离散型分布
Li Junrong
stat9@https://www.doczj.com/doc/1d7807023.html,
随机变量的类型
●定量资料看作是连续型变量●定性资料看作是离散型变量
①、组合（Combination ）:从个n 元素中抽取k 个元素组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为
!!()!
n n k k n k ??= ?-??2333!6C =322!(32)!21??=== ?-???
k n n C k ?? ???或(n!为的阶乘,n!=1*2*……*n,0!=1)
回忆：数学概念
2222)(b
ab a b a ++=+32
23333)(b ab b a a b a +++=+ ②、牛顿二项展开式：
()()()()()()01122012110
1
0()...n n
n
n n n n n
n n
n n n n n
k n k k k a b a b a b a b a b a b a b -----=+=+++++=∑
二项分布Binomial distribution
Bernoulli试验
毒性试验：小白鼠死亡——生存
临床试验：病人治愈——未愈
临床化验：血清阳性——阴性
事件成功（A）——失败（非A）这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试验。
一、二项分布定义
●任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种对立结果。
●A发生的概率是π，不发生的概率为(1－π)。
●若在相同的条件下，进行n次重复试验，其结果是相互独立的。
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那么X服从二项分布，记做X~B(n,π) 。条件
二、二项分布的概率
例题：假设小白鼠接受一定剂量的毒物时,其死亡概率是80%。对每只小白鼠来说，其死亡事件A发生的概率是0.8，不发生的概率是0.2。试验用3只小白鼠，请列举可能出现的试验结果及发生的概率。
在n 次独立重复试验中，事件A （死亡）发生的次数X （0,1,2,…,n)的概率P(X):
X ~B(n,π):随机变量X 服从以n,π为参数的二项分布。
()()(1)n
X n X
X P X ππ-=-()!()!!
n
X X n n C n X X ==-概率函数
●在n 次独立重复试验中，事件A （死亡）至少发生k 次的概率：
●在n 次独立重复试验中，事件A （死亡）至多发生k 次的概率：
分布函数
n
X=k P X k)=P(k)+P(k+1)+...+P(n)=P(X)
≥∑（k
X=0P X k)=P(0)+P(1)+...+P(k)=P(X)
≤∑（
三、二项分布的均数与标准差
X ~B(n,π)：
X 的均数μX =n π
X 的方差σX 2 = n π(1-π)
X 的标准差：(1)
x n σππ=-
四、二项分布的图形
●图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与正态分布的关系
●决定图形的两个参数：n，
五、样本率的均数和标准差
●样本率的均数μp :●样本率的标准差σp:●样本率的标准差（估计值)Sp:
11()p x n n n
μμππ===1(1)p x n n ππσσ-==(1)p p p S n
-=(标准误)
二项分布的应用：统计推断
●总体率区间估计
●样本率与总体率的比较
●两样本率的比较
(一)、总体率区间估计
●
查表法(基于二项分布原理)
●正态近似法(基于二项分布正态近似原理)条件：n 较大、p 与(1-p)均不太小，如np 及n(1-p)均大于5时。95%CI:
π的p
p 1.96S ±
(二)样本率与总体率的比较
1、直接概率法(基于二项分布原理)
2、正态近似法(基于二项分布正态近似原理)
条件：n较大、p与(1-p)均不太小，如np
及n(1-p)均大于5时。
●例题：P118 例6-4
●分析题意，选择合适的计算统计量的方法。
假设检验过程
1.建立假设：
H0：π= 0.55
H1：π>0.55
2.确定显著性水平，α取0.05。(单侧）
3.计算统计量：P（9）＋P（10）直接得到P值。
4.比较P与α
5.做出推论
(三)两样本率的比较
检验统计量u 的计算：
12
12p p p p u S --=注：可用卡方检验取代，了解即可。
不作要求：
家庭聚集性检验群检验
几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布
常见离散分布 1. 0-1分布 定义：如果随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律是 1{}(1),0,1(01)k k P X k p p k p -==-=<< 则称X 服从参数为p 的0-1分布或两点分布。 ()p,()(1).E X D X p p ==- 2. 二项分布 如果随机变量X 的分布律是 n {}(1),0,1,...,k k n k P X k C p p k n -==-= 则称X 服从二项分布，记为~(n,)X B p 。 ()p,()(1).E X n D X np p ==- 3. 泊松分布 如果随机变量X 的分布律为k {},0!P X k e k λλλ-== >为参数，k =0,1,2,…,则称服从参 数为λ的泊松分布，记为~()X P λ。 (),().E X D X λλ== 常见连续分布 1. 均匀分布 如果连续型随机变量X 具有概率密度 1,,()0,a x b f x a b ?<
0,0,(),,1,, a x a F x a x b b a x b ?=>??≤?， 则称X 服从参数为θ的指数分布，记为~x ()X E p θ，（注λ= 1θ） 指数分布的分布函数为 1,0.()0,0. x e x F x x θ-??->=??≤? 2(),()E X D X θθ==. 3. 正态分布 如果随机变量X 的概率密度为 22()2(),,x f x x μσ--=-∞<<+∞ 其中μ，σ(σ>0)为参数，则称X 服从参数 μ，σ的正态分布(又称高斯分布)，记为2~(,)X N μσ. 正态分布2 ~(,)X N μσ的分布函数为 22()2()e x x F x dt μσ--=-∞. 2(),()E X D X μσ==.
常用的概率分布类型及其特征 3．1 二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、均匀分布 如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一
个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N
X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： 0 几种常见的概率分布 一、 离散型概率分布 1. 二项分布 n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布 应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的 平均数： (Y)np X E μ== 方差与标准差：2(1)X np P σ=- ;X σ=特例：（0-1）分布 若随机变量X 的分布律为 1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0 复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票 二、 连续型概率分布 1. 均匀分布 若随机变量X 具有概率密度函数 (x)f = 则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b) 在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为 0F(x),1 x a x a a x b b a b x ? 是常数， 则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为 1,0(x)0,0 x e x F x λ-?-≥=? 新乡医学院教案首页单位：计算机教研室 课程名称医药数理统计方法 授课题目 2.1 常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业 时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟 课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数 掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布 授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别 授课形式小班理论课 授课方法启发讲解 参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社 高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社 思考题二项分布和超几何分布有何联系？ 教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日 基 本 内 容 备 注 常见离散型随机变量的分布 一、超几何分布 例1 带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X 放出的蜂中工蜂的只数，求X 的分布列。 解 X 1 2 3 4 5 P 052010530C C C 142010530C C C 232010530C C C 322010530C C C 412010530C C C 502010 5 30 C C C 定义 1 若随机变量X 的概率函数为 {} 0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k l C --?=== 其中N≥M>0,n≤N -M,l=min(M,n),则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，记作X~H(N,M,n). 超几何分布的分布函数为()k n k M N M n k x N C C F x C --≤?=∑ 二、二项分布 1. Bernoulli 试验 只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验。 例2 已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X 表示治疗无效的人数，求X 的分布列。 解：X 可取0，1，2，3。 用A i 表示事件“第i 例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7i P A p == P{X=0}=33 123123()()()()(1)0.343P A A A P A P A P A p q ==-== P{X=1}=231312123()P A A A A A A A A A ++ 2231312123()()()30.441P A A A P A A A P A A A pq =++== P{X=2}=321121323()P A A A A A A A A A ++ 2321121323()()()30.189P A A A P A A A P A A A p q =++== 第八章 常用统计分布 一、填空 1．对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当N n ≤（0.1 ）时，可采用二项分布来近似。 2．泊松分布只有一个参数（ λ ），只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。 3．卡方分布是一种（连续 ）型随机变量的概率分布，它是由（正态 ）分布派生出来的。 4．（ F ）分布具有一定程度的反对称性。6．（ 稀有 ）事件是满足泊松分布的。 7．（ 泊松 ）分布用于解决连续体中的孤立事件。8．2χ分布的图形随着自由度的增加而渐趋（对称 ）。 9．当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（超几何分布 ）可采用二项分布来近似。 二、单项选择 1．已知离散性随机变量x 服从参数为λ=2的泊松分布，则概率P （3；λ）＝（ A ）。 A 4/3e 2 B 3/3e 2 C 4/3e 3 D 3/3e 3 2．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时，（ D ）分布可以用二项分布来近似。 A t 分布 B F 分布 C 2χ分布 D 超几何分布 3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概率分布，应选择（ C ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 4．对于一个样本容量n 较大及成功事件概率p 较小的二项分布，都可以用（ C ）来近似。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布。 5．与F α（1k ，2k ）的值等价的是（ C ）。 A F 1-α（1k ，2k ） B F 1-α（2k ，1k ） C 1/F α（1k ，2k ） D 1/F 1-α（2k ，1k ） 6、只与一个自由度有关的是（A ）A 2χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 三、多项选择 1．属于离散性变量概率分布的是（ABC ）。A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 2．属于连续性变量的概率分布的是（AF ）。A 2χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 3．下列近似计算概率的正确方法是（ACDE ）。 A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E 用正态分布的概率近似计算 F 分布的概率 4．2 χ分布具有的性质是（ABE ）。A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 5．F 分布具有的性质是（ ABC ）。A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（BC ）。 A n/N ≤0.1 B n ≥10 C p ≤0.1 D k ≥30 E k 2>2 理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列 知识点一 1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y , 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的分布列及其性质： （1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n 的概率为() i i P X x p ，则表 称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。 （2）分布列的性质：①0,1,2,,i p i n ；② 1 1n i i p （3）常见离散型随机变量的分布列： ①两点分布：若随机变量X 的分布列为, 则称X 服从两点分布，并称(1)p P x 为成功概率 ②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则() (0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C 其中min{,}m M n ，且 *,,,,)n N M N n M N N ,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列 0n M N M n C C 1n M N M n C C m n m M N M n C C 、随机变量的数学期望（均值）与方差 题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( ) A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是________． 题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布） 【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10券中有一等奖券1，可获价值50元的奖品；有二等奖券3，每可获价值10元的奖品；其余6没有奖．某顾客从此10奖券中任抽2，求： (1) 该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．几种常见的概率分布复习过程
常见离散型随机变量的分布 (1)
第八章 常用统计分布练习题
高中理科数学离散型随机变量及分布列
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