江西省中考数学复习题 (3)

2024年江西中考数学中考模拟卷(三)(本试卷满分120分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．下列各式的值最小的是()A．20B．|－2|C．2-1D．－(－2)2．“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.102×108元资金，数据1.102×108可表示为()A．1102亿B．1.102亿C．110.2亿D．11.02亿3．下列运算正确的是()A．a2·a3＝a6B．2a(3a－1)＝6a2－1C．(3a2)2＝6a4D．x3＋x3＝2x34．一根单线从纽扣的4个孔中穿过(每个孔只穿过一次)，其正面情形如图所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是()5．若点A(a，m)和点B(b，m)是二次函数y＝mx2＋4mx－3上的两个点，则a＋b的值为()A．2B．4C．－2D．－46．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是()A．12B．18C．2＋10D．2＋210二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．因式分解：2x 2－18＝________．8．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头(绳索头与地面接触)退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为________尺．9．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，一个螺钉需要配两个螺母．为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x 名工人生产螺钉，根据题意可列方程得________________．10．有一组数据：55，57，59，57，58，58，57，若加上数据a 后，这组数据的众数不止一个，则a 的值为________．11.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°.若将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α(0°＜α＜60°)得到四边形AEFG ，连接DE ，DG ，则∠EDG 的度数为________．12．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当△PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为________________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(1)－(π－6)0＋3－8＋tan 60°；(2)解不等式：1－2x 2－1≥x ＋2314÷aa－1，其中a＝5－1.15．(2023·赣州三模)某校举行全校“红色文化诗歌朗诵”比赛，九(1)班从A，B两位男生和C，D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．(1)如果选派一位学生代表参赛，那么A恰好抽中是________事件，选派到的代表是A 的概率是________；(2)如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB延长线上一点，且AB＝BD，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(保留作图痕迹)(1)如图1，E是线段BC延长线上一点，连接AE，在图中作出一个以点D为顶点的∠α，使∠α＝∠CAE；(2)如图2，E是△ABC外一点，连接AE，CE，在图中作出一个以点D为顶点的∠α，使∠α＝∠CAE.17．如图1所示是某机场的平地电梯，其示意图如图2所示，电梯AB的长度为120米，若两人不乘电梯在地面匀速行走，小明每分钟走的路程是小红的75倍，且1.5分钟后，小明比小红多行走30米．(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米．(2)若两人在平地电梯上行走，电梯以30米/分钟的速度向前行驶，两人保持原来在地面上匀速行走的速度也同时在电梯上行走．当小明到达B处时，小红还剩多少米才到达B处？四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A ：手抄报；B ：演讲；C ：社区宣传；D ：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动(每人必选一项)的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次共调查了________名学生．(2)请将条形统计图补充完整．(3)在扇形统计图中，D 类活动对应扇形的圆心角为多少度？(4)若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C 类活动的学生有多少？19．如图，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，过点A 作x 轴和y 轴的平行线分别交函数y ＝1x 的图象于点B ，C ，直线BC 与坐标轴的交点为D ，E .当点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上运动时，(1)设点A 横坐标为a ，则点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________．(用含a的字母表示)(2)△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由．(3)请直接写出BD与CE满足的数量关系．20．(2023·赣州一模)如图新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达点D 时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的横梁EF＝16m，EF∥CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上).(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB.(结果精确到0.1m)五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O 交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP 交AB于点Q(EP不是直径)，点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：AE平分∠CAB；(3)若AQ＝10，EQ＝5，HGAG＝12，求四边形CHQE的面积．22．如图，抛物线y1＝(x－a)(x－a－4)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线l过点Q(－2，0)，与抛物线y1交于点P.(1)直接写出AB的长，并求当a＝1时抛物线y1的对称轴．(2)将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，…，向右平移n－1(n为正整数)个单位得到抛物线y n，抛物线y2与直线l交于点Q.①直线l与所有抛物线的交点个数为________，所有抛物线的顶点所在直线是________；②当a＝－3时，抛物线y n与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．六、解答题(本大题共12分)23．综合与实践．【动手操作】第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平；再沿过点C的直线折叠，使点B、点D都落在对角线AC上(折痕分别为CE，CF).此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F在同一条直线上，如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕．【问题解决】(1)在图5中，∠BEC的度数是________，AEBE的值是________；(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：____________________．2024年江西中考数学中考模拟卷(三)答案1．C20＝1，|－2|＝2，2-1＝12，－(－2)＝2，∵12<1<2，∴最小的是2-1.2．B 1.102×108＝1.102亿．3．DA.a 2·a 3＝a 5，故不合题意；B.2a (3a －1)＝6a 2－2a ，故不合题意；C.(3a 2)2＝9a 4，故不合题意；D.x 3＋x 3＝2x 3，故符合题意．4．A 观察易得背面将有两条平行线，并且线头从纽扣的对角线处出来．5．D把A (a ，m )，B (b ，m )代入y ＝mx 2＋4mx －3得m ＝ma 2＋4ma －3，m ＝mb 2＋4mb－3，∴ma 2＋4ma －3＝mb 2＋4mb －3，∴ma 2－mb 2＝4mb －4ma ，∴m (a ＋b )(a －b )＝－4m (a －b ).∵点A (a ，m )，B (b ，m )是抛物线y ＝mx 2＋4mx －3图象上两个不同的点，∴a ≠b ，m ≠0，∴a ＋b ＝－4.6．D根据题意，三角形的底边为2×(10÷2－4)＝2，腰的平方为32＋12＝10，∴等腰三角形的腰为10，∴等腰三角形的周长为2＋210.7．解析：2x 2－18＝2(x 2－9)＝2(x ＋3)(x －3).答案：2(x ＋3)(x －3)8．解析：设绳索AC 的长为x 尺，则木柱AB 的长为(x －3)尺．在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AC 2－AB 2＝BC 2，即x 2－(x －3)2＝82，解得x ＝736，∴绳索长为736尺．答案：7369．解析：设安排x 名工人生产螺钉，则(26－x )人生产螺母，由题意得1000(26－x )＝2×800x .答案：1000(26－x )＝2×800x10．解析：原来这组数据中，出现次数最多的数据是57，出现了3次，其次是数据58，出现了2次．若加上数据a 后，这组数据的众数不止一个，则a ＝58.答案：5811．解析：由题意可知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°.由旋转知∠DAG ＝∠BAE ＝α，AE ＝AB ，AD ＝AG ，∴∠EAD ＝∠BAD －∠BAE ＝60°－α，AE ＝AD ＝AG ，∴∠ADE ＝180°－∠EAD 2＝60°＋α2，∠ADG ＝180°－∠DAG 2＝90°－α2，∴∠EDG ＝∠ADE ＋∠ADG ＝150°.答案：150°12．解析：①当BA ＝BP 时，则AB ＝BP ＝BC ＝6，即线段BC 的长为6.②当AB ＝AP 时，如图1，连接AO 交PB 于点D ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AD ⊥PB ，AE ＝12AB ＝3，∴BD ＝DP .在Rt △AEO 中，AE ＝3，AO ＝5，∴OE ＝52－32＝4.∵∠OAE ＝∠BAD ，∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∴△AOE ∽△ABD ，∴OE AO ＝BD AB ，即45＝BD 6，∴BD ＝245，∴BD ＝PD ＝245，即PB ＝485.∵AB ＝AP ＝6，∴∠ABD ＝∠APC .∵∠PAC ＝∠ADB ＝90°，∴△ABD ∽△CPA ，∴BD AB ＝PA CP ，即2456＝6CP，∴CP ＝152，∴BC ＝BP －CP ＝485－152＝2110.③当PA ＝PB 时，如图2，连接PO 并延长，交AB 于点F ，过点C 作CG ⊥AB ，交AB 的延长线于点G ，连接OB ，则PF ⊥AB ，∴AF ＝FB ＝3.在Rt △OFB 中，OB ＝5，FB ，∴OF ＝4，∴FP ＝9.∵∠PAF ＝∠ABP ＝∠CBG ，∠AFP ＝∠CGB ＝90°，∴△PFB ∽△CGB ，∴PF FB ＝CG BG ＝93＝3.设BG ＝t ，则CG ＝3t .∵∠PAF ＝∠ACG ，∠AFP ＝∠AGC ＝90°，∴△APF ∽△CAG ，∴AF PF ＝CG AG，∴39＝3t 6＋t ，解得t ＝34，∴BG ＝34，CG ＝94，在Rt △BCG 中，BC ＝BG 2＋CG 2＝3104.综上所述，当△PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为6或2110或3104.答案：6或2110或310413．解：(1)原式＝3－1－2＋3＝3.(2)去分母，得3(1－2x )－6≥2(x ＋2)，去括号，得3－6x －6≥2x ＋4，移项，得－6x －2x ≥4－3＋6，合并同类项，得－8x ≥7.系数化为1，得x ≤－78.14．÷a a －1＝2(a －1)＋a ＋2(a ＋1)(a －1)×a －1a＝3a (a ＋1)(a －1)×a －1a＝3a ＋1.当a ＝5－1时，原式＝35－1＋1＝35＝355.15．解：(1)如果选派一位学生代表参赛，那么A 恰好抽中是随机事件，选派到的代表是A 的概率是14，故答案为随机；14.(2)由题意得：A B C DA(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)∵总共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率＝812＝23.16．解：(1)如图1，∠α即为所求；(2)如图2，∠α即为所求．17．解：(1)设小红每分钟行走x米，则小明每分钟行走75x米，依题意得1.5×75x－1.5x＝30，解得x＝50，则75x＝70.答：小红每分钟行走50米，小明每分钟行走70米．(2)120－120÷(70＋30)×(50＋30)＝120－120÷100×80＝120－96＝24(米).答：当小明到达B处时，小红还剩24米才到达B处．18．解：(1)本次共调查的学生有20÷20%＝100(名)，故答案为100.(2)C对应人数为100－(20＋10＋30)＝40(名)，补全条形图如下：(3)360°×30100＝108°，∴D 类活动对应扇形的圆心角为108度．(4)1500×40100＝600(名).答：估计该校最喜欢C 类活动的学生有600名．19．解：(2)∵|AB |＝x A －x B ＝3a 4，|AC |＝y A －y C ＝3a，∴S △ABC ＝12·AB ·AC ＝12·3a 4·3a ＝98，不发生改变．(3)BD ＝CE .如图，延长AB 交y轴于点G ，延长AC 交x 轴于点F .∵AB ∥x 轴，∴△ABC ∽△FEC ，∴AB EF ＝AC FC ，即34a EF ＝3a 1a，∴EF ＝14a .∵BG ＝14a ，∴BG ＝EF .∵AF ∥y 轴，∴∠BDG ＝∠FCE .在△DBG和△CEF BDG＝∠ECF，BGD＝∠EFC，＝EF，∴△DBG≌△CEF(AAS)，∴BD＝CE.20．解：(1)由题意得AG⊥EF，EG＝12EF＝8(m)，EF∥BC，∴∠AEG＝∠ACB＝35°.在Rt△AGE中，∠AEG＝35°，∴AG＝EG·tan35°≈8×0.7＝5.6(m).答：屋顶到横梁的距离AG约为5.6m．(2)过E作EH⊥CB于H，由题意得EH＝GB，CD＝6m．设DH＝x m，∴CH＝CD＋DH＝(x＋6)m.在Rt△EDH中，∠EDH＝，∴EH＝DH·tan60°＝3x(m).在Rt△ECH中，∠ECH＝35°，∴EH＝CH·tan35°≈0.7(x＋6)m，∴3x＝0.7(x＋6)，解得x＝4.2，∴GB＝EH＝3x≈7.14(m)，∴AB＝AG＋BG＝7.14＋5.6＝12.74≈12.7(m).答：房屋的高AB约为12.7m．21．解：(1)证明：连接OE，OP.∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP，∴BP＝BE.∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO(SSS)，∴∠BEO＝∠BPO.∵BP为⊙O的切线，∴OP⊥BP，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC于点E.∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．(2)证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA.∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠CAE＝∠EAO，∴AE平分∠CAB.(3)由(1)得EP⊥AB，∴∠AQE＝90°.∵CG⊥AB，∴∠CGA＝90°，∴∠CGA＝∠AQE＝90°，∴CG∥EP，即CH∥EP，∴∠QEH＝∠CHE.∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，由(2)得∠CAE＝∠EAO，∴△ACE≌△AQE(AAS)，∴∠CEH ＝∠QEH ，CE ＝QE ，∴∠CEH ＝∠CHE ，∴CH ＝CE ，∴CH ＝QE ＝5.∵CH ∥EP ，∴四边形CHQE 是平行四边形．∵CH ＝CE ，∴四边形CHQE 是菱形，∴QH ＝EQ ＝5.设HG ＝x ，则AG ＝2x ，GQ ＝10－2x ，在Rt △QHG 中，根据勾股定理得HG 2＋GQ 2＝QH 2，∴x 2＋(10－2x )2＝52，解得x 1＝3，x 2＝5(不合题意，舍去).∴HG ＝3，GQ ＝10－2x ＝4，∴四边形CHQE 的面积＝CH ·GQ ＝5×4＝20.22．解：(1)∵抛物线y 1＝(x －a )(x －a －4)与x 轴交于A ，B 两点，∴A (a ，0)，B (a ＋4，0)，∴AB ＝4.当a ＝1时，A (1，0)，B (5，抛物线y 1的对称轴为直线x ＝3.(2)①∵抛物线图象开口向上，无限延伸，故每个抛物线图象都与直线l 有一个交点，∴直线l 与所有抛物线的交点个数为n 个，每个抛物线的顶点都由抛物线y 1的顶点(a ＋2，－4)向右移动，故这些顶点都在直线y ＝－4上，故答案为n ，y ＝－4.②S ▱P ARB ＝S △ABR ＋S △ABP ＝12·AB ·QR ＋12·AB ·QP ＝12·AB ·(QR ＋QP )＝70，∴12×4×PR ＝70，得PR ＝35.当x ＝－2，a ＝－3时，y 1＝(－2－a )(－2－a －4)＝(－2－a )(－6－a )＝a 2＋8a ＋12，∴P (－2，－3).y 1＝(x －a －2)2－4，y n ＝(x －a －2－n ＋1)2－4，∴R (－2，n 2－4)，PR ＝n 2－4＋3＝35，解得n 1＝6，n 2＝－6(舍去)，∴n ＝6.23．解：(1)由折叠的性质得，BE ＝EN ，AE ＝AF ，∠CEB ＝∠CEN ，∠BAC ＝∠CAD .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EAF ＝90°，∴∠AEF ＝∠AFE ＝45°，∴∠BEN ＝135°，∴∠BEC ＝12∠BEN ＝67.5°.由正方形的性质，得∠BAC ＝∠CAD ＝45°.又∵∠AEF ＝45°，∴△AEN 是等腰直角三角形，∴AE ＝2EN ，∴AE BE ＝2EN EN＝故答案为67.5°，2.(2)四边形EMGF 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.由折叠的性质，得∠BCE ＝∠ECA ＝∠ACF ＝∠FCD ，CM ＝CG ，∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC .∴∠BCE ＝∠ECA ＝∠ACF ＝∠FCD ＝90°4＝22.5°，∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC ＝67.5°.由折叠可知，MH ，GH 分别垂直平分EC ，FC ，∴MC ＝ME ＝CG ＝GF ，∴∠MEC ＝∠BCE ＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°，∴∠MEF＝90°，∠GFE＝90°.∵∠MCG＝90°，CM＝CG，∴∠CMG＝45°.∵∠BME＝∠BCE＋∠MEC＝22.5°＋22.5°＝45°，∴∠EMG＝180°－∠CMG－∠BME＝90°，∴四边形EMGF是矩形．(3)连接EH，FH，如图所示．由折叠可知，MH，GH分别垂直平分EC，FC，同时EC，FC也分别垂直平分MH，GH，∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形．故答案为菱形EMCH或菱形FGCH.。

专题3 分式与二次根式一、单选题1．下列计算一定正确的是（ ）A ．2a 2b ⋅a 3=2a 5bB ．2a 2+a 3=2a 5C ．a a−1−1a−1=0D ．3a −a =32．计算 a+1a −1a 的结果为（ ）A ．1B ．-1C ．a+2aD ．a−2a3．分式 x+5x−2的值是零，则 x 的值为（ ）A ．5B ．-5C ．-2D ．24．（2021·章贡模拟）下列运算中，正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．(12)−1=−2 C ．(2021−√5)0=1D ．a 3•a 3＝2a 65．下列计算错误的是( )A ．a 2ab =a b(ab≠0 )B ．ab 2÷ 12b =2ab 3(b≠0)C ．2a 2b+3ab 2＝5a 3b 3D ．(ab 2)3＝a 3b 66．（2020·吉安模拟）下列计算正确的是（ ）A ．3x 2y +5xy =8x 3y 2B ．(x +y)2=x 2+y 2C ．(−2x)2÷x =4xD ．y x−y +xy−x =17．下列说法正确的是（ ）A ．若A 、B 表示两个不同的整式，则 A B一定是分式B ．(a 4)2÷a 4=a 2C ．若将分式 xyx+y 中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若 3m =5,3n =4 则 32m−n =528．2019新型冠状病毒，因武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名“2019-nCoV”．冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为125纳米（1纳米=1 × 10-9米），125纳米用科学记数法表示等于（ ）米 A ．1.25 × 10-10 B ．1.25 × 10-11 C ．1.25 × 10-8D ．1.25 × 10-79．下列各等式中，正确是（ ）A ．－ √（−3）2 ＝－3B ．± √32 ＝3C ．( √−3 )2＝－3D ．√32 ＝±310．（2020·抚州模拟）下列计算正确的是（ ）A ．-（x -y ）2=-x 2-2xy -y 2B ．（- 12 xy 2）3=- 16x 3y 6C ．x 2y÷ 1y =x 2（y≠0）D ．（- 13 ）-2÷ 94=4二、填空题11．（2022·玉山模拟）计算12x −13x的结果是 ．12．（2022·石城模拟）已知 a ，b(a ≠b) 满足 a 2−2a −1=0 ， b 2−2b −1=0 ，则 ab +ba =． 13．（2022·瑞金模拟）使式子√x+3x−5有意义的x 的取值范围是 ．14．（2022·新余模拟）2021年10月11日，联合国《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议（COP15）在昆明正式拉开帷幕.在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳洲的出水浮萍，其质量仅有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是 ．15．（2021·江西模拟）若二次根式 √2021−x 有意义，则x 的取值范围是 .16．（2020·安源模拟）今年世界各地发现新冠肺炎疫情，疫情是由一种新型冠状病毒引起的，疫情发生后，科学家第一时间采集了病毒样本进行研究.研究发现这种病毒的直径约85纳米（1纳米＝0.000000001米）.数据85纳米用科学记数法可以表示为 米．17．（2020·石城模拟）一种细菌的半径约为0.000045米，用科学记数法表示为 米．18．（2020·抚州模拟）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a※b= √a+b a−b，如3※2= √3+23−2=√5 ．那么4※8= ． 19．（2020七上·景德镇期中）已知： a =√5+√3 ， b =√5−√3，则 a 2−ab +b 2= ． 20．（2020八下·高安期末）计算： (2√13)⋅(13√27)= ． 三、计算题21．（2022七下·南康期末）计算下列各式的值：（1）√2(√2+2)；（2）√3(√31√3．22．（2022八下·新余期末）计算：（1）√28−|1−√7|−(√2022−1)0（2）(√3+2)2−√48+√8×√1223．（2022·瑞金模拟）（1）计算：(π−3)0+(13)−1−√12+2sin60° （2）化简：(1x+2−1)÷x 2−1x+224．（2022·高安模拟）计算：（1）(−12)0+|√3−2|+tan60°； （2）2m−4m 2−4÷m−1m+2−1m−125．（2022·赣州模拟）先化简，再求值：5a +a 2−4a−1÷a 2+2a a−1，其中a ＝3．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】2a 2b ⋅a 3=2a 5b ，故A 符合题意；2a 2+a 3不能合并同类项，故B 不符合题意；a a−1−1a−1=a−1a−1=1，故C 不符合题意； 3a −a =2a ，故D 不符合题意； 故答案为：A ．【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，分式的加减分别计算，再判断即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：a+1a−1a =a+1−1a =aa =1 ． 故答案为：A ．【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。

2023年江西省中考数学试卷及答案解析一、选择题1. 小华骑自行车从家到学校需要20分钟，而他骑电动车只需要10分钟。

假设他骑电动车的速度是自行车的3倍，那么从家到学校的距离是多少？A) 2公里B) 3公里C) 4公里D) 5公里答案：A) 2公里解析：设自行车的速度为v，从题意可知用自行车骑到学校需要20分钟，即距离为20v。

而用电动车骑到学校只需要10分钟，即距离为10(3v)。

根据题意可得20v = 10(3v)，解得v = 2。

因此，从家到学校的距离为20v = 20 × 2 = 40分钟。

2. 下列哪个数是3的倍数？A) 186B) 245C) 312D) 419解析：判断一个数是否是3的倍数有一个小技巧，即将该数的各个位数相加，如果和能被3整除，那么该数也能被3整除。

例如，312的个位数、十位数和百位数之和为3+1+2=6，6能被3整除，故312也能被3整除。

3. 若一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶8小时后所走的距离是多少？A) 400公里B) 480公里C) 520公里D) 560公里答案：D) 560公里解析：题目已给出汽车的速度是每小时60公里，而行驶的时间是8小时，因此，所走的距离为60 × 8 = 480公里。

4. 某数的2倍减去5等于8，那么这个数是多少？A) 6B) 7C) 8D) 9解析：设这个数为x，根据题意可以得到2x - 5 = 8，解得2x = 13，x = 6。

5. 某数的5倍减去32等于38，那么这个数是多少？A) 4B) 5C) 6D) 7答案：D) 7解析：设这个数为x，根据题意可以得到5x - 32 = 38，解得5x = 70，x = 7。

二、填空题6. 已知两个数相加是48，其中一个数是3/4，求另一个数。

答案：16解析：设另一个数为x，由题意可得 x + 3/4x = 48，解得 x = 16。

7. 若3/4 ÷ x = 12，则x的值为多少？答案：1/48解析：根据题意可得 3/4 ÷ x = 12，解得 x = 1/48。

2020年江西省中考数学复习题
1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB＝AD或AC⊥BD等．
【分析】由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．
【解答】解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB＝AD或AC⊥BD 等．
故答案为：AB＝AD或AC⊥BD等．
【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
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江西初三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = a(x - h)^2 + kC. y = ax^2 + bx + c + dD. y = ax^2 + bx + c - d答案：A2. 一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 4B. -4C. 2D. -2答案：A3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，那么第三边长可能是：A. 1B. 3C. 4D. 5答案：B4. 以下哪个选项是等腰三角形的性质？A. 两底角相等B. 两腰相等C. 三边相等D. 两腰和底边都相等答案：B5. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A7. 以下哪个选项是勾股定理的表达式？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 - b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 - c^2 = b^2答案：A8. 一个数的绝对值是4，那么这个数可能是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 0答案：C9. 以下哪个选项是平行四边形的性质？A. 对角线相等B. 对边平行且相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分答案：B10. 一个数的立方根是3，那么这个数是：A. 27B. 9C. 3D. -27答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的平方是36，那么这个数是________。

答案：±62. 一个数的立方是-8，那么这个数是________。

答案：-23. 如果一个角是30°，那么它的余角是________。

答案：60°4. 一个直角三角形的两个锐角分别是30°和60°，那么它的斜边是最短边的________倍。

江西省中考数学真题(解析版)江西省中考数学真题(解析版)一、选择题1. 下列四个数中，哪一个是质数？A) 18 B) 19 C) 20 D) 21解析：质数指除了1和本身外没有其他因数的数，所以选项B) 19是质数。

2. 30%用分数表示是？A) 1/3 B) 3/10 C) 1/10 D) 10/3解析：30%即30/100，可以约分为3/10，所以选项B) 3/10是正确答案。

3. 若a:b=3:4，b:c=5:2，求a:c的值。

A) 15:8 B) 3:10 C) 8:15 D) 10:3解析：根据题意，我们可以得到a:b:c=3:4:2，将比例中的a:b:c代入a:c，得到3:2，因此a:c的值是15:8，选项A) 15:8。

二、解答题1. 计算下列等式的值：7×8÷4-3+5×2÷5解析：7×8÷4-3+5×2÷5 = 56÷4-3+10÷5= 14-3+2= 16所以该等式的值是16。

2. 已知△ABC中，∠ABC=90°，BC=6cm，AC=8cm，求△ABC的面积。

解析：由勾股定理得AB的长度为√(BC^2 + AC^2) = √(6^2 + 8^2) = √100 = 10所以△ABC的面积为(1/2) × BC × AC = (1/2) × 6 × 8 = 24平方厘米。

三、应用题某商店原价出售一种电器每台800元，若打7折，则一台电器的售价是多少？解析：打7折即原价的70%，所以一台电器的售价为800元 × 70% = 560元。

四、综合题一桶装满的水果干重6kg，若每天吃掉这桶水果干的2/3，3天后还剩下多少千克？解析：每天吃掉的水果干重量为(2/3) × 6kg = 4kg，3天后吃掉的总重量为3 × 4kg = 12kg。

江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当t ＝1时，S ＝ ；②S 关于t 的函数解析式为 ．（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t 1，t 2，t 3（t 1＜t 2＜t 3）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①t 1+t 2＝ ；②当t 3＝4t 1时，求正方形DPEF 的面积．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ ， ）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 ；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 ；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为　66　；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为　b＞　；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】（1）66；（2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由见解答过程．【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t＝1时，S＝　3　；②S关于t的函数解析式为　S＝t2+2　．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2＝　4　；②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．【答案】（1）①3；②S＝t2+2；（2）S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8），AB＝6；（3）①4；②正方形DPEF的面积为．【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1，又∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3．故答案为：3；②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2．故答案为：S＝t2+2；（2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，抛物线的顶点坐标为（4，2），∴BC＝＝＝2，AD＝＝3，∴M（2，6），设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6，解得：a＝1，∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18，∴AC＝AD+CD＝3+＝4，在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，CB+AC＝2+6＝8，∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）；（3）①如图，则∠AHD＝90°＝∠C，∵∠DAH＝∠BAC，∴△ADH∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DH＝，AH＝4，∴BH＝2，DH＝CD，∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，∴DP1＝DP2＝DP3，∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2，在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，，∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），∴CP1＝HP2，∴t1＝4﹣t2，∴t1+t2＝4．故答案为：4；②∵DP 3＝DP 1，DH ＝DC ，∠DHP 3＝∠C ＝90°，∴Rt △DHP 3≌Rt △DCP 1（HL ），∴P 3H ＝CP 1，∵P 3H ＝t 3﹣4，∴t 3﹣4＝t 1，∵t 3＝4t 1，∴t 1＝，∴S ＝（）2+2＝．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ 2　，　0　）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L 的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为　﹣3≤x≤﹣1　；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是　y＝ax2　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m 的值．【答案】（1）①（2，0）；②所画图象见解答；（2）①﹣3≤x≤﹣1；②y＝ax2；③m＝±1．【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，∴点A为BB′的中点，设点A（m，n），∴m＝＝2，n＝＝0，故答案为：（2，0）；②所画图象如图1所示，（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，故答案为：﹣3≤x≤﹣1；②∵抛物线y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣8m2，∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，令a′x2+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，整理得（a′+1）x2+（b′﹣6m）x+（c′+8m2）＝0，∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，∴分下面两种情形：i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，都会存在对应的m使得b′﹣6m＝0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；ii）当a′≠﹣1时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣4（a′+1）（c′+8m2）＝0，即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1）•8m2﹣4c′（a′+1）＝0，整理得[36﹣32（a′+1）]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+1）＝0，∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m取值无关，∴，解得a′＝，b′＝0，c′＝0，则y＝x2，故答案为：y＝ax2；③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣3m）2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，0），∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：i）直线y＝m经过M（m，﹣m2），∴m＝﹣m2，解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），ii）直线y＝m经过N（3m，m2），∴m＝m2，解得：m＝1或m＝0（舍去），iii）直线y＝m经过A（2m，0），∴m＝0，但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，m＝±1．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为　1　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为　1　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为　S1＝S　；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．【答案】（1）1，1，S1＝S；（2）①证明见解析部分；②﹣1；（3）S2的最小值为tan，S2的最大值为1﹣tan（45°﹣α）．【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM＝ON，∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON＝∠EOF＝90°，∴∠MOJ＝∠NOK，∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ＝S△ONK，∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，∴S1＝S．故答案为：1，1，S1＝S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT＝CT，∵BM＝CN，∴MT＝TN，∵OT⊥MN，∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM＝∠CON＝30°，∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，∵BJ＝JC＝OJ＝1，∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，∴MN＝2MQ＝2tan，∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．同法可证△COM≌△CON，∴∠COM＝α，∵∠COQ＝45°，∴∠MOQ＝45°﹣α，QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是　∠DCE′　；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是　AD2+DE2＝AE2　；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．【答案】（1）∠DCE′．（2）AD2+DE2＝AE2．（3）①证明见解析部分．②．【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′，故答案为：∠DCE′．（2）解：如图2中，∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，∴AD2+DE2＝AE2．故答案为：AD2+DE2＝AE2．（3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点∴点O是△ADC的外心，∴∠AOC＝2∠ADC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝90°．②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，∴△CTD∽△CAB，∴∠DCT＝∠ACB，＝，∴＝，∠DCB＝∠TCA∴△DCB∽△TCA，∴＝，∵＝2，∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，∴BD＝AT，∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DT＝n，AD＝m，∴AT＝＝＝，∴BD＝．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解答；（2）①是菱形，理由见解答；②+π．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD ＝S△ACD+S扇形COD＝××2×2+＝+π．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）①证明见解答过程；②．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，又∵BD⊥AC，垂足为O，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．（2）①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，又∵AD＝5，∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝AD＝，由①知：四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB，又∵∠E＝∠ACD，∴∠E＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠E+∠COE，∴∠E＝∠COE，∴CE＝CO＝4，∵OG是△ACD的中位线，∴OG∥AD∥BE，∴△OGF∽△ECF，∴，又∵OG＝，CE＝4，∴．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】（1）证明过程见解答；（2）雕塑的高约为4.2m．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，∴∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴DC⊥BC；（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，∴BD＝≈＝（m），∵DE＝2m，∴BE＝BD+DE＝（m），在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈×0.82≈4.2（m），∴雕塑的高约为4.2m．。

专题三实际应用题类型一几何实际应用题命题角度❶以三角形为背景(2019·江西)图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O 表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC 绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm，AB＝30 cm，BC＝35 cm.(结果精确到0.1)(1)如图②，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝°；②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．(2)如图③，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求∠ABC的大小．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)【分析】(1)①要求∠BAO的度数，由BC∥OE，知过点A作OE的平行线，利用平行线性质求解；②要求探头D到桌面OE的距离，可先在Rt△ABG中求出AG，进而利用线段间的数量关系求解；(2)要求∠ABC的大小，可先过点B作OE的平行线，利用锐角三角函数求出∠HBC的度数，即可得解．【自主解答】命题角度❷ 以四边形为背景如图①，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°，图②是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直.(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△ABC中，用∠A的正切直接求解；(2)判断β是否符合科学要求的100°，主要是求∠β，可在Rt△DME中求∠DEM 即可．【自主解答】命题角度❸以圆为背景(2019·安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图②，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin 41.3°≈0.66，cos 41.3°≈0.75，tan 41.3°≈0.88)【分析】求点C到弦AB的距离，可通过圆的性质，连接CO并延长交AB于D，利用垂径定理在Rt△OAD中求出OD即可．【自主解答】1．为“方便交通，绿色出行”，人们常选择以共享单车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．(参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)2．(2019·台州改编)如图①是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图，已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6 cm，B，C为前后两个轮子所在圆的圆心．(1)判定BC与水平地面的位置关系，并说明理由；(2)求车把手A距离地面的高度．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)3．(2019·绍兴)如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5 cm，长度均为20 cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图②，求连杆端点D 离桌面l的高度DE；(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到0.1 cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4．(2019·舟山)某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°，初始位置如图①，斗杆顶点D与铲斗顶点E 所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°(示意图②)．工作时如图③，动臂BC会绕点B转动，当A，B，C在同一直线上时，斗杆顶点D升至最高点(示意图④)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数；(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？(精确到0.1米)(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34)5．(2019·常德改编)如图①是一种淋浴喷头，图②是图①的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25 cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°.(1)BC与竖直方向所成的夹角(锐角)的度数为；(2)若住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使得DE ＝50 cm，CE＝130 cm，求安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置上．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)6．(2019·泰州)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1∶2，顶端C离水平地面AB的高度为10 m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C，D两点间的距离为4 m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3 m，求：(1)观众区底端水平宽度AB；(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin 18°30′≈0.32，tan 18°30′≈0.33，结果精确到0.1 m)7．(2019·九江二模)将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入，图②是它的平面示意图，请根据图中的信息解答下列问题：(1)填空：AP＝ cm，PF＝ cm；(2)求出容器中牛奶的高度CF.8．(2019·南昌二模)如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE＝15 cm，AD＝14 cm.(1)求半径OA的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan 67°≈2.36)(2)求扇形BOC 的面积．(π取3.14，结果精确到1 cm)9．如图①是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图②所示．直线型支架的上端A ，B 与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF 在C ，D 处相连接，支架AC 与BD 所在的直线过EF ︵的圆心．若AB ＝200 cm ，∠CAB＝∠DBA＝60°，EC ︵＝FD ︵，AB 平行于地面EF ，EF ︵最顶端与AB 的距离为2 cm. (1)求EF ︵的半径；(2)若台面AB 与地面EF 之间的距离为72 cm ，求E ，F 两点之间的距离．(精确到1 cm，参考数据：3≈1.7，1682－982≈137)10．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120 cm，后轮半径为24 cm，CB＝CD＝24 cm，踏板CB 与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°.求：(1)横档AD的长；(2)点C离地面的高度．(sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，精确到1 cm)类型二方程、不等式的实际应用题如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图①所示)．使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示)．图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm，第2节套管长46 cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.(1)请直接写出第5节套管的长度；(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm，求x的值．【分析】 (1)根据“第n节套管的长度＝第1节套管的长度－4×(n－1)”代入数据即可；(2)同(1)的方法求第10节套管重叠的长度，再根据“完全拉伸时长度为311 cm”列方程即可．【自主解答】1．(2019·福建)某工厂为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天固定成本30元，并且每处理1吨废水还需其他费用8元，将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元，根据记录，5月21日，该厂生产工业废水35吨，共花费废水处理费370元．(1)求该车间的日废水处理量m；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．2．(2019·聊城)某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：(1)问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？(2)由于B品牌运动服的销量明显好于A 品牌，商家决定采购B 品牌的件数比A 品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21 300元的情况下，最多能购进多少件B 品牌运动服？3．某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1 080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．(1)A ，B 两种商品的单价分别是多少元；(2)已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A ，B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A ，B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案．4．书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好.问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图①所示(单位：cm)，若按图②的包书方式，将封面和封底各折进去3 cm.试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮(包书纸)的长AB是 (2b＋c＋6) cm，宽BC是 a cm；问题2：在如图④的矩形包书纸示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．(1)若有一数学课本长为26 cm、宽为18.5 cm、厚为1 cm，小海宝用一张面积为1 260 cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图④所示．若设正方形的边长(即折叠的宽度)为x cm，则包书纸长EF为 38＋2xcm，宽FG为 26＋2xcm(用含x的代数式表示)；(2)请帮小海宝列方程，求出第(1)题中小正方形的边长x cm.类型三函数实际应用题(2019·江西样卷一)今年某水果加工公司分两次采购一批桃子，第一次费用为25万元，第二次费用为30万元．已知第一次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格上涨了0.1万元，第二次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格下降了0.1万元，第二次采购的数量是第一次采购数量的2倍．(1)求去年每吨桃子的平均价格是多少万元，两次采购的总数量是多少吨；(2)该公司可将桃子加工成桃脯或桃汁，每天只能加工其中一种．若单独加工成桃脯，每天可加工3吨桃子，每吨可获利0.7万元；若单独加工成桃汁，每天可加工9吨桃子，每吨可获利0.2万元．为出口需要，所有采购的桃子必须在30天内加工完毕．①根据该公司的生产能力，加工桃脯的时间不能超过多少天；②在这次加工生产过程中，应将多少吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润？最大利润为多少．【分析】 (1)由第一次采购价格比去年平均价格上涨0.1万元，第二次采购价格比去年平均价格下降0.1万元，可分别表示两次采购桃子的数量，然后利用第二次采购桃子的数量是第一次采购的2倍列分式方程求解；(2)①由所有桃子必须在30天内加工完毕，可设加工桃脯的天数为x天，从而表示出加工桃汁的天数，再列出不等式求解；②列出利润关于加工桃脯天数的一次函数关系式，再根据函数性质确定最值即可．【自主解答】1．(2019·陕西)根据记录，从地面向上11 km以内，每升高1 km气温降低6 ℃；又知在距离地面11 km以上高空，气温几乎不变，若地面气温为m(℃)，设距离地面的高度为x(km)处的气温为y(℃)．(1)写出距离地面的高度在11 km以内的y与x之间的函数表达式；(2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26 ℃，飞机距离地面的高度为7 km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12 km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12 km时，飞机外的气温．2．某商店以8元/个的价格收购1 600个文具盒进行销售，为了得到日销售量y(个)与销售价格x(元/个)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：(1)请你根据表中的数据，用所学知识确定y与x之间的函数表达式；(2)该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格，才能使日销售利润最大；(3)根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，判断一个月能否销售完这批文具盒，并说明理由．3为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17名学生，还剩12名学生没人带；若每位老师带18名学生，就有一位老师少带4名学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？(2)设租用x辆乙种客车，租车总费用为w元，请写出w与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100元，租用乙种客车不少于5辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．4．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．参考答案【例1】 解：(1)①如解图①，过点A 作AF∥BC，则∠BAO＝∠BAF＋∠OAF＝∠ABC＋∠AOE＝160°.②如解图②，过点A 作AG⊥BC ，交BC 于点G ，∵AB＝30，OA ＝6.8，∠ABC＝70°， ∴AG＝30sin 70°＝28.2，∴OG＝OA ＋AG ＝35， ∴OG－CD ＝27，即点D 到桌面OE 的距离是27 cm.(2)如解图③，延长CD 交OE 于M ，过点B 作BH⊥CD，交DC 的延长线于H. ∵CD⊥OE，OE∥BH，∴∠ABH＝70°， 由题意，得 CM ＝14，由(1)得HM ＝35，∴CH＝21.在Rt△BCH 中，sin∠CBH＝CH BC ＝2135＝0.60，∴∠CBH＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABH－∠CBH＝33.2°.【例2】 解：(1)由已知，得BC ＝20 cm ，在Rt△ABC 中，tan α＝BCAB ，∴AB＝BC tan α＝BC tan 20°≈20411＝55(cm)． (2)由已知得DG ＝100 cm ，DE ＝30 cm ，FH ＝72 cm ， 如解图，作EM⊥DG 于M ，则MG ＝FH ＝72 cm ， ∴DM＝DG －MG ＝28 cm ， ∴sin∠DEM＝DM DE ＝2830＝1415.∵sin 69°≈1415，∴∠DEM≈69°.∵∠DEM＋∠DEF＝180°， ∴β＝∠DEF＝111°， ∴不符合科学要求的100°.【例3】 解：如解图，连接CO 并延长，与AB 交于点D ， ∵OD⊥AB，∴AD＝BD ＝12AB ＝3(米)，在Rt △OAD 中，∠OAB＝41.3°，cos 41.3°＝ADAO ，∴AO＝3cos 41.3°≈30.75＝4.∵tan 41.3°＝ODAD，∴OD＝AD·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64(米)，∴CD＝OC＋OD＝AO＋OD＝4＋2.64＝6.64米．答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米．跟踪训练1．解：(1)∵在Rt△ACD中，AC＝45 cm，DC＝60 cm，∴AD＝452＋602＝75(cm)．∴车架档AD的长是75 cm.(2)如解图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵AE＝AC＋CE＝(45＋20) cm，∴EF＝AEsin 75°＝(45＋20)·sin 75°≈62.79≈63(cm)，∴车座点E到车架档AB的距离约是63 cm.2．解：(1)BC与水平地面平行．理由：如解图，分别过点B，C作水平地面的垂线，垂足记为G，H，∴BG∥CH.∵前后轮子的半径均为6 cm，∴BG＝CH＝6 cm，∴四边形BGHC是平行四边形，∴BC∥GH，即BC与水平地面平行．(2)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，∵sin∠ABD＝ADAB ，∴AD＝ABsin∠ABD＝92sin 70°≈92×0.94＝86.48 cm.∵DE＝BG ＝6 cm.∴AE＝AD ＋DE ＝92.48 cm≈92.5 cm. 答：车把手A 离地面的高度约为92.5 cm.3．解：(1)如解图①中，作BO⊥DE 于O.∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE 是矩形，∴∠OBA＝90°， ∴∠DBO ＝150°－90°＝60°，∴OD＝BD·sin 60°＝203(cm)， ∴DE＝OD ＋OE ＝OD ＋AB ＝203＋5≈39.6(cm)．(2)如解图②，作DF⊥l 于F ，CP⊥DF 于P ，BG⊥DF 于G ，CH⊥BG 于H ，则四边形PCHG 是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°. ∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BCsin 60°＝103(cm)，DP ＝CDsin 45°＝102(cm)， ∴DF＝DP ＋PG ＋GF ＝DP ＋CH ＋AB ＝(102＋103＋5)(cm)，∴下降高度：DE －DF ＝203＋5－102－103－5＝103－102＝3.2(cm)． 4．解：(1)过点C 作CG⊥AM 于点G ，如解图①所示． ∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG＝180°－∠CDE＝110°， ∴∠BCG＝∠BC D －∠GCD＝30°， ∴∠ABC＝180°－∠BCG＝150°.(2)过点C 作CP⊥DE 于点P ，过点B 作BQ⊥DE 于点Q ，交CG 于点N ，如解图①所示，在Rt△CPD 中，DP ＝CDcos 70°≈0.51米， 在Rt△BCN 中，CN ＝BC cos30°≈1.04米， ∴DE＝DP ＋PQ ＋QE ＝2.35米．如解图②所示，过点D 作DH⊥AM 于点H ，过点C 作CK⊥DH 于点K. ∵∠BCD＝140°，∠BCK＝90°，∴∠DCK＝50°. 在Rt△CKD 中，DK ＝CDsin 50°≈1.16米， ∴DH＝DK ＋KH ＝3.16米， ∴DH－DE ＝0.8米．答：斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了0.8米．5．解：(1)35°.(2)如解图，过点B 作BG⊥D′D 于点G ，延长EC ，GB 交于点F ， ∴sin 37°＝GB AB ，cos 37°＝GAAB，∴GB＝ABsin 37°≈25×0.60＝15 cm ，GA ＝ABcos 37° ≈25×0.80＝20 cm ，∴BF＝GF －GB ＝DE －GB ＝50－15＝35 cm. 由(1)可知，∠BCF＝35°，∴tan 35°＝BFCF ，∴CF＝BF tan 35°≈350.70＝50 cm ，∴FE＝FC ＋CE ＝180 cm ， ∴AD＝GD －GA ＝FE －GA ＝160 cm.答：安装师傅应将支架固定在离地面160 cm 的位置． 6．解：(1)观众区AC 的坡度i 为1∶2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10 m ， ∴AB＝2BC ＝20 m.答：观众区的水平宽度AB 为20 m.(2)如解图，作CM⊥EF 于M ，DN⊥EF 于N ，则四边形MFBC 与四边形MCDN 都为矩形，∴MF＝BC ＝10，MN ＝CD ＝4，DN ＝MC ＝BF ＝23. 在Rt△END 中，tan∠EDN＝ENDN ，则EN ＝DNtan∠EDN≈7.59米，∴EF＝EN ＋MN ＋MF ＝7.59＋4＋10≈21.6米． 答：顶棚的E 处离地面的高度EF 约为21.6 m.7．解：(1)在Rt△ABP 中，∵∠APB＝90°，∠ABP＝30°，AB ＝10 cm ，∴AP＝12AB ＝5 cm ，∠BAP＝60°. ∴∠EAP＝30°，∴EP ＝12AP ＝52cm ，∴PF＝10－52＝152(cm)；故答案为：5，152.(2)∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠ABP＝30°. 又∵∠BFP＝90°，∴tan 30°＝BFPF ，∴BF＝152×33＝532(cm)，∴CF＝BC －BF ＝(12－532)(cm)．即容器中牛奶的高度CF 为(12－532) cm.8．解：(1)在Rt△ODE 中，DE ＝15 cm ，∠ODE＝67°. ∵cos∠ODE＝DEOD ，∴OD≈150.39≈38.46( cm)，∴OA＝OD －AD ＝38.46－14≈24.5( cm)． 答：半径OA 的长约为24.5 cm. (2)∵∠ODE＝67°，∴∠BOC＝157°，∴扇形BOC 的面积≈157×3.14×24.52360≈822( cm 2)．答：扇形BOC 的面积约为822 cm 2.9．解：(1)如解图延长AC ，BD 相交于O ，则点O 是EF ︵的圆心，过点O 作OH⊥AB 于H ，交EF ︵于G.∵∠OAB＝∠OBA＝60°， ∴△AOB 是等边三角形 ∴AH＝BH ＝100 cm ， ∴OH＝3AH≈170 cm. ∵GH＝2 cm ，∴EF ︵的半径为170－2＝168 cm. (2)连接EF 交OH 于P ，连接OE.在Rt△OEP 中，OP ＝OH －HP ＝98 cm ，OE ＝168 cm ， 由勾股定理，得EP ＝EO 2－OP 2≈137 cm. ∴EF＝2EP ＝274 cm. 10．解： (1)如解图所示．在Rt△DFC 中，FC ＝DCsin 30°＝24×12＝12 cm ，DF ＝DCcos 30°＝24×32＝12 3 cm. 在Rt△BCG 中，CG ＝BCcos 30°＝24×32＝12 3 cm.∴AE＝120－12－24－123≈63.2(cm)．在Rt△ADE中，AD＝AEcos 15°≈63.20.97≈65(cm)．因此，横档AD的长为65 cm.(2)在Rt△ADE中，DE＝ADsin 15°≈65×0.26＝16.9 cm，∴点C离地面的高度为DE＋24－DF＝16.9＋24－123≈20(cm)．因此，点C离地面的高度为20 cm.【例4】解：(1)第5节套管的长度为：50－4×(5－1)＝34(cm)．(2)第10节套管的长度为：50－4×(10－1)＝14(cm)．∵每相邻两节套管间重叠的长度为x cm，根据题意，得(50＋46＋42＋…＋14)－(10－1)x＝311，即320－9x＝311.解得x＝1.答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm.跟踪训练1．解：(1)∵35×8＋30＝310，310＜350，∴m＜35，由题意，得30＋8m＋12(35－m)＝370，解得m＝20.答：该车间的日废水处理量为20吨．(2)设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x＋30≤10x，解得15≤x≤20，当x＞20时，12(x－20)＋8×20＋30≤10x，解得20＜x≤25，综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围是15≤x≤25.2．解：(1)设A ，B 两种品牌运动服的进货单价各是x 元y 元，根据题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ＝10 200，30x ＋40y ＝14 400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝240，y ＝180，答：A ，B 两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元．(2)设购进A 品牌运动服m 件，则购进B 品牌运动服(32m ＋5)件， 则240m ＋180(32m ＋5)≤21 300， 解得m≤40，∴32m ＋5≤32×40＋5＝65. 答：最多能购进65件B 品牌运动服．3．解：(1)设A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋30y ＝1 080，50x ＋20y ＝880，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4，答：A 商品的单价为16元，B 商品的单价为4元．(2)设购买A 商品a 件，则购买B 商品(2a －4)件，∵购买A ，B 两种商品的总件数不少于32件，∴a＋(2a －4)≥32，解得a≥12. ∵购买A ，B 两种商品的总费用不超过296元，∴16a ＋4(2a －4)≤296.解得a≤13，∴a 的取值范围是12≤a≤13.∵a 为整数，∴a＝12或a ＝13.∴共有两种购买方案，方案一：购买A 商品12件，B 商品20件；方案二：购买A 商品13件，B 商品22件．4．解： 问题1：a 2b ＋c ＋6问题2：(1)38＋2x 26＋2x(2)∵折进去的宽度为x cm ，列方程得：(38＋2x)(26＋2x)＝1 260，988＋128x ＋4x 2＝1 260，x 2＋32x －68＝0，x 1＝2，x 2＝－34(舍去)，∴折进去的宽度为2 cm.答：小正方形的边长为2 cm.【例5】 解：(1)设去年每吨桃子的平均价格是a 万元，依题意得2×25a ＋0.1＝30a －0.1，解得a ＝0.4， 经检验，a ＝0.4是原方程的解，25a ＋0.1＋30a －0.1＝250.4＋0.1＋300.4－0.1＝150吨． 答：去年每吨桃子的平均价格是0.4万元，两次采购的总数量为150吨．(2)①设该公司加工桃脯用x 天，则x ＋150－3x 9≤30，解得x≤20， ∴加工桃脯的时间不能超过20天；②设该公司加工桃脯x 天，获得最大利润为w 万元，依题意得w ＝0.7·3x＋0.2×(150－3x)＝1.5x ＋30，∵k＝1.5＞0，∴w 随x 的增大而增大．∵x≤20，∴当x ＝20时w 最大，最大值为1.5×20＋30＝60万元，3×20＝60吨，答：将60吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润，最大利润为60万元． 跟踪训练1．解：(1)y ＝－6x ＋m ；(2)将x ＝7，y ＝－26代入得，－6×7＋m ＝－26，解得m ＝16，∴当时地面气温为16 ℃.∵x＝12＞11，∴y＝16－6×11＝－50(℃)．答：假如当时飞机距离地面12 km ，则飞机外的气温为－50 ℃.2．解：(1)设函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧18k ＋b ＝30，16k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝120， ∴y＝－5x ＋120，∴所求的函数表达式为y ＝－5x ＋120.(2)设利润为w ，根据题意，得w ＝(x －8)(－5x ＋120)＝－5x 2＋160x －960，整理，得w ＝－5(x －16)2＋320，∴当售价为16元时，可使日销售利润最大为320元．(3)一个月不能销售完这批文具盒．理由：由(2)得最大利润时，售价为16元，则由(1)可知，日销售量为40个， ∵1 600÷40＝40天，∴一个月不能销售完这批文具盒．3．解：(1)设老师有x 名，学生有y 名．依题意，列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧17x ＝y －12，18x ＝y ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝284.∵每辆客车上至少要有2名老师，∴汽车总数不能大于8辆；又要保证300名师生都有车坐，汽车总数不能小于30042＝507(取整为8)辆， ∴汽车总数为8辆．(2)设租用x 辆乙种客车，则租用甲种客车(8－x)辆，w ＝400x ＋300(8－x)＝100x ＋2 400.(3)∵租车总费用不超过3 100元，∴400x＋300(8－x)≤3 100, 解得x≤7.∵x≥5，∴5≤x≤7(x 为整数)，∴共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2 900元； 方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3 000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3 100元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．4．解： (1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝a(x －3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y ＝a(x －3)2＋5，得：25a ＋5＝0，解得a ＝－15， ∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15(x －3)2＋5(0＜x ＜8)．(2)当y ＝1.8时，－15(x －3)2＋5＝1.8， 解得x 1＝－1，x 2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．(3)当x ＝0时，y ＝－15(x －3)2＋5＝165. 设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋bx ＋165. ∵该函数图象过点(16，0)，∴0＝－15×162＋16b ＋165， 解得b ＝3，∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋3x ＋165＝－15(x －152)2＋28920， ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．。

江西中考初三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个多项式f(x) = 3x^2 - 2x + 1，它的顶点坐标是多少？A. (1, 0)B. (1, 1)C. (0, 1)D. (-1, 2)答案：A4. 圆的周长是C，圆的半径是r，下列哪个公式是正确的？A. C = 2πrB. C = πrC. C = 4πrD. C = π/2r答案：A5. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A6. 一个正数的倒数是1/5，这个数是多少？A. 5B. 1/5C. 1/3D. 3答案：A7. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是多少？A. 23B. 25C. 27D. 29答案：A8. 一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm和5cm，它的体积是多少？A. 60cm³B. 48cm³C. 36cm³D. 24cm³答案：A9. 一个分数的分子是7，分母是8，它的最简形式是什么？A. 7/8B. 1/2C. 7/4D. 1/8答案：A10. 一个圆的直径是14cm，它的面积是多少？A. 153.94cm²B. 100cm²C. 78.5cm²D. 50cm²答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的立方根是3，这个数是______。

答案：2712. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或-5。

答案：513. 一个二次方程x² - 5x + 6 = 0的解是______。

答案：2和314. 一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，它的面积是______。

2023年江西省中考数学真题试卷及答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．1. 下列各数中，正整数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据有理数的分类即可求解．解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，故选：A．【点拨】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．解：选项A.C.D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．【点拨】本题主要考查了中心对称图形，关键找出对称中心．3. 若有意义，则的值可以是（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】根据二次根式有意义的条件即可求解．解：∵有意义，∴，解得：，则的值可以是故选：D ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 4. 计算的结果为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】根据积的乘方计算法则求解即可．解：，故选A ．【点拨】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．5. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．解：依题意，，∴，∵，∴，故选：C．【点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．6. 如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D【解析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，∴共有6个，故选：D．【点拨】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 单项式的系数为______．【答案】【解析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．解：单项式的系数是．故答案是：．【点拨】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为_______．【答案】【解析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．解：，故答案为：．【点拨】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．9. 计算：（a+1）2﹣a2=_____．【答案】2a+1【解析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．（a+1）2﹣a2=a2+2a+1﹣a2=2a+1，故答案为2a+1.【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.10. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．【答案】【解析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．解：∵直尺的两边平行，∴，又，∴是等边三角形，∵点，表示的刻度分别为，∴，∴∴线段的长为,故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．11. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．【答案】【解析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．解：∵和均为直角∴，∴，∴∵，∴,故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．【答案】或或【解析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．解：连接，取的中点，连接，如图所示，∵在中，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴∴，∴∴，如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，当点在的延长线上时，如图所示，则当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，∵，，∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是矩形，∴即是直角三角形，综上所述，旋转角的度数为或或故答案为：或或．【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：（2）如图，，平分．求证：．【答案】（1）2；（2）证明见解析【解析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；（2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．解：（1）原式；（2）∵平分，∴，在和中，，∴．【点拨】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．14. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】（1）如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可；（2）利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，即为所求作的三角形；【小问2详解】如图，即为所求作的点；【点拨】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．15. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式……解：原式……（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】（1）②，③ （2）见解析【解析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【小问1详解】解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；【小问2详解】解：甲同学的解法：原式；乙同学的解法：原式．【点拨】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．【答案】（1）随机（2）【解析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；【小问2详解】画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．【点拨】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．17. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B 作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．（1）求直线和反比例函数图象的表达式；（2）求的面积．【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为（2）6【解析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．【小问1详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，∴，，即，∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．【小问2详解】解：∵直线的图象与y轴交于点B，∴当时，，∴，∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，∴点C纵坐标为1，∴，即，∴，∴，∴．【点拨】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？【答案】（1）该班的学生人数为45人（2）至少购买了甲树苗80棵【解析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设该班的学生人数为x人，由题意得，，解得，∴该班的学生人数为45人；【小问2详解】解：由（1）得一共购买了棵树苗，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，由题意得，，解得，∴m得最小值为80，∴至少购买了甲树苗80棵，答：至少购买了甲树苗80棵．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．19. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保小数点后一位）（1）连接，求证：；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：）【答案】（1）见解析（2）雕塑的高约为米【解析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．（1）解：∵，∴∵即∴即∴；（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，在中，∴，∴∴在中，，∴（米）．答：雕塑的高约为米．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．（1）求长；（2）若，求证：为的切线．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．（1）解：如图所示，连接，∵是的直径，且，∴，∵E为上一点，且，∴，∴，∴的长；（2）证明：如图所示，连接，∵，，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半径，∴是的切线．【点拨】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．整理描述初中学生视力情况统计表视力人数百分比0.6及以下80.7160.8280.934m及以上46n合计200高中学生视力情况统计图（1）_______，_______；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．【答案】（1）；；（2）；（3）①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②14300人，合理化建议见解析，合理即可．【解析】（1）由总人数乘以视力为的百分比可得的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得的值；（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由中学生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．（1）解：由题意可得：初中样本总人数：人，∴（人），；（2）由题意可得：，∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为；（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”小胡的说法合理；初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为这一组，而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为的这一组，而，∴小胡的说法合理．②由题意可得：（人），∴该区有26000名中学生，估计该区有名中学生视力不良；合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．【点拨】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．22. 课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在中，对角线，垂足为．求证：是菱形．（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．①求证：是菱形；②延长至点，连接交于点，若，求的值．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②【解析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则，，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；（2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证；②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解．（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵∴，在中，∴∴，同理可得，则，又∵∴∴四边形是菱形；（2）①证明：∵四边形是平行四边形，．∴在中，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴四边形是菱形；②∵四边形是菱形；∴∵，∴，∵，∴，∴，如图所示，过点作交于点，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．六、解答题（本大题共12分）23. 综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，_______．②S关于t的函数解析式为_______．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．①_______；②当时，求正方形的面积．【答案】（1）①3；②（2），（3）①4；②【解析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，∴当时，点P在上，且，∵，，∴，∴，故答案为：3；②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，∴，解得，∴当时，，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，∴可设S关于t的函数解析式为，把代入中得：，解得，∴S关于t的函数解析式为，在中，当时，解得或，∴；（3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时，∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，∴，∴，∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．∴可以看作，∴，故答案为：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．.【点拨】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．。