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课题：圆的切线定理及性质定理
班级：九年级
时间：
教学目标：1、理解切线的判定定理及性质定理；
2、熟练运用切线的判定定理及性质定理解决一些实际问题。
教学重点：切线的判定定理及性质定理。
教学难点：切线的判定定理。
教学方法：采用“问题探究”的教学方法课型：新授课
教学过程：
一、复习提问：
直线和圆有哪几种位置关系？如何判断直线和圆的位置关系？
直线和圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
量化关系表示：设⊙O的半径为ｒ，直线ｌ到圆心Ｏ的距离为ｄ，则有
（1）ｄ＜ｒ?直线ｌ和⊙O相交；
（２）ｄ＝ｒ?直线ｌ和⊙O相切；
（３）ｄ＜ｒ?直线ｌ和⊙O相离．
图示如下:
二、探究新知：
本节课我们重点关注直线和圆相切这种位置关系。
1、思考：在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线 l
的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
因为ｄ＝ｒ?直线ｌ和⊙O相切，d就是圆心
O到直线l的距离，即垂直。并由ｄ＝ｒ可得
到l经过半径的外端点，即半径OA的A点。
因此可得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线。
2、讲解例题：
根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应如何证明？
点评：分两步（1）说明这个点是圆上的点；
（2）过这点的半径垂直于直线。
例如图直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB 是⊙O的切线。
分析：直线AB经过⊙O上的点C已经满足第
（1）点，只要再证明直线AB垂直于过点C
的半径即可。作辅助线：连接OC
C A l 2l 1
B A O O
B A T 证明：连结O
C ，∵OA=OB ，CA=CB
∴△OAB 是等腰在角形
OC 是底边上的中线 ∴OC ⊥AB
∴AB 是⊙O 的切线。
3、思考问题：如图，如果直线l 是⊙O 的
切线，切点为A ，那么半径OA 与直线l 是不是一定垂直呢？
点评：由于l 是⊙O 的切线，圆心O 到l 的距离等
于半径，OA 是圆到直线l 的距离所以OA ⊥l. 由此得出圆的切线性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。 三、课堂练习：（一）判断下列命题是否正确：(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(2)垂直于半径的直线
是圆的切线．(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
（采取提问学生的形式进行，并要求说明理由）
（二）P ９６页练习１、如图，ＡＢ是⊙O 的直径，∠ＡＢＴ＝４５o ，
ＡＴ＝ＡＢ。
求证：ＡＴ是⊙O 的切线。
２、如图，ＡＢ是⊙O 的直径，直线ｌ１、ｌ２是
⊙O 的切线，Ａ、Ｂ是切
点，ｌ１、ｌ２有怎样的位置关系？证明你的结论。
（第１题图） （第２题图）
四、小结：本节课应掌握
1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
五、作业布置：P101—P102 习题24.2第4、5题
六、板书设计：（略）
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圆的切线的判定与性质 【知识点精析】 1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。 2. 圆的切线的判定与性质： （1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径 （2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。 例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。 3. 切线长定理： （1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。 圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。 （2）切线长性质 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。 例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径 （3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 【解题方法指导】 一切线长定理的计算 例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径 B C 2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。 二等腰三角形在证明切线中的巧用 例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．
中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题 点与圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念 能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题 圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形 会计算扇形面积 能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积 会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题 中考内容与要求 暑期班第六讲秋季班第六讲 秋季班第八讲 圆中三大切线定理
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2011年2012年2013年 题号20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分17分17分 考点 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 (垂径定理、圆周角 定理)，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系 中考考点分析 知识互联网 题型一：切线的性质定理
切线的判定与性质、切线长定理 1.如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12㎝，∠B ＝300，则∠ECB＝，CD＝。 2.如图，CA为⊙O的切线，切点为A。点B在⊙O上，如果∠CAB＝550，那么∠AOB 等于。 3.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是⌒ AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，（1）若PA=12，则△PDE的周长为____； （2）若△PDE的周长为12，则PA长为；（3）若∠P=40°，则∠DOE=____度。 (1题图) (2题图) (3题图) 4.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与 圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于该直径的直线的是切线。 其中正确命题有（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 5.如图，AB、AC与⊙O相切与B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一动点，则 ∠BPC的度数是。 6.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7.如图，⊙O分别与△ABC的边BC、CA、AB相切于D、E、F，∠A＝800，则∠EDF ＝。 （5题图）（6题图）（7题图） 8.点O是△ABC的内心，∠BAO＝200，∠AOC＝1300，则∠ACB＝。 9.已知：Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，BC＝3，则△ABC内切圆的半径 为。
10.若直角三角形斜边长为10㎝，其内切圆半径为2㎝，则它的周长为。 11.如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O 相交于E，若AB＝5，EA＝1，则⊙O的半 径为。 12.如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC＝1300，则∠A的度数是。 13.如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，若∠FOD＝∠EOD＝1350，则 △ABC是（） A.等腰三角形； B.等边三角形； C.直角三角形； D. 等腰直角三角形； E F D O C A B （11题图）（12题图）（13题图） 14.如果两圆的半径分别为6cm和4cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15.若已知Rt△ABC中，斜边为26cm，内切圆的半径为4cm，那么它的两条直角边的长分 别为（）cm A、7、27 B、8、26 C、16、18 D、24、104 16.已知两圆的半径分别是方程0 2 3 2= + -x x的两根，圆心距为3，则两圆的位置关系是__________． 17.两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则两圆的圆心距等于（）cm。 A. 7 4+ B. 7 4- C. 7 4+或7 4- D. 41 18.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，?从这点到圆的最短距离为 （）． A．3 9B．()1 3 9-C．()1 5 9-D．9 19.如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC 是⊙O的切线。
【圆的平面几何性质和定理】 [圆的基本性质与定理] 1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定） 2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 [有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 [园内接四边形的性质与定理] 1定理圆的内接四边形的对角互补 2定理并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 [有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [与圆有关的比例线段] 1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 围田地 漫画释义 满分晋级阶梯 圆7级 期末复习之圆中的 重要结论及应用 圆6级 期末复习之圆的综合 圆5级 圆中三大切线定理 2 圆中三大切线定理
中考内容与要求 中考考点分析 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考 15
16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分 考点 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 知识互联网 题型一：切线的性质定理
17 题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。 【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=． 判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。 【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练 思路导航 典题精练 思路导航 题型二：切线的判定定理 E O D C B A
切线的判定和性质教学设计 【教学目标】 一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理,并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线． 二、过程与方法:以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据,探究切线的判定 定理和性质定理,领会知识的延续性,层次性。 三、情感态度与价值观:让学生感受到实际生活中存在的相切关系,有利于学生把实际的问 题抽象成数学模型。 【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理,并运用. 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】 一、导语:通过上节课的学习,我们知道，直线和圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 而相切最特殊,这节课我们专门来研究切线。 师生行为:教师联系近期所学知识,提出问题,引起学生思考,为探究本节课定理作铺垫。 二、探究新知 (一）切线的判定定理 1.推导定理:根据“直线l和⊙O相切d=r”,如图所示，因为d=r直线l和⊙O相切，这 里的ｄ是圆心O到直线l的距离，即垂直,并由d=r就可得到l经过半径ｒ的外端，即半径ＯA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 分析: 1、垂直于一条半径的直线有几条? 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线? 3、去掉定理中的“经过半径的外端"会怎样？去掉“垂直于半径”呢？ 师生行为:学生画一个圆,半径ＯA,过半径外端点A的切线l,然后将“d＝r直线ｌ和⊙O 相切”尝试改写为: 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 设计意图:过学生亲自动手画图，进行探究,得出结论。 思考1：根据上面的判定定理,要证明一条直线是⊙O的切线,需要满足什么条件? 总结:①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线. 思考2:现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线? ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ③切线的判定定理. 师生行为:教师引导学生汇总切线的几种判定方法 思考3：已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 2. 定理应用
课题：圆的切线的判定与性质 主稿：饶爱红审核：备课组上课日期：______周课时数：_____ 总课时数：_____ 知识与技能：1、理解圆的切线的判定与性质， 2、会利用圆的切线的判定与性质解题， 3、了解用反证法证明切线的性质定理的过程。 过程与方法：学生预习、小组讨论、合作探究、共同讲解、综合应用 情感态度与价值观：培养学生的自主学习的能力和团结协作的精神。 教学重点：利用圆的切线的判定与性质解题 教学过程备注本期导学 1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么？ 3、如何应用它们解题？ 知识回顾 1.直线和圆有哪些位置关系？ 。。。。相切、相离、相交 2.什么叫相切？ 。。。。直线与圆只有一个交点 3.我们学习过哪些切线的判断方法？ 。。。。1、与圆只有一个交点，2、d＝r 新知探究 1、设问 切线的判定还有什么方法吗？ 切线还有什么性质吗？ 2、引入思考 提问：如图，直线Ｌ经过点Ａ，并且垂直半径OA,，问L与圆O是什么关系？ OA既是半径，又是点O到直线L的距离,所以d＝r ，由前面所学的可知，直线L与圆是相切 的关系。 给出切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何符号表达： ∵OA是半径，OA⊥l于A ∴l是⊙O的切线。 3、例题讲解 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连结OC(如图)。 ∵OA＝OB,CA＝CB, ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴AB⊥OC。 ∵OC是⊙O的半径 ∴AB是⊙O的切线。 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴OE＝OD ∵OD是⊙O的半径 ∴AC是⊙O的切线 4、归纳总结 (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂 线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径 5、练习 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线 6、用反证法推出切线的性质定理，并利用它练习课后习题。 课堂小结 学生小结，说出本节课的知识点和重点。 练习与作业： 练习册和课后习题 教学反思：
日月桃李文化教育教案 学生： 郭曼 年级： 9 科目：数学 地点：中海 时间：2013 年 3 月 9 日 星期 日 形式：单独 老师： 王丽君 教学内容：直线与圆的位置关系（三大切线定理） 课时安排： 2 学时 【知识要点】（按点列出） 圆心角和圆周角、弦长、弧长的关系 【教学过程】：【复习、新授、训练（例题与训练中的基础、拓展、综合、链接部分必与知识点紧密联系）、小结、作业）】 知识点1、直线和圆的三种位置关系： 知识点2、切线的判定和性质： 1、 判定：（1）当圆心到直线的距离d 等于半径r 时，直线是圆的切线； （2）经过半径外端垂直于的半径的直线，是圆的切线。 2、性质：如果一条直线与圆相切，另一条满足：（1）过圆心，（2）切点，（3）垂直于半径．其中任意两个条件，则必满足第三个条件。 知识点3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。 知识点4、切线长定理：从圆外一点向圆所引的两条切线段长相等； 知识点5、圆幂定理： （1）PA ·PB=PC ·PD （2）PT 2=PA ·PB=PC ·PD 知识点6、圆与三角形： （1）1902BIC A ∠=+ ∠o ，()1 2 S a b c r =++ （2） ()1 2 r a b c =+- 注意：(1)“连半径证垂直得切线”。“作垂直证半径得切线”。 (2) 见切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。 （3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。 知识点7:、圆与四边形 四边形对角互补 二、典例精讲 考点1、切线的性质和判定 例1、（1）如图，已知，△ABC 中，AB=AC ，以BC 的 中点O 为圆心的圆切AB 于D 。求证：⊙O 与AC 也相切 d
第2讲圆中的三大切线定理 板块一：切线性质定理 1、直线与圆有且仅有一个交点，该直线为圆的一条切线，连接圆心和切点，R⊥切线 【引】（2013武汉四调）在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC （1）如图1，求证：OP∥BC （2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值。
【变】（求边）⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA=3，BC=4，则AD？ 【变】（求角）直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，且∠OBA=40°，求∠ADC？ 【练】⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB为⊙O于点B，求PB的最小值？
2、切线长定理 【例】EB、ED分别切⊙O于B、D，∠E=90°，延长BO交⊙O于A，点C为⊙O 上一点，且∠CAB=15°，若DE=2，求CD？ 3、切线长定理的一些结论 【练】PA、PB切⊙O于点A、B两点，C为AB上的一点，已知∠BPA=50°，求∠ACB？
【变】△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与△ABC的三边都相切，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长是多少？ 2，求⊙O的半【变】⊙O为△ABC内切圆，若∠BAC=60°，AB +AC﹣BC=3 径？
【拓】⊙1O 和⊙2O 为Rt △ABC 内切圆，∠C=90°，AC=4，BC=3，求⊙1O 的半径？ 板块二：切线的证明与计算（※中考必考题型※） 题型一：知圆上点，连半径，证垂直（※中考主流考察方式※） 【例】已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D （1）求证：CD 为⊙O 的切线。 （2）若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB ？
三圆的切线的性质及判定定理 [对应学生用书P25] 1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB. (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明]在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线． [对应学生用书P25] 圆的切线的性质 [例1]如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直 径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径． [思路点拨]⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到 连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径． [解]连接OE， ∵AB与⊙O切于点E， ∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.
∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AO AB . ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13， ∴OE ＝103. 即⊙O 的半径为10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等． 1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( ) A ．20° B ．25° C ．40° D ．50° 解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°. 又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝1 2∠AOB ＝25°. 答案：B 2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1. (1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长．
1 圆的切线判定和性质（复习教案） 华容东山中学 刘公文 学习目标： 1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。 2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法 复习指导 1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？ 2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？ 3、通过作图2，你是怎样得出圆的切线判定和性质的？ （二）过程与方法： 1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力； 2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。 （三）情感态度与价值观： 形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。 教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用． 教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程． 教学方法：先学后教，当堂训练 教学过程： 一、切线的判定及性质： 1、作图1：过⊙O 外一点P 作直线， (设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想) 作图2：若点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？ （请学生上黑板按要求作图） （设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解，自然过渡到圆的切线性质） 归纳小结：判断直线与圆相切的方法有哪些？圆的切线的性质是什么？ （设计意图：概括归纳切线的判定和性质，形成切线的判定与性质知 识体系） 2、课堂检测： (1)已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系为 。 （2）PA 切⊙O 于点A,PA=4,OP=5,则⊙O 的半径是____ （设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时 在性质应用时体现辅助线做法指导：见切线，连半径，得垂直，同时体会转化的数学思想） （3）已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ． ①求证：直线AB 是⊙O 的切线． ②若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 的长。 （设计意图：本题是对圆的判定及性质的综合应用。从判别方法说， 可以从数量关系证明，也
备课人：杨智刚时间：2013年11月18日 【教学目标】 一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线。 二、过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性。 三、情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。 【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】 一、导语：通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线。 师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫。 二、探究新知 （一）切线的判定定理 1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线l和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．分析： 1、垂直于一条半径的直线有几条？ 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？ 3、去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？ 师生行为：学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 设计意图：过学生亲自动手画图，进行探究，得出结论。 思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？ 总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线。 思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？ ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线②到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线③上面的判定定理. 师生行为：教师引导学生汇总切线的几种判定方法 思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？ 2. 定理应用 ①完成课本例1 分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC，作出半径。 知道一条直线经过圆上某一点，则连接这点和圆心，证明该直线与所作半径垂直即可 . ②如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，以OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切 分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点，过点O作直线AC的垂线OE，证明垂线段OE等于半径OD即可。不知道直线和圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段
切线的判定和性质教案 切线的判定和性质（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． 教学过程设计 （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系? ２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置． 发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理． （二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． （三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练'''' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，” ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线． 练习1判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． (5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切． 采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由， 练习P106，1、2 目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
知识考点 考点 1、切线的判定 切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。 符号语言 ∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径 ∴ l 为⊙O 的切线 （请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 判断 ①垂直于半径的直线是圆的切线。………………………………（ ） ②过半径外端的直线是圆的切线。………………………………（ ） 考点2、切线的性质定理 ● 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 （请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直） 小试牛刀：如图，AB 与⊙O 相切于B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A ＝36° ．则∠C ＝______ 题型总结 题型一、切线的判定（有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 1、如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ． 求证：PA 是⊙O 的切线； l A O
2、O是∠BAC的角平分线上的一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作圆，求证：AC与⊙O相切 题型二、切线性质的应用（见切点，连圆心，得垂直） 3、如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，∠C=20°，求∠CDA的度数。 习题训练 1、已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（） A．相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 2．如图，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（） A．45cm B．25cm C．213cm D．13 3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD的过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB. （1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长. 4、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．
学科教师辅导教案 组长审核： 授课主题点与圆、直线与圆的位置关系 教学目的 掌握点与圆、直线与圆的位置关系 掌握证明切线的方法 教学重点证明切线的方法 授课日期及时段2014年11月 29日 15:00---17:00 教学内容 1、垂径定理： 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图,?ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,求BC的长. 2、弧、弦与圆心角的关系定理：______________________________________ 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的。 4、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 O D C B A
5、圆内接四边形 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。圆的确定： 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的圆． 外接圆的圆心是三角形三条边的交点，叫做这个三角形的心． 1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心． 直线与圆的位置关系： l l (a)(b) 相离 相切 相交 (c) l 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，?这条直线叫做圆的切
三圆的切线的性质及判定定理 1.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题. 2.能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理． 1．根据直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的位置关系？ 答案直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． 2．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？ (1)与圆有公共点的直线是圆的切线； (2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线； (3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (4)过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线． 答案(3)(4)． 1．圆的切线的性质定理及推论 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定定理 (1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)圆的切线的判断方法 判断方法语言描述 ①定义法和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线 ②数量关系法圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 ③切线的判定定理过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 要点一圆的切线的判断
例1 如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD ＝12 BC ，E 、F 分别是AB ，AC 的中点，以EF 为直径作半圆O . 求证：BC 是半圆O 的切线． 证明 连接EF ，设EF 与AD 交于点G ，过圆心O 作OM ⊥BC ，垂足 为M . ∵EF ∥BC 且EF ＝12 BC ， AD ＝12BC ，∴EF ＝AD ，∴GD ＝AG ＝12AD ＝12 EF ， 又由已知可得四边形OGDM 为矩形， ∴OM ＝GD ＝12 EF ，∴OM 为半圆O 的半径，且OM ⊥BC ，∴BC 是半圆O 的切线． 规律方法 判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法 (1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”； (2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”． 跟踪演练1 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，且AD ＋ BC ＝AB ，AB 为⊙O 的直径．求证：⊙O 与CD 相切． 证明 过O 作OE ⊥CD ，垂足为E . 因为AD ∥BC ，∠C ＝90°， 所以AD ∥OE ∥BC . 因为O 为AB 的中点， 所以E 为CD 的中点． 所以OE ＝12 (AD ＋BC )． 又因为AD ＋BC ＝AB ， 所以OE ＝12 AB ，且等于⊙O 的半径． 所以⊙O 与CD 相切．
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦定 理 ⊙O中，AB、CD为弦，交 于P. PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证： △APC∽△DPB. 相交弦定 理的推论 ⊙O中，AB为直径，CD⊥AB 于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理.
切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T， 割线PB交⊙O于A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线， 交⊙O于A、C PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用 两次切割线定理 圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于 A，CD为弦P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于M，延 长OP'交⊙O于N，用相交 弦定理证；过P作切线用 切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆的切线判定和性质（复习教案） 农二师八一中学罗泥新 学习目标： 1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。 2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法 复习指导 1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？ 2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？ 3、通过作图2，你是怎样得出圆的切线判定和性质的？ （二）过程与方法： 1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力； 2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。 （三）情感态度与价值观： 形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。 教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用． 教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程． 教学方法：先学后教，当堂训练 教学过程： 一、切线的判定及性质： 1、作图1：过⊙O外一点P作直线， (设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想) 作图2：若点A为⊙O上的一点，如何过点A作⊙O的切线呢？ （请学生上黑板按要求作图） （设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解，自然过渡到圆的切线性质） 归纳小结：判断直线与圆相切的方法有哪些？圆的切线的性质是什么？ （设计意图：概括归纳切线的判定和性质，形成切线的判定与性质知识体系）
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（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． 教学过程设计 （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端； ②垂直于这条半径．
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可． 图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练’ 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。 证明：连结0C