走向】 的直观性，注意运用Venn预测2010题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1（2 三．【要点精讲】 1 （1a的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA； （2 确定性：设x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此， 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系： （1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B 包含A），记作AB（或AB）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A 有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； （2）若S是一个集合，AS，则，CS={x|xS且xA}称SA的补集； （3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=，CS=S 4．交集与并集： 一：集合 1、分类非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 2、列举法：{a,b,c……} R| x-3 3、描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x>2} ,{x| x-3>2} 4、语言描述法： 5、Venn图: 韦 恩 图 示 性 质 A A=A A Φ=Φ A B= B A A B A A B B A A=A A Φ=A A B= B A A B A A B B (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= Φ． 6、集合的分类： 有限集含有有限个元素的集合 无限集含有无限个元素的集合 空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” A?即：①任何一个集合是它本身的子集。A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)≠B,且A?②真子集:如果A C?C ,那么A?B, B?③如果A B?④如果A A 那么A=B?同时B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作…A 交B?），即A B=｛x|x A，且x B｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作…A并B?），即A B ={x|x A，或x B})． 集合、简易逻辑 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合 A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 集合的基本运算 1. 集合运算：交、并、补. 2. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C （2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C （3） 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相 反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为 真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 高三数学集合复习知识点 【一】 第一部分集合 1含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2; 2注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。 3 第二部分函数与导数 1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一，或多对一。 2.函数值域的求法：①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性; ⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义斜率、距离、绝对值的意义等;⑧利用函数有界性、、等;⑨导数法 3.复合函数的有关问题 1复合函数定义域求法： ①若fx的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[gx]的定义域由不等式a≤gx≤b解出②若f[gx]的定义域为[a,b],求fx的定义域，相当于x∈[a,b]时，求gx的值域。 2复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4.分段函数：值域最值、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5.函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ⑵是奇函数; ⑶是偶函数; ⑷奇函数在原点有定义，则; ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性; 6若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性; 【二】 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。 集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。 2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a属于集合A，记做a∈A;元素a不属于集合A，记做a?A。 3、集合中元素的特性 1确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A，6?A。 2互异性：“集合张的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。 3无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一个集合。 4、集合的分类 集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。如“方程3x+1=0”的解组成的集合”，由 “2,4,6,8,组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此两个集合是有限集。 无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素不可数的，因此他们是无限集。 特别的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记错F，如{x?R|+1=0}。 5、特定的集合的表示 黑龙江省高三数学一轮复习单元训练 集合与函数的概念 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合3{=A ,6,8}的真子集的个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】B 2．已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则?U (A ∪B )＝( ) A ．{6,8} B ．{5,7} C ．{4,6,7} D ．{1,3,5,6,8} 【答案】A 3．已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x |-1 集合及其运算 一、知识梳理：（阅读教材必修1第2页—第14页） 1、集合的含义与表示 （1）、一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合；（2）、集合中的元素有三个性质: 确定性，无序性，互异性； （3）、集合中的元素与集合的关系属于和不属于，分别用和表示； 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集 表示法R Z Q R 表示 文字语言符号语言 关系 A= B 相等集合A与集合B中的所有 元素相同 子集A中任意元素均为B中元素AB A B 真子集A中任意元素均为B中元 素，且B中至少有一个元 素不属于A φ 空集空集是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集 3、集合的基本运算 交集并集补集 符号表示 图形表示 意义 4、常用结论 （1）、集合A中有n个元素，则集合A的子集有个；真子集有个； （2）、并集：AB= B，AA=A；A=A ；ABA；AB=B （3）、交集：AB=AB；AA=A；A；=A； （4）、补集：A=; A=U 二、题型探究 [探究一]、集合的概念 例1：已知A={2，} ,若aA，由6-aA，求实数a的值。 解：若a=2，6-a=4，a=4，6-a=2，a=6，6-a=0.根据集合元素的确定性， 综上可得，a ＝ 2，4。 【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检 验结论的工具。 例2：已知集合P={x|x=2k+1,k} , Q={x|x=2k-1,k} , R={ x|x=4K } , M={ x|x=4K } , N={ x|x=4K },则（ A ） （A ）P=Q=R （B ） P=Q= M （C ）Q=R=M （D ） R=Q= N [探究二]、集合间的基本关系 例3： 下列命题：（1）.空集没有子集；（2）.任何一个集合至少有两个子集；（3）.空集是任何集合的真子集；（4）.若空集是集合A 的真子集，则A 不是空集。其中正确的是 A.0个 B.1个 C.2 个 D.3个 例4：已知集合p={},集合Q={},若,那么的值是 A.1 B.-1 C.1或-1 D.0或-1或1 [探究三]、集合的运算 例5: （15年安徽文科）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则 ()U A C B =I ( B ) （A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 例6: (2015年新课标2文科) 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则 A B =U （ A ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 三、方法提升： 1、集合元素的性质:在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利地找到解题的切入点，另一方面在解答完毕之时，注意检验集合中的元素是否满足互异性,以确保答案正确。 2、描述法中的代表元素 用描述法表示集合，首先应清楚集合的类型和元素的性质，如集合P={x|y=} , Q={(x,y)| y= }，表示不同的集合。 3、 空集的特殊性 空集中没有任何元素 ，但它是存在的，在利用解题时，若不明确集合A 是否是空集时，应对集合A 进行讨论。 4、 注意补集思想的应用 在解决时，可以利用补集的思想，先研究的情况，然后取补集。 第 1 讲：集合的概念与运算 一、课程标准 1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． 2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义． 3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 二、基础知识回顾 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?。 2、集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A。 (2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。 (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B。 (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3、集合的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?U A，即?U A＝{x|x∈U，且x?A}． 4、集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。 (2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A。A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??U A??U B (3)A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U，?U(?U A)＝A。 （4）?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)。 §1.1 集合的概念与运算 一、知识导学 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ?则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ?B 或B ?A ；如果A ?B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A. 4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ?B 、B ?A ，则A=B. 5.补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 A C s . 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U. 7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ?B. 8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ?B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R . 二、疑难知识导析 1.符号?，，?，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“?”包括“”和“=”两种情况，同样“?”包括“”和“=”两种情况.符号∈，?表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B =Φ易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏. 7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来. 集合的概念 教学目标：使学生掌握集合的有关概念，并能解决一些问题 ①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 ②表示 列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x I P(x)}. 女口：{xy = *^},{y y ={(x, y) y = fR} 又如:{x | x > 1}与{y I y=x2-2x+2} 图示法：用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类：有限集、无限集、空集。 ④性质确定性：a A或a ' A必居其一， 互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2, 3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2, 3}={3，2，1} 2?常用数集 复数集C 实数集R 整数集Z自然数集N 正整数集N”(或N +) 有理数集Q 3.元素与集合的关系：a s A或a，A 4?集合与集合的关系： ①子集：若对任意x A都有x B ［或对任意x B都有x- A］则A是B的子集。 记作：A』B或B二A A』B,B』C= A』C ②真子集：若A B，且存在X。? B,但X。A,则A是B的真子集。 记作：A=B［或“ A -B且A = B ” ］A=B，B=C — A=C ③ A - B 且B - A A = B ④空集：不含任何元素的集合，用??表示 对任何集合A有J A，若A「则?? _A 注：a ={a} ={C} ={ } 5.子集的个数 若A二{印~2,…a.}，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n -1个和2n -2个。 满足牡彳 A 1,2,3，…，n1的集合A的个数为2心 二.应用举例 例1.在集合A -1,a2-a -1,a2-2a 2 ［中，a的值可以是( A . 0 B . 1 C. 2 D . 1 或2 例2 .已知P={0，1}，M={x I x P}，贝U P与M的关系为( (A) P M (B) P ' M (C) P M 解：??? P={0，1} ??? M={x I x P}={ ， {0}，{1}，{0，1}} A ) ) (D) P 二M ［P8变式］ ??? P€ M 应选A高考数学文科集合习题大全完美
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