圆的切线的判定与性质 【知识点精析】 1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。 2. 圆的切线的判定与性质： （1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径 （2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。 例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。 3. 切线长定理： （1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。 圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。 （2）切线长性质 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。 例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径 （3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 【解题方法指导】 一切线长定理的计算 例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径 B C 2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。 二等腰三角形在证明切线中的巧用 例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．
中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题 点与圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念 能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题 圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形 会计算扇形面积 能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积 会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题 中考内容与要求 暑期班第六讲秋季班第六讲 秋季班第八讲 圆中三大切线定理
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2011年2012年2013年 题号20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分17分17分 考点 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 (垂径定理、圆周角 定理)，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系 中考考点分析 知识互联网 题型一：切线的性质定理
【圆的平面几何性质和定理】 [圆的基本性质与定理] 1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定） 2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 [有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 [园内接四边形的性质与定理] 1定理圆的内接四边形的对角互补 2定理并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 [有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [与圆有关的比例线段] 1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 围田地 漫画释义 满分晋级阶梯 圆7级 期末复习之圆中的 重要结论及应用 圆6级 期末复习之圆的综合 圆5级 圆中三大切线定理 2 圆中三大切线定理
中考内容与要求 中考考点分析 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考 15
16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分 考点 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 知识互联网 题型一：切线的性质定理
17 题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。 【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=． 判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。 【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练 思路导航 典题精练 思路导航 题型二：切线的判定定理 E O D C B A
切线的判定和性质教学设计 【教学目标】 一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理,并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线． 二、过程与方法:以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据,探究切线的判定 定理和性质定理,领会知识的延续性,层次性。 三、情感态度与价值观:让学生感受到实际生活中存在的相切关系,有利于学生把实际的问 题抽象成数学模型。 【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理,并运用. 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】 一、导语:通过上节课的学习,我们知道，直线和圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 而相切最特殊,这节课我们专门来研究切线。 师生行为:教师联系近期所学知识,提出问题,引起学生思考,为探究本节课定理作铺垫。 二、探究新知 (一）切线的判定定理 1.推导定理:根据“直线l和⊙O相切d=r”,如图所示，因为d=r直线l和⊙O相切，这 里的ｄ是圆心O到直线l的距离，即垂直,并由d=r就可得到l经过半径ｒ的外端，即半径ＯA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 分析: 1、垂直于一条半径的直线有几条? 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线? 3、去掉定理中的“经过半径的外端"会怎样？去掉“垂直于半径”呢？ 师生行为:学生画一个圆,半径ＯA,过半径外端点A的切线l,然后将“d＝r直线ｌ和⊙O 相切”尝试改写为: 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 设计意图:过学生亲自动手画图，进行探究,得出结论。 思考1：根据上面的判定定理,要证明一条直线是⊙O的切线,需要满足什么条件? 总结:①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线. 思考2:现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线? ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ③切线的判定定理. 师生行为:教师引导学生汇总切线的几种判定方法 思考3：已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 2. 定理应用
日月桃李文化教育教案 学生： 郭曼 年级： 9 科目：数学 地点：中海 时间：2013 年 3 月 9 日 星期 日 形式：单独 老师： 王丽君 教学内容：直线与圆的位置关系（三大切线定理） 课时安排： 2 学时 【知识要点】（按点列出） 圆心角和圆周角、弦长、弧长的关系 【教学过程】：【复习、新授、训练（例题与训练中的基础、拓展、综合、链接部分必与知识点紧密联系）、小结、作业）】 知识点1、直线和圆的三种位置关系： 知识点2、切线的判定和性质： 1、 判定：（1）当圆心到直线的距离d 等于半径r 时，直线是圆的切线； （2）经过半径外端垂直于的半径的直线，是圆的切线。 2、性质：如果一条直线与圆相切，另一条满足：（1）过圆心，（2）切点，（3）垂直于半径．其中任意两个条件，则必满足第三个条件。 知识点3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。 知识点4、切线长定理：从圆外一点向圆所引的两条切线段长相等； 知识点5、圆幂定理： （1）PA ·PB=PC ·PD （2）PT 2=PA ·PB=PC ·PD 知识点6、圆与三角形： （1）1902BIC A ∠=+ ∠o ，()1 2 S a b c r =++ （2） ()1 2 r a b c =+- 注意：(1)“连半径证垂直得切线”。“作垂直证半径得切线”。 (2) 见切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。 （3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。 知识点7:、圆与四边形 四边形对角互补 二、典例精讲 考点1、切线的性质和判定 例1、（1）如图，已知，△ABC 中，AB=AC ，以BC 的 中点O 为圆心的圆切AB 于D 。求证：⊙O 与AC 也相切 d
第2讲圆中的三大切线定理 板块一：切线性质定理 1、直线与圆有且仅有一个交点，该直线为圆的一条切线，连接圆心和切点，R⊥切线 【引】（2013武汉四调）在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC （1）如图1，求证：OP∥BC （2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值。
【变】（求边）⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA=3，BC=4，则AD？ 【变】（求角）直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，且∠OBA=40°，求∠ADC？ 【练】⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB为⊙O于点B，求PB的最小值？
2、切线长定理 【例】EB、ED分别切⊙O于B、D，∠E=90°，延长BO交⊙O于A，点C为⊙O 上一点，且∠CAB=15°，若DE=2，求CD？ 3、切线长定理的一些结论 【练】PA、PB切⊙O于点A、B两点，C为AB上的一点，已知∠BPA=50°，求∠ACB？
【变】△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与△ABC的三边都相切，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长是多少？ 2，求⊙O的半【变】⊙O为△ABC内切圆，若∠BAC=60°，AB +AC﹣BC=3 径？
【拓】⊙1O 和⊙2O 为Rt △ABC 内切圆，∠C=90°，AC=4，BC=3，求⊙1O 的半径？ 板块二：切线的证明与计算（※中考必考题型※） 题型一：知圆上点，连半径，证垂直（※中考主流考察方式※） 【例】已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D （1）求证：CD 为⊙O 的切线。 （2）若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB ？
三圆的切线的性质及判定定理 [对应学生用书P25] 1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB. (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明]在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线． [对应学生用书P25] 圆的切线的性质 [例1]如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直 径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径． [思路点拨]⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到 连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径． [解]连接OE， ∵AB与⊙O切于点E， ∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.
∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AO AB . ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13， ∴OE ＝103. 即⊙O 的半径为10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等． 1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( ) A ．20° B ．25° C ．40° D ．50° 解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°. 又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝1 2∠AOB ＝25°. 答案：B 2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1. (1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长．
课题：圆的切线的判定与性质 主稿：饶爱红审核：备课组上课日期：______周课时数：_____ 总课时数：_____ 知识与技能：1、理解圆的切线的判定与性质， 2、会利用圆的切线的判定与性质解题， 3、了解用反证法证明切线的性质定理的过程。 过程与方法：学生预习、小组讨论、合作探究、共同讲解、综合应用 情感态度与价值观：培养学生的自主学习的能力和团结协作的精神。 教学重点：利用圆的切线的判定与性质解题 教学过程备注本期导学 1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么？ 3、如何应用它们解题？ 知识回顾 1.直线和圆有哪些位置关系？ 。。。。相切、相离、相交 2.什么叫相切？ 。。。。直线与圆只有一个交点 3.我们学习过哪些切线的判断方法？ 。。。。1、与圆只有一个交点，2、d＝r 新知探究 1、设问 切线的判定还有什么方法吗？ 切线还有什么性质吗？ 2、引入思考 提问：如图，直线Ｌ经过点Ａ，并且垂直半径OA,，问L与圆O是什么关系？ OA既是半径，又是点O到直线L的距离,所以d＝r ，由前面所学的可知，直线L与圆是相切 的关系。 给出切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何符号表达： ∵OA是半径，OA⊥l于A ∴l是⊙O的切线。 3、例题讲解 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连结OC(如图)。 ∵OA＝OB,CA＝CB, ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴AB⊥OC。 ∵OC是⊙O的半径 ∴AB是⊙O的切线。 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴OE＝OD ∵OD是⊙O的半径 ∴AC是⊙O的切线 4、归纳总结 (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂 线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径 5、练习 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线 6、用反证法推出切线的性质定理，并利用它练习课后习题。 课堂小结 学生小结，说出本节课的知识点和重点。 练习与作业： 练习册和课后习题 教学反思：
2019 中考数学专题练习-圆的 切线长定理（含解析） 、单选题 1.如图，△ ABC是一张周长为17cm 的三角形的纸片，BC=5cm ，△O是它的内切圆，小明准备用剪刀在△O的右侧沿着与△O相切的任意一条直线MN 剪下△ AMN，则剪下的三角形的 变化 2.下列说法正确的是（） A.过任意一点总可以作圆的两条切线 C. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等大于圆的 半径 3.如图，PA，PB 切△O于A，B 两点， CD 切△O于点E，交PA，PB 于C，D．若△O 56 周长为（ A. 12cm C. 6cm D. 随直线MN 的变化而 径为1，△ PCD的周长等于2 ，则线段AB 的长是（） ABCD 的四条边都相切,且AB=16,CD=10, 则四边形ABCD 的周长为() B. 52 C. 54 D. B. 圆的切线长就是圆的切线的长度 D. 过圆外一点所画的圆的切线长一 的半
5.如图，PA，PB，CD 与△O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△ PCD的周长为（）
A.8 B. 18 C. 16 D. 14 7. 如图，四边形 ABCD 中，AD 平行 BC ，△ ABC=90°，AD=2 ，AB=6 ，以 AB 为直径的半 △O 切 CD 于点 E ，F 为弧 BE 上一动点， 过 F 点的直线 MN 为半 △O 的切线， MN 交 BC 于 M ， 8. 圆外切等腰梯 形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图， △ ABC 是一张三角形的纸片， △O 是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，已知 AD=10cm ， 小明准备用剪刀沿着与 △O 相切的任意一条直线 MN 剪下一块三角形 （△ AMN ），则剪下的 △AMN 的周长为（ ） A. 7 D. 10 B. 14 C. 10.5 交 CD 于 N ，则 △ MCN 的周长为（ A. 9 B. 10 C. 3 D. 2 6.如图， 的周长是
备课人：杨智刚时间：2013年11月18日 【教学目标】 一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线。 二、过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性。 三、情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。 【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】 一、导语：通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线。 师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫。 二、探究新知 （一）切线的判定定理 1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线l和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．分析： 1、垂直于一条半径的直线有几条？ 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？ 3、去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？ 师生行为：学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 设计意图：过学生亲自动手画图，进行探究，得出结论。 思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？ 总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线。 思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？ ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线②到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线③上面的判定定理. 师生行为：教师引导学生汇总切线的几种判定方法 思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？ 2. 定理应用 ①完成课本例1 分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC，作出半径。 知道一条直线经过圆上某一点，则连接这点和圆心，证明该直线与所作半径垂直即可 . ②如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，以OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切 分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点，过点O作直线AC的垂线OE，证明垂线段OE等于半径OD即可。不知道直线和圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段
三 圆的切线的性质及判定定理 学习目标: (1) 理解切线的性质定理,判定定理及两个推论,能应用定理及推论解决相关的几何问题 (2) 能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理 重点:理解圆的切线的性质及判定定理,能应用定理解决相关的几何问题 教学过程: 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .,;,;,.,称直线与圆相离直线与圆没有公共点称直线与圆相切 公共点直线与圆只有一个称直线与圆相交直线与圆有两个公共点 刻画的数共点个这是从直线与圆的公和相离三种位置关系直线与圆有相交、相切我们知道，..切时有什么性质我们先看当直线与圆相相切的情形本节专门讨论直线与圆?.,.,,112是否一定垂直呢半径与那么观察、测量图形可发现为切点的切线是圆直线如图OA l OA l A O l ⊥-.,.,,.,"",,,一定垂直与因此的切线相矛盾是圆这与相交就应与圆于是的距离小于圆的半径这就是说圆心到直线可得性质垂线段最短根据垂足为可作那么过点不垂直与假设OA l O l O l l OM OA M l OM O OA l > ⊥112-图:.,;,由此得到圆心切线的直线也一定经过 过切点且垂直于反之一定过切点圆心垂直于切线的直线 所以经过线垂直线与已知直只有一条直过一点因为经.理的逆命题来得到判定定下面通过考察性质定理由此可得是圆的切线因此共点知圆与直线只有一个公的任意性由点在圆外点因此的斜边是而是直角三角形这是因为都有的点上任取异于点在直线的公共点且与直线是圆点如图.,,.,.,,,.,112l B B OBA Rt OB OBA OA OB B A l OA l l O A ??>⊥- 11 2-图. :. ,,,1221的切线是圆求证的中点过圆的直径是圆如图例O DE AC DE D BC O O AB ⊥- 12 2-图
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上 ∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理） 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A ∴l ⊥OA（切线性质定理） 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理） 证明：连结OA、OB ∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴OA⊥AP、OB⊥PB ∴∠OAP=∠OBP=90°
在△OPA和△OPB中： ∠OAP=∠OBP OP=OP OA=OB=r ∴△OPA≌△OPB（HL） ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 弦切角概念 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点； （2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线； （3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质． 弦切角定理 弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角[注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC] 几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理） 推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ ∴∠1=∠2 证明：作AD⊥EC ∵∠ADC=90° ∴∠ACD+∠CAD=90° ∵ED与⊙O切于点C ∴OC⊥ED
A 课题：圆的切线定理及性质定理 班级：九年级 时间： 教学目标：1、理解切线的判定定理及性质定理； 2、熟练运用切线的判定定理及性质定理解决一些实际问题。 教学重点：切线的判定定理及性质定理。 教学难点：切线的判定定理。 教学方法：采用“问题探究”的教学方法课型：新授课 教学过程： 一、复习提问： 直线和圆有哪几种位置关系？如何判断直线和圆的位置关系？ 直线和圆有三种位置关系：相交、相切、相离。 量化关系表示：设⊙O的半径为ｒ，直线ｌ到圆心Ｏ的距离为ｄ，则有 （1）ｄ＜ｒ?直线ｌ和⊙O相交； （２）ｄ＝ｒ?直线ｌ和⊙O相切； （３）ｄ＜ｒ?直线ｌ和⊙O相离． 图示如下: 二、探究新知： 本节课我们重点关注直线和圆相切这种位置关系。 1、思考：在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线 l 的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ 因为ｄ＝ｒ?直线ｌ和⊙O相切，d就是圆心 O到直线l的距离，即垂直。并由ｄ＝ｒ可得 到l经过半径的外端点，即半径OA的A点。 因此可得到切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线。 2、讲解例题： 根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应如何证明？ 点评：分两步（1）说明这个点是圆上的点； （2）过这点的半径垂直于直线。 例如图直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB 是⊙O的切线。 分析：直线AB经过⊙O上的点C已经满足第 （1）点，只要再证明直线AB垂直于过点C 的半径即可。作辅助线：连接OC
C A l 2l 1 B A O O B A T 证明：连结O C ，∵OA=OB ，CA=CB ∴△OAB 是等腰在角形 OC 是底边上的中线 ∴OC ⊥AB ∴AB 是⊙O 的切线。 3、思考问题：如图，如果直线l 是⊙O 的 切线，切点为A ，那么半径OA 与直线l 是不是一定垂直呢？ 点评：由于l 是⊙O 的切线，圆心O 到l 的距离等 于半径，OA 是圆到直线l 的距离所以OA ⊥l. 由此得出圆的切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 三、课堂练习：（一）判断下列命题是否正确：(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(2)垂直于半径的直线 是圆的切线．(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 （采取提问学生的形式进行，并要求说明理由） （二）P ９６页练习１、如图，ＡＢ是⊙O 的直径，∠ＡＢＴ＝４５o ， ＡＴ＝ＡＢ。 求证：ＡＴ是⊙O 的切线。 ２、如图，ＡＢ是⊙O 的直径，直线ｌ１、ｌ２是 ⊙O 的切线，Ａ、Ｂ是切 点，ｌ１、ｌ２有怎样的位置关系？证明你的结论。 （第１题图） （第２题图） 四、小结：本节课应掌握 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 五、作业布置：P101—P102 习题24.2第4、5题 六、板书设计：（略） l A
学科教师辅导教案 组长审核： 授课主题点与圆、直线与圆的位置关系 教学目的 掌握点与圆、直线与圆的位置关系 掌握证明切线的方法 教学重点证明切线的方法 授课日期及时段2014年11月 29日 15:00---17:00 教学内容 1、垂径定理： 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图,?ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,求BC的长. 2、弧、弦与圆心角的关系定理：______________________________________ 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的。 4、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 O D C B A
5、圆内接四边形 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。圆的确定： 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的圆． 外接圆的圆心是三角形三条边的交点，叫做这个三角形的心． 1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心． 直线与圆的位置关系： l l (a)(b) 相离 相切 相交 (c) l 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，?这条直线叫做圆的切
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦定 理 ⊙O中，AB、CD为弦，交 于P. PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证： △APC∽△DPB. 相交弦定 理的推论 ⊙O中，AB为直径，CD⊥AB 于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理.
切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T， 割线PB交⊙O于A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线， 交⊙O于A、C PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用 两次切割线定理 圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于 A，CD为弦P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于M，延 长OP'交⊙O于N，用相交 弦定理证；过P作切线用 切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆的切线性质定理有哪些应用 圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”. 于是，切线具有如下性质： (1) 切线与圆只有一个公共点； (2) 切线与圆心的距离等于圆的半径； (3) 切线垂直于过切点的半径； (4) 经过圆心垂直于切线的直线必过切点； (5) 经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质⑶、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多. 在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线一一就是连接过切点 的半径，则此半径必垂直于切线. 应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题. (1) 利用切线性质计算线段的长度 例1:如图，已知：AB是O O的直径，P为延长线上的一点，PC切O O于C, CD±AB于D,又PC=4, O O的半径为3.求：OD的长. 解：连接OC ?/ PC是O O的切线， ??? OCL PC, ???△ OPC为直角三角形. ?/ PC=4 r=3 , ? OP=5 又OC=OD? OP 即卩 5 ? OD=9
9 .\OD = -. 说明：遇到切点，连半径是圆中常用添线的方法.
(2) 利用切线性质计算角的度数 例2 :如图，已知：AB是O O的直径，CD切O 0于C, AEL CD于E, BC的延长线与AE 的延 长线交于F,且AF=BF.求：/ A的度数. 解：连接OC,T CD是O 0的切线，??? OC L CD.又AF L CD,「. AF// 0C,「./ A=Z BOC而OC=OB ???/ OCB2 B,「. AF=BF A=Z B,「./ BOC K B=Z OCB B=60°,则/ A=60° (3) 利用切线性质证明角相等 例3:如图，已知：AB为O O的直径，过A作弦AC AD,并延长与过B的切线交于M N.求证：/ MCN K MDN 证明：连接BD CD. T MN是O O的切线，? AB丄MN又AB是O O的直径，ADB=90 , ???在Rt △ ABN中，BD L AN于 D. ???/ N=Z ABD=/ ACD ? C M N、D四点共圆，则/ MCN/ MDN 说明：禾U用四点共圆，也是证明两角相等的方法之一. ⑷利用切线性质证线段相等 例4:如图，已知：AB是O O直径，CC L AB CD切O O于D, AD交CO于E.求证：CD=CE
11．（2007?大连）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（） A．130°B．120°C．110°D．100° 12．（2007?越秀区一模）如图，PA、PB、DE分别切⊙O 于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PDE的周长为（） A．10 B．12 C．16 D．20 13．（2005?杭州）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（） A．50 B．52 C．54 D．56 14．（2005?北京）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2 3 ，那么∠AOB等于（） A．90°B．100°C．110°D．120° 15．（2004?云南）如图，若△ABC的三边长分 别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF 的长为（）
A．5 B．10 C．D．4 16．（2003?武汉）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB 为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；④CE?FB=AB?CF．其 中正确的只有（） A．①②B．②③④C．①③④D．①②④ 17．（2002?南昌）如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B， OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC?PO ☆☆☆☆☆ 18．（2001?嘉兴）已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引 19． （2000?吉林）如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC， 那么∠DOC的度数为（） A．70°B．90°C．60°D．45°
内容《圆》复习课——切线的判定与性质课型复习课 教学媒体多媒体 1. 会用圆的切线的判定定理和性质定理进行推理； 知识 技能 2. 会用圆的切线的判定定理、性质定理和其他性质进行综合推理。 1. 运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有教 学知识综合解决问题的能力； 过程 目方法 2. 进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、标总结的能力。 情感 形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。 态度 教学重点会用圆的切线的判定定理和性质定理进行推理。 教学难点会用圆的切线的判定定理、性质定理和其他性质进行综合推理与计算。 教学过程设计： 一、知识梳理 提出问题： 1. 切线的判定方法有哪些？在证明切线时，我们经常用到什么样的辅助线？ ①定义法：_____________________________________ ； ②d 与r 的关系：_________________________________________ ； ③切线的判定定理：______________________________________________ 。 2. 切线的性质定理是什么？运用切线的性质时，经常使用什么样的辅助线？ 切线的性质定理：_______________________________________________ 。 总结：1. 切线的判定方法： ①定义法：直线与圆有唯一公共点。 ②d 与r 的关系：圆心到直线的距离等于该圆的半径。 ③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 引导学生复习切线判定定理的符号语言以及证明直线是圆的切线的常用辅助线方法： ①无公共点，作垂直，证半径； ②有公共点，连半径，证垂直。 2. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径． 引导学生复习切线性质定理的符号语言以及运用切线性质时常用辅助线方法： 遇切线，连半径，得垂直。 设计意图：通过小组交流为复习本节课知识作铺垫，体会转化和数形结合的数学思想，至 此形成知识体系。 二、合作探究 例1(2016元调19题和中考21题)如图，A B 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点，AD 和 过点 C 的切线互相垂直，垂足为D，AD 交⊙O 于点 E.求证：AC 平分∠DAB . D C 设计意图：本题是对圆的性质的综合应用。学生独立思考， 教师及时引导点拨画出辅助线，并规范解题步骤。 E A B O