高考数学一轮复习题组层级快练26

题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列说法正确的是( )A ．M ＝{(2，3)}与N ＝{(3，2)}表示同一集合B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}与N ＝{y |x ＋y ＝1}表示同一集合C ．M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}有2个子集D ．设U ＝R ，A ＝{x |lg x <1}，则∁U A ＝{x |lg x ≥1}＝{x |x ≥10}答案 C2．若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．BB ．AC ．∅D ．Z答案 D 解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z .3．(2023·全国甲卷，理)设集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U 为整数集，∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ＝3k ，k ∈Z }B ．{x |x ＝3k －1，k ∈Z }C ．{x |x ＝3k －2，k ∈Z }D ．∅答案 A解析 因为整数集Z ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U ＝Z ，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }．故选A.4．已知集合A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B 有________个真子集．( )A ．3B ．16C ．15D ．4 答案 A解析 A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B ＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集个数为22－1＝3.故选A.5．(2023·山东济宁检测)设全集U ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则下列四个图中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}的是( )答案 C解析因为A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，所以A∩B＝{－1}，A∪B＝{－2，－1，0，1，2}．则A中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1，2}；B中的阴影部分所表示的集合为{2}；C中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}；D中的阴影部分所表示的集合为{－1}．故选C.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．7．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A．∅B．SC．T D．Z答案 C解析当n＝2k，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋1，k∈Z}；当n＝2k＋1，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋3，k∈Z}．所以T S，S∩T＝T.故选C.8．(2024·河北辛集中学模拟)已知集合A＝{1，3，a2－2a}，B＝{3，2a－3}，C＝{x|x<0}，若B⊆A且A∩C＝∅，则a＝()A．1 B．2C．3 D．2或3答案 B解析方法一：由题得2a－3＝1或2a－3＝a2－2a.若2a－3＝1，则a＝2，故A＝{0，1，3}，B＝{1，3}，此时满足B⊆A，A∩C＝∅.若2a－3＝a2－2a，则a＝1或a＝3，当a＝1时，A＝{－1，1，3}，B＝{－1，3}，此时A∩C ＝{－1}，不符合题意；当a＝3时，a2－2a＝3，不符合题意．故a＝2，选B.方法二：因为A∩C＝∅，故集合A中的元素均为非负数，从而a2－2a≥0，得a≤0或a≥2，故排除A；由集合中元素的互异性得2a－3≠3，即a≠3，排除C、D.故选B.9．若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝()A．M B．NC．P D．∅答案 C解析∵M∩N＝M，∴M⊆N，∵N∪P＝P，∴N⊆P，∵M，N，P非空且互不相等，∴M N P，∴M∪P ＝P.故选C.10．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析方法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C31C31＝9，故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.二、多项选择题11．已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．M ＝∁R N答案 CD 解析 由题意得M ＝{y |y ≤0}，N ＝{y |y >0}，∴∁R N ＝{y |y ≤0}，∴M ＝∁R N ，M ∩N ＝∅.12．(2024·重庆八中适应性考试)已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B ＝B ，则下列关系一定正确的是( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∩B ＝BC ．A ∪B ＝UD ．(∁U B )∪A ＝A答案 CD解析 令U ＝{1，2，3，4}，A ＝{2，3，4}，B ＝{1，2}，满足(∁U A )∪B ＝B ，但A ∩B ≠∅，A ∩B ≠B ，故A 、B 均不正确；由(∁U A )∪B ＝B ，知∁U A ⊆B ，∴U ＝[A ∪(∁U A )]⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝U ，由∁U A ⊆B ，知∁U B ⊆A ，∴(∁U B )∪A ＝A ，故C 、D 均正确．13．1872年，德国数学家戴德金用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)．所谓“戴德金分割”，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，M 中每一个元素均小于N 中的每一个元素，则称(M ，N )为“戴德金分割”．试判断下列选项中，可能成立的是( )A ．M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x >0}是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素答案 BD解析 对于A ，因为M ∪N ＝{x ∈Q |x ≠0}≠Q ，故A 错误；对于B ，设M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x ≥0}，满足“戴德金分割”，故B 正确；对于C ，不能同时满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，故C 错误；对于D ，设M ＝{x ∈Q |x <2}，N ＝{x ∈Q |x ≥2}，满足“戴德金分割”，此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确．三、填空题与解答题14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________． 答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A⊆B，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A∪B＝{1，0，－1}，∁B A＝{－1}．15．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，c>0.若A∪B＝B，则c的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析A＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.16．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求a的值；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁U B)＝A，求a的取值范围．答案(1)－1或－3(2)(－∞，－3](3){a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}解析A＝{1，2}．(1)由A∩B＝{2}，得2∈B，则4＋4a＋4＋a2－5＝0，得a＝－1或－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{2，－2}，符合题意；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意．综上，a＝－1或－3.(2)由A∪B＝A，得B⊆A.①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0，得a<－3；②若B＝{1}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且Δ＝0，此时无解；③若B＝{2}，则4＋4a＋4＋a2－5＝0且Δ＝0，得a＝－3；④若B＝{1，2}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且4＋4a＋4＋a2－5＝0，此时无解．综上，a的取值范围为(－∞，－3]．(3)由A∩(∁U B)＝A，得A∩B＝∅，所以1＋2a＋2＋a2－5≠0且4＋4a＋4＋a2－5≠0，解得a≠－1±3且a≠－1且a≠－3.故a的取值范围为{a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}．17．(2024·成都七中月考)已知非空集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅，且A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则集合A，B的所有可能情况种数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析易知A的元素个数不能为2，否则A，B中必然有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意．所以A的元素个数为1或3，所以可能情况有A＝{3}，B＝{1，2，4}或A＝{1，2，4}，B＝{3}，共2种．故选B. 18．【多选题】设集合X是实数集R的子集，如果x0∈R满足对任意的a>0，都存在x∈X，使得0<|x－x0|<a，则称x0为集合X的聚点．则下列集合中是以0为聚点的集合有()A ．{x |x ∈R ，x ≠0}B ．{x |x ∈Z ，x ≠0} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝1n ，n ∈N *D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *答案 AC解析 对于A ，对任意的a >0，都存在x ＝a 2使得0<|x －0|＝a 2<a ，故0是集合{x |x ∈R ，x ≠0}的聚点． 对于B ，对于某个实数a >0，比如取a ＝12，此时对任意的x ∈{x |x ∈Z ，x ≠0}，都有|x －0|≥1，也就是说0<|x －0|<12不可能成立，从而0不是集合{x |x ∈Z ，x ≠0}的聚点． 对于C ，对任意的a >0，都存在n >1a ，即1n <a ，0<|x －0|＝1n <a ，故0是集合{x |x ＝1n，n ∈N *}的聚点． 对于D ，n n ＋1＝1－1n ＋1，故n n ＋1随着n 的增大而增大，故n n ＋1的最小值为11＋1＝12，即x ≥12，故对任意的0<a <12，不存在x ，使得0<|x －0|<a ，故0不是集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *的聚点．故选AC.。

题组层级快练(二)一、单项选择题1．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．2．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1， 而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0.故选B.3．(2024·福州市质检)“x >y >0”是“1x －y >1x”成立的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 充分性：由x >y >0，得x >x －y >0，故1x －y >1x 成立，即充分性成立．必要性：由1x －y >1x ，得1x －y －1x ＝y （x －y ）x>0，当x <0<y 时，不等式也成立，即必要性不成立．故选B.4．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，则“a n >0”是“{S n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a n >0，则S n >S n －1(n ≥2)，∴{S n }是递增数列，∴“a n >0”是“{S n }是递增数列”的充分条件；若{S n }是递增数列，则S n >S n －1，∴a n >0(n ≥2)，但是a 1的符号不确定，∴“a n >0”不是“{S n }是递增数列”的必要条件．故选A.5．(2024·河北献县一中月考)命题p ：∀a ∈R ，一元二次方程x 2－ax －1＝0有实根，则命题p 的否定及其真假为( )A ．否定：∃a ∈R ，一元二次方程x 2－ax －1＝0无实根，真命题B ．否定：∃a ∈R ，一元二次方程x 2－ax －1＝0无实根，假命题C ．否定：∃a ∈R ，一元二次方程x 2－ax －1＝0有实根，真命题D ．否定：∃a ∈R ，一元二次方程x 2－ax －1＝0有实根，假命题答案 B解析 由题意，命题p 的否定是∃a ∈R ，一元二次方程x 2－ax －1＝0无实根，由于Δ＝a 2＋4>0恒成立，故对任意a ，方程都有实根，故命题p 的否定为假命题．故选B.6．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 答案 D解析 “∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2”．7．(2024·江苏海安中学模拟)在空间中，设m ，n 是两条直线，α，β表示两个平面，如果m ⊂α，α∥β，那么“m ⊥n ”是“n ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ⊥n 时，∵m ⊂α，α∥β，则n 与β可能平行，∴充分性不成立；当n ⊥β时，∵α∥β，∴n ⊥α，∵m ⊂α，∴m ⊥n ，∴必要性成立，∴“m ⊥n ”是“n ⊥β”的必要不充分条件．8．命题p ：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )A ．有些三角形不是等腰三角形B ．有些三角形可能是等腰三角形C ．所有三角形都不是等腰三角形D ．所有三角形都是等腰三角形 答案 C解析 命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p 是“所有三角形都不是等腰三角形”．9．(2023·苏锡常镇一模)“0<x <π4”是“0<sin x <π4”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A10．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 方法一：当a >b ≥0时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当a ≥0>b 时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当b <a ≤0时，a >b ⇔a |a |>b |b |，∴选C.方法二：构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.故选C. 11．“m >2”是“关于x 的方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两根都大于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析 设方程x 2－mx ＋m ＋3＝0有两根，两根分别为x 1，x 2，则Δ≥0，且x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝m ＋3.当方程的两根都大于1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1>1，x 2>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，（x 1－1）（x 2－1）>0，（x 1－1）＋（x 2－1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4（m ＋3）≥0，m ＋3－m ＋1>0，m －2>0，解得m ≥6. 因为m ≥6⇒m >2，而m >2m ≥6，所以“m >2”是“关于x 的方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两根都大于1”的必要不充分条件．故选B.12．命题“∃x ∈[1，2]，x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥1B ．a ≥4C ．a ≥－2D ．a <4答案 B解析 命题“∃x ∈[1，2]，x 2≤a ”等价于“a ≥1”，即当命题“∃x ∈[1，2]，x 2≤a ”为真命题时，实数a 的取值组成的集合为[1，＋∞)，所以所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1，＋∞)，显然只有[4，＋∞)．故选B.二、多项选择题13．下列四个条件中，能成为x >y 的充分不必要条件的是( )A ．xc 2>yc 2B.1x <1y <0 C ．|x |>|y |D ．ln x >ln y 答案 ABD解析 若xc 2>yc 2，则c 2≠0，则x >y ，反之x >y ，当c ＝0时得不出xc 2>yc 2，所以“xc 2>yc 2”是“x >y ”的充分不必要条件，故A 正确．由1x <1y <0可得y <x <0，即能推出x >y ；但x >y 不能推出1x <1y<0(因为x ，y 的正负不确定)，所以“1x <1y<0”是“x >y ”的充分不必要条件，故B 正确．由|x |>|y |可得x 2>y 2，则(x ＋y )(x －y )>0，不能推出x >y ；由x >y 也不能推出|x |>|y |(如x ＝1，y ＝－2)，所以“|x |>|y |”是“x >y ”的既不充分也不必要条件，故C 错误．若ln x >ln y ，则x >y ，反之x >y 得不出ln x >ln y ，所以“ln x >ln y ”是“x >y ”的充分不必要条件，故D 正确．14．(2023·广西南宁市联考)下列各函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充要条件是( )A ．f (x )＝tan xB ．f (x )＝3x －3－x C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝log 3|x | 答案 BC解析 因为f (x )＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f (x 1)＋f (x 2)＝0，但是f ⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，此时π4＋3π4≠0，A 不符合题意；因为f (x )＝3x －3－x 和f (x )＝x 3均为单调递增的奇函数，所以“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充要条件，B 、C 符合题意；由f (x )＝log 3|x |的图象易知D 不符合题意．故选BC.三、填空题与解答题15．(2023·潍坊一中月考)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空．(1)“a ，b 都为0”的必要条件是________；(2)“a ，b 都不为0”的充分条件是________；(3)“a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________．答案 (1)①②③ (2)④ (3)①解析 ①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0. 若a ，b 都为0，则①②③成立，∴“a ，b 都为0”的必要条件是①②③；当④成立时，a ，b 都不为0，∴“a ，b 都不为0”的充分条件是④；“a ，b 至少有一个为0”的充要条件是①.16．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求实数m 的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m ＞0”是真命题，求实数m 的取值范围．你认为，两位同学题中实数m 的取值范围是否一致？并说明理由． 答案 一致，理由见解析解析 两位同学题中实数m 的取值范围是一致的．因为“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”，而“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题．所以两位同学题中实数m 的取值范围是一致的．17．(2024·山东省实验中学诊断)已知函数f (x )＝sin 2x ，x ∈[a ，b ]，则“b －a ≥π2”是“f (x )的值域为[－1，1]”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由图可知，若a ＝0，π2<b <3π4，则b －a >π2，但f (x )＝sin 2x 的值域不是 [－1，1]．反之，因为值域是[－1，1]，说明b －a ≥12T ，而T ＝π.所以b －a ≥π2.18．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12 解析 因为函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，所以问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )的值域的子集．函数f (x )的值域是[－1，3]，又a >0，所以函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。

题组层级快练(二十七)1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[12，32]D ．[－32，－12] 答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．2．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( )A.2－12B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 答案 B解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin(x －π6)，∴f (x )的值域为[－3，3]．4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3答案 A解析 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[0,2] D ．[0,1]答案 B解析 当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0时，y ＝0. 6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是( )A ．6＋532B ．17C ．13D ．12答案 C解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )]＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6)＝13sin(2x ＋π6＋φ)，故选C.7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x＝1－tan x －122＋14，当tan x ＝12时，f (x )的最小值为4，故选D.8．已知f (x )＝sin x ＋1sin x ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B.9．若函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值X 围是________．答案 (－2π3，2π3]解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－2π3，2π3]．10．(2014·新课标全国Ⅱ理)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.11．若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值X 围是________．答案 [－1，2]解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解．2sin(2x －π4)＝m 有解．∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，3π4]．∴2sin(2x －π4)∈[－1，2]．12．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x 的最小值是________．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2xcos 2x ≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.13．(2015·某某某某调研)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则：(1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________． 答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.(2)由(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41. 14．已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 答案 (1)π (2)22 {x |x ＝k π－π8，k ∈Z } 解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．15．(2015·某某百强中学月考)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，某某数a 的值．答案 (1)T ＝π，[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )(2)a ＝0解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ；当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32.∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0.16．(2014·某某理)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 答案 (1)最大值为22，最小值为－1 (2)a ＝－1，θ＝－π6解析 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ1－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1.由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.。

题组层级快练(四十四)一、单项选择题1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 设圆锥的母线长为l ，因为该圆锥的底面半径为2，由题意得2π×2＝πl ，解得l ＝2 2.故选B. 2．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm 的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为( ) A.203 cm B ．15 cm C ．10 3 cm D ．20 cm答案 B解析 设玻璃球的半径为r cm ，则πr 2·10＋43πr 3＝πr 2·2r ，解得r ＝15.故选B.3．正六棱柱的底面边长为2，它最长的一条体对角线长为25，则它的表面积为( ) A ．4(33＋4) B ．12(3＋2) C ．12(23＋1) D ．3(3＋8)答案 B解析 正六棱柱的底面边长为2，最长的一条体对角线长为25，则高为（25）2－（2×2）2＝2，它的表面积为S 表＝2S 底＋6S 矩形＝2×6×12×2×2×sin π3＋6×2×2＝123＋24＝12(3＋2)．4．(2024·南京六校联考)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的2π倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造成一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出该金字塔模型(不计损耗)的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 B解析 由题意可知该金字塔模型的高h ＝4，则底面边长a ＝4×2π4＝2π，所以该金字塔模型的体积为13a 2h ＝13×4π2×4＝163π2.棱长为6的正方体铜块的体积为63＝216，则216163π2≈4.1，故该铜块最多能铸造出该金字塔模型的个数为4.故选B.5. 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为( )A.153B.3235π27C.1282π81D.833答案 C解析 作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路径为PP ′，∵OP ＝OP ′＝4，PP ′＝43，由余弦定理可得cos ∠P ′OP ＝OP 2＋OP ′2－PP ′22OP ·OP ′＝－12，∴∠P ′OP ＝2π3.设底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则有2πr ＝2π3×4，∴r ＝43，h ＝42－r 2＝823，∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝1282π81.6．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m 时，相应水面的面积为140.0 km 2；水位为海拔157.5 m 时，相应水面的面积为180.0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时，增加的水量约为(7≈2.65)( ) A ．1.0×109 m 3 B ．1.2×109 m 3 C ．1.4×109 m 3 D ．1.6×109 m 3答案 C解析 由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V ＝13×9×(140＋140×180＋180)×106＝60×(16＋37)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m 3)．故选C.7．(2024·北京师范大学附属中学月考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的动点且EF ＝1，则三棱锥B －AEF 的体积为( ) A.24B.26C.212D．无法确定答案 C解析如图所示，连接AC，BD，设交点为O，因为BB1⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以AO⊥BB1，又AO⊥BD，BD∩BB1＝B，因此AO⊥平面BDD1B1.V B－AEF＝V A－BEF＝13·S△BEF·AO＝13×12×1×1×22＝212.故选C.8．(2024·河北邢台月考) 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，DA⊥AB，∠D＝45°，AB＝2，BC＝22，AD ＝6，现将该四边形绕AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为()A．(162＋16)πB．(282＋4)πC．(362＋36)πD．(362＋40)π答案 C解析连接BD，在圆内接四边形ABCD中，∠DAB＝90°，所以BD是四边形ABCD外接圆的直径，所以∠DCB ＝90°，则∠ABC＝135°.延长AB，过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，则∠CBE＝45°，所以△BCE是等腰直角三角形，所以BE＝CE＝2.作出四边形ABCD关于直线AB对称的图形，如图所示．由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°，所以四边形AECF是矩形，AF＝CE＝2，DF＝CF＝AE＝4，所以在等腰直角三角形CDF中，CD＝4 2.将该四边形绕AB旋转一周，则旋转形成的几何体是一个圆台挖掉一个圆锥，其表面积为π×62＋π×(2＋6)×42＋π×2×22＝(362＋36)π.故选C.二、多项选择题9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，P A＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则()A．该圆锥体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．AC＝22D．△P AC的面积为 3答案AC解析 如图，取AC 中点D ，连接OD ，PD ，则OD ⊥AC ，PD ⊥AC ，二面角P －AC －O 的平面角为∠PDO ，则∠PDO ＝45°，在△P AB 中，易知PO ＝1，AO ＝3，则OD ＝1，V ＝13·3π·1＝π，A 正确．S 侧＝12P A ·2π·3＝23π，B 错误．易知PD ＝2，则AC ＝24－2＝22，C 正确．S △P AC ＝12×2×22＝2，D 错误．选AC.10. (2024·长沙市摸底考试)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O 1O 2，在轴截面ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝2 cm ，且CD ＝2AB ，则( )A ．该圆台的高为1 cmB ．该圆台轴截面面积为3 3 cm 2C ．该圆台的体积为73π3cm 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5 cm 答案 BCD解析 对于A ，如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则CE ＝CD －AB2＝1，所以BE ＝BC 2－CE 2＝22－12＝3，即圆台的高为 3 cm ，故不正确；对于B ，圆台的轴截面面积为12×(2＋4)×3＝33(cm 2)，故正确；对于C ，圆台的体积为13×3×(π＋4π＋π·4π)＝73π3(cm 3)，故正确；对于D ，将该圆台侧面的一半展开，得到如图所示的扇环ADCB ，再将其补成扇形PDC ，则弧CD 长为2π，半径PC 长为4，所以圆心角∠CPD ＝π2，取AD 的中点为M ，连接CM ，则从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点M 的最短路径即扇环中线段CM 的长，CM ＝PC 2＋PM 2＝42＋32＝5(cm)，故正确． 综上所述，选BCD. 三、填空题11．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．答案 4∶3解析 设圆锥的底面半径为r ，则底面周长为2πr ，故展开后的扇形弧长为2πr ，又扇形的圆心角为2π3，半径为1，故2πr ＝2π3×1，则r ＝13，所以圆锥的侧面积为π3，表面积为4π9，故表面积与侧面积的比是4∶3.12．(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 答案 28解析 如图，由题意AO ＝22，A 1O 1＝2，则SO 1SO ＝O 1A 1OA ＝222＝12，∴OO 1＝3，V ＝13(4＋16＋4×16)×3＝28.13．(2024·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B ，C 分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且AC ＝3AB ＝3BD ，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________．答案 2 214．(2024·武汉市调研考试)半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的体积的比值为________．答案 56解析 设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3，如图所示，截去的其中一个三棱锥的体积为V A －BCD ＝13×12×a 2×a 2×a 2＝a 348，所以二十四等边体的体积为a 3－a 348×8＝a 3－16a 3＝56a 3，所以二十四等边体与原正方体的体积的比值为56.15．(2019·课标全国Ⅲ) 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后得到的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案 118.8解析 由题易得长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V四棱锥O －EFGH＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．16．【多选题】(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( ) A ．直径为0.99 m 的球体 B ．所有棱长均为1.4 m 的四面体C ．底面直径为0.01 m ，高为1.8 m 的圆柱体D ．底面直径为1.2 m ，高为0.01 m 的圆柱体 答案 ABD解析 对于A ，正方体的内切球直径为1>0.99，故A 正确． 对于B ，正方体的内接正四面体棱长为2>1.4，故B 正确．对于C 、D ，假设正方体内放入的最长的圆柱为AB ，A ，B 分别为圆柱下、上底面的圆心，圆柱AB 的轴在正方体体对角线CD 上，其中C 为靠近A 的顶点，D 为靠近B 的顶点， 设圆柱底面半径为r ，易知AC ＝2r ，当r 取定时，圆柱的高的最大值h max ＝3－22r .对于C ，当r ＝0.005时，h max ＝3－22×0.005≈1.72<1.8，故C 错误．对于D ，当r ＝0.6时，h max ＝3－22×0.6≈0.03>0.01，故D 正确．故选ABD.17．《乌鸦喝水》的寓言故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解．如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3 cm ，瓶底直径为9 cm ，瓶口距瓶颈为2 3 cm ，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332 cm.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移32cm.若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子至少为(石子体积均视为一致)( )A ．2颗B ．3颗C ．4颗D ．5颗答案 C解析 如图所示，AB ＝9 cm ，EF ＝GH ＝3 cm ，LO ＝3 3 cm ，所以∠A ＝60°.原水位线为CD ，CD ＝6 cm ，投入石子后，水位线为IJ ，IJ ＝5 cm ，则由圆台公式得到V 石子＝13π·MN ·(CN 2＋IM 2＋CN ·IM )＝913π24(cm 3)．同理，空瓶部分体积是由空瓶圆台加圆柱体得到，即V 空瓶＝V 空圆台＋V 圆柱体＝13π·LN ·(CN 2＋EL 2＋CN ·EL )＋π·EL 2·KL ＝633π8＋363π8＝993π8(cm 3)，则需要石子的个数为V 空瓶V 石子＝993π8913π24＝998×2491＝29791∈(3，4)，则至少需要4颗石子．故选C.18．(2024·沧衡八校联盟)若一个正n 棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n 的最小值为________，该棱台各棱的长度之和的最小值为________． 答案 6 42解析 因为正n 棱台的侧棱有n 条，上、下底面共有2n 条棱，所以正n 棱台共有3n 条棱，由3n >15，得n >5，所以n 的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12＋3×6＝42.。